Phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN VĂN DO

PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC


2

NGHỆ AN – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHAN VĂN DO

PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN – 2013


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Văn
Thuận, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này trong
thời gian qua.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm
khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, cùng tất cả các thầy cô giáo đã tham gia
giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập và hoàn thành các chuyên đề thạc sĩ
khoá 19, ngành Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán tại trường Đại học
Vinh.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trường
THPT Mỹ Quí – Tháp Mười – Đồng Tháp, nơi tôi đang công tác giảng dạy, đã
giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tôi tiến hành thực nghiệm sư
phạm.
Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý báu của
các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn
Toán.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp những người luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành tốt luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những
thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Nghệ An, tháng 10 năm 2013
Tác giả

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đồi tượng và phạm vi nghiên cứu
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
6. Giả thuyết khoa học
7. Đóng góp của luận văn
8. Cấu trúc của luận văn
Chương 1. Một số sai lầm của học sinh trong quá trình học chủ đề

Trang
1
1
3
3
3
4
4
4
5

phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình
1.1. Sự cần thiết của việc phát hiện và khắc phục sai lầm cho học sinh khi

7

giài toán

1.2. Một số sai lầm thường gặp trong quá trình giải toán phương trình,

7

bất đẳng thức và bất phương trình
1.2.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng
1.2.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt
1.2.3. Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp

8
8
19

dụng định lí
1.2.4. Sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy
1.2.5. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng
1.2.6. Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức”
1.2.7. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
1.2.8. Sai lầm liên quan đến suy luận

20
25
33
35
38
60


1.2.9. Sai lầm liên quan đến việc không hiểu bản chất đối tượng

65

1.3. Kết luận chương 1
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục các sai lầm

67

cho học sinh THPT trong dạy học phương trình, bất đẳng thức

68

và bất phương trình
2.1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
2.1.1. Cơ sở lí luận
2.1.2. Thực trạng dạy học chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất

68
68

phương trình ở trường phổ thông hiện nay
2.1.2.1. Tình hình chung
2.1.2.2. Tình hình thực tế qua điều tra
2.2. Một số biện pháp nhằm khắc phục các sai lầm của học sinh trong

76
76
77
79

dạy học phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình ở trường THPT

2.2.1. Biện pháp 1: Tăng cường các hoạt động sư phạm nhằm hình thành tốt
cho học sinh các khái niệm, định lí về chủ đề phương trình, bất đẳng thức

79

và bất phương trình
2.2.1.1. Dạy học khái niệm
2.2.1.2. Dạy học định lí
2.2.2. Biện pháp 2: Khi hướng dẫn học sinh phát hiện và sửa chữa các sai

79
84

lầm, cần chú ý đến tính giáo dục, tính kịp thời và tính chính xác
2.2.2.1. Tính kịp thời
2.2.2.2. Tính chính xác
2.2.2.3. Tính giáo dục
2.2.3. Biện pháp 3: Khắc phục một số sai lầm cho học sinh trong hoạt động

90
90
92
94

giải bài tập về phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình
2.2.3.1. Vấn đề rèn luyện hoạt động phân chia trường hợp

97
98

2.2.3.2. Vấn đề rèn luyện cho học sinh phát triển ngôn ngữ Toán học
2.2.3.3. Vấn đề rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh
2.2.3.4. Vấn đề rèn luyện các hoạt động nhằm khắc phục những sai lầm

105
117

liên quan đến suy luận
2.2.4. Biện pháp 4: Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để

124

học sinh được thử thách với những sai lầm đó

127

2.2.4.1. Tạo điều kiện để HS phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải toán

127

2.2.4.2. Học sinh được thử thách thường xuyên với những bài toán dễ dẫn
đến sai lầm trong lời giải
2.2.4.3. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua tình huống sai

