Giải tích vectơ trong không gian en và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong
khoa toán, các thầy giáo cô giáo trong trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2
và các bạn sinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của em tới
thầy giáo Phó giáo sư-Tiến sĩ Nguyễn Năng Tâm, người đã tận tình giúp đỡ
em trong suốt quá trình hoàn thành khoá luận này.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa
thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù đã rất cố gắng
nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khoá luận của em được hoàn
thiện tốt hơn và có ứng dụng trong thực tế.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nộ, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Đỗ Thị Ngọc


LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận tốt nghiệp được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn của thầy
giáo PGS-TS Nguyễn Năng Tâm, trong quá trình nghiên cứu tôi có sử dụng
sách tham khảo của một số tác giả, các nhà nghiên cứu (đã nêu trong mục
tài liệu tham khảo).
Tôi xin cam đoan khoá luận là kết quả của bản thân trong quá trình
học tập ở bậc Đại học, kết quả đề tài bảo đảm chính xác, khách quan, trung
thực.
Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Đỗ Thị Ngọc

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
Chương I. GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN E n .................... 2
§1. Không gian vectơ Euclid n chiều ...................................................... 2
§2. Hàm vectơ...........................................................................................4
2.1. Định nghĩa ................................................................................... 4
2.2. Phép toán trên các hàm vectơ....................................................... 4
2.3. Giới hạn của hàm vectơ ............................................................... 7
2.4. Hàm vectơ liên tục ..................................................................... 11
§3. Đạo hàm của hàm vectơ một biến số .............................................. 12
3.1. Định nghĩa ................................................................................. 12
3.2. Tính chất.................................................................................... 12
3.3. Đạo hàm cấp cao ....................................................................... 17
3.4. Đổi biến số ................................................................................ 17
3.5. Nguyên hàm, tích phân của hàm vectơ 1 biến số........................ 19
3.6. Nhận xét .................................................................................... 20
Chương 2. ỨNG DỤNG........................................................................... 21
§1. Nghiên cứu đường trong E n ........................................................... 21
1.1. Vectơ tiếp xúc........................................................................... 21
1.2. Cung tham số ........................................................................... 22
1.3. Cung trong E n ........................................................................... 23
1.4. Cung chính quy.......................................................................... 24
1.5. Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị ..................... 27
1.6. Cung song chính quy....................................................................28
1.7. Công thức Frenet ....................................................................... 29
§2: Nghiên cứu mặt trong E 3 ............................................................... 36
2.1. Mảnh tham số ........................................................................... 36

2.2. Ánh xạ Weingarten .................................................................... 38
KẾT LUẬN.............................................................................................. 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 47


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn học nghiên cứu về các số, cấu trúc không gian và các
phép biến đổi. Nói một cách khác người ta cho rằng đó là môn hoc về
“Hình và Số”. Bên cạnh sự phát triển của “Số” thì “Hình” cũng là một bộ
môn phần lớn hết sức phát triển và đa dạng với nhiều môn học như: hình xạ
ảnh, hình Euclid, hình học vi phân,…Trong đó hình học vi phân là môn có
tính hệ thống cao, chặt chẽ, tính logic và trìu tượng cao. Ở đó các khái
niệm: không gian vectơ Euclid n-chiều, hàm vectơ, đạo hàm của của hàm
vectơ một biến số,…là những khái niệm hết sức cơ bản. Tuy nhiên các vấn
đề này còn được trình bày một cách sơ lược chưa được phân loại và hệ
thống một cách chi tiết. Xuất phát tư mong muốn và niềm đam mê tìm hiểu
sâu sắc hơn về vấn đề này em quyết định chọn đề tài “Giải tích vectơ
trong không gian En và Ứng dụng” làm khoá luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức của
giải tích vectơ n chiều trong không gian E n và ứng dụng của chúng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Kiến thức về hàm vectơ, bán kính hàm vectơ, đạo hàm của hàm vectơ
n
và ứng dụng trong không gian E .

3.2. Phạm vi nghiên cứu

Khái niệm cơ bản trong giải tích vectơ n chiều trong không gian E n .
4. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng hợp tài liệu.

