Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một và công thức kiểu hopf lax oleinik cho nghiệm nhớt

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

Lời Cảm ơn
Trong suốt quá trình thực hiện đề tài, em nhận được sự hướng dẫn và chỉ
bảo hết sức nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng giảng
viên tổ Toán Giải tích, cùng toàn thể các thầy cô trong khoa Toán Trường
ĐHSP Hà Nội 2.
Em xin chân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo hướng
dẫn: Th.S Trần Văn Bằng cùng toàn thể quý thầy, cô trong khoa Toán đã
giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này.
Bằng sự nỗ lực hết sức của bản thân, bài khoá luận đã được hoàn thành.
Song trong khuôn khổ thời gian có hạn và năng lực của bản thân còn nhiều
hạn chế nên bài khoá luận khó tránh khỏi sai sót. Em rất mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và các bạn sinh viên để bản thân có thể tiếp
tục hoàn thiện hơn nữa trong quá trình học tập và giảng dạy.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Sinh viên

Thân Văn Tài

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

-1-

SVTH: Thân Văn Tài

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

Lời cam đoan
Quá trình nghiên cứu khoá luận với đề tài: “Nghiệm nhớt của phƣơng
trình đạo hàm riêng cấp một và công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho
nghiệm nhớt” đã giúp em hiểu sâu hơn về bộ môn Giải tích hiện đại, đặc biệt
là về phương trình vi phân ĐHR . Qua đó cũng giúp em bước đầu làm quen
với công tác nghiên cứu khoa học.
Em xin cam đoan bài khoá luận được hoàn thành là do sự cố gắng nỗ lực
tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo hết sức
nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn: Th.S Trần Văn Bằng cũng như các thầy,
cô trong tổ Toán Giải tích của trường ĐHSP Hà Nội 2. Và đây cũng là một
đề tài không trùng với các đề tài của các tác giả khác.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và các bạn
sinh viên để bản khoá luận được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Sinh viên

Thân Văn Tài

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

-2-

SVTH: Thân Văn Tài

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

Mục lục
Lời cảm ơn …………………………………………………………………...1
Lời cam đoan
………………………………………………………………...2
Mục lục ………………………………………………………………………3
Lời nói đầu .………………………………………………………………….4
Chƣơng 1: Các ký hiệu và kiến thức mở đầu ……………………………..6
1.1 Ký hiệu …………………………………………………………….6
1.2 Kiến thức về giải tích thực…………………………………………8
1.3 Kiến thức về giải tích hàm ………………………………………...9
1.4 Kiến thức về lý thuyết Tôpô-Độ đo-Tích phân …………………..10
1.5 Một số bất đẳng thức …………………………………………......11
Chƣơng 2: Nghiệm nhớt của phƣơng trình đạo hàm riêng cấp một …12
2.1 Mở đầu …………………………………………………………....12
2.2 Khái niệm nghiệm nhớt …………………………………………..13
2.3 Tính duy nhất của nghiệm nhớt …………………………………..18
2.4 Các công thức Hopf-Lax .………………………………………23
Chƣơng 3: Công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt ……….29
3.1 Các ký hiệu thường dùng………………………………………29
3.2 Công thức Hopf-Lax cổ điển …………………………………….30
3.3 Hamiltonian lồi và phụ thuộc vào u ……………………………..32
3.4 Hamiltonian phụ thuộc u và dữ kiện ban đầu tựa lồi ……………34
Kết luận …………………………………………………………………….43
Tài liệu tham khảo ………………………………………………………....44
GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

-3-

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

Lời nói đầu
1. Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI
Như ta đó biết phương trỡnh vi phõn ĐHR núi chung và phương trỡnh
phi tuyến núi riờng cú ứng dụng rất rộng rói trong thực tế. Cú rất nhiều lĩnh
vực nghiờn cứu hiện đại mà trong đó phương trỡnh vi phõn ĐHR đóng một
vai trũ hết sức quan trọng như: lý thuyết biểu diễn nhúm nhiều chiều, lý
thuyết trường lượng tử, lý thuyết cỏc khụng gian thuần nhất và vật lý toỏn.
Mặc dự đó được đề cập từ rất lõu (khoảng thế kỷ 18 và 19), nhưng lý
thuyết cỏc phương trỡnh phi tuyến cho đến nay cơ bản vẫn chưa được hoàn
thiện. Từ đầu thế kỷ 20 đến nay do nhu cầu nghiờn cứu một cỏch chặt chẽ
những phương trỡnh vi phõn ĐHR đó kớch thớch sự phỏt triển cỏc phương
phỏp cơ bản của Giải tớch thực,Giải tớch hàm và Tụpụ.
Một bài toỏn phương trỡnh vi phõn ĐHR, nếu cú ý nghĩa thực tiễn thỡ
chắc chắn cú nghiệm, vấn đề là nghiệm đó hiểu theo nghĩa nào mà thụi. Cú rất
nhiều phương trỡnh vi phõn ĐHR mà ta nghiờn cứu, đặc biệt là phương trỡnh
phi tuyến đều khụng cú nghiệm cổ điển. Vấn đề đặt ra là ta cố gắng xõy dựng
lý thuyết cỏc nghiệm suy rộng hoặc nghiệm yếu của chỳng, và đặc biệt là tớnh
duy nhất nghiệm (do nhu cầu ứng dụng thực tế).
Khi nghiờn cứu phương trỡnh vi phõn ĐHR cấp một thỡ bằng kỹ thuật
của phương pháp triệt tiêu độ nhớt, ta thu được nghiệm nhớt (một loại
nghiệm yếu) của bài toỏn Cauchy đối với phương trỡnh Hamilton-Jacobi. Như