128

lầm
2.2.4.4. Thiết kế tình huống gợi vấn đề cho học sinh thảo luận trong hoạt

133

động tìm kiếm và sửa chữa sai lầm
2.3. Kết luận chương 2
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
3.2.2. Nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.3.1. Đánh giá định tính
3.3.2. Đánh giá định lượng
3.4. Kết luận chương 3

137
140
141
141
141
141
142
143
143
143
145
146
147
151

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt

HS
GV
THPT
PT
BĐT
TH
THGVĐ
GQVĐ
H
HĐ
SGK
Nxb

Viết đầy đủ

:
:
:
:
:
:

:
:
:
:
:
:

Học sinh
Giáo viên
Trung học phổ thông
Phương trình
Bất đẳng thức
Tình huống
Tình huống gợi vấn đề
Giải quyết vấn đề
Hỏi
Hoạt động
Sách giáo khoa
Nhà xuất bản


1

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ sáu Ban Chấp hành Trung ương Đảng
Cộng sản Việt Nam (Khóa XI, 2012) nêu rõ: “Giáo dục đào tạo là vấn đề đặc biệt
quan trọng, là quốc sách hàng đầu, là động lực phát triển kinh tế – xã hội”, “Đổi
mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là một yêu cầu khách quan và cấp
bách của sự nghiệp đẩy mạnh công nghiệp hóa, hiện đại hóa, xây dựng và bảo vệ

tổ quốc ở nước ta trong giai đoạn hiện nay”.
Điều 24, Luật Giáo dục quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, …; bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
1.2. “Dạy học toán là dạy hoạt động toán học” [38, tr.12] là một luận điểm
được mọi người thừa nhận. Hoạt động toán học chủ yếu của học sinh (HS) là
hoạt động giải bài tập toán. Trong quá trình dạy học, có những học sinh tiếp thu
kiến thức rất nhanh và biết vận dụng kiến thức đã học vào giải các bài tập toán,
bên cạnh đó có những HS do học lực yếu sẽ không đạt được kết quả như vậy.
Trình độ học toán của HS sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải toán. Các
bài toán là phương tiện có hiệu quả trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức,
phát triển tư duy, phát triển kỹ năng và kỹ xảo. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc
dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán. Tuy nhiên,
thực tế ở trường phổ thông cho thấy chất lượng dạy học Toán đôi khi còn chưa
tốt, biểu hiện qua năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn
mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên chưa
chú ý một cách đúng mức việc phát hiện và sửa chữa các sai lầm cho học sinh
ngay trong các giờ học Toán.


2

1.3. Nghiên cứu những sai lầm của HS khi giải toán là vấn đề cấp thiết,
bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy HS còn mắc nhiều kiểu sai lầm. Đã có nhiều
quan điểm hoặc ý kiến được nêu ra xoay quanh vấn đề sai lầm trong cuộc sống
cũng như trong nghiên cứu khoa học. G. Polia đã phát biểu: “Con người phải biết
học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” [25, tr.204], còn A. A. Stôliar
thì nhấn mạnh rằng: “Không được tiếc thời gian để phân tích trong giờ học các
sai lầm của học sinh”. Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv viết: “Năng lực bình thường

của học sinh trung học đủ để các em nắm được Toán học trong nhà trường phổ
thông nếu có sự hướng dẫn tốt của thầy giáo”. Như vậy có thể khẳng định rằng:
các sai lầm của học sinh trong giải Toán là cần và có thể khắc phục được.
1.4. Các công trình nghiên cứu đã đề cập đến sai lầm của học sinh trong
giải Toán như: Luận án Tiến sĩ của của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực
giải Toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa
chữa các sai lầm của học sinh khi giải Toán" (1996); Luận văn Thạc sĩ của
Nguyễn Hữu Hậu: “Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ
thông khi giải Toán Đại số - Giải tích và quan điểm khắc phục” (2006).
Các tác giả Nguyễn Văn Thuận – Nguyễn Hữu Hậu trong Phát hiện và
sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học Đại số – Giải tích ở trường phổ
thông(2010); Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn trong Sai lầm thường gặp và các
sáng tạo khi giải Toán (2010),…
Các công trình ở trên là các phát hiện về sai lầm và quan điểm khắc phục
với đối tượng nghiên cứu rất rộng bao gồm các chủ đề của môn Đại số – Giải
tích ở trường THPT. Chúng tôi thấy rằng: phương trình, bất phương trình là nội
dung quan trọng trong chương trình môn Toán ở THPT, riêng bất đẳng thức là
một nội dung khó đối với học sinh. Chủ đề phương trình, bất phương trình góp
phần kiến thức quan trọng trong nội dung thi tốt nghiệp THPT, cùng với bất đẳng
thức là các chủ đề thi vào các trường trung học chuyên nghiệp, cao đẳng và đại


