Các đề thi toán tự luận 8 cuối học kì II(chọn lọc)

Đề 1
Câu 17: Giải phương trình và bất phương trình sau:
a/ 7x-2=5x+3

b/

2 − x 3x − 1
>
2
3

c/

1
3−x
+3=
x−2
x−2

Câu 18: Một canô xuôi dòng từ A đến B mất 4 giờ và ngược dòng từ B về A mất 5 giờ. Tính quãng đường AB
biết rằng vận tốc của dòng nước là 2km/h.
Câu 19Cho ∆ABC vuông tại A có đường cao AH, biết BH=9cm,HC=16cm.
a/ Chứng minh ∆AHB ∆CAB .
b/ Tính độ dài BC; AB.
Đề 2

Bài 1 Giải các phương trình sau
a)
b)

x + 2 2x +1 5

−
=
2
6
3
x
2x
5
−
= 2
x−2 x+2 x −4

Bài 2 Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số :
-8x – 8 ≥ – 2x + 4

Bài 3:Một cơ sở may mặc theo dự định mỗi ngày may 300 cái áo. Nhưng do cải tổ lại sản xuất nên mỗi
ngày may được 400 cái áo, do đó vượt kế hoạch sản xuất100 cái áo và hòan thành sớm 1 ngày. Tính số
áo mà cơ sở phải may theo kế hoạch.
Bài 4 Cho tam giác ABC cân tại A , vẽ ba đường cao AD, BE, CF ( D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB )
a) Chứng minh: ∆DAC

∆EBC

b) Cho BC =6cm, AC = 9cm. tính độ dài CE
c) Chứng minh : CE = BF
Đề 3
Bài 1: Giải các phương trình :
a)

3x -7 = 5

b)

2x.(x-1) - (x-1) = 0

Bài 2: Cho hai bất phương trình :
3x > 6 và

x(x+1) < x2+ 7

a) Giải các bất phương trình trên
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x thoả mãn đồng thời cả hai bất phương trình đã cho
Bài 3: Một Ô tô khởi hành đi từ A lúc 7 giờ sáng dự định đến B lúc 11 giờ 30 phút .Nhưng do đường xấu ô
tô giảm vận tốc đi 5km/h so với vận dự định vì vậy đến B lúc 12 giờ cùng ngày . Tính quãng đường AB
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH .Biết AB = 6 cm và AC = 8 cm
a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA
b) Tính BC ; AH
c) Trên AC lấy E ; từ E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại D .Tìm vị trí của điểm E để CE + BD
= DE


giải
17a) ⇔

5
2

b)x <

18)Gọi x(km) là quãng đường AB (x>0)

x
x
-2= +2
4
5
19)a) ∆AHB và ∆CAB :
µ =A
µ;B
µ chung
Có H
Ta có phương trình

Do đó ∆AHB
c)Vì ∆AHB

8
9

c) ⇔ x=2 (loại)Phương trình vô nghiệm

Vận tốc đi từ A đến B là

x
x
(km/h) Vận tốc đi từ B đến A là
4
5

x = 80km

b)BC=BH+HC=9+16=25 (cm)

∆CAB

AB HB
=
nên BC AB
⇒ AB2 = HB.BC = 16.25 = 225

và ∆CAB

=> AB=15(cm)

Đề 2
2)
Vậy S= { x / x ≤ −2}

b)S = { 1;5}

1)a) x = 5
3)

Đề 1

a
a + 100
−
=1
300
400

Giải phương trình ta được a = 1500 ( thỏa điều kiện)

4a)Xét ∆ DAC và ∆ EBC có: ·
và
·
ADC = BEC
= 900

b)Ta có : DC = BD = 3cm Mà ∆DAC

µ là góc chung Vậy : ∆DAC
C

∆EBC ( cmt) Suy ra :

c) ∆EBC = ∆FCB ( cạnh huyền – góc nhọn)

DC AC
3
9
=
hay
=
EC BC
EC 6

∆EBC

Vậy EC=2cm

Suy ra: CE = BF
Đề 3

1) a)S = { 4}

 1
b) S = 1; 
 2

2) S = { x | x > 2} và

S = { x | x < 7} b)theo câu a ⇒ 2< x < 7mà x ∈ Z

⇒ x ∈ { 3;4;5;6}
3)Gọi x là vận tốc dự kiến của ô tô ( x>5; km/h)
Quãng đường AB khi ô tô đi với vận tốc dự định : 4,5.x (km)
Quãng đường AB khi ô tô đi với vận tốc thực tế : 5.(x -5) (km)
Ta có phương trình : 5.(x -5) = 4,5.x
giải p/ trình ta có x = 50(TMĐK)
Vậy Quãng đường AB: 50 .4,5= 225km