vậy nghiệm nhớt cú ý nghĩa rất lớn trong việc nghiờn cứu phương trỡnh vi
phõn ĐHR .
Vỡ tầm quan trọng rất lớn của nú trong thực tế, trong nghiờn cứu khoa học và
nhằm giỳp cho bạn đọc cú cỏi nhỡn tổng quỏt về phương trỡnh vi phõn ĐHR.
GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

-4-

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

Nờn trong quỏ trỡnh nghiờn cứu khoỏ luận em đó mạnh dạn lựa chọn đề tài
“Nghiệm nhớt của phƣơng trỡnh đạo hàm riêng cấp một và cụng thức
kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt” đây là một phần nhỏ của lý
thuyết phương trỡnh vi phõn ĐHR.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Trong khuụn khổ thời gian cú hạn nờn khoỏ luận của em chủ yếu đi sõu
vào một số nội dung chớnh sau:
Chƣơng 1: “Ký hiệu và kiến thức mở đầu”. Nhằm mục đích cung cấp
cho người đọc những ký hiệu thường dựng và cỏc kiến thức cú liờn quan để
tiện theo dừi cỏc phần tiếp theo.
Chƣơng 2: “Nghiệm nhớt của phƣơng trỡnh đạo hàm riờng cấp một”.
Ta sẽ đề cập đến khỏi niệm nghiệm nhớt và cụng thức kiểu Hopf-Lax của
chỳng, cựng cỏc ước lượng của nghiệm trong trường hợp khụng cổ điển.
Chương này ta sẽ đưa ra một cỏi nhỡn tổng quỏt về tớnh duy nhất của nghiệm
yếu và cụng thức Hopf-Lax cho trường hợp cỏc Hamiltonian là lồi (dữ kiện

ban đầu là lồi).
Chƣơng 3: “Cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho nghiệm nhớt”.
Chương này cú 4 phần: Phần 1 đưa ra cỏc ký hiệu chung thường dựng cho cỏc
phần tiếp theo. Phần 2 nhằm thiết lập cụng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho
nghiệm nhớt với phương trỡnh Hamilton-Jacobi trong trường hợp
Hamiltonian khụng phụ thuộc vào ẩn hàm và hàm ban đầu khụng nhất thiết
liờn tục đều. Phần 3 thực hiện cụng việc tương tự nhưng đối với Hamiltonian
lồi và phụ thuộc vào ẩn hàm cựng gradient theo cỏc biến khụng gian của nú.
Phần 4 Hamiltonian sẽ chứa biến thời gian và ẩn hàm cựng với gradient theo
cỏc biến khụng gian của nú.

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

-5-

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp
Chƣơng 1

Kí HIỆU VÀ KIẾN THỨC MỞ ĐẦU
1.1. Kí HIỆU
1.1.1 Ký hiệu hỡnh học
(i)  n là khụng gian Euclide thực n chiều.
(ii) U là biờn của U, U  U  U là bao đóng của U .
(iii) UT  U   0,T  .
(iv) T  U T  U T là biờn parabolic của U T .

(v) B0 ( x, r )   y   n | x  y  r là hỡnh cầu mở trong  n với tõm x và
bỏn kớnh r > 0.
(vi) B ( x, r ) là hỡnh cầu đóng với tõm x và bỏn kớnh r > 0.
(vii)  n   x  ( x1, x2 ,..., xn )   n | x j  0j  1,2,..., n là nửa khụng gian
mở phớa trờn;    x   | x  0 .
(viii) Một điểm bất kỳ trong  n1 thường được ký hiệu

( x, t )  ( x1, x2 ,..., xn , t ) và thường dựng t  xn1 là biến thời gian.
1.1.2. Ký hiệu cỏc hàm số
(i) Nếu u : U   , ta viết u( x)  u( x1, x2 ,..., xn )

( x U ) .