3

học. Những sai lầm của học sinh khi học về chủ đề này tương đối đa dạng, chẳng
hạn như: những sai lầm về phân chia trường hợp riêng, ngôn ngữ diễn đạt; các
sai lầm liên quan đến thao tác tư duy, suy luận,….Khi đó, một số học sinh không
tự nhận ra sai lầm của mình trong giải toán nên chưa có biện pháp khắc phục
những sai lầm ấy. Vì thế, học sinh rơi vào tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.
Người giáo viên có vai trò hướng dẫn, điều khiển quá trình học tập của học sinh

nên giúp các em tự nhận ra sai lầm trong giải toán và có giải pháp sửa chữa phù
hợp là việc cần thiết. Nếu học sinh giải sai một bài toán nhưng phát hiện kịp thời
và có sự điều chỉnh hợp lí, chính xác thì có nghĩa là học sinh ấy đã giải đúng bài
toán đó. Chính vì những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận văn là: “Phát
hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh trong dạy học phương trình, bất đẳng
thức và bất phương trình ở trường Trung học phổ thông”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh khi học chủ đề phương trình, bất
đẳng thức và bất phương trình.
- Nghiên cứu cách thức bồi dưỡng kỹ năng giải toán về chủ đề phương
trình, bất đẳng thức và bất phương trình.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Các sai lầm của học sinh trong dạy học chủ đề phương trình, bất đẳng
thức và bất phương trình ở trường Trung học phổ thông.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Khảo sát thực tế trên địa bàn các trường THPT ở tỉnh Đồng Tháp.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Học sinh thường mắc phải một số kiểu sai lầm phổ biến nào khi học chủ
đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình? Nguyên nhân nào dẫn đến
các sai lầm đó?


4

- Xây dựng một số biện pháp khắc phục các sai lầm ở trên và rèn luyện kỹ
năng của học sinh khi học chủ đề này.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi của những biện pháp
sư phạm nêu trên.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp
giảng dạy môn Toán, các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học để làm điểm tựa
đề xuất các quan điểm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh.
5.2. Nghiên cứu thực tiễn giảng dạy: Qua thực tiễn sư phạm, qua các tài
liệu để nắm bắt thêm những kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi
học chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình.
5.3. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính
khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.
6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu làm sáng tỏ được các sai lầm của học sinh khi học chủ đề phương
trình, bất đẳng thức và bất phương trình thì đề ra những biện pháp sư phạm phù
hợp để khắc phục và bồi dưỡng kỹ năng giải toán chủ đề này, góp phần nâng cao
hiệu quả dạy và học toán ở trường phổ thông.
7. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
- Luận văn góp phần làm rõ kiến thức, kỹ năng; phát hiện và đề xuất các
biện pháp khắc phục những sai lầm thường gặp của học sinh về chủ đề phương
trình, bất đẳng thức và bất phương trình.
- Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học
sinh trong quá trình giảng dạy và học tập chủ đề phương trình, bất đẳng thức và
bất phương trình.


