Các tiên đề tách và một số ứng dụng

MỤC LỤC 
 
MỞ ĐẦU ............................................................................................... 2 
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................. 2 
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài .............................................. 2 
3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài ............................................ 3 
4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài .......................... 3 
5. Giả thuyết khoa học .................................................................. 3 
6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài ............................................. 3 
7. Phương pháp nghiên cứu .......................................................... 3 
8. Nội dung công trình nghiên cứu ............................................. 4 
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................... 5 
1.1  Không gian metric .................................................................. 5 
1.2  Tập mở và tập đóng ............................................................... 9 
1.3  Không gian topo ................................................................... 15 
1.4  Không gian con. Tích Descartes. Không gian thương .. 18 
1.5  Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi ....................................... 21 
CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
 ............................................................................................................. 23 
2.1  Các tiên đề tách  Ti  ................................................................ 23 
2.2. Một số định lý và hệ quả .................................................... 27 
2.3.    Một  số  ứng  dụng  của  tiên  đề  tách  trong  không  gian 
compact ........................................................................................... 36 
2.4. Các phản ví dụ ...................................................................... 40 
KẾT LUẬN ....................................................................................... 58 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................... 59 
 

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài 
Trong  giải  tích  hiện  đại  một  nội  dung  có  vai  trò  quan 
trọng  và  cũng  khá  hấp  dẫn  với  chúng  ta  là  nghiên  cứu  về 
không  gian  topo.  Nhưng  bản  thân  không  gian  topo  lại  quá 
rộng  làm  ta  không  thể  tìm  hiểu  sâu  về  nhiều  vấn  đề  hay  cùng 
một  lúc.  Không  gian  topo  cụ  thể  thì  càng  có  nhiều  vấn  đề  để 
bàn. Với mong  muốn được tìm hiểu và nắm vứng kiến thức cơ 
bản  của  môn  học  đồng  thời  là  bước  đầu  tiếp  cận  với  việc 
nghiên  cứu  khoa  học  cùng  với  sự  giúp  đỡ  của  thầy  giáo 
Nguyễn  Năng  Tâm  em  chọn  đề  tài  “Các  tiên  đề  tách  và  ứng 
dụng” để làm khóa luận tốt nghiệp.  
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Bước  đầu  liên  quan  với  việc  nghiên  tài  cứu  khoa  học  và 
tìm  hiểu  sâu  hơn  về  hình  học  đặc  biệt  là  các  tiên  đề  tách  và 
một  số  ứng  dụng  của  nó.  Các  tiên  đề  tách  đề  cập  tới  việc  tách 
điểm,  tách  điểm  và  tập  hợp  đóng  hoặc  tách  các  tập  hợp  đóng 
thông qua khái  niệm  T0 - không  gian,  T1 -  không gian,  T2 - không 
gian,  T3 - không gian,  T 1 - không gian,  T4 - không gian; các định 
3

2

lý  đặc  trưng,  hệ  quả  và  các  nhận  xét;  các  phản  ví  dụ  chứng  tỏ 
tồn  tại  những  không  gian  tách  “nhỏ  hơn”  nhưng  không  là 
không  gian  tách  “lớn  hơn”  và  một  số  ứng  dụng  của  các  tiên  đề 
tách. 

2

3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
Nghiên  cứu  về  các  tiên  đề  tách  và  một  số  vấn  đề  có  liên 
quan đến các tiên đề tách và một số ứng dụng. 
4. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Giới  hạn  nội  dung:  nghiên  cứu  các  tiên  đề  tách  và  một  số 
vấn đề liên quan. 
Giới hạn đối tượng: các tiên đề tách. 
Giới hạn thời gian: 5 tháng. 
5. Giả thuyết khoa học
Hệ  thống  lý  thuyết  về  các  tiên  đề  tách  làm  thành  tài  liệu 
chuyên  sâu  giúp  các  bản  thân  em  có  thể  tìm  hiểu  sâu  hơn  về 
vấn đề này. 
6. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Nghiên  cứu  một  số  phần  kiến  thức  nhỏ  là  chuẩn  bị  cơ  bản 
liên quan đến toán học. 
7. Phương pháp nghiên cứu
Để  thực  hiện  bài  này  tác  giả  khóa  luận  đã  sử  dụng  các 
phương pháp nghiên cứu sau đây: 
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá. 
Nghiên  cứu  sách  giáo  trình,  các  sách  tham  khảo  và  các  tài 
liệu liên quan đến vấn đề này. 
Quá  trình  làm  khóa  luận  đã  sử  dụng  nhiều  phương  pháp 
ngiên  cứu,  nhưng  chủ  yếu  là  phương  pháp  tổng  hợp  kiến  thức 
từ các tài liệu được lấy làm tài liệu tham khảo. 