Ta núi u là trơn nếu u là khả vi vụ hạn.
(ii) u   max(u,0), u    min (u,0), u  u   u  , u  u   u  .
(iii) Hàm u : U   được gọi là liờn tục Lipschitz nếu

u ( x)  u ( y )  C x  y
với hằng số C nào đó và với mọi x, y U . Ta viết

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

-6-

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

Lip u  : sup

x , yU , x  y

u ( x)  u ( y )
.
x y

(iv) Tớch chập của cỏc hàm f , h được ký hiệu: f*h

( f * h)( x) :  f ( y)h( x  y)dy .
1.1.3. Các ký hiệu đạo hàm
Giả thiết u : U   , x U .
(i)

u
u ( x  h i )  u ( x)
, nếu giới hạn này tồn tại.
( x)  lim
h0
xi
h

(ii) Ta hay viết u xi thay cho

u
.
xi

 2u
 3u
 u xi x j ,
 u xi x j xk , v.v.
(iii) Tương tự
xi x j
xi x j xk
n

(iv) u   u xi xi  tr ( D 2u ) là toỏn tử Laplace của u.
i 1

1.1.4. Cỏc khụng gian hàm
(i) C (U )  u : U   | u liờn tục



C (U )  u  C (U ) | u liờn tục đều



C k (U )  u : U   | u là liờn tục khả vi k lần



C k (U )  u  C k (U ) | D u là liờn tục đều với mọi   k .
(ii) Lp (U )  u : U   | u là đo được Lebesgue, u

Lp (U )



 ,

trong đó

u

Lp (U )





U

p

u dx



1
p

(1  p  ).

L (U )  u : U   | u là đo được Lebesgue, u

L (U )



 ,

trong đó
GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

-7-

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2
u

Khoá Luận Tốt Nghiệp

L (U )

 ess sup u .
U

Lp loc (U )  u : U   | u  Lp (V ) với mọi V  U  .

1.1.5. Hàm véctơ
(i) Nếu m > 1 và u : U   m , u  (u1, u 2 ,..., u m ), ( x U )

D u  ( D u1, D u 2 ,..., D u m ) với mọi đa chỉ số  ,
1

2


2
Dk u  D u |   k và D k u    D u  .
  k



(ii) Khi k = 1 ta cú
 u1

 x1
Du   
 m
 u
 x
 1

u1 


xn 
 
= ma trận gradient.

u m 

xn mn

1.2. KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH THỰC
1.2.1. Tính chất của hàm trơn húa
(i) f   C  (U ) .
(ii) f   f hầu khắp nơi khi   0 .
(iii) Nếu f  C (U ) , thỡ f   f đều trờn mỗi tập compact của U.
(iv) Nếu 1  p   và f  Lploc (U ) thỡ f   f trong Lploc (U ) .
1.2.2. Định lý hàm ẩn
Giả sử f  C1 (U ;  m ) và J y f(x0 , y0 )  0 . Khi đó tồn tại một tập mở

V  U với ( x0 , y0 ) V , và tập mở W   n với x0  W , một C 1 ỏnh xạ
g : W   m sao cho:
GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

-8-

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

(i) g ( x0 )  y0 ,
(ii) f(x, g ( x))  z0

( x  W) ,

(iii) Nếu ( x, y ) V và f(x, y)  z0 thỡ y  g ( x) ,
(iv) Nếu f  C k thỡ g  C k (k  2,...),
Hàm g được xỏc định ẩn gần x0 bởi phương trỡnh f(x, y)  z0 .

1.3. KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH HÀM
1.3.1. Khụng gian Banach
1.3.1.1. Định nghĩa về khụng gian định chuẩn
Ta gọi khụng gian định chuẩn (hay khụng gian tuyến tớnh định chuẩn)
là khụng gian tuyến tớnh X trờn trường P ( P  hoặc P  ) cựng với
một ỏnh xạ từ X vào tập số thực  , ký hiệu là  và đọc là chuẩn, thỏa món
cỏc tiờn đề sau:
(i) (x  X ) x  0, x  0  x   (ký hiệu phần tử khụng là  );
(ii) (x  X ) (  P)  x   x ;
(iii) (x, y  X ) x  y  x  y .
1.3.1.2. Định nghĩa về sự hội tụ trong khụng gian định chuẩn
Dóy điểm ( xn ) của khụng gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm

x  X , nếu lim xn  x  0 . Ký hiệu lim xn  x hay xn  x (n  ) .
n

n 

1.3.1.3. Định lý về không gian Banach
Khụng gian định chuẩn X là khụng gian Banach khi và chỉ khi trong
khụng gian X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
1.3.2. Khụng gian Hilber
Cho H là khụng gian tuyến tớnh thực. Ánh xạ (, ) : H  H   được
gọi là tớch vụ hướng nếu :
GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

-9-

SVTH: Thân Văn Tài

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

(i) (u, v)  (v, u ), u, v  H .
(ii) Ánh xạ u  (u, v) là tuyến tớnh với mọi v  H .
(iii) (u, v)  0, u  H .
(iv) (u, u )  0  u  0 .
Khụng gian Hilbert là một khụng gian Banach với chuẩn được sinh bởi một
tích vô hướng.
1.3.3. Toỏn tử tuyến tớnh bị chặn
1.3.3.1. Toỏn tử tuyến tớnh bị chặn trong khụng gian Banach
(i) Ánh xạ A : X  Y gọi là toỏn tử tuyến tớnh nếu:
A(u  v)   Au   Av, u, v  X ,  ,    .

