Ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
****o0o****

đinh thị len

ứng dụng phép biến hình để giải bài toán
quỹ tích
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành : Hình học

Người hướng dẫn khoa học
T.S nguyễn năng tâm

Hà nội - 2008

-1-


Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
****o0o****

đinh thị len

ứng dụng phép biến hình để giải bài toán
quỹ tích
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành : Hình học

Người hướng dẫn khoa học

T.S. Nguyễn Năng Tâm

Hà nội – 2008

ơ

-2-


Lời cảm ơn
Khoá luận này trình bày về việc sử dụng phép biến hình để giải bài toán
quỹ tích. Ngoài việc làm rõ tính ưu việt của phép biến hình, khoá luận còn cố
gắng khai thác, mở rộng một số bài toán .
Để hoàn thành khoá luận này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo
trong tổ Hình học, đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Năng
Tâm đã tạo điều kiện, giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu.
Tuy có nhiều cố gắng, song năng lực bản thân còn có hạn cũng như điều
kiện về tài liệu và thời gian còn hạn chế nên bài khoá luận chắc chắn còn
nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô và các bạn
để khoá luận của em hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Sinh viên
Đinh Thị Len

-3-


Lời cam đoan
Em xin cam đoan bản khoá luận này được hoàn thành do sự cố gắng,

nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu của bản thân và sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy
cô giáo trong tổ Hình học, đặc biệt là sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm.
Các kết quả trong bản khoá luận này không trùng với kết quả của các
tác giả khác và các kết quả đó là chân thực.

Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Sinh viên

Đinh Thị Len

-4-


Mục lục
Nội dung

Trang

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu
Chương 1. Hệ thống các kiến thức cơ bản

1

1.1. Phép biến hình

1

1.2. Mặt phẳng định hướng, góc định hướng

2

1.3. Phép dời hình trong mặt phẳng

3

1.4. Một số phép biến hình đặc biệt

6

1.5. Bài toán quỹ tích

8

Chương 2. ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích

9

2.1. Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình

9

2.2. Phép đối xứng tâm với bài toán quỹ tích

9

2.3. Phép đối xứng trục với bài toán quỹ tích

13

2.4. Phép tịnh tiến với bài toán quỹ tích

17

2.5. Phép quay với bài toán quỹ tích

23

2.6. Phép vị tự với bài toán quỹ tích

29

2.7. Phép đồng dạng với bài toán quỹ tích

36

Kết luận

42

Bài tập luyện tập

43

Tài liệu tham khảo

48

-5-

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, hình học là một môn học khó đối với học
sinh. Bởi vì hình học có tính chặt chẽ, tính logíc và tính trừu tượng cao hơn
các môn học khác của toán học. Các phép biến hình sơ cấp là một phần quan
trọng của hình học vì nó là một công cụ hữu ích đối với các bài toán trong
hình học phẳng.
Tính ưu việt của phép biến hình trong mặt phẳng thể hiện rất rõ khi ta
vận dụng nó để giải quyết các bài toán về dựng hình, quỹ tích, chứng minh và
tính toán.
Tuy nhiên, việc giải bài toán hình học bằng phép biến hình không phải
là dễ dàng, thực tế nó là một phần khó đối với cả giáo viên và học sinh .
Trong khuôn khổ của một khoá luận tốt nghiệp, em chỉ trình bày những
kiến thức cơ bản về phép biến hình và ứng dụng của nó để giải bài toán quỹ
tích.
Đó chính là lý do em chọn đề tài :

“ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép biến hình trong việc giải
bài toán quỹ tích.
2.2. Xây dựng hệ thống các ví dụ minh hoạ và bài tập luyện tập thể hiện
phương pháp sử dụng phép biến hình vào giải bài toán quỹ tích.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Kiến thức về phép biến hình trong mặt phẳng.
3.2. Phạm vi nghiên cứu

-6-


Các bài toán quỹ tích trong mặt phẳng giải bằng phép biến hình.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu SGK, các sách tham khảo, các tài liệu có liên quan đến nội
dung này.