1


Chương I
GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN En
§1. Không gian vectơ Euclid n chiều
1.1.

Đ
ịnh nghĩa 1 (xem [1.1], tr.5)

Không gian vectơ n-chiều trên trường số thực được gọi là không gian
 n
 
vectơ Euclid n-chiều kí hiệu là E nếu với mỗi cặp có thứ tự ( a , b ) thuộc
 n  n
E  E xác định một số thực gọi là tích vô hướng của hai vectơ
 
 

a , b . Kí hiệu là a . b hoặc a b thỏa mãn các tiên đề sau đây:
     n
Với mỗi a , b , c,  E , 
ta có:
 
i. a.b  b.a

    
ii. a.(b  c)  a.b  a.c
 

iii. ( a).b  .(b.a)



iv. a.a  0 dấu (  ) xảy ra khi và chỉ khi a là 0 .
 2  


v.   .  0 dấu (  ) xảy ra khi và chỉ khi  là 0 .
1.2.

Đ
ịnh nghĩa 2 (xem [1.1], tr.5)

Trong không gian Euclid n-chiều E n là không gian afin liên kết với
 n
không gian Euclid n-chiều E .
  n
Lưu ý rằng: với mọi điểm M E n , mọi x  E ta luôn tìm được duy nhất
 
 

điểm N của E n sao cho MN  x . Nếu MN  x thì viết: N  M  x .
1.3.

Đ

ịnh nghĩa 3 (xem [1.1], tr.5)

2



 n
Hệ {ei }i 1,n trong E được gọi là hệ trực chuẩn nếu:

ei e j 


Nếu {ei }i 1,n là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid E n , điểm
 

O  E n thì hệ {O,e1 ,e 2 ,...,e n } gọi là một hệ toạ độ trực chuẩn của không

gian Euclid E n và thường được gọi là hệ tọa độ Đề các vuông góc.
 

Nếu {O,e1 ,e 2 ,...,e n } là một hệ toạ độ trực chuẩn của không gian
 n
  n

 n
  n   n
Euclid E và x  E , y  E với x   x i .ei , y   yi .ei thì ta có:
i 1



 n
x.y   x i .yi , || x || 
i 1

i 1

n

 xi2

.

i 1

Giả sử M(x1 , x 2 ,..., x n ), N(y1 , y 2 ,..., y n ) ta có:

|| MN || (x1  y1 ) 2  (x 2  y 2 ) 2    (x n  y n ) 2 .
1.4. Định nghĩa 4 (xem [1.1], tr.5)
 n
Cho không gian vectơ Euclid E ,
, ta gọi số  2 là độ dài
 n

(chuẩn/môđun) của vectơ  . Khoảng cách giữa 2 điểm M,N E là giá trị

MN . Ta kí hiệu d(M,N) là khoảng cách giữa 2 điểm M,N.

Khi đó d(M,N)  MN .

3

§2. Hàm vectơ
2.1. Định nghĩa (xem [1.2], tr.6)



Trong E n cho U là tập hợp tùy ý. Ánh xạ X : U  E n , u  X  u  là
 n
một hàm vectơ ( xác định trên U, giá trị trong E ).


 

Cho X là hàm vectơ trên tập hợp U, X : U  E n và (e1,e 2 ,...,e n ) là
 n
một cơ sở của không gian vectơ E . Khi đó ta có:
x i : U  R , u  x i (u) i=1,2,…,n

sao cho u  U :



X(u)  x1 (u).e1      x n (u).e n


gọi là các hàm toạ độ của hàm vectơ X .
2.2. Phép toán trên các hàm vectơ (xem [1.3], tr.7)