(ii) Cho khụng gian định chuẩn X và Y . Toỏn tử tuyến tớnh A từ
khụng gian X vào khụng gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C
sao cho:

Ax  C x , x  X .
1.3.3.2. Toỏn tử tuyến tớnh bị chặn trong khụng gian Hilbert
Cho H là khụng gian Hilbert với tớch vụ hướng (,).
(i) Nếu A : H  H là toỏn tử tuyến tớnh bị chặn, toỏn tử liờn hợp của
nú là A*: H  H thỏa món ( Au, v)  (u, A * v), u, v  H .
(ii) A là đối xứng nếu A*  A .
1.4. KIẾN THỨC VỀ Lí THUYẾT Tễ Pễ - ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN
1.4.1. Khỏi niệm hầu khắp nơi
Cho một khụng gian độ đo (X, M,  ), A  M. Ta núi một tớnh chất (T) nào
đó xẩy ra hầu khắp nơi trờn A (viết tắt h.k.n) nếu tồn tại một tập hợp B M

sao cho B  A,  (B)  0 và tại mỗi điểm x A\B đều cú tớnh chất (T).

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 10 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

1.4.2. Độ đo Lebesgue
Một tập hợp M gồm cỏc tập con của  n được gọi là một  -đại số nếu:
(i)  ,  n  M.
(ii) A M kộo theo  n \ A M.
(iii) Nếu  Ak 


k 1

 M thỡ





 A ,  A  M.
k

k 1

k

k 1

1.4.2. Hàm đo đƣợc
(i) Cho f :  n   . Ta núi f là hàm đo được nếu f 1 (U )  M với mọi

U là tập con mở trong  .
(ii) Một hàm đo được f là khả tổng nếu:



n

f dx   .

1.5. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
1.5.1. Hàm lồi
Một hàm f :  n   được gọi là lồi nếu
f ( x  (1   ) y)   f ( x)  (1   ) f ( y)

với mọi x, y  n và với 0    1.
1.5.2. Bất đẳng thức Jensen
Giả thiết f :    là lồi và U   n là mở và bị chặn. Cho u : U   là
khả tổng. Khi đó

f

Nhớ rằng

1

 udx  U 
U

U

  udx    f (u)dx .
U

U

udx là trung bỡnh của u trờn U .

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 11 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp
Chƣơng 2

NGHIỆM NHỚT CỦA PHƢƠNG TRèNH ĐẠO
HÀM RIấNG CẤP MỘT

2.1. MỞ ĐẦU
Xột bài toỏn Cauchy đối với phương trỡnh Hamilton- Jacobi tổng quỏt:

ut  H (t , x, u, Du)  0

trong  0,     n

(2.1)

u  f trờn t  0   .
n

Trong đó:
(i) Hamiltonian H :  0,     n     n   .
(ii) Hàm giỏ trị ban đầu f :  n   đó được xỏc định ẩn hàm là
u :  0,     n   với u  u (t , x) và Du  Dxu  (ux1 ,..., uxn ) .

(iii) Ta viết H  H  t , x, , p  , trong đó  , p là cỏc biến thay thế cho hàm

u, Du trong phương trỡnh đạo hàm riờng.
Nhỡn chung bài toỏn giỏ trị ban đầu đối với phương trỡnh Hamilton-Jacobi
đó được khẳng định là khụng cú nghiệm trơn u với mọi t . Nờn trong phần
này chỳng ta xột một loại nghiệm suy rộng của (2.1) dựa trờn kĩ thuật của
phương pháp triệt tiêu độ nhớt.
Trước hết ta xột bài toỏn xấp xỉ :

ut   H (t , x, u , Du )  u  0 trong  0,     n
u f

trờn

(2.2)

t  0   n .

với   0 . Ta thấy (2.1) chứa phương trỡnh đạo hàm riờng cấp 1 hoàn toàn
phi
tuyến cũn (2.2) là bài toỏn giỏ trị ban đầu đối với phương trỡnh parabolic tựa
GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 12 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

tuyến tớnh mà ta đó biết nú cú nghiệm trơn. Thừa số  trong (2.2) là tỏc
nhõn
chớnh quy hoỏ của phương trỡnh Hamilton-Jacobi.
Ta hi vọng khi cho   0 cỏc nghiệm u  của (2.2) sẽ hội tụ tới một loại
nghiệm suy rộng của (2.1).
2.2. KHÁI NIỆM NGHIỆM NHỚT
Cho H là một hàm liờn tục theo  x, , p  và đo được theo t ; hơn nữa

H  t ,0,0,0   L1  0,T 
và



H  t , x, , p   H  t , x, ' , p   R t , x  y     '  p  q
với

x , y , , ' , p , q



R(với R>0 nào đó) , R  t , s  là hàm liờn tục,

khụng õm , khụng giảm theo s và đo được theo t và

R , s   L1  0,T 
với mọi s,R  t ,0  0 h.k.n.
Ta cần đưa ra cỏch thiết lập cỏc dạng yếu của (2.1) với u  C 0,T    n  ;
ở đây ta chỉ trỡnh bày cỏch thiết lập nghiệm dưới u của

ut  H (t , x, u, Du)  0 trong  0,     n .