-7-


Chương 1 : Hệ thống các kiến thức cơ bản
1.1. Phép biến hình
1.1.1. Định nghĩa
Phép biến hình của một mặt phẳng là một song ánh từ mặt phẳng vào
chính nó .
1.1.2. Phép biến hình đảo ngược
Cho phép biến hình f : E2  E2. Khi đó ánh xạ ngược f-1 của f cũng là
một song ánh từ E2 vào E2 nên cũng là một phép biến hình của mặt phẳng . Ta
gọi phép biến hình đó là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f ( hay
là phép nghịch đảo của phép biến hình f ) .
1.1.3. Phép biến hình tích
Cho f và g là hai phép biến hình của mặt phẳng, dễ thấy ánh xạ tích f và
g là một song ánh của mặt phẳng vào mặt phẳng nên tích đó cũng là phép biến
hình của mặt phẳng. Ta nói phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và
g. Kí hiệu: g  f .
1.1.4. Phép biến hình đối hợp
Cho phép biến hình f : E2  E2 được gọi là phép biến hình đối hợp nếu
f2 = id E2 hay f = f-1.
1.1.5. Phép biến hình một đối một

Nếu một phép biến hình f biến một hình H thành một hình G thỏa mãn
điều kiện : tạo ảnh f 1 ( M ) của mọi điểm M thuộc hình G đều chỉ gồm có
một điểm M của hình F thì ta gọi nó là phép biến hình một đối một.
Như vậy ứng với mọi điểm M của hình F ta có một điểm M của hình
G và chỉ một mà thôi và ngược lại, ứng với mỗi điểm M của hình G ta có
một điểm M của hình F và chỉ một mà thôi.

-8-


1.1.6. Các phần tử bất biến trong một phép biến hình
Cho phép biến hình f : E2  E2, với mỗi điểm M  E2 mà f(M) =M thì
điểm M được gọi là điểm bất động (điểm kép) đối với phép biến hình f .
Hình H được gọi là hình bất biến đối với phép biến hình f của E2 nếu
f(H)=H.
Hình H được gọi là hình bất động (cố định) đối với f của E 2 nếu với
mỗi điểm M  H mà f(M)=M.

1.2. Mặt phẳng định hướng, góc định hướng
1.2.1. Mặt phẳng định hướng
Xung quanh mỗi điểm trong một mặt phẳng có hai chiều quay: chiều
quay theo chiều của kim đồng hồ và chiều ngược lại. Nếu chọn một trong hai
chiều quay đó là chiều dương thì chiều ngược lại gọi là chiều âm và khi đó ta
bảo rằng mặt phẳng đã được định hướng.
Thông thường người ta chọn chiều quay ngược với chiều của kim đồng
hồ làm chiều dương.
1.2.2. Góc định hướng của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng P đã được định hướng, xét hai đường thẳng a và b cắt
nhau tại O. Người ta gọi góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b lấy theo
thứ tự đó là góc mà đường thẳng phải quay theo một chiều xác định để đến

trùng với vị trí của đường thẳng b. Góc định hướng đó kí hiệu (a,b), trong đó
a là cạnh đầu, b là cạnh cuối của góc.
Số đo của góc đó là dương và âm tuỳ theo chiều quay của a xung
quanh O đến trùng với b theo chiều dương hay âm của mặt phẳng. Do đó nếu
(a,b)=  thì (b,a)=-  .
Góc định hướng của hai đường thẳng a,b xác định sai khác một góc k
radian, (a,b)=  + k (  tính bằng radian). Kí hiệu (a,b)=  ( mod  ).