 

 n
Cho tập hợp U trong E n cho các hàm vectơ X,Y : U  V  E và
hàm số  : U  R . Ta định nghĩa:
a. Tổng của hai hàm vectơ được xác định bởi
 
 n
 


X  Y : U  E , u  (X  Y)(u)  X(u)  Y(u)
b. Tích của một hàm số với với một hàm vectơ

 n


X : U  E , u  (X)(u)  (u).X(u)
c. Tích vô hướng của hai hàm vectơ
 
 n
 


X.Y : U  E , u  (X.Y)(u)  X(u).Y(u)
d. Chuẩn của hàm vectơ



 n
|| X ||: U  E , u || X ||  u  || X(u) ||

4


e. Khi n  3 và

 3
E có hướng ta định nghĩa tích có hướng của hai

hàm vectơ:
 
X  Y : U  En
 


u  (X  Y)(u)  X(u)  Y(u)
Sử dụng biểu thức toạ độ ta có:
n
n

 

X(u)   x i (u).ei , Y(u)   yi (u).ei
i1

i1

a. Ta có:
n
n
n

 



i
i
i
(X  Y)(u)   (x (u)  y (u)).ei   x (u).ei   yi (u).ei
i 1

i 1

i 1



 X(u)  Y(u)

b. Ta có:


X  (x1 , x 2 ,..., x n ) suy ra X  (x1 , x 2 ,..., x n )
n
n




i
suy ra (X)(u)   (u).x (u).ei  (u). x i (u).ei  (u).X(u)

i1

i 1



(X)(u)  (u).X(u)

c. Ta có:


X  (x1 , x 2 ,..., x n ) , Y  (y1 , y 2 ,..., y n )
 
X.Y  x1.y1  x 2 .y 2      x n .y n
 
Suy ra (X.Y)(u)  (x1.y1 )(u)  (x 2 .y 2 )(u)      (x n .y n )(u)
 x1 (u).y1 (u)  x 2 (u).y 2 (u)      x n (u).y n (u)

Mặt khác:
n



X(u)   x i (u).ei suy ra X(u)  (x1 (u), x 2 (u),..., x n (u))
i 1

5

(1)

n



Y(u)   yi (u).ei suy ra Y(u)  (y1 (u), y 2 (u),..., y n (u))
i 1

Khi đó:


X(u).Y(u)  x1 (u).y1 (u)  x 2 (u).y 2 (u)      x n (u).y n (u) (2)
 


Từ (1) và (2) suy ra: (X.Y)(u)  X(u).Y(u)
 3


d. Với n=3, E có hướng ta có: X  (x1 , x 2 , x 3 ), Y  (y1 , y 2 , y3 )

Ta có:
   x 2
XY
 y2


x3 x3
,
y3 y3

x1 x1
,
y1 y1

x2 

2 
y 

 (x 2 .y3  x 3 .y 2 , x 3 .y1  x1.y3 , x1.y 2  x 2 .y1 )
 
(X  Y)(u)  (x 2 .y3  x 3.y 2 )(u),(x 3.y1  x1.y3 )(u),(x1.y 2  x 2 .y1 )(u)





 (x 2 (u).y3 (u)  x 3 (u).y 2 (u), x 3 (u).y1 (u)  x1 (u).y3 (u),
x1 (u).y 2 (u)  x 2 (u).y1 (u))

(3)

3



Mặt khác: X(u)   x i (u).ei suy ra X(u)  (x1 (u), x 2 (u), x 3 (u))
i 1

3



Tương tự: Y(u)   yi (u).ei suy ra Y(u)  (y1 (u), y 2 (u), y3 (u))
i 1

Ta có:
 x 2 (u) x 3 (u) x 3 (u) x1 (u) x1 (u) x 2 (u) 



X(u)  Y(u)  
,
,
 y 2 (u) y3 (u) y3 (u) y1 (u) y1 (u) y 2 (u) 


 (x 2 (u).y3 (u)  x 3 (u).y 2 (u), x 3 (u).y1 (u)  x1 (u).y3 (u),
x1 (u).y 2 (u)  x 2 (u).y1 (u))

6

(4)


 


Từ (3) và (4) suy ra (X  Y)(u)  X(u)  Y(u)

2.3. Giới hạn của hàm vectơ
2.3.1. Định nghĩa của điểm giới hạn (xem [3.1], tr.9)
Điểm u 0 thuộc E m gọi là điểm giới hạn của tập hợp U thuộc E m nếu
với mọi số thực   0 tồn tại điểm u  U \ u 0  sao cho d  u 0 ,u    .
2.3.2. Định nghĩa (xem [3.2], tr.9)