(2.3)

Đối với nghiệm trờn ta tiến hành tương tự. Hàm u  u (t , x) là nghiệm của bài
toỏn nếu nú vừa là nghiệm trờn vừa là nghiệm dưới.
Xột hàm thử v như sau:
v  C1   n  , R  0,  x  R, u (t , x )  v ( x )  s up u (t , )  v().
n

Kớ hiệu K (t ) là tập cỏc điểm cực đại của s up u (t , )  v() trờn  n (với mọi

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 13 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

t 0.T  ), và m(t )  max
u (t , x)  v( x) . Khi đó xột dạng yếu tương đương
n


với (2.3) như sau:

m, (t )  inf H  t , x, u (t , x), Dv( x)   0 trong D '  0, T 
xK ( t )

(2.4)

hoặc
m, (t )  sup H  t , x, u (t , x), Dv( x)   0 trong D '  0, T 
xK ( t )

(2.5)

hay

vt (t0 , x0 )  F (t0 , x0 , u((t0 , x0 ), Dv(t0 , x0 ))  0 với (t0 , x0 )   0, T    n . (2.6)
Định lí 2.2.1
Cỏc hệ thức (2.3), (2.4), (2.5) và (2.6) là tương đương
Chỳ ý :
+Vỡ K (t )  BR nờn với mọi t ta cú (2.4), (2.5) hoàn toàn cú nghĩa.
+ Dựa vào định nghĩa nghiệm nhớt do Ishii đưa ra ta cú:
Nếu b  L1  0,T  , F (t , x, , p )  C  0,T    n     n  và F thỏa món

b(t )  F (t , x,  , p)  H t , x,  , p  ,
với x  x0  ,   u(t0 , x0 )  , p  Dv(t0 , x0 )   và h.k.n. t  t0   ,
trong đó   0, (t0 , x0 )   0,T    n , v  C1   0,T    n  và nếu

u (t , x)   b( s)ds  v(t , x)
t

0

đạt cực đại địa phương tại (t0 , x0 ) , thỡ ta được (2.6).
Bõy giờ chỳng ta sẽ đưa ra định nghĩa nghiệm nhớt của bài toỏn Cauchy
đối với phương trỡnh Hamilton-Jacobi dạng đơn giản:

ut  H ( x, Du)  0 trong U : (0, )   n
u (0, x)  f ( x) trờn t  0   n .

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 14 -

(2.7)

(2.8)
SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

Ở đây Hamiltonian H ( x, p) là hàm liờn tục theo x, p .
Định nghĩa 2.2.1
Một hàm liờn tục đều, bị chặn u được gọi là một nghiệm nhớt của (2.7) -(2.8)
nếu:
(i) u=f trờn t  0   n .
(ii) với mọi v  C   (0, )   n  ,
nếu u - v đạt cực đại địa phương tại (t0 , x0 )  (0, )   n
thỡ vt (t0 , x0 )  H ( x0 , Dv(t0 , x0 ))  0,
và
nếu u - v đạt cực tiểu địa phương tại (t0 , x0 )  (0, )   n
thỡ vt (t0 , x0 )  H ( x0 , Dv(t0 , x0 ))  0 .

Trước tiờn ta chỉ ra rằng khỏi niệm nghiệm nhớt khụng mõu thuẫn với
khỏi niệm nghiệm cổ điển . Trước hết giả sử u  C1 0,     n  thỏa món
(2.7), nếu u liờn tục đều và bị chặn thỡ u là nghiệm nhớt của

ut  H ( x, Du)  0 .
Thật vậy, cho v là hàm trơn và u  v đạt cực đại địa phương tại  t0 , x0  , khi đó

 Du  t0 , x0   Dv  t0 , x0 

ut  t0 , x0   vt  t0 , x0 .

Do u thoả món (2.7) nờn
vt  t0 , x0   H  x0 , Dv  t0 , x0    ut  t0 , x0   H  x0 , Du  t0 , x0    0 .

Đẳng thức tương tự cũng đạt được tại điểm mà u  v đạt cực tiểu địa phương.
Tiếp theo ta chứng tỏ một nghiệm nhớt đủ trơn là nghiệm cổ điển. Để có

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 15 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

điều đó ta sẽ chứng minh một số kết quả sau.
Bổ đề 2.2.1
Giả thiết u :  n   khả vi tại x0 . Khi đó tồn tại hàm v  C1   n  sao cho

u( x0 )  v( x0 )
và
u  v đạt cực đại địa phương ngặt tại x0 .

Chứng minh
- Giả sử x0  0, u(0)  Du(0)  0

(2.9)

- Từ giả thiết và (2.9) ta cú:

u( x)  x 1 ( x) ,
với

1 :  n   liờn tục và 1 (0)  0 .
Đặt

 2 (r ) : max  1 ( x)  với r  0 .
xB ( r )

Khi đó

2 : 0,    0,   liờn tục , 2 (0)  0 và  2 khụng giảm. (2.10)
- Xột

v( x) : 

2x
x

2 (r )dr  x

2

( x n ) .

Do
v( x)  x  2 (2 x )  x ,
2

nờn
v(0)  Dv(0)  0 .