-9-


1.3. Phép dời hình trong mặt phẳng
1.3.1. Định nghĩa
Phép biến hình của mặt phẳng E2 bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm tuỳ
ý được gọi là phép dời hình, nghĩa là với mỗi M  E2 ; N  E2 có f(M) = M’,
f(N)=N’ thì đều có M’N’=MN .
1.3.2. Tính chất
- Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó .
Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến
một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó.
Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến
một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn
bằng nó, trong đó tâm biến thành tâm.
- Phép dời hình f có ba điểm bất động không thẳng hàng thì f là một
phép đồng nhất .
1.3.3. Một số phép dời hình cơ bản
1.3.3.1. Phép đối xứng tâm
a. Định nghĩa
N’

M’

M
O

N

- 10 -


Trong E2 cho điểm O, phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành
 
điểm M’ thoả mãn OM ' =- OM , được gọi là phép đối xứng qua tâm O. Kí
hiệu là Đo hoặc Xo .
b. Tính chất
- Trong mặt phẳng phép đối xứng tâm là phép dời hình nên nó có đầy
đủ các tính chất của phép dời hình .
- Phép đối xứng qua tâm O có điểm bất động duy nhất là O .
- Tích của ba phép đối xứng tâm với ba tâm phân biệt là một
phép đối xứng tâm
- Tích của hai phép đối xứng tâm với hai tâm đối xứng phân biệt
là một phép tịnh tiến, với hai tâm đối xứng trùng nhau là một phép đồng nhất.
1.3.3.2. Phép đối xứng trục
a. Định nghĩa
d

M’

M

Trong E2, cho đường thẳng d, phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M
thành điểm M’ sao cho đường thẳng d là trung trực của MM’ được gọi là
phép đối xứng qua d và kí hiệu Đd hoặc Sd .Đường thẳng d được gọi là trục
đối xứng.
b. Tính chất

- 11 -


- Trong mặt phẳng phép đối xứng tâm là phép dời hình nên nó có đầy
đủ các tính chất của phép dời hình .
- Phép đối xứng trục có duy nhất một đường thẳng bất động .
- Cho hai đường thẳng phân biệt a , b . Gọi c là ảnh của b qua phép đối
xứng trục Sa . Khi đó phép biến hình S = Sa .Sb .Sa là phép đối xứng qua
đường thẳng c .


v

1.3.3.3. Phép tịnh tiến
a. Định nghĩa


Trong E2, cho vectơ v , phép biến

M

M’

hình của mặt phẳng E2 biến mỗi điểm M
 

thành điểm M’ thoả mãn MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v . Kí
hiệu Tv .
b. Tính chất
- Phép tịnh tiến là một phép dời hình nên nó có đầy đủ tính chất của
một phép dời hình .
 
- Nếu v = 0 thì T0 = i d E2
 

- Nếu v  0 thì phép tịnh tiến theo vectơ v không có điểm bất động .



- Tích của hai phép tịnh tiến Tu và Tv với u và v khác 0 là một phép
tịnh tiến: Tu . Tv = Tu  v .
1.3.3.4. Phép quay
a. Định nghĩa
Trong mặt phẳng định hướng E2,

M

cho điểm O cố định và góc định
hướng  , phép biến hình của mặt
phẳng E2 cho tương ứng mỗi điểm M

- 12 -


O

M’


 
thành điểm M’ sao cho OM=OM’ và ( OM , OM ) =  , được gọi là phép quay
quanh điểm O và góc quay là  . Kí hiệu : QO hay Q(O,  ) .
b. Tính chất
- Phép quay QO là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất
của một phép dời hình .
- Nếu  =k2  thì QOk2  = i d E2
Nếu  =(2k+1)  thì QO =ĐO
Nếu   k2  thì QO có điểm bất động duy nhất là O .
- ( QO ) -1 = QO .
- QO : a  a’ thì ( a , a ' ) = 
'
- QO . QO' = Q
O

- Cho hai phép quay QO11 và QO22 với O1  O2
Nếu  = 1 + 2  k2  thì
Q = QO22  QO11

a

là một phép quay

với góc quay  , tâm quay O được

xác định như sau :
Q

1
2
O1

: O1O2  a

Q

2
2
O2

: O2O1  b

O2

2
2

2


1

O’

O là giao điểm của a và b

Nếu  =k2  thì tích QO22  QO11 là một phép tịnh tiến.
1.4. Một số phép biến hình đặc biệt

- 13 -

b

O

1
2

O1


1.4.1. Phép vị tự
a. Định nghĩa
Trong E2 cho
điểm O cố định và

M’

O

M

M’