5

8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có
3 chương.
Chương 1. Một số sai lầm của học sinh trong quá trình học chủ đề phương
trình, bất đẳng thức và bất phương trình
1.1. Sự cần thiết của việc phát hiện và khắc phục sai lầm cho học sinh khi giài

toán
1.2. Một số sai lầm thường gặp trong quá trình giải toán phương trình, bất đẳng
thức và bất phương trình
1.2.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng
1.2.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt
1.2.3. Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp dụng định
lí
1.2.4. Sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy
1.2.5. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng
1.2.6. Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức”
1.2.7. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
1.2.8. Sai lầm liên quan đến suy luận
1.2.9. Sai lầm liên quan đến việc không hiểu bản chất đối tượng
1.3. Kết luận chương 1
Chương 2. Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục các sai lầm cho học
sinh THPT trong dạy học phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình
2.1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
2.2. Một số biện pháp nhằm khắc phục các sai lầm của học sinh trong dạy học
phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình ở trường THPT
2.2.1. Biện pháp 1: Tăng cường các hoạt động sư phạm nhằm hình thành tốt cho
học sinh các khái niệm, định lí về chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất


6

phương trình
2.2.2. Biện pháp 2: Khi hướng dẫn học sinh phát hiện và sữa chữa các sai lầm,
cần chú ý đến tính giáo dục, tính kịp thời và tính chính xác
2.2.3. Biện pháp 3: Khắc phục một số sai lầm của học sinh trong dạy học về
chủ đề phương trình, bất đẳng thức và bất phương trình

2.2.4. Biện pháp 4: Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn đến sai lầm để
học sinh được thử thách với những sai lầm đó
2.3. Kết luận chương 2
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận chương 3


7

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH
HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1.1. SỰ CẦN THIẾT CỦA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC SAI LẦM
CHO HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN
Trong dạy học toán ở phổ thông, đã có rất nhiều quan điểm và ý kiến nêu
ra về những sai lầm của học sinh (HS). Thực tiễn cho thấy, chất lượng dạy học
toán ở trường phổ thông đã quan tâm đến việc phát hiện và sửa chữa sai lầm cho
HS; tuy nhiên, khả năng giải toán của các em vẫn còn hạn chế do mắc những sai
lầm dẫn đến sai lầm nối tiếp sai lầm. Trình độ học Toán của học sinh đến mức độ
nào sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải Toán. Vai trò của bài tập trong
dạy học Toán là vô cùng quan trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiên
cứu về phương pháp dạy học Toán lại gắn với việc nghiên cứu xây dựng hệ
thống bài tập (chẳng hạn, các công trình: Tôn Thân (1995), Trần Đình Châu
(1996), Nguyễn Đình Hùng (1997)). Ngoài ra có thể tham khảo ý kiến của P. M.
Ecđơnnhiev trong [38]: "Bài tập được coi là một mắt xích chính của quá trình
dạy học Toán". Tuy nhiên dạy học giải Toán không thể tách rời một cách cô lập

với dạy học khái niệm toán học và dạy học định lí, do đó khi phát hiện thấy học
sinh còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải Toán thì điều này cũng
có tác dụng khuyến cáo những điểm cần chú ý trong quá trình dạy khái niệm và
định lí toán học.
Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải
Toán là cấp thiết, bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy học sinh còn mắc rất nhiều
kiểu sai lầm. Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận và


8

thậm chí là những kiểu sai lầm rất tinh vi. Một nguyên nhân không nhỏ là giáo
viên chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các
sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán. Vì điều này nên ở học sinh
nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.
Rất nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm
cho học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn G. Polia cho rằng: "Con
người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình" [25, tr. 204], A. A.
Stôliar phát biểu: "Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai
lầm của học sinh" [39, tr. 105], còn theo J. A. Komenxki thì: "Bất kì một sai lầm
nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay
đến sai lầm đó, và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm" (dẫn
theo Nguyễn Anh Tuấn 2003). Tâm lí học đã khẳng định rằng: "Mọi trẻ em bình
thường không có bệnh tật gì đều có khả năng đạt được học vấn toán học phổ
thông, cơ bản dù cho chương trình toán đã hiện đại hóa" [12, tr. 49]. Như vậy có
thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh khi giải Toán là cần và có thể khắc
phục được.
1.2. MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI
TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1.2.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng

Học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải những
bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp.
1.2.1.1. Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của cụm từ
“giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m”. Khi giải biện
luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh quy về
tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm.
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình
m(x + m) = x + 1


9

(?): Học sinh chuyển x về một vế và đưa về: (m - 1)x = 1 - m 2 từ đó rút ra
1 − m2
. Để phép chia có nghĩa thì phải có điều kiện m ≠ 1 . Kết luận: m ≠ 1
x=
m −1
và x = - m - 1.
(!): Thực ra đây không phải bài toán tìm m để phương trình có nghiệm, mà
đây là bài toán giải và biện luận phương trình. Khi giải và biện luận phương
trình, kể cả trường hợp phương trình vô nghiệm thì ta vẫn phải xem xét.
Giả sử có điều kiện m ≠ 1 thì ta thực hiện được phép chia 1 – m2 cho
m - 1, nhưng không có nghĩa là, ta thực hiện phép chia trước rồi lại buộc m phải
khác 1.
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình
x − 1 = 2x − m
(?): Có học sinh giải như sau: với x ≥ 1 nghiệm của phương trình là
x = m − 1 ; với x < 1 nghiệm của phương trình là x =

m +1

.
3

(!): Học sinh này dù đã nắm được khái niệm giá trị tuyệt đối nhưng vẫn
chưa ý thức được rằng, tham số được xem như là những số đã biết nhưng chưa rõ
cụ thể là bao nhiêu, bởi vậy không chắc gì m – 1 đã lớn hoặc bằng 1;

m +1
đã
3

bé thua 1.
Ví dụ 3: Giải và biện luận bất phương trình
m(x – m + 3) ≥ m(x - 2) + 6
(?): Bất phương trình ⇔ mx - m2 + 3m ≥ mx - 2m +6 ⇔ m2 – 5m + 6 ≤ 0
⇔2 ≤ m ≤ 3

Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2 ≤ m ≤ 3.


10

(!): Thực ra 2 ≤ m ≤ 3 chỉ là điều kiện để bất phương trình có nghiệm chứ
không phải là nghiệm của bất phương trình. Khi m nằm ngoài [2; 3] thì bất
phương trình sẽ vô nghiệm và ta vẫn phải đề cập đến trường hợp này trong khâu
biện luận.
1.2.1.2. Không ý thức được sự suy biến của tham số, áp dụng thuật giải một
cách máy móc vào những trường hợp không thuộc hệ thống
Kỹ năng phân chia trường hợp riêng hiện diện rất rõ trong dạy học toán.
Chẳng hạn như giải và biện luận phương trình có tham số, có nhiều phương trình

bậc rất thấp và hình thức khá đơn giản nhưng vì nó có chứa tham số nên việc giải
cho trọn vẹn đã xoay sang tình thế khác, và có thể nói giải và biện luận phương
trình là đương nhiên phải xét các trường hợp chứ không chỉ là các phép biến đổi.
Vấn đề đặt ra là làm sao có thể biết xét trường hợp nào?
Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình:
a + x + a − x = a (1)
a + x ≥ 0
⇔ −a ≤ x≤ a
a
−
x
≥
0


Điều kiện: 