Hơn nữa, nếu x  0 , Dv( x) 

2x
x
2 (2 x )  2 ( x )  2 x ,
x
x

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 16 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

từ đó suy ra v  C1   n  .
- Với x  0 ,

u ( x)  v( x)  x 1 ( x)  

2x
x

2 (r )dr  x

 x 2 ( x )  
 x

2

2x
x

2

2 (r )dr  x

2

do (2.10)

< 0 = u (0)  v(0) .
Cú nghĩa là u  v đạt cực đại địa phương ngặt tại 0.
Định lý 2.2.2 (Tớnh hợp lý của nghiệm nhớt)
Cho u là một nghiệm nhớt của (2.7), và giả sử rằng u khả vi tại điểm

(t0 , x0 )  (0, )   n . Khi đó
ut (t0 , x0 )  H ( x0 , Du(t0 , x0 ))  0 .
Chứng minh
- Áp dụng bổ đề trờn cho u với (  n1 thay cho  n và (t0 , x0 ) thay cho x0 ),
ta khẳng định rằng tồn tại một hàm v  C1 sao cho
u  v đạt cực đại ngặt tại (t0 , x0 ) .

(2.11)

- Đặt v :   v , với  là hàm làm mịn theo (n  1) biến (t , x ) . Khi đó
v   v
 
 Dv  Dv
v   v
t
 t

đều gần (t0 , x0 )

(2.12)

từ (2.11) ta suy ra
u  v đạt cực đại tại điểm (t , x ) ,

với

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 17 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

(t , x )  (t0 , x0 ) khi   0 .

(2.13)

Theo định nghĩa nghiệm nhớt ta cú

vt  (t , x )  H ( x , Dv (t , x ))  0 .
Cho   0 kết hợp với (2.12) và (2.13) ta được

vt (t0 , x0 )  H ( x0 , Dv(t0 , x0 ))  0 .

(2.14)

Nhưng từ (2.11) kết hợp với u khả vi tại (t0 , x0 ) thỡ

Du(t0 , x0 )  Dv(t0 , x0 ), ut (t0 , x0 )  vt (t0 , x0 ) .
Thay vào (2.14) ta được

ut (t0 , x0 )  H ( x0 , Du(t0 , x0 ))  0 .
-

(1.15)

Áp dụng bổ đề trờn cho u trong  n1 tỡm được hàm v  C1 sao cho

u  v đạt cực tiểu địa phương ngặt tại (t0 , x0 ) . Lý luận tương tự trờn ta cũng

cú

ut (t0 , x0 )  H ( x0 , Du(t0 , x0 ))  0 .
Kết hợp với (2.15) ta suy ra điều phải chứng minh.

2.3. TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM NHỚT
Xột tớnh duy nhất của nghiệm nhớt đối với bài toỏn Cauchy:

ut  H ( x, Du)  0 trong  0, T    n
u  f trờn

t  0   .

(2.16)

n

Bổ đề 2.3.1 (Cực trị tại thời điểm cuối)
Giả sử u là một nghiệm nhớt của (2.16), v  C1   0,T    n  và u – v
đạt cực đại (cựu tiểu) địa phương tại điểm  t0 , x0    0, T    n . Khi đó

vt (t0 , x0 )  H ( x0 , Dv(t0 , x0 ))  0

( 0) .

(2.17)

Ở đây ta cú thể xột t0  T .
GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 18 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

Chứng minh
Giả sử u  v đạt cực đại địa phương tại T , x0  ; ta cú thể giả sử nú là cực
đại địa phương ngặt .
Đặt


v (t , x) : v(t , x) 
T t

( x   n ,0  t  T ) .

Khi đó với   0 đủ nhỏ, u  v đạt cực đại địa phương tại (t , x ) với

0  t  T , (t , x )  (T , x0 ) . Do đó
v (t , x )  H ( x , Dv (t , x ))  0

tức là

vt (t , x )  H ( x , Dv(t , x )) 


(T  t )2

0.

Cho   0 , ta nhận được

vt (T , x0 )  H ( x0 , Dv(T , x0 ))  0 .
Nếu u  v đạt cực tiểu tại T , x0  , bằng cỏch làm tương tự ta chứng minh
được bất đẳng thức ngược lại.
Ta giả sử rằng hàm Hamilton H thoả món điều kiện Lipschitz :

 H ( x, p)  H ( x, q)  C p  q

 H ( x, p)  H ( y, q)  C x  y (1  p )

(2.18)

với x, y, p, q  n và hằng số C  0 khi đó ta sẽ cú tớnh duy nhất của nghiệm
nhớt thụng qua định lý 2.3.1 sau.
Định lí 2.3.1
Với giả thiết (2.18), bài toỏn Cauchy (2.16) cú khụng quỏ một nghiệm
nhớt.
Chứng minh

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 19 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

- Giả sử u , u là hai nghiệm nhớt của (2.16) với cựng một điều kiện ban đầu
nhưng

sup (u  u ) :   0 .

(2.19)

0,T  n

Chọn 0   ,   1 và đặt
(t , s, x, y ) : u (t , x)  u( s, y)   (t  s)



1



2

( x  y  (t  s ) 2 )   ( x  y ) ,
2

2

2

(2.20)

với x, y   n , t , s  0 . Khi đó tồn tại một điểm (t0 , s0 , x0 , y0 )  0, T    2 n
2

thỏa món
(t0 , s0 , x0 , y0 )  max
(t , s, x, y ).
2
2n
0,T 

(2.21)



- Ta cố định 0   ,   1 đủ nhỏ để từ (2.19) suy ra

(t0 , s0 , x0 , y0 )  sup (t , x, t , x) 
0,T  n


2

.