3


8. Nội dung công trình nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận 
gồm hai chương: 
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric 
1.2  Tập hợp mở và tập hợp đóng 
1.3  Không gian topo 
1.4  Không gian con. Tích Descartes. Không gian thương 
1.5  Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi 
Chương 2: Các tiên đề tách và một số ứng dụng
2.1  Các tiên đề tách  Ti    
2.2  Một số định lý và hệ quả 
2.3    Một  số  ứng  dụng  của  tiên  đề  tách  trong  không  gian 
compact  
2.4  Các phản ví dụ 

4


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này đề cập đến một số kiến thức cơ bản về không 
gian  metric,  không  gian  topo,  tập  đóng  tập  mở,  không  gian 
con,  tích  Descartes,  không  gian  thương,  ánh  xạ  liên  tục  và 
phép đồng phôi. 
1.1 Không gian metric
Định  nghĩa  1.1.1.  Không  gian  metric  là  một  cặp   X ,  d  ,  
trong  đó  X   là  một  tập  hợp,  d :  X     X   

  là  một  hàm  xác 

định trên  X     X  thỏa mãn các tiên đề sau: 

(i), Tiên đề đồng nhất 

d  x,  y      0 , với mọi  x,  y  X ;   
d  x,  y     0  x     y.   

 (ii), Tiên đề đối xứng  
d  x,  y      d  y,  x  ,  với mọi  x,  y  X ;  

(iii), Tiên đề tam giác  

d  x,  z      d  x,  y      d  y,  z  ,  với mọi x,  y,  z  X . 
d   gọi  là  metric  trong  X   và  d  x,  y    là  khoảng  cách  giữa 

hai  điểm  x,  y  X .   Mỗi  phần  tử  trong  X   được  gọi  là  một  điểm 
của  X . 
Ví dụ 1.1.1. Tập hợp các số thực ℝ và tập hợp các số  
phức 

ℂ 

là 

những 

không 

gian 

d  x,  y       | x   y |, x,  y 

5

metric, 

với 

 (hoặc ℂ). 

metric 


Ví  dụ  1.1.2.  Không  gian  ơclit  (Euclide)  ℝ k   là  không  gian 
metric với metric  d  xác định như sau: 
Nếu  x   1 , ...,  k    và  y  1 , ...,  k      là  hai  phần  tử  của  ℝ k  
1
2

k


2 
thì                          d  x, y     i  i   
 i 1


Hiển  nhiên  d   thỏa  mãn  hai  tiên  đề  đồng  nhất  và  đối  xứng. 
Ta  kiểm  tra  tiên  đề  tam  giác.  Trước  hết,  để  ý  rằng  nếu 
a1 ,  , ak , b1 ,  , bk  là những số thực thì 
k

1
2

k

 ab

i i

i 1

1
2

k


2  
2 
   ai    bi   
 i 1
  i 1


(Bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Cosi (Cauchy)). 
k

k

Thật vậy, đặt     | ai |2 ,   

i 1


i 1

k

2

bi  và     | aibi | .  
i 1

Ta có 

 t    2 t          0  với mọi số thực t.  
 Do đó                     ’     2         0,  
Tức là ta có bất đẳng thức Cosi. 
Bây 

giờ 

giả 

sử 

x      (1 ,  ,  k ),  y      (1 ,  ,  k )  
k

z      ( 1 ,  ,  k )  là ba phần tử bất kì của 
k

d  x, y  



i

 i

2

i 1

k



 
i 1

6

. Khi đó:   

i

 i   i   i



2

 

và 


k




i 1





 i  i

2

i 1

k



i

 i

2



k

 i   i

2

k



i 1





i

 i

2

 

i 1

2

k

i 1

2

i 1

k

2

 i  i  2

i 1






k

i 1

k



k

2

 i  i  2  i  i i   i   i   i

i

 i

i 1

2


2
   d  x, y   d  y, z   .


Từ đó              d  x,  z      d  x,  y      d  y,  z  .   
Ví  dụ 1.1.3.  Gọi   a, b   là  tập  hợp  các  hàm  số  thực  liên  tục 
trên  khoảng  đóng  hữu  hạn   a, b  .  Dễ  dàng  chứng  minh  được 
rằng   a, b  là một không gian metric với metric 

d  x, y   sup x  t   y  t  , x,  y  .  
a t b

Giả  sử  M   là  một  tập  hợp  con  của  không  gian  metric 

 X , d  .  Dễ  thấy  rằng  hàm  số  d  M  d M  M   là  một  metric  trên  tập 
hợp  M .  Không  gian  metric   M , d M    gọi  là  không  gian  con  của 
không  gian  metric 

 X ,  d  ;  d  M  

gọi  là  metric  cảm  sinh  bởi 

metric  d  trên  M .   
Định  nghĩa  1.1.2.  Dãy  {xn }   những  phần  tử  của  không  gian 
metric   X ,  d    được  gọi  là  hội  tụ  đến  phần  tử  a  X ,  với  mọi 

   0,  tồn tại  n  no  sao cho  d ( xn ,  a)     .   
Ký hiệu:  xn   a    n       hay  lim xn  a . 
n 

Khi đó  a  được gọi là giới hạn của dãy  {xn }.   
Theo định nghĩa, ta suy ra: 
xn  a  d  xn , a   0  n      hay  lim  xn , a   0 . 
n 

7


 
Cho dãy  {xn }  bất kì và  nk   k    1,  2,   là dãy các số tự  
nhiên  thỏa  mãn  điều  kiện  n1  n2  ...  nk  ...   thì  dãy  {xn }   được 
gọi là dãy con của dãy  {xn } . 