+ Trường hợp 1: a < 0 : phương trình vô nghiệm.
+ Trường hợp 2: a = 0 : (1) ⇔ x + − x = 0 ⇔ x = 0 .
+ Trường hợp 3: a > 0 : − a ≤ x ≤ a
(1) ⇔ a + x + a − x + 2 a 2 − x 2 = a 2 ⇔ 2 a 2 − x 2 = a 2 − 2a (2)
Từ phương trình (2), để giải tiếp học sinh lại bình phương hai vế và đặt
điều kiện là a 2 − 2a ≥ 0 . Làm như vậy là không đúng vì yêu cầu của đề bài là giải
và biện luận phương trình chứ không phải là bài toán tìm điều kiện để phương
trình có nghĩa. Vì thế, ta phải tiếp tục giải như sau:
Nếu a 2 − 2a < 0 ⇔ 0 < a < 2 thì phương trình (2) vô nghiệm.
Nếu a 2 − 2a = 0 ⇔ a = 0 thì phương trình (2) có nghiệm x = ±2 .
Nếu a 2 − 2a > 0 ⇔ a > 0 thì : (2) ⇔ 4a 2 − 4 x 2 = a 4 − 4a 3 + 4a 2

11
1
⇔ x 2 = a 3 − a 4 (3)
4

Giải đến đây vẫn chưa kết thúc lời giải mà phải chia (3) ra một số tình
huống mới:
a > 4
a = 4

2 < a < 4

Học sinh thường giải thiếu trường hợp đối với các bài toán biện luận hay
tìm tham số. Nhiều HS còn lúng túng khi gặp dạng toán này, nguyên nhân chính
có thể là do các em không nắm vững phần lí thuyết nên dẫn tới lời giải sai hoặc
xét thiếu các trường hợp của tham số.
Ví dụ 5: Tìm m để biểu thức f ( x) = (m + 2) x 2 + 2(m + 2) x + m + 3 luôn dương
(bài 50, tr. 140 – Đại số 10 nâng cao).
Lời giải của HS:
a = m + 2 > 0
f ( x) > 0, ∀x ∈ R ⇔  '
⇔ m > −2
2
∆
=
(
m
+
2
)

−
(
m
+
2
)(
m
+
3
)
<
0


Sai lầm của HS: Khi giải bài toán này, HS cho ngay rằng f (x) đã là tam
thức bậc hai nên áp dụng ngay tính chất trên dẫn đến xét thiếu trường hợp:
a = m+ 2 = 0.

Hướng giải đúng: Chia hai trường hợp: m + 2 = 0 và m + 2 ≠ 0 , kết quả là
m ≥ −2 .

Ví dụ 6: Giải và biện luận phương trình
a–5+

2a + 5
=0
x−2

(*) theo tham số a.

(?): Điều kiện: x ≠ 2 . Khi đó (*) ⇔ (a − 5)( x − 2) + 2a + 5 = 0
⇔ (5 − a )( x − 2) = 2a + 5 ⇔ x(5 − a ) = 15


12

Nếu a ≠ 5 thì x =

15
5−a

Nếu a = 5 thì phương trình vô nghiệm.
(!): Sai lầm là HS không để ý x =

15
khi nào không là nghiệm của
5−a

phương trình. Vì nghiệm phải thõa mãn x ≠ 2 nên khi

15
5
= 2 ⇔ a = − thì
5−a
2

phương trình vô nghiệm. Lời giải phải bổ sung điều này và kết luận đúng là:
a ≠ 5
15


Nếu 
5 thì x =
5−a
a ≠ − 2
a = 5
Nếu 
5 thì phương trình vô nghiệm.
a=−

2

Ví dụ 7: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:
mx − m − 3
= 1 (*) (bài 25, tr. 85 – SGK Đại số 10 nâng cao).
x +1

(?): Điều kiện x ≠ −1 .
(*) ⇔ ( m − 1) x = m + 4 .Học sinh biện luận trong trường hợp m ≠ 1 thì phương
trình (*) có nghiệm duy nhất x =

m+4
.
m −1

(!): Trong trường hợp m ≠ 1 học sinh biện luận như vậy là không đúng vì
khi x =

m+4
là nghiệm của phương trình (*) thì nó phải thỏa điều kiện x ≠ −1 ,từ
m −1

đó suy ra điều kiện của m, còn nếu nó không thỏa điều kiện x ≠ −1 thì phương
trình (*) vô nghiệm, tức là:
- Nếu

m+4
3
= −1 hay m = − thì phương trình (*) vô nghiệm.
m −1
2


13

- Nếu
x=

m+4
3
≠ −1 hay m ≠ − thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất
m −1
2

m+4
.
m −1

Như vậy, trong trường hợp này:
3
m = − : Tập nghiệm của phương trình (*) là S = Ø.

