Ánh xạ xạ ảnh phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành
cho sinh viên ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm trong cả
nước. Mục đích của môn học là cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng
quan về các hình học và mối quan hệ giữa chúng. Đồng thời, hình học xạ
ảnh giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và
sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.
Thế mạnh của môn học là giúp chúng ta giải quyết các bài toán
về tính đồng quy và thẳng hàng (đặc biệt là hình học phẳng ) một cách
tổng quát.Với niềm đam mê Toán học và đặc biệt là niềm yêu thích môn
Hình học, tôi rất mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về các
vấn đề liên quan đến hình học.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi nhận thấy rằng các khái
niệm, định lý về ánh xạ xạ ảnh và biến đổi ánh xạ rất quan trọng khi giải
bài tập và tư duy hình học.
Dưới sự hướng dẫn của thầy Đinh Văn Thủy tôi đã phần nào làm
được điều đó. Trong khuôn khổ một khóa luận và thời gian nghiên cứu
nên tôi chỉ tập trung nghiên cứu đề tài “ Ánh xạ xạ ảnh – Phép chiếu
xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh ”
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu về ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ
ảnh cùng các tính chất của nó.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Ánh xạ xạ ảnh – phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 1 
 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

4. Mức độ và phạm vi nghiên cứu.
Tìm hiểu tổng quan về Ánh xạ xạ ảnh – phép chiếu xuyên tâm và
thấu xạ xạ ảnh
5. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Tìm hiểu các định nghĩa, định lý, tính chất về ánh xạ xạ ảnh
Tìm hiểu về phép chiếu xuyên tâm, phép thấu xạ
Định hướng cách giải một số bài toán liên quan đến ánh xạ xạ ảnh
và phép chiếu xuyên tâm
6. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài
Đề tài “Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh”
giúp em hiểu thêm về hình học xạ ảnh và biết cách áp dụng giải bài tập
và có cái nhìn đúng đắn hơn về môn học này

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 2 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

Chương 1. ÁNH XẠ XẠ ẢNH
1.1. Định nghĩa

Cho các K- không gian xạ ảnh (P,p, V) và (P', p', V').
Một ánh xạ f : P → P' được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có ánh xạ


tuyến tính φ : V → V', sao cho nếu véc tơ x
V là đại diện cho điểm
X

P thì véc tơ φ (x)

khác, nếu p(


x

V' là đại diện cho điểm f (X)

P' nói cách

) = X thì:

p  ( x)  f ( X )





Khi đó ta nói rằng ánh xạ tuyến tính là φ là đại diện của ánh xạ xạ ảnh f.
1.2. Tính chất của ánh xạ xạ ảnh

Cho ánh xạ xạ ảnh f : P → P', có đại diện là ánh xạ tuyến tính
φ: V → V'.
Khi đó:

1.2.1. Ánh xạ tuyến tính φ là đơn cấu.

Thật vậy, nếu có véc tơ x V \ {0 } là đại diện cho điểm X P,



V' \{ 0 }
thì véc tơ φ( x ) đại diện cho điểm f (X) nên φ( x )


 Ker  0



1.2.2. Ánh xạ f là ánh xạ đơn ánh.
Thật vậy, giả sử A và B là hai điểm của P mà f (A) = f (B). Khi




đó, nếu gọi a và b là các véc tơ đại diện của A và B thì φ( a ) và φ( b )


cùng đại diện cho một điểm f (A) = f (B) nên φ( a ) = kφ( b ), k ≠ 0 .


Vì φ đơn cấu nên suy ra a = k b , tức là A và B trùng nhau.
1.2.3. Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ
điểm (do đơn cấu tuyến tính bảo tồn sự độc lập tuyến tính của hệ véc tơ).
Từ đó suy ra: Ánh xạ xạ ảnh bảo tồn các khái niệm: m - phẳng, số chiều

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 3 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

của phẳng, giao và tổng của các phẳng, tỉ số kép của hàng bốn điểm và
của chùm bốn siêu phẳng.
1.2.4. Ánh xạ xạ ảnh bảo toàn tỷ số kép



C  1 A  1 B
Nếu 


D  1 A  1 B



F (C )  1F ( A)  1F ( B)
thì



F ( D)  1F ( A)  1F ( B)

C  1 A  1B

hay 
D  2 A  2 B
 ( ABCD )  ( ABC D)

1.2.5. Mỗi đơn cấu tuyến tính φ : V → V' là đại diện cho một ánh xạ xạ
ảnh duy nhất f : P → P'. Hai đơn cấu tuyến tính φ : V → V' và φ' : V →
V' cùng đại diện cho một ánh xạ xạ ảnh f : P → P' khi và chỉ khi có số
k

K \ {0 } sao cho φ = kφ'.