Ví dụ 1.1.4. Trong không gian ℝ và ℂ, 
  lim xn  xo  lim xn  xo  0 . 
n 

n 

Ví dụ 1.1.5. Trong không gian 



k

, 







Giả  sử  xn  1 n  , ...,  k n  , n  1, 2, ... ,  và  xo  1 o  , ...,  k o  . 
Khi đó  
1
2 2
 k
n
o
lim xn  xo  lim   i   i    0
n 
n 

 
 i 1


 lim i

n

n 

 i  , i  1, ..., k
o

Vì  vậy,  người  ta  nói  rằng  sự  hội  tụ  trong  không  gian  Ơclit 
ℝ k  là sự hội tụ theo các tọa độ. 
Ví dụ 1.1.6. Trong không gian 

 a, b , 

lim xn  xo   xn  t   xo  t  , với  t   a,  b  .   

n 

Thật vậy  lim xn  xo  lim d  xn , xo   0 , nghĩa là 
n 

 

 0, no  , n 

n 

 n  no   d  xn , xo     , tức là                   

sup xn  t   xo  t     với mọi  n  no , cũng tức là 
a  t b

xn  t   xo  t     với mọi  n  no  và với mọi  t   a, b  . 

8


Định  nghĩa 1.1.3. Dãy   xn    trong  không  gian  metric   X ,  d   
gọi là dãy cơ bản nếu:  

  0, no : m, n  no , d  xn , xm     
   0, no : n  no , p  1, 2, ...  ta có  d  xn  p , xn    . 

Ta  có  thể  viết 

 xn   

là  dãy  cơ  bản  khi  và  chỉ  khi 

lim d  xn , xm   0  hay  lim d  xn  p , xn   0, p  1, 2, ...   
n 

n 
m 

Định  nghĩa  1.1.4.  Không  gian  metric  mà  trong  nó  mọi  dãy 
cơ bản đều hội tụ được gọi là không gian metric đủ. 
Ví  dụ  1.1.7.  Không  gian  metric  rời  rạc  là  một  không  gian 
metric đủ. 
Ví dụ 1.1.8. Không gian ℂ  a, b   là một không gian đủ. 
1.2 Tập mở và tập đóng
Định  nghĩa  1.2.1.  Giả  sử  X   là  một  không  gian  metric, 

a  X  và  r  là một số dương. Ta định nghĩa như sau: 
Hình  cầu  mở  tâm 

a,   bán  kính 

r   là  tập  hợp 

S  a, r    x  X : d  x, a   r  .  

Hình  cầu  đóng  tâm  a   bán  kính  r   là  tập  hợp 

S  a, r    x  X : d  x, a   r  . 
Ví dụ 1.2.1. Trong không gian rời rạc  X , với  a  X  ta suy 
ra: 
S  a,1   a
S  a,1  X

9


Ví dụ 1.2.2. Trong không gian ℝ 
S  a, r    x 

: x  a  r    a  r, a  r 

S  a, r    x 

: x  a  r    a  r, a  r 

 

Định  nghĩa  1.2.2.    Cho  không  gian  metric  X ,   tập  hợp 
A  X  ta nói 

Điểm  x  X   được  gọi  là  điểm  trong  của  A   nếu  tồn  tại  một 
hình cầu  S ( x,  )  tâm x chứa trong  A  (hay    0 : S  x,    A ).  
A   được  gọi  là  tập  hợp  mở  nếu  mọi  điểm  thuộc  A   đều  là 

điểm trong của A . 
A  được  gọi  là tập  hợp  mở nếu  Ac  X \ A   (phần  bù của  A ) 

là tập hợp mở. 
∅ là một tập hợp mở. 
Định lý 1.2.1. Trong không gian metric  X  ta có 
(i)  Hình cầu mở là một tập hợp mở. 
(ii) Hình cầu đóng là một tập hợp đóng. 
Chứng minh
(i) Giả sử  S  a, r   là hình cầu mở trong  X ,  x  S  a, r    
Suy ra                            d  x, a   r  
Đặt                              r  d  x, a   0.   
Khi đó                  y  S  x,    d  y, x      
Mặt khác,  d  y, a   d  y, x   d  x, a     d  x, a   r   

 y  S  a, r   S  x,    S  a, r  .   