2
m ≠ 1 và m ≠ −

3
m + 4
: Tập nghiệm của phương trình (*) là S = 
.
2
 m −1 

Ví dụ 8: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:
mx − x + 1 = x + 2 (1).

(?): Học sinh biện luận như sau :
mx − x + 1 = x + 2

( m − 2) x = 1( *)

⇔
(1) ⇔ 
mx − x + 1 = −( x + 2 )
mx = −3( * *).

+ Giải và biện luận phương trình ( *) :
• m = 2 : phương trình ( *) vô nghiệm ⇒ phương trình (1) vô nghiệm.
• m ≠ 2 : phương trình ( *) có nghiệm x =

nghiệm x =

1

⇒ phương trình (1) có
m−2

1
.
m−2

+ Giải và biện luận phương trình ( * *) :
• m = 0 : phương trình ( * *) vô nghiệm ⇒ phương trình (1) vô nghiệm.
• m ≠ 0 : phương trình ( * *) có nghiệm x = −

nghiệm x = −

3
⇒ phương trình (1) có
m

3
.
m

(!): Học sinh giải và biện luận phương trình như trên là không đúng vì
phương trình (1) bao gồm hai trường hợp: phương trình ( *) hoặc phương trình

( * *) .Khi

m = 2 thì phương trình ( *) vô nghiệm nhưng phương trình ( * *) có


14

3
2

3
2

nghiệm x = − ,do đó phương trình (1) có nghiệm x = − . Tương tự, khi m = 0 thì
1
2

phương trình ( * *) vô nghiệm nhưng phương trình ( *) có nghiệm x = − , do đó
1
2

phương trình (1) có nghiệm x = − .
Bảng sau đây nêu kết luận về nghiệm của phương trình (1):

m=2
m=0
m ≠ 0 và m ≠ 2

Nghiệm của

Nghiệm của

( *)

( * *)

vô nghiệm

x=

x=−

1
1
=−
m−2
2
1
x=
m−2

3
3
=−
m
2

vô nghiệm
x=−

3
m

Nghiệm của (1)
3
2
1
x=−

2
1
3
x=
; x=−
m−2
m
x=−

Ví dụ 9: Giải và biện luận bất phương trình
x 2 − 3x + 2a ≤ x 2 + 2ax + 5

(?): Có học sinh giải như sau: bất phương trình tương đương với
2a − 5
x2 – 3x + 2a ≤ x2 + 2ax + 5 ⇔ x(2a + 3) ≥ 2a -5 ⇔ x ≥
2a + 3
(!): Với cách giải như trên cho thấy học sinh chưa nắm vững khái niệm giá
trị tuyệt đối, mặt khác chưa nắm vững điều kiện để thực hiện được các phép biến
đổi tương đương cơ bản trên các bất phương trình.
1.2.1.3. Nắm không chính xác về điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi
tương đương
Ví dụ 10: Giải phương trình:
(?): Điều kiện: x ≥ 3 . Ta có

2x +

x − 3 = 16

(*)

15

(*) ⇔ x − 3 = 16 – 2x ⇔ x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2
x = 7
⇔ 4 x − 65 x + 259 = 0 ⇔ 
 x = 37 .

4

thỏa mãn x ≥ 3 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = 7 hoặc x =
(!): Sai lầm khi viết

x − 3 = 16 – 2x

⇔

37
.
4

x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2 .

Cần lưu ý HS rằng:
B ≥ 0
A=B⇔ 
2
A = B

(không cần đặt điều kiện a ≥ 0 ). Ta có x =

37
không là nghiệm.
4

Ví dụ 11: Giải phương trình
log2 x2 = 2log2 (3x + 4)
x 2 > 0
(?): Điều kiện: 
3 x + 4 > 0

x ≠ 0

⇔ 
4
 x > − 3

(*)
.