O

M

một số thực k  0 , phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao


cho OM' = k OM được gọi là phép vị tự tâm O , tỉ số k . Kí hiệu VOk hay
V(O,k) .
b. Tính chất
- Phép vị tự V(O,k) với k  1 có một điểm bất động duy nhất đó là
điểm O .
- Nếu M’, N’ là ảnh của hai điểm phân biệt M, N trong phép vị tự


V(O,k) thì M'N' = k MN .
- Phép vị tự V(O,k) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng
và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó .
- Phép vị tự V(O,k) biến một đường thẳng thành một đường thẳng
song song hoặc trùng với đường thẳng đó , biến tia thành tia , biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k , biến tam giác thành tam
giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng k , biến góc thành góc bằng nó, biến
đường tròn thành đường tròn có bán kính gấp k lần đường tròn đó .
- k =-1 thì V(O,k) là phép đối xứng tâm .
- k =1 thì V(O,k) là phép đồng nhất .
1.4.2. Phép đồng dạng
a. Định nghĩa
Phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành điểm M’sao cho với mỗi
cặp điểm bất kì M, N và cặp ảnh tương ứng M’, N’ thì ta có M’N’ = kMN
(k >0 cho trước ) được gọi là phép đồng dạng tỉ số k. Kí hiệu : Z k .

- 14 -

b. Tính chất
- Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến
tia thành tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài gấp k lần
đoạn thẳng đầu , biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR .
- Bảo tồn độ lớn của góc phẳng .
- Tích của một phép vị tự và một phép dời hình hoặc tích của một phép
dời hình và một phép vị tự là một phép đồng dạng .
- Trong mặt phẳng mọi phép đồng dạng khác phép đẳng cự có duy nhất
một điểm bất động.
1.5. Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm tập hợp những điểm (hay còn gọi là
một hình) có tính chất  cho trước với những điều kiện nhất định .
Việc khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất  là hình ( H ) nào
đó, ta phải thực hiện hai bước :
Bước 1 : (Phần thuận) Chứng minh điểm M có tính chất  thuộc (H).
Bước 2 : (Phần đảo) Chứng minh mỗi điểm thuộc hình (H) đều có tính
chất  .

- 15 -


Chương 2 : ứng dụng phép biến hình để giảI bài

toán quỹ

tích
2.1. Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình
Giả sử f : E2  E2 là một phép biến hình của mặt phẳng

M  M'
Lúc đó, do tính chất 1-1 của phép biến hình ta suy ra được :
Quỹ tích của điểm M là hình (H) thì ta có quỹ tích điểm M’ là hình
f(H).
Ngược lại, nếu quỹ tích của các điểm M’ là hình (H’) thì quỹ tích
những điểm M là hình f -1(H’) .
Do đó, nếu sử dụng phép biến hình vào giải bài toán quỹ tích thì cùng
lúc cả hai phần thuận và đảo đều được giải quyết .
Như vậy để giải các bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình ta có thể chọn
một phép biến hình thích hợp f biến điểm M thành điểm M’ sao cho quỹ tích
những điểm M’ tìm được dễ dàng hơn để rồi từ đó suy ra quỹ tích điểm M .
Nguyên tắc chung áp dụng phép biến hình vào giải toán tìm tập hợp điểm M
thoả mãn tính chất  nào đó : nếu ta chứng minh được mỗi điểm M’ là ảnh
của một điểm M qua một phép biến hình f xác định và nếu tập hợp các điểm
M là hình ( H ) thì tập hợp các điểm M’ là hình ( H’) = f( H ) .

2.2. Phép đối xứng tâm với bài toán quỹ tích
2.2.1. Phương pháp chung
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1 : Tìm một phép đối xứng tâm Đo biến mỗi điểm M di động
thành điểm M’ .
Bước 2 : Tìm tập hợp ( H ) các điểm M .