1.3 . Định lí về sự xác định phép ánh xạ xạ ảnh
1.3.1 Định lý: Cho trong Pn mục tiêu xạ ảnh R= Si ,U i 0 và trong Pn
n

mục tiêu R  Si,U i 0 . Khi đó có và duy nhất ánh xạ xạ ảnh f:Pn → Pn
n

sao cho

f ( Si )  Si(i  0, n)
f (U )  U 
Chứng minh

+) Gọi ε,ε’ là các cơ sở đại diện của R và R’
Khi đó có và duy nhất ánh xạ tuyến tính F : Vn+1 → V’n+1 sao cho


F ( ei )  ei, (i  o , n ) .

Gọi f là ánh xạ xạ ảnh xác định bởi F thì f ( Si )  Si và do :

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 4 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

n 
n
n 

F (  ei )   F (ei )   ei nên F(U) = U’ (i  o , n )
i 0

0

0

+) Nếu có ánh xạ xạ ảnh g: Pn →P’n mà g ( S i )  S i, g (U )  U (i  0, n )
Gọi G là ánh xạ đại diện của g
n 
n 


 G ( ei )  k i ei (i  0, n )  G (  ei )  k .(  ei)
0

0

n 
n
n
n 
n



Do G ( ei )   G (ei )   ki .ei  k ( ei)   k .ei
i 0

i 0

i 0

0

0

 
  ( k  ki).ei  0
n

i 0

k  ki i  0, n






Vậy G ( ei )  k .ei  k .F ( ei ) i  0, n

 
 G ( x )  k .F ( x )  x  V n 1 hay G=k.F suy ra g = f

1.4. Đẳng cấu xạ ảnh. Hình học xạ ảnh
Dễ thấy rằng ánh xạ xạ ảnh f : P → P' là một song ánh khi và chỉ khi
P và P' có cùng số chiều. Khi đó, f được gọi là một đẳng cấu xạ ảnh, và
hai không gian P và P' được gọi là đẳng cấu.
Nếu trong không gian xạ ảnh Pn cho hai mục tiêu xạ ảnh { S i ,E} và
{ Si , E }, thì có phép biến đổi xạ ảnh duy nhất f của Pn, biến các điểm Si
thành các điểm S i (i = 0,1,..., n) và biến E thành E'.
1.5. Biểu thức tọa độ của phép biến đổi xạ ảnh
Cho f : Pn → Pn là phép biến đổi xạ ảnh của K - không gian xạ ảnh
Pn, liên kết với không gian véc tơ Vn+1. Ta hãy chọn mục tiêu xạ ảnh nào
đó {Si, E}. Với mỗi điểm X bất kì, gọi (x0 : x1 : ... : xn) là tọa độ của nó
và ( x0 : x1 : ... : xn ) là tọa độ của X' = f (X). Ta hãy tìm sự liên kết giữa
xi và xi
Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 5 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

 



Gọi ( e0 , e1 ,..., en ) là cơ sở trong Vn+1 đại diện cho mục tiêu {Si, E} và
φ: Vn+1 → Vn+1 là biến đổi tuyến tính của Vn+1 đại diện cho biến đổi xạ
ảnh f. Giả sử đối với cơ sở đó, có biểu thức tọa độ:
n

kxi   aij x j , i  0,1,2,..., n

k≠0

(0.0.1)

j 0

Trong đó, ma trận A = ( aij ) có hạng bằng n+1, tức là det A ≠ 0 . Ma
trận A chính là ma trận chuyển từ cơ sở ( ei ) sang cơ sở ảnh của nó qua
phép φ.
Để ý đến mối quan hệ giữa tọa độ xạ ảnh của một điểm với tọa độ
của véc tơ đại diện nó, ta suy ra biểu thức liên hệ giữa tọa độ của X và X'
là:
n

kxi   aij x j , i  0,1,2,..., n; k  0
j 0

Trong đó, ma trận A = ( aij ) ; i, j = 0 ,1 , 2 , . . . , n có hạng bằng n + 1
(tức là có định thức khác không), nó được gọi là ma trận của phép biến
đổi xạ ảnh f với mục tiêu {Si; E}.
Các cột của A là các cột tọa độ của các điểm f (Si), nhưng phải chọn

sao cho:
n

n

n

j 0

j 0

j 0

( a0 j :  a1 j :...:  anj )
là tọa độ của điểm f (E).
Biểu thức (0 .0 .1 ) có thể viết dưới dạng ma trận: k.x' =Ax , trong đó
x và x' là ma trận cột tọa độ của điểm X và điểm X'.
1.6. Liên hệ giữa biến đổi xạ ảnh và biến đổi Afin
Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu S i ; E , gọi W là siêu
phẳng có phương trình x0  0 . Xét phép biến đổi xạ ảnh f : Pn → Pn sao
Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 6 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

cho f (W) = W.
Ta gọi như thường lệ, An = Pn \ W là không gian Afin. Vì f (W) = W
nên f (An) = An nên ta có ánh xạ hạn chế :

f' = f | An : An → An
Khi đó bằng cách chuyển từ tọa độ xạ ảnh của một điểm trong trong
An thành tọa độ A fin của nó (đối với mục tiêu A fin sinh bởi mục tiêu
xạ ảnh) ta tìm thấy biểu thức tọa độ của f':
n