~

4)aXét ∆ ABC và HAB có BAˆ C = BHˆ A = 900 và góc B chung ⇒ ∆ ABC HAB(g.g)
b)Theo định lý pi ta go có ⇒ BC 10cm theo câu a ta có ∆ ABC

~ HAB

=>AH = ( AB. AC) : BC = 4,8 cm

c )Đặt AE = x ⇒ CE = 8-x Do ED// BC ⇒ CE: CA = BD: BA = ( CE+ BD): (CA+AB) = DE : (CA+AB)
hay (8-x) :8 = DE : 14 (1) mặt khác : AE: CA = ED: BC
⇒ x :8 = DE :10 ⇒

DE = (10: 8 ).x= (5: 4 ).x (2)

từ (1) và (2) ⇒ (8-x) :8 = 5x : 56


⇒ x = 14 : 3 ⇒ AE = 14 : 3
Đề 4
Câu 3(5điểm) : Giải các phương trình và bất phương trình sau :
b/( x+ 1 ) 2 – x2 - 2x + 5 = 0

a/ (3x + 2 )(5 – 3x ) = 0

d/

4x +1 5x + 2 x +1
≤
4
6
3

e/

c/

x +1 x -1 2(x2 + 2)

=
x-2 x+2
x2 -4

( x2 - x + 1 )4 – 10x2 ( x2 - x + 1 )2 + 9x2 = 0

Câu 4. (3điểm). Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường cao AD cĩ AB = 3cm, AC = 4cm. Từ B kẻ tia phân giác
BE của góc ABC cắt AC tại E và cắt AD tại F
b. Chứng minh: AD2 = BD . DC

a. Tính độ dài đoạn thẳng AD

c. Chứng minh:

DF AE
=
FA EC

Đề 5
Bài 1: Giải phương trình :
x +2 x +3
a/
=
x
x −2

b/ | 3x - 2‌‌ ‌| = x + 6

Bài 2: Cho bất phương trình

x−3
2x + 1
+2<
2
3

a) Giải bất phương trình

b) Biểu diễn tập nghiệm trên trục số

Bài 3: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 3 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 4 giờ. Tính
khoảng cách giữa hai bến A và bến B, biết rằng vận tốc dòng nước là 2 km/h.
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 16cm, BC = b = 12cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A
xuống BD.
Đề 6
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)

2x − 1
= x – 1;
3

b)

2
2x
=1+
x −1
x+2

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a)

x−

x−3
x −3
≥ 3−
8
12

b)

x+5
>1
x−3

Bài 3: Một ô tô đi từ Hà Nội lúc 8 giờ sáng, dự kiến đến Hải Phòng vào lúc 10giờ 30 phút. Nhưng mỗi giờ ôtô
đã đi chậm so với dự kiến 10 km nên mãi đến 11 giờ 20 phút xe mới tới Hải Phòng. Tính quãng đường Hà Nội Hải Phòng.
Bài 4: : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12 cm, BC = b = 9 cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A
đến BD.
a. Chứng minh rằng ∆ AHB

∆ BCD.

b. Tính độ dài AH.
c. Tính diện tích ∆ AHB.
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D'. Có độ dài đường chéo A'C là 12 .
a. Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng nào? Vì sao?
b.Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lập phương.

Giải
Đề 4: 3 a)x = 5/3 b) 0x = -6 (Vô nghiệm )
c)2x2 + 4 = 2x2 + 4 Vậy pt được nghiệm đúng với mọi giá trị của x
e)( x2 - x + 1 )4 – 10x2 ( x2 - x + 1 )2 + 9x2 = 0
⇔ ( t2 – x2)(t2- 9x2) = 0

d) ⇔ x > -5/2

đặt t = x2 - x + 1 ta được pt :

t4 – 10x2t2 + 9x4 =0

⇔ ( t - x )( t + x ) (t – 3x ) ( t + 3x) = 0

⇔ ( x – 1 )2(x2 + 1 )(x + 1 )2 [( x - 2 )2 – 3 ] = 0

⇔ x=1 ;-1;2+

3 ;2-

3

4)a.AD = ( AB*AC) : BC = 2,4 (CM ) b. Chứng minh: chứng minh tam giác ABD đồng dạng tam giác CAD ta
có