- 16 -


Bước 3 : Kết luận tập hợp các điểm M’ là ảnh của ( H ) trong phép đối
xứng tâm Đo .
2.2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định, M là một điểm
di động trên (O), M khác A, B . Hai đường tròn (O1) và (O2) qua M theo thứ
tự tiếp xúc với AB tại A và B . Gọi N là giao điểm thứ hai của (O 1) và (O2) .
Tìm tập hợp N khi M di động trên (O) .
Lời giải
M
O2

O1

.O
N

I

A

B

P

Gọi I là giao điểm của MN và AB
P là giao điểm của MN với (O)
Ta có : IA2 = IM . IN = IB2

(1)

 IA = IB  I là trung điểm của AB .Mà A, B cố định  I cố định. Mặt
khác, ta có : IP . IM = IA . IB = - IA 2 (2)
Từ (1) ,(2) suy ra : IP . IM =- IM . IN

 IP =- IN  N= ĐI (P)
Vì tập hợp các điểm P là đường tròn (O) qua hai điểm A, B nên tập hợp
các điểm N là đường tròn (O’) bỏ đi hai điểm A, B với (O’) = ĐI(O) .
Kết luận : Tập hợp điểm N khi M di động trên (O) là đường tròn ảnh
của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm I.

- 17 -


Ví dụ 2. Cho  ABC nội tiếp đường tròn (O), bán kính R cố định. Tìm
quỹ tích trực tâm H của  ABC khi A chuyển động trên ( O).
Lời giải
A

O

H
B

C

I
A1

Giả sử AA1 là đường kính của (O;R)
Gọi I là trung điểm của BC  I cố định .
Ta có : BH  AC và A1C  AC  BH // A1C .
 BHI =  CA1 I vì :

  ICA
 ( so le trong )
HBI
1
BI = IC

 A
 IC ( đối đỉnh )
BIH
1

 HI = A1 I  ĐI : A1  H .
Do điểm A thay đổi trên đường tròn (O;R) nên A1 thay đổi trên (O;R)
Do đó quỹ tích trực tâm H là đường tròn ảnh của đường tròn (O;R) qua
phép đối xứng tâm I .
Kết luận : quỹ tích trực tâm H là đường tròn ảnh của đường tròn (O;R)
qua ĐI
Ví dụ 3. Cho ba phép đối xứng tâm ĐA, ĐB , ĐC . Với M là điểm bất kì,
gọi M1 là ảnh của M qua ĐA; gọi M2 là ảnh của M qua ĐB ; gọi M3 là ảnh của
M qua ĐC . Tìm quỹ tích điểm M3 khi M chạy trên (O) hay đường thẳng d.

- 18 -


Lời giải
Do ĐB : M1  M2  B là trung
điểm của M1M2

M3

M1
D

A
M

Tương tự C là trung điểm
của M2 M3

C

B

Theo tính chất đường trung bình
Trong  M1 M2 M3 có BC =

1
M1
2

M2

M3
và BC// M1 M3
Tương tự, có AD =

1
M1 M3 và AD// M1 M3
2

 BC = AD và BC//AD ( với D là trung điểm của MM3 )
Do A, B, C cố định  D cố định
Ta có ĐD : M  M3 .
Do đó nếu M chạy trên đường tròn (O) thì quỹ tích M3 là đường tròn
(O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D .
Nếu M chạy trên đường thẳng d thì quỹ tích M3 là ảnh của đường
thẳng d qua ĐD .
Ví dụ 4. Cho  ABC . Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC, CA , AB . Tìm tập hợp điểm M trong tam giác sao cho ảnh của M
trong các phép biến đổi ZA' , ZB' , ZC' nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam
giác.
Lời giải
Ta kí hiệu M1, M2 lần lượt là ảnh của M trong phép đối xứng tâm A’ và
B’ .



Khi đó ta có : CM = - AM 2 = - BM1

- 19 -


A

M2
B’
M
A’

C

B
M1

Do đó, tứ giác AB M1 M2 là hình chữ nhật và CM  AB .
Tương tự ta có : BM  AC .
 M là giao điểm ba đường cao của  ABC

Nếu  ABC nhọn thì tập hợp điểm M gồm một điểm là trực tâm của
ABC.
Tập hợp điểm M là tập rỗng nếu  ABC không nhọn .