X i   aij X i  ai0 , i  1, 2,..., n
j 0

Trong đó :

aij 

aij
a00

 i, j  1, 2,..., n 

Như đã nói, ma trận A' = ( aij ); i, j = 1 , 2 , . . . , n có hạng n. Do đó, ma
trận A" = ( aij ); i, j = 1 , 2 , . . . , n cũng có hạng n. Từ đó suy ra f' là phép
biến đổi Afin của An, ta gọi nó là phép biến đổi Afin sinh bởi phép biến
đổi xạ ảnh f.
Như vậy, ta đã chứng minh rằng, mỗi phép biến đổi xạ ảnh f : Pn →
Pn sinh ra một phép biến đổi Afin f' : An → An nếu f (W) = W.
Ngược lại: Mọi phép biến đổi Afin đều được sinh ra bởi một phép
biến đổi xạ ảnh duy nhất f mà f (W) = W (ta nói rằng f biến điểm vô
tận).

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 7 
 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

Chương 2. PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM
2.1. Định nghĩa

Trong không gian xạ ảnh P n cho 2 siêu phẳng α và β và điểm
C  P n \ {   } và p c :    sao cho X   thành pc ( X )  X 

sao cho CX    X '
Khi đó pc được gọi là phép chiếu xuyên tâm từ α lên β với tâm chiếu C.
Nhận xét:
- Phép chiếu xuyên tâm hoàn
toàn xác định bởi cặp siêu
phẳng α , β và tâm chiếu C.
- Phép chiếu xuyên tâm biến
những điểm giao của hai siêu
phẳng α và β thành chính nó

2.2. Một số định lý

2.2.1.Định lý 1 :
Nếu coi 2 siêu phẳng α và β là 2 không gian xạ ảnh (n – 1) - chiều thì
phép chiếu xuyên tâm là một đẳng cấu xạ ảnh.
Chứng minh:
n
Gọi W và

W 'n là 2 không gian vectơ nền của α và β

Đặt      là (n – 2) - phẳng
Cho { A1 ,..., An 1 , An } hệ điểm độc lập xạ ảnh của α
Trong đó:

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 8 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

Ai  

i  1, n  1

An   \ 
Ta có: An  p c ( An )
'

'

Hệ {A1 ,..., An1 , An } độc lập xạ ảnh.
'

Thật vậy: nếu { A1 ,..., An 1 , An } phụ thuộc xạ ảnh
Thì An    An   (vô lý ) (Do A1 ,..., An 1 độc lập xạ ảnh trong  )
'

'


Gọi ei là véc tơ đại diện của Ai i  1, n

en là véc tơ đại diện của An'

e là véc tơ đại diện của C

'
Ta có: C, A n , A n thẳng hàng

Suy ra:




en  aen  be

Nếu:




a  0  e n  b e  An'  C



b  0  e n  a e n  An'  An
 



Vậy a, b  0 chọn a =1 suy ra: en  en  be



Đặt

  
  {e1 ,..., en1 , en }
    là 2 cơ sở của W n và W 'n
   {e1 ,..., en1 , en }

Do d im W

 :W

n

 d im W  n suy ra tồn tại duy nhất đẳng cấu tuyến tính

 W ' n sao cho




 ( e i )  e i  i  1, n  1 và  ( e n )  e n
n

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 9 

 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 



Ta sẽ chứng minh X   có vectơ đại diện x thì sẽ có pc ( X )  X '  
véc tơ đại diện là  ( x )  x '


Lấy X   có véc tơ đại diện x suy ra: p c ( X )  X '  
Do





X    x  x 0 e 0  x1 e 0  ....  x n e n




  ( x )  x 0 e 0  x1 e 0  ....  x n e n




'

'
  ( x )  x 0 e 0  x1 e1  ....  x n e n'





'
  ( x )  x 0 e 0  x1 e1'  ....  x n e n  b e





  ( x )  x 0 e 0  x1 e 0  ....  x n e n  x n b e



(c  xn b )
  ( x)  x  ce
  
Suy ra:  ( x ), x , e phụ thuộc tuyến tính nên ba điểm mà  ( x ), x , e

 

 

 











đại diện thẳng hàng, tức  ( x ) đại diện cho một điểm nào đó thuộc đường
thẳng CX .