(2.22)

Hơn nữa

(t0 , s0 , x0 , y0 )  (0,0,0,0) ,
do đó

 (t0  s0 ) 

1



2

( x0  y0  (t0  s0 ) 2 )   ( x0  y0 )
2

2

2

 u (t0 , x0 )  u ( s0 , y0 )  u (0,0)  u(0,0).

(2.23)

Vỡ u , u bị chặn nờn ta cú

x0  y0 , t0  s0  O( ) khi   0 .

(2.24)

Theo (2.23) ta cú

 ( x0  y0 )  O(1) .
2

2

Suy ra

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 20 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2
1
4

Khoá Luận Tốt Nghiệp

3
4

1
2

3
2

1

2

 ( x0  y0 )    ( x0  y0 )    C ( x0  y0 )  C .
2

2

Do đó
1
2

 ( x0  y0 )  O( ) .

(2.25)

- Vỡ (t0 , s0 , x0 , y0 )  (t0 , t0 , x0 , x0 ) nờn ta cú
1
2
2
2
u (t0 , x0 )  u ( s0 , y0 )   (t0  s0 )  2 ( x0  y0  (t0  s0 ) 2 )   ( x0  y0 )



2
 u (t0 , x0 )  u (t0 , x0 )  2t0  2 x0 .

Nghĩa là
1



2

2
( x0  y0  (t0  s0 ) 2 )  u (t0 , x0 )  u ( s0 , y0 )   (t0  s0 )   ( x0  y0 ).( x0  y0 ).

Từ (2.24), (2.25) và tớnh liờn tục của u ta nhận được

x0  y0 , t0  s0  o( ) .

(2.26)

- Ta ký hiệu  (.) là môđun liờn tục của u :

u(t , x)  u(s, y)  ( x  y  t  s )
với mọi x, y  n , 0  t , s  T và  (r )  0 khi r  0 . Tương tự, ký hiệu
 (.) là mụđun liờn tục của u . Khi đó (2.22) suy ra



2

 u (t0 , x0 )  u ( s0 , y0 )  u (t0 , x0 )  u (0, x0 )  u (0, x0 )  u (0, x0 )
 (t )  
 (O( )) ,
u (0, x0 )  u (t0 , x0 )  u (t0 , x0 )  u( s0 , y0 )  (t0 )  
0

do (2.24), (2.25) và điều kiện ban đầu. Nờn ta cú thể lấy   0 đủ nhỏ để

được kết quả sau


4

 (t ) ,
  (t0 )  
0

từ đó ta suy ra
GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 21 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

t0    0 với   0 là hằng số nào đó.
Tương tự ta cũng cú s0    0 .
- Từ (2.21) ta thấy ỏnh xạ

(t , x)  (t , s0 , x, y0 ) đạt cực đại tại (t0 , x0 ) .
Do vậy từ (2.20) ta cú u  v đạt cực đại tại (t0 , x0 ) với
1
2
2

2
v(t , x) : u ( s0 , y0 )   (t  s0 )  2 ( x  y0  (t  s0 ) 2 )   ( x  y0 ) .



Vỡ u là nghiệm nhớt của (2.16) nờn bằng cỏch dựng bổ đề ta suy ra

vt (t0 , x0 )  H ( x0 , Dxv(t0 , x0 ))  0 .
Do đó
2(t0  s0 )





2

 H ( x0 ,

2

2

( x0  y0 )  2 x0 )  0 .

(2.27)

Ta thấy ỏnh xạ

(s, y)  (t0 , s, x0 , y) đạt cực tiểu tại điểm (s0 , y0 ) nờn

u  v cũng đạt cực tiểu tại (s0 , y0 ) ,
với
1
2
2
2
v ( s, y ) : u (t0 , x0 )   (t0  s )  2 ( x0  y  (t0  s ) 2 )   ( x0  y ) .



Cũng theo giả sử u là nghiệm trơn của (2.16) nờn
v s ( s0 , y0 )  H ( y0 , Dy v ( s0 , y0 ))  0 .

Do đó ta cú
2(t0  s0 )

 

2

 H ( y0 ,

2

2

( x0  y0 )  2 y0 )  0 .

(2.28)

- Trừ vế với vế của (2.27) cho (2.28) ta được
2  H ( y0 ,

2

2



2

( x0  y0 )  2 y0 )  H ( x0 ,
2

( x0  y0 )  2 x0 ) .

(2.29)

Từ (2.18) suy ra
GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 22 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp



x0  y0





  C ( x0  y0 )  C x0  y0 1 

2


  ( x0  y0 )  .


Sử dụng cỏc ước lượng (2.25), (2.26) trong (2.29), sau đó cho   0 ta được

0 0

(vụ lý).