2.3. Phép đối xứng trục với bài toán quỹ tích
2.3.1 Phương pháp chung
Ta thực hiện theo các bước :
Bước 1 : Tìm một phép đối xứng trục Đd, biến điểm E di động thành
điểm M .
Bước 2 : Tìm tập hợp ( H ) của các điểm E .
Bước 3 : Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của ( H ) trong phép đối
xứng trục Đd .
2.3.2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho ( O;R ) trên đó có hai điểm A,B . Một đường tròn (O1;R1)
tiếp xúc ngoài (O) tại A. Một điểm M di động trên ( O ), tia MA cắt đường
tròn (O1) tại điểm thứ hai A1. Qua A1 vẽ đường thẳng song song với AB cắt
tia MB tại B1. Tìm tập hợp điểm B1 .
Lời giải

- 20 -

d

x
A1

A2

B1
O2

O1

B

A
O
x

’

M

Gọi giao điểm thứ hai của B1 A1 với đường tròn ( O1 ) là A2. Kẻ tiếp
tuyến chung xx’ của (O) và (O1) tại A, ta có :

 B B  ABM



A

 xAM  xAA
1 1
1  AA 2 A1
 hình thang AB B1A2 là hình thang cân
 A2 và B1 đối xứng với nhau qua đường trung trực ( d ) của AB .

Mặt khác, khi M di động trên (O) thì A2 di động trên (O1)
 Tập hợp các điểm A2 là đường tròn( O1 ) .

Ta lại có , B1 = Đd(A2 ) nên tập hợp các điểm B1 là đường tròn ảnh của
đường tròn ( O1 ) qua phép đối xứng trục d.
Kết luận : Tập hợp các điểm B1 là đường tròn (O2) với (O2) =Sd(O1) .
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng , cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau ở O
và một điểm P cố định nằm ngoài d1 , d2 . Một đường thẳng  quay xung
quanh P cắt d1 ở A , d2 ỏ B . Các đường thẳng  1 và  2 đối xứng với  lần
lượt qua d1 và d2 cắt nhau ở M. Tìm


quỹ tích của điểm M.

d2

P2

Lời giải :

B

O
P

M
P1

- 21 -

A
d1

1
2


Gọi Pi là điểm đối xứng với P qua di ,i=1,2 . Vì P   nên suy ra :
Pi   i = Đ d i (  )
Từ đó , ta có : (  1,  ) = 2(  1, d1)
=2(d1,  ) (mod  ) (1) (  ,  2) = 2(d2,  2)
= 2(  ,d2) (mod  ) (2)
Theo hệ thức Chasles, từ (1) ,(2)
 (  1,  2) = 2(d1, d2) (mod  )

= 2  =  (mod  )

(3)

Trong đó (d1, d2) =  (mod  )
Vì  1   2 = M và Pi   i (i=1,2)
 (3)  (MP1,MP2) = 2(d1 ,d2) (mod  )

(i)

Mặt khác, vì Pi = Đ d i (P) (i=1,2) và O = d1  d2 nên ta có :
(OP1, OP) = 2(OP1 , d1) = 2(d1,OP) (mod  )

(4)

(OP , O P2) =2(d2,OP2) = 2( OP,d2) (mod  )

(5)

Theo hệ thức Chasles,
từ (4), (5)  (OP1,OP2) = 2(d1 ,d2 ) (mod  )
Từ (i) , (ii) ⇒ (MP1,MP2) = (OP1,OP2) (mod  )

(ii)
(iii)

Đẳng thức (iii) chứng tỏ, bốn điểm O, P1, P2, và M  1  2 cùng
thuộc một đường tròn với mọi vị trí của đường  quay quanh điểm P cố định.
Kết luận :
- Nếu d1 và d2 không vuông góc với nhau thì O, P1, P2 không thẳng
hàng, nên quỹ tích điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp OP1P2.
- Nếu d1  d2 thì quỹ tích điểm M là đường thẳng đi qua P1 ,P2.
Nhận xét :
Ta nhận thấy các yếu tố đối xứng trục đã xuất hiện ngay trong dữ kiên
của bài toán. Vì vậy bài toán này đòi hỏi phải sử dụng tính chất của phép đối
xứng trục và góc định hướng của hai đường thẳng (mod  ) để tìm quỹ tích.