Mặt khác:  ( x )  W  n và C X    X '


Dẫn đến:  ( x ) là vectơ đại diện của X’
Vậy ta đã chứng minh p c được cảm sinh từ đẳng cấu tuyến tính
cho X   có vectơ đại diện





 sao

x thì sẽ có pc ( X )  X '   vectơ đại

diện là  ( x )  x ' . Do đó pc là một đẳng cấu xạ ảnh.

2.2.2. Định lý 2:
n
n 1
Cho 2 siêu phẳng  ,  ' trong P [V ] thì ánh xạ xạ ảnh

f :    ' là một phép chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi mọi phần tử của

   ' là tự ứng. Tức là  M     ', f ( M )  M
Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 10 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

Chứng minh:

Gọi Pn-2 = α ∩ β.
+) Chiều thuận: f là một phép
chiếu xuyên tâm thì hiền nhiên
nó giữ bất động những điểm nằm
trên Pn-2.
+) Chiều đảo: f là ánh xạ xạ ảnh
có tính chất f(M) = M với mọi M
thuộc Pn-2 cần chứng minh f là
phép chiếu xuyên tâm.
Trong α chọn một mục tiêu xạ ảnh là {A1, A2, …An-1,An, E} với A1, A2,
…, An-1 thuộc Pn-2, ta có An, E không thuộc Pn-2 , gọi A’n = f(An) và
E’ = f(E).
Trên β ta có mục tiêu là {A1, A2, …An-1,A’n, E’} là ảnh của mục tiêu

{A1, A2, …An-1,An, E} qua f. Gọi M = AnE ∩ β thì M thuộc Pn-2 do f(M)
= M nên đường thẳng A’nE’ cũng qua M. Trong mặt phẳng xạ ảnh tạo
bởi hai đường thẳng AnE và A’nE’ gọi C là giao điểm của AnA’n và EE’.
Gọi f’ là phép chiếu xuyên tâm có cơ sở nền là α và β với tâm chiếu là C.
Ta có: f’(Ai) = Ai với i = 1, 2,…, n-1 do Ai với i = 1, 2,…, n-1 nằm trên
Pn-2 và f’(An) = A’n và f’(E) = E’. Do sự xác định duy nhất của phép biến
đổi xạ ảnh xác định bởi {A1, A2, …An-1,An, E} và {A1, A2, …An-1,A’n,
E’} nên f ≡ f’.
Vậy f là phép chiếu xuyên tâm.
2.2.3. Định lý 3:
Trong Pn với cho hai siêu phẳng  và  ' . Giả sử f :    ' là
một ánh xạ xạ ảnh, không phải là phép chiếu xuyên tâm. Khi đó ta có thể
phân tích f thành tích của m phép chiếu xuyên tâm với m  n 1
Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 11 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

Chứng minh:

+) Xét trường hợp    ' và trong    ' có một p - phẳng  mà mọi
điểm  của đều tự ứng đối với f  0  p  n  2  .
Vì f không phải là phép chiếu xuyên tâm nên      ' .
Lấy một điểm A   nhưng A   ' , điểm I   , điểm B trên đường
thẳng IA mà không trùng với I, A.
Đặt A’=f(A), B’=f(B), thì A’B’ đi qua I.
Do đó AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm C nào đó.
Lấy một siêu phẳng  1 chứa β và A nhưng không chứa A’ thì chứa cả B.

Gọi g1 :  '   1 là phép chiếu xuyên tâm bởi tâm C.
Khi đó, tích g 1  f :    1 là một ánh xạ xạ ảnh, (p+1) - phẳng tổng
  A nằm trên giao   1 và mọi điểm của (p+1) - phẳng tổng
  A đều bất động đối với g1  f (vì các điểm trên β đều bất động khi

qua f và g1 nên β bất động qua g 1  f và A qua f biến thành A’ mà A’
qua g1 biến thành giao điểm của CA’ với α1 tức là điểm A vậy A bất biến
qua g 1  f , mọi điểm thuộc   A đều biểu thị qua p + 1 điểm độc lập
trong β và A suy ra nó bất động ).
Nếu g 1  f

không phải là phếp chiếu xuyên tâm ( tức là

  A    1 ) thì cho g1  f đóng vai trò như f ban đầu ta lại có phép
chiếu xuyên tâm g 2 :  1   2 sao cho g 2  g1  f :    2 giữ bất
động mọi điểm của một (p + 2) - phẳng nào đó nằm trong    2 .
Tiếp tục cách làm như thế sau một số hữu hạn bước ta có thể tìm được
các phép chiếu xuyên tâm g1 :  '  1 , g 2 : 1   2 ,...., g p :  p 1   p

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 12 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

sao cho tích h  g q  ....  g1  f :    q giữ bất động các điểm của một
(n - 2) - phẳng
Do đó h là một phép chiếu xuyên tâm.
1