^

^

BHA = BHC = 9O O

^

^

^

BAC = C (cùng phụ với ABC )

Vậy hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc góc.Từ câu a suy ra : AD2 = BD . DC
c. Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABD, tam giác ABC và tam giác DAB đồng dạng tam giác
ABC suy ra

DF AE
=
FA EC

Đề 5: 1a) x = −

4
3

b) ⇒ S = { − 1;4}

2)Vậy S = { x / x >1}

3) Gọi khoảng cách giữa hai bến A và bến B là: x (km); (x > 0) Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là.

x
(km/h).
3

x
x x
(km/h).Vì vận tốc dòng nước là 2 (km/h) nên ta có phương trình: - = 4
4
3 4

Giải phương trình, ta được: x = 48 (TMĐK) Vậy khoảng cách giữa hai bến A và bến B là: 48 (km)
4)Có : AB // CD ⇒

( so le trong)=>AHB

BCD (g - g).

AH AB
BC. AB a.b
⇒ AH =
=
=
.Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có
BC BD
BD
BD
BD2 = AD2 + AB2 = a2 + b2 = 162 + 122 = 400 suy ra BD = 400 = 20.
ab 16.12
=

= 9,6 (cm)
Tính được AH =
BD
20
c) AHB BCD theo tỉ số k = AH = 9,6 Gọi S và S’ lần lượt là diện tích của tam giác BCD và AHB, ta có: S =
BC 12
2
2
1
1
S'
9,6 
9,6 


2)
2
2
a.b = .16.12 = 96 (cm )
=k =
 ⇒ S’ = 
 .96 = 61, 44 (cm )
2
2
S
 12 
 12 
Đề 6: 1)a) x = 2
b)x = - 1 ( TM) x = - 2 (Không TM)
2) a)x ≥ 3 b)x > 3

b)AHB

BCD ⇒

3)Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) ĐK: x > 10 Vận tốc ôtô thực tế đi là: x - 10 (km / h)
Thời gian dự định đi là : 10h30' - 8h = 2h30' = 2,5 (h)
Thời gian đi thực tế là : 11h20' - 8h = 3h20' =
Theo bài ra ta có phương trình: (x - 10).

10
(h)
3

10
= x. 2,5
3

⇔ 10 x - 100 = 7,5x
⇔ 2,5x = 100
⇔ x = 40 (km / h) Vậy quãng đường Hà Nội - Hải Phòng là: 40 (km / h)


2cm
6cm

Đề 8: 1) Giải phương trình

a) 3x - 9 = 0

b) (x -

2. Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số

5
1
)(x + ) = 0
6
2

6

1 − 2x
1 − 5x
−2<
4
8

4

3

3. Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày được 40 ha. Khi thực hiện, mỗi ngày cày được 52 ha. Vì vậy, đội không những
đã cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã
định?
4. Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC). Biết BH = 4cm ; CH = 9cm. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H
lên AB và AC. Chứng minh rằng: a)Tứ giác AIHK là hình chữ nhật. B)Tam giác AKI đồng dạng với tam giác ABC.
c)Tính diện tích ∆ ABC. 5. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng sau đây.
Đề 9:

1Giải các phương trình sau:

a/ 7+ 2x = 22-3x

b/

x+2 1
2
− =
x − 2 x x( x − 2)

2)Giải bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm trên trục số: a/ 2x – 3 > 0

b/ 3 – 4x ≥ 19

·
·
4)Cho hình thang ABCD (AB//CD và DAB
= DBC
) biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm ; BD = 5cm.
a/ Chứng minh ∆ADB : ∆BCD b/ Tính độ dài các cạnh BC và CD. c/ Chứng minh rằng

s ADB 1
=
S BCD 4

5)Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là một tam giác vuông có hai cạnh góc vuônglần lượt là 2cm, 3cm và chiều cao 5cm
tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng
Đề 10: 1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn – Cho ví dụ. 2. Phát biểu định nghĩa hai tam giác đồng dạng.
3. Cho tam giác OMN, biết EF//MN ( E ∈ OM , F ∈ ON ) , OF=6cm và