10


Do  đó  x   là  điểm  trong  của  S  a, r  .   Suy  ra  S  a, r    là  tập 
hợp mở. 
(ii)  Chứng  minh  tương  tự  ta  được  X \ S  a, r    là  tập  hợp 
mở.  
Suy ra  S  a, r   là tập hợp đóng. 
Định lý 1.2.2. Trong không gian metric  X , ta có: 
(i)   ∅ và  X  là các tập hợp mở. 
(ii)    Hợp  của  một  họ  tùy  ý  các  tập  hợp  mở  là  một  tập  hợp 
mở. 
(iii)  Giao  của  một  số  hữu  hạn  các  tập  hợp  mở  là  một  tập 
hợp mở. 
Chứng minh
(i) Hiển nhiên. 
(ii) Giả sử  Gt tT  là một họ tập hợp mở trong không gian 
 metric  X  nên với mọi  x   Gt , tồn tại  to  T  sao cho  x  Gto .  
t T

Vì  Gto   là  tập  hợp  mở  và  x  Gto   nên  ta  suy  ra  x   là  điểm 
trong của  Gto . Suy ra tồn tại  S  x,    Gto 

 G . 
t

t T

Do đó  x  là điểm trong của   Gt . 
tT

Vậy   Gt  là một tập hợp mở. 
tT

11


n

(iii)  Giả  sử  Gi  i  1, ..., n    là  các  tập  hợp  mở,  với  x   Gi  
i 1

thì                                 x  Gi  i  1, ..., n  . 
Vì  Gi   là  tập  hợp  mở  nên  x   là  điểm  trong  của  Gi .  Suy  ra 
tồn tại   i  0  sao cho  S  x,  i   Gi  i  1, ..., n  .  
Đặt    min   i  . Khi đó, hiển nhiên 
1 i  n

n

 G .  

S  x,    S  x,  i   Gi  i  1, ..., n  , do đó  S  x,   

i

i 1

n

Vậy  x   là  một  điểm  trong  của 

n

 Gi   hay 

 G   là  một  tập 

i 1

i 1

i

hợp mở.□ 
Định lý 1.2.3. Trong không gian metric  X ,  ta có 
(i)   ∅ và  X  là các tập hợp đóng. 
(ii)    Giao  của  một  họ  tùy  ý  các  tập  hợp  đóng  là  một  tập 
hợp đóng. 
(iii)  Hợp  của  một  họ  hữu  hạn  các  tập  hợp  đóng  là  một  tập 
hợp đóng. 
Chứng minh
(i) Hiển nhiên. 
(ii) Giả sử   Ft tT  là  một họ tập hợp đóng trong không gian 
metric  X .     Khi  đó  X \  Ft 
tT

 X

\ Ft    là  một  tập  hợp  mở,  vì 

t T

với mọi  t  T , X \ Ft  là một tập hợp mở. 
Vậy   Ft  là một tập hợp đóng. 
tT

12


(iii) Chứng minh tương tự câu (ii) 
n

Giả  sử   Fi i 1   là  một  họ  tập  hợp  đóng  trong  không  gian 
metric  X .    
n

Khi đó  X \  Fi 
i 1

n

 X

\ Fi   là  một tập hợp mở, vì với  mọi 

i 1

(i  1, ...n), X \ Fi  là một tập hợp mở.  
n

Vậy   Fi  là một tập hợp đóng. □ 
i 1

Định nghĩa 1.2.3. Cho  X  là không gian metric, với  x  X   
Tập hợp mở  U  chứa  x  được gọi là một lân cận mở chứa  x.   
Lân  cận  của  x   là  một  tập  hợp   V    chứa  một  lân  cận  mở 
của  x.   
Hình cầu mở  S  x,     còn được gọi là một lân cận của  x.    
Ký hiệu:                     Vx     S  x,   . 
Họ 

x

 tập hợp các lân cận của  x  được gọi là một cơ sở lân 

cận  của  x   nếu  với  mọi  lân  cận  V   của  x   thì  tồn  tại  U   

x

  sao 

cho  x  U  V . 
Nếu 

x

  là  họ  đếm  được  thì  x   được  gọi  là  điểm  có  cơ  sở 

lân cận điểm đếm được. 
Định  lý  1.2.4.  Mọi  điểm  của  không  gian  metric  đều  có  cơ 
sở lân cận đếm được. 
Chứng minh
Giả sử  x  X  là không gian metric. Khi đó họ  

13


x



 1
 U n  S  x,  , n  1, 2, ...   là cơ sở lân cận đếm được của  x.  
 n



Định  nghĩa  1.2.4.  Cho  X   là  không  gian  metric  và  tập  hợp 
A  là tập hợp con của  X .  Ta định nghĩa phần trong của  A  là tập 


hợp tất cả các điểm của  A.  Ký hiệu:  A  hoặc  IntA.   
Phần  trong  của  một  tập  hợp  có  thể  là  tập  hợp  rỗng.  Hiển 
nhiên ta có: 
 Phần  trong  của  một  tập  hợp  là  một  tập  hợp  mở,  và  đó  là 
tập hợp mở lớn nhất chứa trong  A.   
Tập hợp  A  là tập hợp mở khi và chỉ khi  IntA    A . 

