Toán tử tích phân và ứng dụng

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội
2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Ts.Nguyễn
Văn Hùng đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa
luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những
ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Nhung

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 1


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận
tình của thầy giáo Ts.Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân.

Trong quá trình nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Nguyễn Thị Hồng Nhung

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 2


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Lời mở đầu

3

Chƣơng 1:

7

Một số kiến thức cơ sở

7

1.1 Không gian metric

7

1.2 Không gian định chuẩn

9

1.3 Không gian Hilbert

16

1.4 Không gian Ca ;b 

22

1.5 Không gian Lp a ; b 

25

Chƣơng 2:

30

Toán tử tích phân

30

2.1 Toán tử tích phân với hạch liên tục

30

2.2 Toán Tử tích phân với hạch bình phương khả tích

32

2.3 Toán tử tích phân trong không gian Ca ;b 

33

2.4 Toán tử tích phân trong không gian Lp a ; b 

35

2.5 Toán tử tích phân Fredholm

43

Chƣơng 3:

45

Ứng dụng giải phương trình tích phân

45

3.1 Khái niệm về phương trình tích phân tuyến tình

45

3.2 Giải phương trình tích phân tuyến tính

47

3.2.1 Phương pháp xấp xỉ dần. Hạch lặp

47

3.2.2 Phương pháp nhân suy biến

57

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 3


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

3.2.3 Phương trình tích phân với nhân không suy biến

65

Kết luận

76

Tài liệu tham khảo

77

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 4


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài.
Lý thuyết hàm và Giải tích hàm là một bộ môn lý thuyết được ra đời và

phát triển từ những năm đầu của thế kỷ XX đã tích lũy được những nội dung
hết sức phong phú, những phương pháp và kết quả hết sức mẫu mực, Giải tích
hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử dụng đến
những công cụ giải tích. Vì lẽ đó Giải tích hàm trở thành nơi gặp gỡ của nhiều
ngành khoa học lý thuyết và ứng dụng như: lý thuyết phương trình vi
phân_tích phân, điều khiển tối ưu, lý thuyết các bài toán cực trị.
Phương pháp của Giải tích hàm là tiền đề hóa những tính chất đặc trưng

của tập hợp số thực thành các không gian tương ứng và mở rộng các vấn đề
cơ bản của giải tích cổ điển vào những không gian đó.
Vì vậy, việc học và nắm vững môn học này là rất cần thiết đối với mỗi
sinh viên khoa toán. Tuy nhiên kiến thức trên lớp với thời lượng eo hẹp, cùng
với sự mới mẻ và cái khó của môn học này đã làm cho việc tiếp thu những
kiến thức của Giải tích hàm trở nên không dễ dàng với mỗi sinh viên khoa
toán. Do đó để nắm vững các kiến thức cơ bản của Giải tích hàm, đồng thời
quyết tâm đi vào nghiên cứu khoa học, được sự hướng dẫn tận tình của thầy
giáo Ts.Nguyễn Văn Hùng, em đã chọn đề tài: “ Toán tử tích phân và ứng
dụng giải phƣơng trình tích phân ” để làm khóa luận tốt nghiệp.
2.

Mục đích nghiên cứu.
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu

hơn về Giải tích hàm, đặc biệt là lý thuyết toán tử.
3.

Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu một số cơ sở lý thuyết liên quan đến toán tử tích phân, tính

chất của toán tử tích phân, ứng dụng của toán tử tích phân vào giải phương
trình tích phân.

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 5


Trường ĐHSP Hà Nội 2

4.

Khóa luận tốt nghiệp

Phƣơng pháp nghiên cứu.
Phương pháp đọc sách.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
Phương pháp phân tích sản phẩm.

5.

Cấu trúc khóa luận.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận

gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở.
Chương 2: Toán tử tích phân.
Chương 3: Ứng dụng giải phương trình tích phân.

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 6


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Chƣơng 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1
Không gian metric là một tập hợp  khác rỗng cùng với một ánh xạ

d từ tích Descartes   

vào tập hợp số thực

 , thỏa mãn các tiên đề sau:

1)  x, y    d  x, y   0, d  x, y   0  x  y (tiên đề đồng nhất)
2)  x, y   d  x, y   d  y, x   x  y

(tiên đề đối xứng)

3)  x, y, z    d  x, y   d  x, z   d  z, y  (tiên đề tam giác)
Ánh xạ

d gọi là metric trên  , số d  x, y  gọi là khoảng cách giữa

hai phần tử x và y . Các phần tử của  gọi là điểm, các tiên đề 1), 2), 3)
gọi là tiên đề metric.
Không gian metric được kí hiệu    , d  .
 Sự hội tụ trong không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2
Cho không gian metric   , d  , dãy điểm

x0   . Dãy điểm

 xn 

 xn    ,

điểm

gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không gian 

khi n   , nếu:

   0   n0  *   n  n0  d  xn , x0   
Kí hiệu: lim xn  x0 hay xn  x0  n    .
n

Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy

 xn 

trong không gian  .