Điều này chứng tỏ định lý được chứng minh.
2.4. CÁC CễNG THỨC HOPF-LAX
2.4.1. Cụng thức thứ nhất: (Hamiltonian lồi)
Bài toỏn Cauchy đối với phương trỡnh Hamilton-Jacobi:

ut  H ( Du )  0 trong  0, T    n

(2.30)

trờn t  0   .

u f

n

Với cỏc giả thiết

H ( p)
  ,
p 
p

p  H ( p) lồi , lim

và

f :  n   liờn tục lipschitz.
Cú nghiệm theo cụng thức Hopf-Lax thứ nhất

  x y

u (t , x)  minn tL 
 f ( y) 

y
  t 


( x   n ,0  t  T ) ,

(2.31)

trong đó L là biến đổi Legendre của H:
L(q)  sup  p.q  H ( p)
p

(q  n ) .

n

Ta sẽ chứng minh cụng thức Hopf-Lax thứ nhất thực sự cho ta một nghiệm
nhớt như đó định nghĩa trong phần 1.
Bổ đề 2.4.1
Với mỗi x   n và 0  s  t , ta cú
GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 23 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp



x y

u (t , x)  minn (t  s) L 
 u( s, y)  .

y
 ts 


Định lí 2.4.1 (Cụng thức Hopf-Lax xỏc định nghiệm nhớt )
Giả thiết thờm rằng f là hàm bị chặn. Khi đó nghiệm nhớt duy nhất của bài
toỏn Cauchy (2.30) được xỏc định bởi cụng thức (2.31).
Chứng minh
- Dễ thấy hàm u xỏc định bởi (2.31) là liờn tục Lipschitz và u  f tại

t 0
Nếu f bị chặn thỡ dễ thấy u cũng bị chặn trong  0, T    n .
-

Xột v  C  ((0, )   n ) và giả sử u  v đạt cực đại địa phương tại

(t0 , x0 )  (0,T )   n . Theo bổ đề 2.4.1 ta cú


 x x
u (t0 , x0 )  minn (t0  t ) L  0
 u(t, x)  ,

x
 t0  t 



(2.32)

với mỗi 0  t  t0 . Do đó với mỗi 0  t  t0 , x  n , ta cú

 x x
u (t0 , x0 )  (t0  t ) L  0
  u (t , x) .
 t0  t 

(2.33)

Nhưng vỡ u-v đạt cực đại địa phương tại (t0 , x0 ) ,

u(t0 , x0 )  v(t0 , x0 )  u(t , x)  v(t , x) với (t , x ) gần tới (t0 , x0 ) .
Kết hợp đánh giỏ trờn với (2.33) ta được

 x x
v(t0 , x0 )  v(t , x)  (t0  t ) L  0

 t0  t 

(2.34)

với t  t0 và (t , x ) gần tới (t0 , x0 ) .
Xột k  t0  t và đặt x  x0  kq trong đó q  n . Khi đó bất đẳng thức (2.34)
trở thành

v(t0 , x0 )  v(t0  k , x0  kq)  kL(q) .
GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 24 -

SVTH: Thân Văn Tài


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá Luận Tốt Nghiệp

Chia cả hai vế cho k > 0 và cho k  0 ta được:

vt (t0 , x0 )  Dv(t0 , x0 ).q  L( p)  0 .
Điều này đúng với mọi q  n nờn vt (t0 , x0 )  H ( Dv(t0 , x0 ))  0 ,

(2.35)

do
H ( p)  sup  p.q  L(q ) .

(2.36)

q n

- Giả sử rằng u- v đạt cực tiểu địa phương tại (t0 , x0 )  (0,T )   n . Ta sẽ
chứng minh

vt (t0 , x0 )  H ( Dv(t0 , x0 ))  0 .

(2.37)

Giả sử (2.37) sai, nghĩa là ta cú

vt (t0 , x0 )  H ( Dv(t0 , x0 ))    0
với   0 và với mọi điểm (t , x ) đủ gần tới (t0 , x0 ) . Từ (1.36) ta cú

vt (t , x)  Dv(t , x).q  L(q)  

(2.38)

với mọi (t , x) gần tới (t0 , x0 ) và với mọi q  n .
Theo (2.32) ta cú với k > 0 đủ nhỏ thỡ
u (t0 , x0 )  kL(

Khi đó

x0  x1
)  u (t0  k , x1 )
k

với x1 gần tới x0 .

(2.39)

d
v(t0  ( s  1)k , sx0  (1  s) x1 )ds
0 ds

v(t0 , x0 )  v(t0  k , x1 )  

1

=  Dv(t0  ( s  1)k , sx0  (1  s) x1 )( x0  x1 )  vt (t0  (s  1)k , sx0  (1  s) x1 )kds
1

0

=k

  Dv(...)q  v (...)ds 
1

0

t

với q 

x0  x1
.
k

Khi k > 0 đủ nhỏ, ỏp dụng (2.38) ta sẽ tỡm được
v(t0 , x0 )  v(t0  k , x1 )  kL(

x0  x1
) k .
k

Khi đó (2.39) lại cho ta

GVHD:Th.S Trần Văn Bằng

- 25 -

SVTH: Thân Văn Tài