Nếu  A  B  thì  IntA  IntB . 
Định  nghĩa  1.2.5. Cho  không  gian  metric  X ,   tập  hợp  A   là 
tập  hợp  con  của  X .   Điểm  x  X   được  gọi  là  điểm  dính  của  A  
nếu mọi lân cận  V  của  x  thì  V  A   . 
Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  dính  của  A   được  gọi  là  bao  đóng 
của  A.  Ký hiệu:  A  hoặc  clA.   
Chú  ý:  Vì  X   là  một  tập  hợp  đóng  chứa  A   nên  bao  đóng 
của tập hợp  A  luôn tồn tại. 
Hiển nhiên ta có: 
(i)  Nếu  x  A  thì  x  A  nên suy ra  A  A . 
(ii)  A   là  một  tập  hợp  đóng  và  đó  là  một  tập  hợp  đóng  nhỏ 
nhất chứa  A . 
(iii) Tập hợp  A  là tập hợp đóng khi và chỉ khi  A  A . 
(iv)  Nếu  A  B  thì     . 

14


Định lý 1.2.5. Giả sử  A  là một tập hợp con của không gian 
metric  X  và  x  X . Khi đó  x  A  khi và chỉ khi mỗi lân cận  V  
của  x  đều có điểm chung với  A.  
Chứng minh
Nếu  x     thì  V  X \    là  một  lân  cận  của  x   không  chứa 
điểm  chung  với  A.   Đảo  lại,  nếu  tồn  tại  một  lân  cận  V   của  x  
sao cho  V  A    thì  X \ V  là một tập hợp đóng chứa  A.  
Do đó    X \ V . Vậy  x  .   
Định  nghĩa  1.2.6. Cho  X   là  không  gian  metric  tập  hợp 
A, B  là các tập hợp con của  X  ta định nghĩa 

  A  trù mật trong  B  nếu  B   .  

  X   được  gọi  là  khả  ly  nếu  tồn  tại  tập  hợp  A   đếm  được  và 
trù mật trong  X  tức là  A  X . 
1.3 Không gian topo
Định nghĩa 1.3.1. Không gian topo là một cặp   X ,    trong 
đó  X   là  một  tập  hợp  và   là  một  họ  tập  hợp  con  của 
X    2 X   thỏa mãn các điều kiện sau: 

(i)      , X   . 
(ii)  Nếu  U1    và  U 2    thì  U1  U 2   . 
(iii)  Nếu  U t tT   là  một  họ  những  tập  hợp  con  của  X   và 
U t    với mọi  t  T  thì   U t   . 
tT

15


Tập  hợp  X   gọi  là  không  gian,  các  phần  tử  của  X   gọi  là 
các điểm của không gian, mỗi phần tử của    gọi là một tập hợp 
mở của không gian  X .  Họ    gọi là một topo trên tập hợp  X .    
Định nghĩa 1.3.4. Cho   X ,    là  một không gian topo.  Tập 

G  X  được gọi là tập mở trong   X ,    nếu  G  .  
Ngược lại,  G  được gọi là tập mở nếu  G  không phải tập mở. 
Nhận xét  
∅ và  X  là các tập mở. 
Hợp của một họ các tập mở là một tập mở. 
Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở. 

 

Tập  G  là đóng khi và chỉ khi  X \ G  là tập mở. 
Hợp hữu hạn của một họ các tập đóng là một tập đóng. 
Giao một họ bất kì các tập đóng là một tập đóng. 
Ví  dụ  1.3.1.  Cặp   X ,     trong  đó  X   là  một  không  gian 
metric  và     là  họ  tất  cả  các  tập  hợp  mở  trong  X   là  một  không 
gian  topo.  Vì  họ  các  tập  hợp  mở  trong  một  không  gian  metric 
thỏa mãn các điều kiện của một topo. 
Ví  dụ  1.3.2.  Nếu     là  họ  các  tập  hợp  con  của  tập  hợp  số 
thực mở rộng 

 sao cho với mọi  A 

, A    khi và chỉ khi  A  

là  hợp  của  một  họ  nào  đó  những  tập  hợp  có  dạng 

 a, b  ,  , c  ,  d ,   , a, b, c, d 
không gian topo.  
 

16

, a  b   thì  cặp 





,    là  một 

Định  nghĩa  1.3.3.  Cho  A  X   và  V  X .   V   được  gọi  là 
một lân cận của tập hợp  A  nếu tồn tại  G    sao cho 
A  G  V . 

Nếu  A   x   thì  V   được  gọi  là  một  lân  cận  của  điểm  x.  
Nếu  V  là tập mở thì  V  là lân cận mở của  A.      
Định nghĩa 1.3.4. Cho họ  Bx  Vx  là một cơ sở lân cận của 
điểm  x   (hay  cơ  sở  địa  phương  của  không  gian  X   tại  điểm  x ) 
nếu với mọi  V  Vx , tồn tại  B  Bx  sao cho  x  B  V .     
Nhận xét: 
Hợp các lân cận của  x  là một lân cận của  x . 
Giao  hữu  hạn  các  lân  cận  của  x   cũng  là  một  lân  cận  của 
x . 