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 7


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Nhận xét: Nếu hai dãy điểm

Khóa luận tốt nghiệp

 xn  ,  yn 

hội tụ tương ứng tới x và

y khi n   thì :
lim d  xn , y n   d  x, y 

n 

 Không gian metric đầy.
Định nghĩa 1.1.3
Cho không gian metric   , d  . Dãy điểm

 xn    gọi là dãy

cơ bản trong  , nếu:

   0   n0   *   n, m  n0  d  xn , xm   
hay

lim d  xn , xm   0 .

m,n

Dễ thấy mọi dãy điểm xn    hội tụ trong  đều là dãy cơ bản.
Điều khẳng định ngược lai không đúng.
Định nghĩa 1.1.4
Không gian metric   , d  gọi là không gian đầy nếu mọi dãy cơ
bản trong không gian này đều hội tụ.
 Nguyên lý Banach về ánh xạ co.
Định nghĩa 1.1.5
Cho hai không gian metric 1   , d1  , 2   , d2  . Ánh xạ

A từ

không gian 1 vào không gian  2 gọi là ánh xạ co, nếu:

  0,1 x, x '    d  Ax, Ax '   d  x, x ' .
2

1

Định lý 1.1.1(nguyên lý Banach về ánh xạ co).

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 8


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Mọi ánh xạ co A ánh xạ từ không gian metric đầy   , d  vào
_

_

chính nó đều có điểm bất động x duy nhất, nghĩa là x   thỏa mãn hệ
thức:
_

_

Ax  x .

 Định lý Axcoli
Giả sử  là không gian metric compact. Gọi C  là tập hợp tất cả
các hàm liên tục trên  (với giá trị thực hay phức). Nếu họ A  C    thỏa
mãn các điều kiện:
a) A là bị chặn tại từng điểm trên 
b) A là đồng liên tục trên 
thì A là một tập hợp compact tương đối trong
1.2

C   .

Không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.2.1
Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là một

không gian tuyến tính  trên trường
ánh xạ từ tập  vào  , kí hiệu là

 (    hoặc    ) cùng với một
 và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề

sau:
1)  x   

x  0, x  0  x   (kí hiệu phần tử không là  );

2)  x       
3)  x, y  

x    x ;

x y  x  y ;

Số x gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng kí hiệu không gian định
chuẩn là  . Các tiên đề 1), 2), 3) gọi lả hệ tiên đề chuẩn.

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 9


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

 Liên hệ giữa không gian định chuẩn và không gian metric.
Định lý 1.2.1
Cho không gian định chuẩn  . Đối với hai vectơ bất kỳ x, y   ,
ta đặt:

d x, y   x  y

(1.2.1)

Khi đó d là một metric trên  .
Vì vậy, mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric.
 Không gian con.
Cho không gian định chuẩn  và tập hợp 0   ,  0   .
Nếu  0 là một không gian tuyến tính con của  và chuẩn xác định
trên  0 là chuẩn xác định trên  , thì  0 được gọi là không gian định
chuẩn con của không gian định chuẩn  .
 Không gian Banach.

Định nghĩa 1.2.2
Dãy điểm

 xn 

trong không gian định chuẩn  gọi là dãy cơ bản,

nếu:

lim x n  x m  0

n , m 

Định nghĩa 1.2.3
Không gian định chuẩn  gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ
bản trong  đều hội tụ.
 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.2.4
Cho không gian đinh chuẩn  , x   .

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 10


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp



Tập U  y   : f  x   f  y    ,   0 cho trước , f   gọi

là lân cận yếu của điểm x .
Định nghĩa 1.2.5
Cho không gian định chuẩn  . Dãy

 xn    gọi là hội tụ yếu tới

phần tử x   , nếu với mọi lân cận yếu U của x , tìm được số n0  



sao cho n  n0 thì xn  U .
yêu

Kí hiệu : xn  x  n   
Định nghĩa 1.2.6
Dãy

 xn 

trong không gian định chuẩn  gọi là hội tụ mạnh tới

x0   nếu:

   0  n0  *   n  n0 

xn  x0   .