1
Suy ra f  g 1  ....  g q  h là tích của q + 1 phép chiếu xuyên tâm.

Vì q  p  n  2 nên q  1  n  p  1  n  1.
+) Xét trường hợp    ' và trong    ' không có điểm nào tự ứng
đối với f. Lấy một điểm C   , đặt C’=f(C) rồi lấy một siêu phẳng  ''
đi qua C, không đi qua C’ mà  ''   . Gọi s :  '  '' là phép chiếu
xuyên tâm bởi tâm là một điểm U  CC ' , thì s  f :    '' là một
ánh xạ xạ ảnh có điểm C     '' tự ứng . Áp dụng trường hợp trên
suy ra là tích của một số  n 1 phép chiếu xuyên tâm. Do đó f là tích
của một số  n phép chiếu xuyên tâm.
+) Cuối cùng xét trường hợp    ' . Chỉ cần lấy một phép chiếu xuyên
tâm r :    ''' nào đó thì r  f :    ''' là một ánh xạ xạ ảnh rơi vào
một trong hai trường hợp trên. Suy ra f là tích của một số  n  1 phép
chiếu xuyên tâm.
2.3. Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm:

Cũng như nhiều các khái niệm, định lý trong hình học xạ ảnh thì
phép chiếu xuyên tâm cùng với các định lý bài tập về nó thì đều có đối
ngẫu.
2.3.1 Định nghĩa:
n

Trong không gian xạ ảnh P cho 2 điểm A và A’ và siêu phẳng

  P n \ AA
Tập các siêu phẳng đi qua A được gọi là bó siêu phẳng tâm A
Gọi B là bó siêu phẳng tâm A , B’ là bó siêu phẳng tâm A’
Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 13 
 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

và pα : B

B’

  
sao cho      
Khi đó p được gọi là phép chiếu xuyên siêu phẳng từ A lên A’
với cơ sở  và 2 tâm A, A’
n = 2 phép chiếu xuyên siêu phẳng được gọi lại là phép chiếu
xuyên trục.
2.3.2. Một số định lý:
Định lý 1: phép chiếu xuyên siêu phẳng là một ánh xạ xạ ảnh.
Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếu
xuyên siêu phẳng là đường nối hai tâm phải tự ứng.
Định lý 3: Một ánh xạ xạ ảnh không phải là phép chiếu xuyên xạ
ảnh đều có thể phân tích thành không quá n + 1 phép chiếu xuyên siêu
phẳng.
2.4. Phép chiếu xuyên tâm và đối ngẫu của nó trong P2:

2.4.1. Định nghĩa :
a) Định nghĩa 1:
Trong mặt phẳng xạ ảnh, một ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm gọi
là phép chiếu xuyên tâm (phép phối cảnh) nếu các đường thẳng nối các
điểm tương ứng luôn đi qua một điểm C cố định, điểm C được gọi là tâm
phối cảnh.

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 14 
 


KHÓ
ÓA LUẬN TỐT
T
NGHIỆP
P ĐẠI HỌC
 

b) Đối ngẫu của
c định ngghĩa 1:
Trong mặt
m phẳng xạ ảnh, m
một ánh xạ xạ ảnh giữ
ữa hai chùùm đường
g là phép chiếu xuyyên trục (ph
hép phối ccành) nếu giao
g điểm
thẳẳng được gọi
củaa các cặp đường
đ
thẳnng tương ứng
ứ luôn nằằm trên mộột đường thẳng
t
t cố
địnnh, đường thẳng
t

t đượ
ợc gọi là trrục phối cảảnh.

4.2.Định lýý:
2.4
a) Định
Đ
lý 1:
Điều kiện
k
cần vàà đủ để m
một ánh xạ xạ ảnh f ggiữa hai hàng điểm
m} và {m’} là phép chhiếu xuyênn tâm là giao điểm O của hai giiá tự ứng,
{m
tứcc f(O) = O..
b) Định lý đốối ngẫu củaa định lý 1:
Điều kiện
k
cần vàà đủ để mộột ánh xạ xạ
x ảnh f giữ
ữa hai chùùm đường
thẳẳng {S} vàà {S’} là phép
p
chiếu xuyên trụục là đườngg thẳng nốối S và S’
tự ứng,
ứ
tức f((SS’) = SS’.