Nhận xét:  Trên một tập hợp X có thể cho nhiều topo khác 
nhau. 
Định  nghĩa  1.3.5.  Cho  1 ,  2   là  hai  không  gian  topo  trên 
X .  Ta nói  1   mạnh hơn   2  (  2   yếu hơn  1 ) nếu  1   2  tức là 

mỗi  tập  hợp  mở  đối  với  topo   2   cũng  là  một  tập  hợp  mở  đối 
với topo  1 . Ký hiệu:  1   2 . 
 Hiển  nhiên,  topo  rời  rạc  trên  một  tập  hợp  X   là  mạnh 
nhất  và  topo  phản  rời  rạc  trên  X   là  yếu  nhất  trong  tất  cả  các 
topo trên  X .    
Không  phải  hai  topo  bất  kì  trên  cùng  một  tập  hợp  X   bao 
giờ  cũng  so  sánh  được.  Giả  sử  A   và  B   là  hai  tập  hợp  con  thực 
sự  không  rỗng  khác  nhau  của  một  tập  hợp  X .   Trên  X   ta  trang 

17

bị  hai  topo   A   X , , A ;  B   X , , B  .   Dễ  thấy   A   và   B  
là  không  so  sánh  được:   A   không  mạnh  hơn   B ,   B   không 
mạnh hơn   A .  
Định  nghĩa  1.3.6.  Giả  sử   X ,     là  một  không  gian  topo, 
A  X .  Điểm  x   được  gọi  là  điểm  biên  của  tập  hợp  A   khi  và 

chỉ  khi  x  A  Ac .  Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  biên  của  A   được 
gọi là biên của tập hợp  A , ký hiệu:   A.  
Định  nghĩa  1.3.7.  Giả  sử  A   là  một  tập  hợp  con  của  không 
gian  topo  X .   Điểm  x  X   gọi  là  một  điểm  tụ  của  tập  hợp  A  
nếu  x  A \  x .  Tập  hợp  tất  cả  các  điểm  tụ  của  A   gọi  là  tập 
hợp dẫn xuất của  A , ký hiệu:  Ad . 
Các điểm của tập hợp  A \ Ad  gọi là các điểm cô lập của tập  
hợp  A .  Điểm  x   của  không  gian  topo  X   là  một điểm cô  lập của 
X   khi  và  chỉ  khi   x   là  một  tập  hợp  mở.  Thật  vậy,  x   là  một 

điểm  cô  lập  của  X   khi  và  chỉ  khi  x  X \  x ,  điều  này  tương 
đương  với  X \  x  X \  x ,  tức  là  X \  x   là  một  tập  hợp 
đóng. 
1.4 Không gian con. Tích Descartes. Không gian thương
Khái  niệm:  Giả  sử   X ,     là  một  không  gian  topo,  M   là 
một tập hợp con của  X .  Đặt   M  V  M : V  M  U , U   .   
Dễ dàng thấy rằng   M  là  một không gian topo trên  M .  Cặp 

 M ,  M   gọi là không gian con của không gian topo   X ,   . 

18

 M  gọi là topo cảm sinh bởi topo   . 

Định  lý  1.4.1.  Giả  sử  X   là  một  không  gian  topo  và  M   là 
một không gian con của  X .  Khi đó 
(i)  Tập  hợp  A  M   là  đóng  trong  M   khi  và  chỉ  khi 
A  M  F ,  trong đó  F  là một tập hợp đóng trong  X .  

(ii)  Bao  đóng  clM A   của  tập  hợp  A   trong  không  gian  M   và 
bao  đóng  A   của  tập  hợp  A   trong  không  gian  X   liên  hệ  với 
nhau bởi hệ thức  clM A  A  M .   
Chứng minh
(i),  Nếu 

A   là  một  tập  hợp  đóng  trong  M   thì 

M \ A  M  U,  

trong 

đó 

U 

là 

mở 

trong 

X .   

A  M \  M \ A  M \  M  U   M \ U  M   X \ U   M  F,  

trong đó  F  X \ U  là đóng trong  X .  
Đảo  lại,  nếu  A  M  F ,   trong  đó  F   là  một  tập  hợp  đóng 
trong 

X 

thì 

M \ A  M \  M  F   M \ F  M   X \ F   M  U ,   trong  đó 

U   là  mở  trong  X .   Vậy  M   \  A   là  mở  trong  M .   Do  đó  A   là 
đóng trong  M .  
(ii)  Theo  định  nghĩa  của  bao  đóng,  clM A   là  giao  của  tất  cả 
các  tập  hợp  đóng  trong  M   chứa  A,   tức  là  giao  của  tất  cả  các 
tập  hợp  có  dạng  M  F ,   trong  đó  F   là  tập  hợp  đóng  trong  X  
và  F  A.   
  Từ đó suy ra 
                                clM A  M  A.   □               

19


Ví  dụ  1.4.1.  Không  gian  I       0,  1   với  topo  tự  nhiên  là 
không  gian  con  đóng  của  không  gian  các  số  thực  với  tôpô  tự 
nhiên.  Nếu  A  là  một  tập hợp con của  ℝ  thì tôpô tự  nhiên  trong 
A   được  hiểu  là  tôpô  cảm  sinh  vào  A   bởi  tôpô  tự  nhiên  trên  ℝ. 