 Toán tử tuyến tính bị chặn.
Định nghĩa 1.2.7
Cho các không gian tuyến tính  và  trên trường  (    hoặc

   ). Ánh xạ A từ không gian  vào không gian  gọi là tuyến tính,
nếu ánh xạ A thỏa mãn điều kiện:
1)

 x, x '   

2)

 x        

A  x  x '  Ax  Ax '
A x    Ax

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A
chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính còn khi toán tử A
chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì toán tử A gọi là toán tử thuần nhất.

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 11


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Khi  =  thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến
tính.
Định nghĩa 1.2.8
Cho hai không gian định chuẩn  và  . Toán tử tuyến tính A từ
không gian  vào không gian  gọi là bị chặn (giới nội), nếu tồn tại hằng

số C  0 , sao cho:

Ax  C x , x  
Khi đó

A  inf C  0 : x   : Ax  C x  gọi là chuẩn của

toán tử A .
Từ định nghĩa ta dễ dàng có các tính chất sau:
1)

x  

2)

   0  x    

Ax  A x ;

A    x  A ;

Định lý 1.2.2 (định lý ba mệnh đề tương đương).
Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn  vào không
gian định chuẩn  . Ba mệnh đề sau tương đương:
1)

A liên tục.

2)

A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc  .

3)

A bị chặn.

 Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn.
Cho hai không gian định chuẩn  và  . Kí hiệu L  ,   là tập
hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn  vào
không gian định chuẩn  . Ta đưa vào L,   hai phép toán:

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 12


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

+) Tổng của hai toán tử A, B  L  ,   là toán tử, kí hiệu

A B ,

xác định bằng hệ thức:

 A  B x  Ax  Bx ,
+) Tích vô hướng của

x  

  (   

hoặc    ) với toán tử

A  L,   là toán tử, kí hiệu là A , xác định bằng hệ thức:

 A x    Ax 
Dễ dàng kiểm tra A  B  L,   ,  A  L  ,   với hai phép
toán trên thỏa mãn hệ tiên đề không gian tuyến tính. Do đó tập hợp L,  
cùng với hai phép toán trên trở thành không gian tuyến tính trên trường

.

Với mỗi toán tử bất kỳ A  L,   , ta đặt:

A  sup Ax

(1.2.2)

x 1

Dễ thấy (1.2.2) thỏa mãn hệ tiên đề chuẩn và không gian tuyến tính

L  ,   trên trường  trở thành không gian định chuẩn.
Định lý 1.2.3
Nếu  là không gian Banach thì L,   là không gian Banach.
 Không gian liên hợp và phản xạ
Định nghĩa 1.2.9
Cho không gian định chuẩn  trên trường

 (    hoặc    ).

Ta gọi không gian L,  các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không
gian  là không gian liên hợp(hay không gian đối ngẫu) của không gian

 và kí hiệu là  ( thay cho kí hiệu L,  ).

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 13


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp



Không gian liên hợp của không gian  gọi là không gian liên hợp thứ


hai của không gian  và kí hiệu là  .
Định lý 1.2.4


Nếu không gian liên hợp  của không gian định chuẩn  là tách
được thì không gian  là tách được.
Định lý 1.2.5
Tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn  vào


không gian liên hợp thứ hai  của không gian  .
Định nghĩa 1.2.10

Không gian định chuẩn  gọi là không gian phản xạ nếu    .


Định lý 1.2.6
Không gian con đóng của một không gian phản xạ là không gian phản
xạ.
 Toán tử compact
Giả sử  ,  là hai không gian Banach
Toán tử tuyến tính:

A:   
gọi là compact, nếu ánh xạ A hình cầu đơn vị đóng của  thành một tập
hợp compact tương đối trong  .
Từ các tính chất của các tập hợp bị chặn và các tập hợp tương đối, ta
suy ra:
o

Toán tử compact A ánh xạ mọi tập hợp bị chặn trong

 thành một tập compact tương đối trong  .
o

Toán tử compact là liên tục.