Ngư
ười thực hiệnn: PHAN AN

NH SƠN

K
K35G
Sư phạ
ạm Toán                                    Page 15 
P


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

2.5. Một số áp dụng:
Áp dụng 1 : Chứng minh định lý Papus bằng phép chiếu xuyên tâm

Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 2 đường thẳng phân biệt d1, d2 cắt nhau tại
O. Trên d1 cho 3 điểm phân biệt A, B, C  O . Trên d2 cho 3 điểm phân
biệt A’, B’, C’ khác O. Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của BC’ và
B’C, CA’ và AC’, AB’ và A’B. Khi đó D, E, F thẳng hàng.
Chứng minh:
Gọi M  AC ' B ' C và

N  AB ' A ' C
Xét các phép chiếu xuyên tâm
h : AB '  d1 với tâm A’ và

g : d1  B ' C với tâm C’

Đặt f  gh : AB '  B ' C
f biến B’ thành B’ => f là phép

chiếu xuyên tâm từ AB’ đến B’C.
Ngoài ra, f lần lượt biến A,F,N lần lượt thành M,D,C.
Vì vậy, AM   AC '  ,DF, NC   A ' C  đồng quy tại tâm chiếu của f.
Mà AC ' A ' C  E suy ra D,E,F thẳng hàng.
Áp dụng 2: (Chứng minh định lý Desargues thứ I )

Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai tam đỉnh ABC và A’B’C’.

D  AB  A ' B '

E  BC  B ' C ', F  AC  A ' C ' . Chứng minh D,E,F thẳng hàng khi và
chỉ khi AA’,BB’,CC’ đồng quy.
Chứng minh:

Chiều thuận:
Gọi M  CC ' A ' B ', N  CC ' DF , P  CC ' AB .

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 16 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

Xét 2 phép chiếu xuyên tâm sau:

h : AB  DF với tâm C biến A, B, D, P thành F, E, D, N

g : DF  AB ' với tâm C’ biến F, E, D, N thành A’, B’, D, M
Đặt f  g  h : AB  A ' B ' là

phép chiếu xuyên tâm
(Do là tích của các phép chiếu
xuyên tâm và f giữ bất động

D  AB  A' B ' )
Do đó: AA’, BB’,MP   CC '  phải
đồng quy tại tâm chiếu O của f.
Suy ra: AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Chiều đảo:
Xét hai tam đỉnh DBB’ và FCC’ có A = DB ∩ FC, A’ = DB’∩ FC’, O =
BB’∩CC’ do O, A, A’ thẳng hàng (do AA’, BB’, CC’ đồng qui tại O)
nên áp dụng chiều thuận của định lý Desargues thứ I thì BC, B’C’, DF
đồng quy tại E, tức D, E, F thẳng hàng.

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 17 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

Chương 3 : THẤU XẠ XẠ ẢNH
3.1.

Định nghĩa

Trong Pn cho r - phẳng U và (n – r – 1) - phẳng V không có điểm
chung. Khi đó, cặp (U, V) sẽ gọi là một r - cặp. Cố nhiên, theo định
nghĩa đó (U, V) là một (n – r – 1) - cặp.
Bây giờ cho r - cặp (U, V) và cho phép biến đổi xạ ảnh f : Pn → Pn

sao cho mọi điểm nằm trên U và V đều bất động. Khi đó f được gọi là
phép thấu xạ r - cặp với cơ sở là r - cặp (U, V).
3.2.

Biểu thức tọa độ của phép thấu xạ

Giả sử f là phép thấu xạ r - cặp với cơ sở là r - cặp (U, V).
Vì dim U = r nên có thể chọn trên U một hệ r + 1 điểm độc lập
S0, S1, . . . , Sr. Vì dim V = n - r - 1 nên có thể chọn trên V một hệ n - r
điểm độc lập Sr+1, S r + 2 , . . . , Sn. Chọn thêm một điểm E không nằm trên
U và V thì ta được một mục tiêu xạ ảnh {Si, E} trong Pn.
Đối với mục tiêu đó, r - phẳng U có phương trình
xr 1  xr  2  ...  xn  0

Còn ( n – r – 1) - phẳng V có phương trình: x0  x1  ...  xr  0
Vì các điểm của U và V đều bất động nên dễ dàng thấy rằng biểu
thức tọa độ của f đối với mục tiêu đó có dạng :

kxi  pxi
 p  0, i  0,1,...., r
với 
 
 q  0, j  r  1, r  2,..., n
kx j  qx j
Ma trận của f là:

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 18 
 

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

p




A







p


0



0



p



q

q




q 

(Có r + 1 số p và n – r số q trên đường chéo chính, các phần tử còn
lại bằng 0)
Nếu p = q thì f là phép đồng nhất.
3.3. Tính chất của phép thấu xạ

Với M  ,  có ảnh M’. Khi đó MM’ cắt α tại P cắt β tại Q. Tỷ số
kép (PQMM’) = k không đổi. Tỷ số kép đó được gọi là tỷ số thấu xạ hay
hệ số
Chứng minh:

Giả sử M ( x0 ,..., xn ) , M ( px0 ,..., pxm , qxm 1 ,..., qxn )
 xm 1  0
Do α có phương trình : 
x  0
 n
 x0  0
β có phương trình : 
x  0
 n

 MM     p ( x0 ,..., xn ,0,...,0)

MM     q (0,...,0, xm 1 ,..., xn )
  

M  PQ
p


   ( PQMM )   k (không đổi)
q
M   pP  qQ 

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 19 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

Nhận xét : Thấu xạ xác định nếu cho cơ sở và tỷ số k.
3.4. Thấu xạ đơn.