- 22 -

Ví dụ 3. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) , bán kính R cố định. Tìm
quỹ tích trực tâm H của ABC khi A di động trên (O).
Lời giải
Giả sử đường cao AH cắt (O,R) tại A .

 C
 (  1 AB)

Ta có A
1
1
2

A

1  B
 1  90o
Mặt khác A
1  B
 2  90o
C
1  B
2
 B

Ta có BHI = B A I

.

H

O
B

(g.c.g)

⇒ HI = I A

2
1

1
1

C

I

A’

O’

⇒ ĐBC : A  H
Khi A thay đổi trên (O,R) thì A cũng thay đổi trên (O,R).
Do đó, quỹ tích trực tâm H là đường tròn ảnh của đường tròn (O,R) qua
phép đối xứng trục BC.
Kết luận : Quỹ tích trực tâm H là đường tròn ( O ,R), ảnh của đường
tròn (O,R) qua ĐBC .
Ví dụ 4. Cho ABC nội tiếp trong một đường tròn. Gọi M là điểm di
động trên đường tròn ấy và M1, M2. M3 theo thứ tự là các điểm đối xứng của

M qua BC, CA và AB.
Tìm tập hợp các điểm M1, M2. M3 khi M di động trên đường tròn ấy.
Lời giải
Ta có M và M1 đối xứng nhau qua BC
Do đó khi M di động trên đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC
thì M1 di động trên đường tròn ảnh của đường tròn (O) đã cho qua phép đối
xứng trục BC. Ta kí hiệu đường tròn chứa M1 là (O1).

- 23 -


A

O3

. O2

.

M2

M1
B

C

M3
M

.

O1

Đảo lại, lấy một điểm M1 tuỳ ý trên đường tròn (O1) và dựng M đối
xứng với M1 qua BC. Ta chứng minh được M thuộc vào đường tròn (O).
Vậy tập hợp điểm M1 là đường tròn (O1) đối xứng với đường tròn (O)
qua BC.
Tương tự ta chứng minh được tập hợp các điểm M 2 là đường tròn (O2)
đối xứng với đường tròn (O) qua trục CA và tập hợp các điểm M3 là đường
tròn (O3) đối xứng với đường tròn (O) qua trục AB.

2.4. Phép tịnh tiến với bài toán quỹ tích
2.4.1. Phương pháp chung
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Tìm một phép tịnh tiến Tv biến điểm di động E thành điểm
M.
Bước 2: Tìm tập hợp (H ) của các điểm E.
Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép tịnh
tiến Tv .
2.4.2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai vòng tròn bằng nhau (O) và (O’) ; A và A’ là hai điểm
cố định thứ tự trên chúng. Các điểm M, M’ di động trên các vòng tròn tương

- 24 -



M bằng nhau và cùng hướng (ngược
ứng (O) và (O’) sao cho AM
và A
hướng). Tìm tập hợp các trung điểm của MM’.

Lời giải

 và A
M cùng hướng
a) Trường hợp 1: AM

M

N

A

B
I
’

O

.

’

A

J

O

’

M

Gọi R là bán kính của đường tròn (O) và (O’) . I là trung điểm của đoạn MM’.
Xét phép tịnh tiến
T' : (O)  (O' )
OO

A B
MN

 = BN
 và cùng hướng
 AM
   NM
  và cùng hướng
 =A
M và cùng hướng ⇒ BA
 BN

  không đổi nên NM
  có độ dài và hướng không đổi.
Do BA
Gọi J là trung điểm của NM’ thì ta có :

BA '2
O J= R 
 r không đổi
4
'

2

Vậy khi M và M’ di động thì tập hợp điểm J là vòng tròn (O’,r).
Mặt khác, xét tam giác MM’N có IJ là đường trung bình.


 1 

1
1
1 '
'
'
'
 IJ= MN  OO và IJ// MN// O O  IJ =  O O hay JI  O O
2
2
2
2

- 25 -