Khi đó (*) ⇔ 2log2 x = 2log2 (3x + 4)
⇔ log2 x = log2 (3x + 4)
⇔

x = 3x + 4 ⇔ x = -2.

Giá trị này không thõa mãn điều kiện đã đặt nên phương trình vô nghiệm.
(!) Sai lầm khi biến đổi: log2 x2 = 2log2 x, do đó mất nghiệm x = -1.
Ví dụ 12: Giải phương trình
4 log 2 x + x – 16 = 0

(?): Ta có 4 log

2

x

= (2 log x ) 2 = x 2 nên phương trình tương đương với
2

 x = −3

x2 + x – 6 = 0 ⇔ 
.
x = 2


16

(!): Cần lưu ý HS: 2 log

2

x

= x chỉ khi x > 0. Do đó chỉ lấy được x = 2 là

nghiệm.
Ví dụ 13: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất
lg(x2 + 2mx) - lg(x - 1) = 0 (1)

(?): (1) ⇔ lg(x2 + 2mx) = lg(x - 1) ⇔ x2 + 2mx = x – 1 (2)
⇔ x2 + x(2m - 1) + 1 = 0.

Phương trình này có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ∆ = 0 ⇔ m = −
hoặc m =

1
2

3
.
2

(!): Thực ra phương trình (1) đã cho chỉ tương đương với phương trình
x 2 + 2mx > 0
x + 2mx = x – 1 (2) với điều kiện 
, hay nói gọn hơn là,
x − 1 > 0
2

phương trình (1) tương đương với phương trình (2) với điều kiện x > 1.
Do đó đáng lẽ phải nói: phương trình x 2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có duy nhất
∆ = 0

một nghiệm x > 1, rồi từ đó chuyển về xét hai trường hợp:  b
và
−
>
1
 2a

∆ > 0
thì học sinh lại chỉ nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có

x
>
1
≥
x
 2
1
nghiệm duy nhất.
Ví dụ 14: Giải phương trình log0,5xx – 2log4xx = 0 (1)
(?): (1) ⇔

1
2
−
=0
log x 0, 5x log x 4x


17

⇔

1
2
−
= 0 ⇔ log x 2 = 1 ⇔ x = 16 .
1 − log x 2 1 + 2 log x 2

4

(!): Cách giải trên đây đã bỏ sót nghiệm x = 1. Thật vậy tập xác định của
phương trình là những x thỏa mãn: x > 0, x ≠ 2, x ≠

log0,5xx thành

1
; tuy nhiên khi chuyển
4

1
thì đã vô tình công nhận x ≠ 1, nhưng thực tế từ phương
log x 0, 5x

trình đã cho không nhất thiết yêu cầu x ≠ 1. Nói cách khác ta đã làm co hẹp tập
xác định của phương trình ban đầu nên dẫn đến làm mất nghiệm.
Ví dụ 15: Giải phương trình:
log 9 ( x 2 − 5 x + 6) 2 =

1
log
2

3

x −1
+ log 3 x − 3
2

• Sai lầm thường gặp:
x 2 − 5x + 6 > 0

x −1
>0
Điều kiện: 
 2
 x − 3 > 0

x > 1
⇔ 
x > 3

PT ⇔ log 3 ( x 2 − 5 x + 6) = log 3
⇔ x 2 − 5x + 6 =
⇔( x

⇔x
⇔

x −1
+ log 3 x − 3
2

x −1
x−3
2

− 2)( x − 3) =

−2 =

⇔ x>3

x −1
x − 3 , Vì x > 3
2

x −1
2

x = 3 , PT vô nghiệm.

* Nguyên nhân sai lầm:
• Sai lầm 1: Đặt điều kiện không đúng.
• Sai lầm 2: Sử dụng công thức không đúng.