Khi  nói  tới  các  khoảng  hoặc  các  tập  hợp  những  số  thực  mà 
không  có  giải  thích  gì  thêm  thì  ta  hiểu  các  tập  hợp  đó  được 
trang  bị  topo  tự  nhiên.  Dễ  dàng  chứng  minh  được  rằng  hai 
khoảng mở bất kì, hai khoảng đóng bất kì không suy biến thành 
một  điểm,  hai  khoảng  nửa  đóng    bất  kì  là  đồng  phôi  với  nhau. 
Đường  thẳng  ℝ  được  nhúng  đồng  phôi  vào  khoảng  đóng 
J   1,1 .   Phép  nhúng  đồng  phôi  f :

công thức  f  x  

 J   được  xác  định  bởi 

x
 (R đồng phôi với khoảng mở   1,  1 ). 
1 x

Định  nghĩa  1.4.1.  Tập  hợp  X 

X

s

  với  topo  đầu     xác 

sS

định  bởi  họ  ánh  xạ   ps sS   gọi  là  tích  Descartes  của  họ  không 
gian  topo   X s ,  s sS ,     còn  được  gọi  là  topo  Tykhonoff    (được 
định nghĩa ở chương sau).  

Nếu   X s sS   là  một  họ  không  gian  topo  thì  ký  hiệu   X s  
sS

luôn  luôn  đúng  để  chỉ  không  gian  topo   X ,     xác  định  như 
trên. 
Định  nghĩa  1.4.2.  Cho  X   là  một  không  gian  topo,  R   là 
một  quan  hệ  tương  đương  trong  X .   Gọi  X / R   là  tập  hợp  các 
lớp  tương  đương  và  i : X  X / R, x  i  x   x   ( x   là  lớp  tương 
đương chứa  x ) là ánh xạ thương. 

20


Đó  là  topo  mạnh  nhất  trong  các  topo  trang  bị  trên  X / R  
sao  cho  ánh  xạ  i   liên  tục.  Tập  hợp  X / R   với  topo  thương  gọi 
là không gian thương. 
1.5 Ánh xạ liên tục. Phép đồng phôi
Định  nghĩa  1.5.1.  Cho  hai  không  gian  topo   X ,  X    và 

 Y , Y  .  Ánh  xạ 

f : X  Y   gọi  là  liên  tục  tại  điểm  xo  X   nếu 

mỗi lân cận  V  của điểm  f  xo   Y  tồn tại lân cận  U  của  xo  sao 
cho  f  U   V . 
f   gọi  là  liên  tục  (trên  X )  nếu  f   liên  tục  tại  mọi  điểm  x  

của  X . 
Ví dụ 1.5.1. Nếu  X  là một không gian topo rời rạc và  Y  là 
một  không  gian  topo  tùy  ý  thì  mọi  ánh  xạ  f : X  Y   đều  liên 

tục. 
Ví  dụ  1.5.2.  Trên  tập  hợp  X   trang  bị  hai  topo  1   và   2 . 
Ánh  xạ  I :  X , 1    X ,  2    xác  định  bởi  I  x   x   là  liên  tục 
khi và chỉ khi  1  mạnh hơn   2 . 
Định  nghĩa  1.5.3.  Giả  sử  f : X  Y   là  một  ánh  xạ  từ 
không gian topo  X  vào không gian topo  Y .   
f   gọi  là  một  ánh  xạ  mở  nếu  ảnh  f  A    của  mỗi  tập  hợp  A  

mở trong  X  là một tập hợp mở trong  Y .  
f  gọi là một ánh xạ đóng nếu ảnh f  B   của một tập hợp  B  

đóng trong  X  là một tập hợp đóng trong  Y .   

21


Giả  sử  f : X  Y   là  một  song  ánh  từ  không  gian  topo  X  
vào không gian topo  Y .   
f   gọi  là  một  phép  đồng  phôi  nếu  f   và  ánh  xạ  ngược  f 1  

của nó đều liên tục. 
Ví  dụ  1.5.1.  Nếu  X   là  một  không  gian  topo  thì  ánh  xạ 
đồng  nhất  trên  X   (tức  là  ánh  xạ  1X : X  X   xác  định  bởi 

1X  x   x, x  X ) là một phép đồng phôi. 
Chương  này,  em  đã  trình  bày  một  số  kiến  thức  cơ  bản  về 
không  gian  metric,  không  gian  topo,  tập  đóng  tập  mở,  không 
gian con, tích Descartes, không gian thương, ánh xạ liên tục và 
phép đồng phôi chuẩn bị cho chương sau. 