3.4.1 Định nghĩa : Phép biến đổi xạ ảnh f : P  P
n

n

được gọi là

phép thấu xạ đơn nếu có một siêu phẳng V mà mọi đểm của nó đều là
điểm bất động.

Siêu phẳng V được gọi là siêu phẳng cơ sở của thấu xạ đơn f
3.4.2 Định lý : Nếu f là một thấu xạ đơn khác phép đồng nhất thì có duy
nhất một điểm bất động O sao cho mọi đường thẳng đi qua O đều bất
động. Điểm O như thế gọi là tâm của phép thấu xạ đơn f
Chứng minh:

Giả sử f là phép thấu xạ đơn, khác phép đồng nhất, và có siêu
phẳng cơ sở V. Ta chọn mục tiêu xạ ảnh {Si,E} sao cho các đỉnh S1, S2,
..., Sn nằm trên V. Vì các đỉnh đó bất động ngoài ra điểm Eo = (0: 1: 1: ...:
1) cũng bất động, nên dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ của f:

kx  a0 x0
với i  1,2,..., n ; a  0




kx
a
x
ax
i 0
i
 i
Ma trận của f là :

 a0 0 0
a a 0
 1
 a2 0 a


  
a
 n 0 0





0

0
0 
0

0
0 

Chú ý rằng : Các số a0 – a, a1, ..., an không đồng thời bằng 0 vì nếu
không như thế thì f là phép đồng nhất. Bởi vậy, có điểm có điểm O có
tọa độ (a0 – a: a1: ...: an). Dễ thấy, O là điểm bất động. Ta lấy trên d một
điểm tùy ý : X = (x0: x1: ...: xn)

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 20 
 


KHÓ
ÓA LUẬN TỐT
T

NGHIỆP
P ĐẠI HỌC
 

thì f(X) = X’ = ( a0.x0 : a1.x0 + ax1 :.... : an.x0 + axn )
X’ cũng nằm
m trên d (đppcm)
Doo đó (X’) = a(X) + x0(O) tức X
Nh
hận xét:
- Nếu
N tâm thhấu xạ O không
k
nằm
m trên cơ sở
ở thấu xạ V thì phép
p thấu xạ
đơn
n f chính làà phép thấu
u xạ 0 - cặặp với 0 - cặp
c cơ sở làà (O,V)
- Nếu
N tâm thhấu xạ O thhuộc siêu phẳng
p
V thhì f ko phhải là thấu xạ cặp,ta
gọii nó là phép thấu xạ đơn
đ đặc biệt.
Nh
hận xét:
g bất độnng một siêuu phẳng th

hì hoặc đó
Vậy một phép thấuu xạ nào giữ
t
xạ tâm
m hoặc là thấu
t
xạ đặcc biệt.
là thấu
3.5
5. Các phéép thấu xạạ trong kh
hông gian xạ
x ảnh P2 và P3 :
3.5
5.1. Trong không giann P2 :
- Thấu xạ
x 0 – cặp nền là ( O ,d ) với O
là một
m điểm và d là đư
ường thẳngg không quua
O. Với mỗi điểm M d

và M  O đường

thẳẳng OM cắắt d tại A và
v nếu M’’ = f(M) thhì
(OA
AMM’) = k ( với k làà một số chho trước )..
T
xạ đơ
ơn đặc biệtt có tâm O và có cơ sở nền là đđường thẳnng đi qua

- Thấu
O. Nếu ta biếết một cặp điểm tươnng ứng M và M’ = ff(M) thì ản
nh N’ của
điểểm N đượcc xác định :
+) O, N,, N’ thẳng hàng.

Ngư
ười thực hiệnn: PHAN AN
NH SƠN

K
K35G
Sư phạ
ạm Toán                                    Page 21 
P


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

+) Đường thẳng MN cắt đường thẳng M’N’ tại một điểm nằm trên d.
3.5.2. Trong không gian P3 :
- Thấu xạ 0 – cặp nền là ( O, P ) với O là một điểm, P là mặt phẳng
không qua O. Với M  P và M  O đường thẳng OM cắt P tại A và M’ =
f(M) được xác định:
+) M, M’, O, A thẳng hàng.
+) ( OAMM’ ) = k ( với k là một số cho trước ).
- Thấu xạ 1 – cặp nền là ( d, d’ ) với
d và d’ là 2 đường thẳng chéo nhau.
Phép thấu xạ trên được gọi là phép

thấu xạ song trục với trục là d và d’.
Ảnh M’ của điểm M không thuộc d
và d’ được xác định:
+) Đường thẳng MM’ cắt d và
d’ tại hai điểm A và B.