OE 1
= .Tính FN.
EM 2

4.Viết công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật (giải thích công thức).
5.Viết công thức tính diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng (giải thích công thức).
6. Giải các phương trình: a/ 2x -6 = 0.
7. Giải bất phương trình

b/

x −3 x −2
+
= −1
x−2 x−4

2 − x 3 − 2x
≤
và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.
3
5

8. Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 60km/h. Sau đó quay ngay về A nhưng chỉ đi với vận tốc 45hm/h. Thời gian chuyến
đi và về mất 7 giờ. Tính quãng đường AB.
9. Cho tam giác ABC có AB=4cm, AC=6cm, BC=8cm. Đường cao AH(H ∈ BC);Tia phân giác góc A cắt BC tại D.
a/ Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác HAC.
b/ Chứng minh AC 2 = BC.HC
c/Tính độ dài đọan thẳng DB.
Giải: Đề 8: a) x = 3

b)x =

5
1
hoặc x = 6
2

2)x< 15

3)Gọi x là diện tích ruộng đội cày theo kế hoạch (ha; x > 40) Diện tích ruộng đội đã cày được là: x + 4 (ha)
Số ngày đội dự định cày là:

x
x+4
(ha). Số ngày đội đã cày là:
(ha) Đội cày xong trước thời hạn 2 ngày nên ta có p.t
40
52

x
x+4
–
= 2 => Giải phương trình được: x = 360
40
52
4)a) Tứ giác AIHK có

·
·
·

IAK
= AKH
= AIH

= 90° (gt) =>tứ giác AIHK là hcn (Tứ giác có 3 góc vuông)

3cm


b)

·
·
·
·
ACB
+ ABC
= 900 HAB
+ ABH
= 900

Suy ra :

·
·
ACB
= HAB

Từ (1) và (2) ⇒

(1). Tứ giác AIHK là hình chữ nhật ⇒

HAB = AIK

(2)

·
·
⇒ ∆ AIK đồng dạng với ∆ ABC (g - g)
ACB
= AIK

c) ∆ HAB đồng dạng với ∆ HCA (g- g) => HA/HC=HB/HA

1
2
⇒ HA 2 = HB.HC = 4.9 = 36 ⇒ HA = 6(cm) . SABC = AH.BC = 39(cm )
2
5) Sxq=(3 + 4).2.6 = 84(cm2) Stp= 84 + 3.4.2 = 108 (cm2)
Đề 9: 1)a)x= 3 b)x = 0 ( ko TMĐKXĐ); x +1 = 0 ⇔ x= -1 ( thoả mãn đkxđ) 2) ⇔ x > 3/2 b)x
a/ AB//DC ⇒ ABˆ D = BDˆ C (slt) và DAˆ B = DBˆ C (gt)
b/ Vì ∆ABD đồng dạng ∆BDC ⇒

≤ -4

Do đó ∆ADB đồng dạng với ∆BCD.

AB AD BD
2.5 3.5
5

=
=
=
=
hay
tính được BC = 7 (cm) ; DC = 10 c/
BD BC DC
5
BC DC
2

∆ABD đồng dạng ∆BDC theo tỷ lệ đồng dạng k ⇒ k =

AB 2.5 1
S
1
1
=
= .Vậy ADB = k 2 =   = .
BD
5
2
S BCD
4
2

5)xét tam giác ABC có hai cạnh AB= 3cm, AC= 2cm. theo đinh lý pytago ta có BC 2 = AB2+AC2 suy ra BC=

13 cm

sxq =2ph=(3+2+ 13 ).5 = 25+5 13 cm2
Đề 10: 3)FN=12cm ; 6)a) S = { 2} b) x = 3; x =

8)

8
; 7) x ≤ −1
3

x
x
+
= 70 Giải PT đúng x = 180 =>x = 180 thỏa mãn ĐK x>0 Vậy quãng đường AB = 180km
60 45

9)a)Áp dụng được ĐL Py-Ta –Go đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A

Lập luận được tam giácABC đồng dạng tam giác HBA(HaiTgiác vuông có góc nhọn bằng nhau)
Kết luận viết đúng thứ tự các đỉnh tương ứng
AB BC AC
=
=
b)Lập được tỉ lệ thức HA AC HC ;

2
Suy ra được: AC = BC.HC

DB DC
=
AB AC

DB DC DC + DB
6
6
=
=
=
=
AB AC AB + AC 3 + 4 7

c)Viết được Áp dụng TC tia phân giác:
Theo T/C tỉ lệ thức Suy ra được
Từ

DB 6
6.3 18
= ⇒ DB =
=
Vậy BC= 2,86 (cm)
AB 7
7
7

2)2 1 − 10 x + 25 x 2 = 4x

⇔

(5 x − 1) 2 = 4x

⇔ 5 x − 1 = 4x ⇔ 5x-1 = 4x vµ 1-5x = 4x
5x-1 = 4x ⇔ x = 1

1
1-5x = 4x ⇔ x =
9

6)1)b)ĐKXĐ: x ≠ 1; x ≠ - 2 ta có

2 . ( x + 2)
( x − 1). ( x + 2)
2 x.( x − 1)
=
+
( x − 1).( x + 2)
( x − 1).( x + 2)
( x − 1).( x + 2)