22


CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT
SỐ ỨNG DỤNG
Chương này đề cập tới nội dung các tiên đề tách và  một số 
ứng  dụng  tách  điểm,  tách  tập  thông  qua  các  định  lý,  hệ  quả  và 
một số phản ví dụ. 
2.1 Các tiên đề tách Ti
Định nghĩa 2.1.1. Không gian topo   X ,    được gọi là 
T0 - không gian nếu  X  thỏa mãn tiên đề tách  T0 : 
T0 :  với  mọi  x, y  X , x  y ,   tồn  tại  một  lân  cận  của  điểm  x  

mà không chứa điểm  y  hoặc ngược lại. 
Nhận 

xét: 

Không 

 X ,   ,    , X  ,  nếu 

gian 

topo 

phản 

rời 

rạc 

X  2  không là  T0 - không gian. 

Định nghĩa 2.1.2. Không gian topo   X ,    được gọi là  
T1 - không gian nếu  X  thỏa mãn tiên đề tách  T1 : 
T1 :  với  mọi  x, y  X , x  y ,   tồn  tại  một  lân  cận  U   của  x   và 

lân cận  V  của  y  mà  y  U , x  V . 
Ví  dụ  2.1.1.  Không  gian  topo  phản  rời  rạc  có  ít  nhất  hai 
phần tử không phải là  T1 - không gian. 
Ví  dụ  2.1.2.  Tích  của  các  T1 -  không  gian  là  một  T1 -  không 
gian. 

23


Giả  sử   X  ,   I là  họ  các  T1 -  không  gian.  Xét   x  I  
và   y  I  là hai điểm thuộc   X   x , y  X ,   I  . 
 I

Do  x1 , y1   thuộc  T1 -  không  gian   X 1 , 1    nên  tồn  tại  lân  cận 
mở  U   của  x1 ,  V   của  y1   sao  cho  x1  V , y1  U .  Thế  thì ta  có  lân 
cận  U   X    của   x  I   với  lân  cận  V   X    của   y  I  
 1

 1

sao cho     x  I  V   X   và   y  I  U   X  . 
 1

 1

Vậy   X   là  T1 - không gian. 
 I

Định  nghĩa  2.1.3.  Không  gian  topo   X ,     được  gọi  là    
T2 -  không  gian  hay  là  không  gian  Hausdorff  nếu  X   thỏa  mãn 

tiên đề tách  T2 : 
T2 :  với  mọi  x, y  X , x  y ,  tồn  tại  một  lân  cận  U   của  x   và 

lân cận  V  của  y  sao cho  U  V   . 
T2  còn được gọi là không gian tách. 

Ví  dụ  2.1.3.  Cho  X   là  một  tập  hợp  vô  hạn.  Họ  D   những 
tập  hợp  con  của  X   bao  gồm  X   và  tất  cả  những  tập  hợp  con 
hữu  hạn  của  X .  Không  gian  topo     xác  định  bởi  họ  tập  hợp 
đóng  D   bao  gồm  tập  hợp  rỗng  và  phần  bù  của  các  tập  hợp  con 
hữu  hạn  của  X   là  một  T1 -  không  gian  nhưng  không  phải  là   
T2 - không gian. 

Ví dụ 2.1.4. Mọi không gian metric đều là  T2 - không gian. 
Định nghĩa 2.1.4. Không gian topo   X ,   được gọi là 

24


T3 -  không  gian  hay  không  gian  chính  quy  nếu  X   là  T1 -  không 

gian thỏa mãn tiên đề tách  T3 : 
T3 : Với mọi  x  X  và một tập hợp đóng  F  X  sao cho 

x  F ,  tồn  tại  một  lân  cận  U   của  x   và  một  lân  cận  V   của  F  

sao cho  U  V  .  
Ví  dụ  2.1.5.  Giả  sử  X   là  tập  hợp  các  số  thực.  Đặt 
1
1
1


Y   : k  , k  0  . Với mỗi  x  X , đặt  Oi  x    x  , x    
i
i
k



và  


B  x   Oi  x i 1 , x  0.


Bx  Oi  x  \ Y i 1 , x  0.

 

Tồn tại một không gian    trên  X  sao cho   B  x x X  là một 

hệ  thống  đầy  đủ  các  lân  cận  trong  không  gian   X ,   , Y   là  một 
hợp đóng trong  X  và  O  Y . 
Định nghĩa 2.1.5. Không gian topo   X ,    được gọi là 
T 1 -  không  gian  hay  không  gian  hoàn  toàn  chính  quy  nếu  X   là     
3

2

T1 - không gian thỏa mãn tiên đề tách  T 1 : 
3

T 1 :  Với  mọi 
3

2

x0  X   và  với  mọi  tập  hợp  đóng 

2

F  X , x0  F , tồn tại một hàm liên tục  f  trên  X  sao cho 
(i ), x  X , 0  f  x   1;
(ii ), f  x0   0;
(iii ), x  F , f  x   1

25