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 14


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Như vậy tính compact của một toán tử tuyến tính mạnh hơn tính liên
tục, do đó người ta còn gọi một toán tử compact là một toán tử hoàn toàn liên
tục.
Định lý 1.2.7
Nếu A :    là một toán tử compact của không gian định chuẩn

 vào không gian định chuẩn  , thì ánh xạ A ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu
trong  thành dãy hội tụ (mạnh) trong  .
Định lý 1.2.8
Giả sử  là không gian Banach phản xạ và  là một không gian định
chuẩn tùy ý. Nếu toán tử tuyến tính:

A:   
ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong  thành dãy hội tụ (mạnh) trong  thì A
là một toán tử compact.
Định lý 1.2.9
Giả sử  là một không gian định chuẩn tùy ý và  là một không gian
Banach. Nếu An  L  ,  

n  1,2... là một dãy toán tử compact, hội tụ

trong L,   đến toán tử A  L,   , tức là:

lim An  A  0
n

thì A là một toán tử compact.
Định lý 1.2.10
a) Nếu  và  là hai không gian định chuẩn và A :    là một

toán tử compact, thì toán tử liên hợp A :     cũng là compact.
b) Ngược lại, nếu toán tử A là compact và giả thiết thêm rằng  là
một không gian Banach, thì A là một toán tử compact.

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 15


Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.3

Khóa luận tốt nghiệp

Không gian Hilbert.
 Tích vô hƣớng.
Định nghĩa 1.3.1
Cho không gian tuyến tính  trên trường

 (    hoặc    ).

Ta gọi là tích vô hướng trên không gian  mọi ánh xạ từ tích Descartes

   vào trường  , kí hiệu  ,   thỏa mãn các tiên đề:

 y, x  x, y 
x  y, z   x, z    y, z 

1)

 x, y   

2)

x, y, z   

3)

x, y        x, y     x, y 

4)

 x     x, x   0 , nếu x   
x, x   0 , nếu x  

kí hiệu là phần tử không



Các phần tử x, y, z gọi là các phần tử của tích vô hướng. Số  x, y 
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y , các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là
hệ tiên đề tích vô hướng.
 Bất đẳng thức Schwarz.
Định lí 1.3.1

x, y   , ta có  x, y    x, x  .  y, y 
Đối với mỗi x   , ta đặt:

x 

x, x

Định nghĩa 1.3.2 (định nghĩa không gian Hilbert)
Ta gọi một tập hợp    gồm các phần tử x, y, z,... nào đấy là
không Gian Hilbert, nếu tập hợp  thỏa mãn các điều kiện:

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 16


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

1)  là không gian tuyến tính trên trường
2)  được trang bị một tích vô hướng

.

, .

3)  là không gian Banach với chuẩn x 

 x, x  ,

x  .

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert 
là không gian Hilbert con của không gian  .
 Phần bù trực giao, tập con trực giao.
Định nghĩa 1.3.3
Cho không gian Hilbert  , hai phần tử x, y   gọi là trực giao, kí

hiệu x  y , nếu x, y   0 .
Định nghĩa 1.3.4
Cho không gian Hilbert  và tập hợp A  , A   . Phần tử x  
gọi là trực giao với tập hợp A , nếu x  y y  A  , kí hiệu x  A .
 Phần bù trực giao.
Định nghĩa 1.3.5
Cho không gian Hilbert  và không gian con  của  . Tập con

F   gồm các phần tử của không gian  trực giao với tập  gọi là phần
bù trực giao của tập  trên không gian  và kí hiệu: F     .
Dễ thấy F cũng là không gian con của  khi đó ta có biểu diễn:

    F  x  x1  x2 , x1  , x2  F
Định lí 1.3.2 (định lí về hình chiếu lên không gian con)
Cho không gian Hilbert  và  0 là không gian con của  . Khi đó
phần tử bất kỳ x   biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

x  y  z, y   0 , z   0

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 17


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

 Hệ trực chuẩn.
Định nghĩa 1.3.6
Cho không gian Hilbert  . Một tập hợp (còn gọi là hệ thống) gồm hữu
hạn hay đếm được các phần tử  en n1   gọi là một hệ trực chuẩn nếu:

e , e   
i

j

ij

0, nêu i  j

1, nêu i  j

 ij _là kí hiệu Kroneckes i, j  1,2...
 Cơ sở trực chuẩn – Đẳng thức Paseval.
Định nghĩa 1.3.7
Hệ trực chuẩn

en n1 trong không gian Hilbert 

gọi là cơ sở trực

chuẩn của không gian  , nếu trong không gian  không tồn tại vectơ khác
không nào trực giao với hệ đó.
Định lí 1.3.3
Cho

en n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

 . Năm

mệnh đề sau tương đương:
1) Hệ
2)

en n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian  ;

x   

x   x, en en ;
n1

3)

 x, y    x, y     x, en  en , y  ; (Đẳng thức Paseval)
n 1

4)

x   

x    x, en  ;
2

2

(Phương trình đóng)

n1

5) Bao tuyến tính của hệ

en n1 trù mật khắp nơi trong không

gian  (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kỳ
các phần tử thuộc hệ

en n1 trù mật khắp nơi trong không gian  ).