⇒ 2. (x + 2) = (x - 1).(x + 2) + 2x(x - 1) ⇔ 2x + 4 = x2 + x - 2 + 2x2 - 2x ⇔ 3x2 - 3x - 6 = 0


⇔ 3(x2 - x - 2) = 0 ⇔ 3(x + 1).(x + 2) = 0 ⇔

x + 1 = 0 hoặc x + 2 = 0 ⇔ x = - 1 hoặc x = - 2

Đối chiếu điều kiện xác định ta thấy x = - 1 ( TM)
x = - 2 (Khơng TM)
Bài 1 Giải các phương trình sau :5x – 3 = 4x + 6

b) 2 x − 1 = 5 x − 4

Bài 2 : 1)Tìm các giá trị ngun âm thoả mãn bất phương trình

c) (7 x + 4) 2 - ( x - 6) 2 = 0

5 x + 3 9 x + 2 7 − 3x
−
<
4
5
8

. 2)Gi¶i ph¬ng tr×nh. 1 − 10 x + 25 x 2 = 4x
Bài 3 Một người đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được 1 giờ với vận tốc ấy, người đó nghỉ 15
phút và tiếp tục đi, để đến B kịp thời gian dự định thì người đó phải tăng vận tốc thêm 5 km/h. Tính quảng đướng từ tỉnh A
đến tỉnh B.
Bài 4 : Cho ∆ ABC vng tại A, đường cao AH, biết AB = 5 cm; AC = 12 cm. Tia phân giác của góc ABC cắt AH và
AC theo thứ tự tại E và F.
a)Tính : BC, AF, FC. B)Chứng minh: c) ∆ ABF ~ ∆ HBE
d)Chứng minh : ∆ AEF cân
e) AB.FC = BC.AE
Đề 2

Bài 1/ Giải các phương trình sau: a/ x – 5 = -8
b/ x − 3 + 2 x = 9
Bài 2/ Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số . 6x + 12 ≤ 4x – 8
Bài 3/ Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai đòa điểm Avà B cách nhau 80km , và sau một giờ thì hai
xe gặp nhau . Tính vận tốc của mỗi xe ? Biết xe đi từ A có vận tốc lớn hơn xe đi từ B là 10km / h .
Bài 4 / Cho tam giác ABC vuông góc tại A với AB = 6cm , AC = 8cm . Vẽ đường cao AH
a/ Chứng minh : ∆ ABC đồng dạng ∆ HAC . Suy ra : AC2 = HC . BC b/ Tính độ dài BC và AH
c/ Kẻõ CM là phân giác của góc ACB ( M thuộc AB ) . Tính độ dài CM ?
Đề 3
1). Tuổi ông hiện nay gấp 7 lần tuổi cháu , biết rằng sau 10 năm nửa thì tuổi ông chỉ còn gấp 4 lần tuổi

cháu . Tính tuổi mỗi người hiện nay.
( ĐS : Cháu 10 tuổi ; ông 70 tuổi)
2). Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm một chữ số 4 vào cuối của số đó thì số ấy tăng thêm 1219 đơn
vò .
(ĐS : số 135)
3). Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình15km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc
12km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Tính độ dài qng đường AB.
4). Một canơ xi dòng từ bến A đến bến B mất 5 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 6 giờ. Tính
khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2km/h.
2). Lúc 6h sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1h, một ơtơ cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc
trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy là 20km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9h30’ sáng cùng
ngày. Tính độ dài qng đường AB.
Đề 7

Bài 1 Giải các phương trình sau.
a/

4x + 3 6x − 2
−
= 1− 2x
5
3

b/ (2x + 1).(3x – 2) = (5x – 8).(2x + 1)
Bài 2 a/ Giải và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình sau trên trục số?
2− x
<3
2

b/ Tìm x sao cho giá trị của biểu thức x + 3 lớn hơn giá trị của biểu thức

4x – 5 ?
Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 – 10x + 28 ?
Bài 4 Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH ( H thuộc BC). Gọi D và E là hình chiếu của H
trên AB và AC.
a/ Biết các độ dài HB = 4 cm, HC = 9 cm. Tính độ dài đoạn thẳng DE?


b/ Chứng minh hệ thức

AD AE
+
=1 ?
AB AC