+) (ABMM’) = k ( với k là một số cho trước ).
- Thấu xạ đơn đặc biệt tâm O và có nền là mặt phẳng P chứa điểm
O. Nếu biết một cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M) thì ảnh N’ của
điểm N được xác định :

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 22 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

+) O, N, N’ thẳng hàng.
+) Đường thẳng MN cắt M’N’ tại một điểm nằm trên P.

3.6. Các phép biến đổi a fin sinh ra bởi các phép thấu xạ :

Ta biết rằng mỗi phép biến đổi xạ ảnh bảo tồn siêu phẳng vô tận W
của Pn và đều sinh ra một phép biến đổi a fin trong không gian a fin
An = Pn \W. Sau đây, ta xét một vài trường hợp khi f là một phép thấu xạ
nào đó.
3.6.1. Giả sử f là phép thấu xạ 0 - cặp với cơ sở là 0 - cặp ( O, V ) và tỉ
số thấu xạ là k. Với mỗi điểm M không là điểm bất động (
M  và M  O ) ảnh của nó là M’ = f(M) được xác định sao cho

(OAMM’) = k (k≠0 và k≠1) trong đó A là giao điểm của đường thẳng
OM với siêu phẳng V .
+) Nếu chọn V là siêu phẳng vô tận và xét không gian afin An = Pn \ V
thì A là điểm vô tận nên ta có tỷ số đơn :

 MM ' O    MM ' OA    OAMM '   k .
1
Như vậy: OM  k .OM '  OM '  .OM . Vậy f sinh ra phép vị tự tâm O
k
tỷ số

1
k

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 23 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

+) Nếu chọn siêu phẳng W nào đó đi qua O làm siêu phẳng vô tận thì O
là điểm vô tận nên:  AMM '    OAMM '   k . Ngoài ra các đường thẳng
MM’ luôn song song với một đường thẳng phương l ( phương l của
chúng được xác định bằng phương của điểm vô tận O ).
Vậy f sinh ra trên An = Pn \W một phép thấu xạ afin có cơ sở là V,
phương thấu xạ là l, tỷ số thấu xạ là k.
3.6.2 Giả sử f là phép thấu xạ đơn đặc biệt có tâm O nằm trên nền V .
Nếu lấy hai cặp điểm M, M’ = f(M) và N, N’ = f(N) thì MM’ và NN’ đều

qua O và MN giao với M’N’ tại một điểm thuộc V . Nếu lấy V là siêu
phẳng vô tận thì trong An = Pn \V ta có: MN song song M’N’ và MM’
song song với NN’, suy ra: MM   NN 
Vậy f sinh ra trong An một phép tịnh tiến.

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 24 
 


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Chương 1 : Ánh xạ xạ ảnh
Bài 1 : Nếu biến đổi xạ ảnh f : Pn → Pn giữ bất động r +1 điểm độc lập

nằm trên một r- phẳng thì nó có giữ bất động mọi điểm của r- phẳng đó
không?
Giải : Gọi A0, A1, ..., Ar là r +1 điểm độc lập trong α sao cho f(Ai) = Ai
( i  0, r )





(
A
)

k

 là ánh xạ liên kết của f
i
i Ai

( i  0, r )

 M

α

 
 M 

r
r

  r




 r
 M   M i Ai   ( M )     M i Ai     ( Ai )   M i ki Ai =
i 0
i 0
 i 0
 i 0
r



= ki  M i Ai  ki M

(i  0, r )

i 0

Do

ki i 0
r

là bộ số bất kỳ nên không tồn tại k sao cho

k0  k1  ...  kr  k



  (M )  kM

 f (M )  M

Vậy biến đổi xạ ảnh f giữ bất động r + 1 điểm độc lập nằm trên một rphẳng thì nó chưa chắc giữ bất động mọi điểm của r – phẳng đó
Bài 2. Trong P2 cho mục tiêu xạ ảnh {S0, S1; E}. Tìm biểu thức tọa độ

của phép biến đổi xạ ảnh thỏa mãn một trong những điều kiện sau đây:
a. Các điểm Si đều là điểm bất động (tức là biến thành chính nó).
b. Các điểm S0, S1, S2 lần lượt biến thành S1, S2, S0 và điểm E bất động.
c. Điểm S0 bất động, đường thẳng S1S2 bất động (đường thẳng biến
thành chính nó) và điểm S1 biến thành điểm S2.
Giải. Trong P2 cho mục tiêu xạ ảnh {S0; S1; S2; E}, ta có:

Người thực hiện: PHAN ANH SƠN _ K35G Sư phạm Toán                                    Page 25