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 18


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục.
Định lí 1.3.4 (F. Riesz)
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert  đều có
thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

f ( x)  x, a , x  
trong đó phần tử a   được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và

f  a
 Toán tử liên hợp.
Định nghĩa 1.3.8
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert  vào
không gian Hilbert  . Toán tử B ánh xạ không gian  vào không gian 
gọi là toán tử liên hợp với toán tử A , nếu:

 Ax, y  x, By ,

x  , y   .

Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A .
 Toán tử tự liên hợp.
Định nghĩa 1.3.9
Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert  vào chính
nó được gọi là tự liên hợp, nếu:

 Ax, y   x, Ay ,

x, , y   .

Toán tử liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.
Định lí 1.3.5
Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert  vào chính
nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng  Ax, x  là một số thực đối với
mọi x   .

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 19


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

 Sự hội tụ yếu.
Định nghĩa 1.3.10
Cho không gian Hilbert  . Dãy điểm xn    gọi là hội tụ yếu tới

điểm x   , kí hiệu xn  x , nếu với mọi điểm y   ta có:
yêu

lim  xn , y    x, y 
n 

 Toán tử compact.
Định lí 1.3.6
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert  vào
không gian Hilbert  . A là toán tử compact khi và chỉ khi toán tử A biến
mọi dãy hội tụ yếu trong không gian  thành dãy hội tụ mạnh (còn gọi là hội
tụ theo chuẩn) trong không gian  .
Định lí 1.3.7
Nếu  là một không gian Hilbert, thì liên hợp của mọi toán tử
compact trong  đều là một toán tử compact.
 Điều kiện Lípchitz.
Ta nói rằng trên a ; b  ánh xạ A thỏa mãn điều kiện Lípchitz theo biến

y , nếu tồn tại số L  0 sao cho với mọi y, y '  a ;b  ta có bất đẳng thức:
Ay  Ay'  L y  y' .
Số

L được gọi là hằng số Lípchitz.

 Toán tử dƣơng.
Toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian Hilbert  gọi là
dương nếu với mọi x   ta đếu có:

 Ax, x  0 .
Khi đó người ta kí hiệu: A  0 .

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 20


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

 Toán tử đẳng cự bộ phận.
Giả sử và  là hai không gian Hilbert. Một toán tử tuyến tính

V :    của  vào  được gọi là đẳng cự bộ phận, nếu:

với  và  là những không gian con đóng của  , trực giao với nhau sao
cho:
a) Vx  0 khi x   , tức là thu hẹp của V lên  là toán tử không.
b) Vx  x khi x   , tức là thu hẹp V lên  là toán tử đẳng cự
(của  vào  ).
Định lí 1.3.8
Mọi toán tử tuyến tính bị chặn:

A:   
của không gian Hilbert  vào không gian Hilbert  đều có thể biểu diễn
dưới dạng:

A  VT
trong đó:

:   

là một toán tử dương bị chặn trong  , và

V :

 


là một toán tử đẳng cự bộ phận với miền gốc  A     và miền

ảnh  A   .
 Toán tử Hilbert-Smith.
Giả sử  và  là hai không gian Hilbert và A :    là một toán
tử Compact của không gian  vào không gian  . Như đã biết, toán tử A
có thể biểu diễn dưới dạng:

A  VT
GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 21


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

với  là một toán tử dương, compact trong  , và V là toán tử đẳng cự bộ

 


phận, với miền gốc  A     và miền ảnh  A   .

Vì  là compact và dương, nên ta có thể xét dãy các giá trị riêng khác

0 của  là: 1 , 2 ,..., n ,... trong đó mỗi giá trị riêng được kể với một số lần
bằng số bội của nó, và ta có n  0, lim n  0 .
n



Nếu



n

n 1

2

  thì A được gọi là một toán tử Hilbert-Smith.

Định lí 1.3.9
Giả sử A :    là một toán tử tuyến tính liên tục của không gian
Hilbert  vào không gian Hilbert  . Để A là một toán tử Hilbert-Smith,
điều kiện cần và đủ là chuỗi:



n1

Af n

2

hội tụ, trong đó  f n : n  1,2... là cơ sở trực chuẩn nào đó của  .
1.4

Không gian Ca ;b  .
Định nghĩa 1.4.1
Không gian Ca ;b  là tập hợp tất cả các hàm số thực xác định và liên tục

trên Ca ;b  .
Kí hiệu:

 C

a ;b

 x(t ) : x(t )   , xác định và liên tục trên a ;b  , với

   a  b  .
Đưa vào không gian Ca ;b  hai phép toán đó là cộng hai hàm số và
phép nhân số thực với hàm số như thông thường:
+)

x  y (t )  x(t )  y(t )

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 22


Trường ĐHSP Hà Nội 2

+)

Khóa luận tốt nghiệp

 x  (t )   x(t ),  

Định lí 1.4.1
Không gian Ca ;b  cùng với hai phép toán trên lập thành một không
gian tuyến tính thực.
Khi đó x(t )  Ca;b  thì ánh xạ:

 : Ca;b  
x(t )  x  max x(t )
ta ;b 

(1.4.1)

xác định một chuẩn trên Ca ;b  .
Chứng minh
- Ca ;b  là không gian tuyến tính thực.
- x(t )  x  max x(t ) xác định một chuẩn trên Ca ;b  .
ta ;b 
Thật vậy:
o

x(t )  Ca ;b , suy ra x(t ) liên tục trên a ;b  , nên x(t ) đạt

GTLN trên a ;b  .
Vậy x xác định.
o Kiểm tra các tiên đề về chuẩn:
1. x(t )  C a ;b , ta có x(t )  0, t  a ; b , do đó:

+) max x(t )  0 khi và chỉ khi x  0
t a ;b

+)

x  0 khi và chỉ khi max x(t )  0 t  a ;b

Suy ra

t a ;b

x(t )  0 t  a ;b 

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 23


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Suy ra x(t )  0 t a ;b 
Tiên đề 1 được thỏa mãn.
2. x(t )  C a ;b ,
 

   , ta có:

 x  max  x(t )  max  x(t )   max x(t )   . x
t a ;b

ta ;b

ta ;b 

Tiên đề 2 được thỏa mãn.
3. x(t ), y(t )  Ca ;b , ta có:

x(t )  y(t )  x(t )  y(t )  max x(t )  max y(t )
ta ;b 

ta ;b 

Suy ra max x(t )  y (t )  max x(t )  max y(t )
t a ;b 

Do đó

ta ;b 

ta ;b 

x y  x  y

Tiên đề 3 được thỏa mãn.
Vậy Ca ;b  cùng với chuẩn (1.4.1) lập thành một không gian định
chuẩn.
Định lí 1.4.2
Không gian Ca ;b  là không gian Banach với chuẩn (1.4.1).
Chứng minh.
Giả sử

xn (t )n1

là dãy cơ bản bất kỳ trong Ca ;b  , theo định nghĩa

dãy cơ bản, ta có:

  0  n0   *  n, m  n0 
Suy ra: max xn (t )  xm (t )  
t a ;b 

Suy ra: xn (t )  xm (t )  

xn  xm  

m, n  n0

(1.4.2)

m, n  n0,t a ; b

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 24


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp


Điều này chứng tỏ t a ;b thì dãy xn (t )n1 là dãy số cơ bản trong

 1 . Vì  1 là không gian đầy nên xn (t )n1 hội tụ trong  1 .
Từ (1.4.2) cho m   ta có:

max xn (t )  x(t )  

(1.4.3)

ta ;b 

Suy ra

xn  x  

Suy ra xn  x
Từ (1.4.3) ta có xn (t )  x(t ) .
Mà xn (t ) liên tục trên a ;b  , nên x(t ) liên tục trên a ;b  .
Suy ra

x(t )  C a ;b .

Ta có sự hội tụ trong không gian Ca ;b  tương đương với sự hội tụ đều
của dãy hàm liên tục trong không gian Ca ;b  .
Do đó xn (t )n1  x(t )  Ca;b  .


Vậy Ca ;b  là không gian Banach.
1.5

Không gian Lp a ; b .

Định nghĩa 1.5.1
Cho không gian độ đo

 , với độ đo  . Ta kí hiệu Lp a ;b   p  1 là

tập hợp tất cả các hàm số x(t ) đo được theo độ đo





trên

 , sao cho:

x(t ) d  
p



Ta đưa vào Lp a ;b  hai phép toán: cộng hai hàm số và nhân một số
thực với hàm số như thông thường:

GVHD: Ts. Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T. Hồng Nhung K32E 25