Cho X là một hàm vectơ trên tập hợp U thuộc E m


X : U  E n , u  X(u)


và điểm u 0  E m là điểm giới hạn của tập hợp U. Hàm vectơ X có giới hạn
  n
e  E khi u dần tới u 0 nếu với mọi số thực   0 tồn tại số thực   0 sao


cho với mọi u  U mà d  u 0 ,u    thì || X(u)  e ||  , kí hiệu là:


lim X(u)  e .
u u 0

2.3.3. Định lý (xem [3.3], tr.9)

Cho hàm vectơ X trên tập hợp U thuộc E m :
n




n
X : U  E , u  X(u)   x i (u).ei
i 1

 m
 

có các hàm toạ độ là x1,..., x n đối với cơ sở (e1,e 2 ,...,e n ) của E và điểm

u 0  E m là điểm tới hạn của tập hợp U. Hàm vectơ X có giới hạn là

 

 n
e  e1.e1    en .en  E khi và chỉ khi các hàm số x i : U  R có giới hạn
là ei khi u dần tới u 0 với mọi i  1,...,n :

7


 lim x i (u)  ei


lim X(u)  e  uu 0
u u 0
i  1,...,n

Chứng minh
Giả sử :




lim X(u)  e với mỗi i  1,...,n , xét vectơ đơn vị n i trực

u u 0


 


 
giao với các vectơ e1,...,ei1,ei1,..., e n . Lúc đó | n i .ei | K i  0, n i .e j  0 với

mọi j  1 .
Với mỗi số   0 tuỳ ý ta chỉ cần chỉ ra một số   0 sao cho u  U ,
d  u 0 ,u    kéo theo | x i (u)  ei |  .


Do lim X(u)  e nên tồn tại số   0 sao cho u  U , d  u 0 ,u    có
u u 0



|| X(u)  e ||  .





Ta lại có: || X(u)  e |||| (x1 (u)  e1 ).e1      (x n (u)  e n ).e n ||

|| n i .[(x1 (u)  e1 ).e1     (x n (u)  e n ).e n ] ||

| n i .(x i (u)  ei )ei || x i  ei | .K i

Vậy u  U , d  u 0 ,u    có | x i  ei |  hay lim x i (u)  ei , i=1,2,…,n
u u 0

Ngược lại giả sử lim x i (u)  ei , i=1,2,…,n .
u u 0

Đặt K= max  ei
i 1,...,n



thì ta có:





|| X(u)  e |||| (x1 (u)  e1 ).e1      (x n (u)  e n ).e n ||

| x1 (u)  e1 | .|| e1 ||     | x n (u)  en | .|| e n ||
 K(| x1 (u)  e1 |     | x n (u)  en |)
Với mỗi   0 tuỳ ý cho trước ta cần chỉ ra một số   0 sao cho

8



u  U , d  u 0 ,u    kéo theo || X(u)  e ||  .

Vì mỗi i=1,2,…,n các hàm số x i (u) có giới hạn ei khi u dần tới u 0 nên

K.n


thì rõ ràng u  U , d  u 0 ,u    có || X(u)  e ||  hay

tồn tại các số  i  0 mà u  U , d  u 0 ,u    có | x i (u)  ei |

 

chọn   min i
i 1,...,n



lim X(u)  e (định lí được chứng minh).

u u 0

2.3.4. Hệ quả (xem [3.4], tr.11)
 
Nếu hàm vectơ X.Y từ tập hợp U đến E n và hàm số g từ U đến R có
giới hạn khi u dần đến u 0 thì có các giới hạn ở các vế trái sau đây và có các

đẳng thức
1.
2.

 


lim (X  Y)(u)  lim X(u)  lim Y(u)

u u 0

u u 0




lim (g.X)(u)  lim g(u). lim X(u)

u u 0

3.

u u 0

u u 0

 


lim (X.Y)(u)  lim X(u). lim Y(u)

u u 0

4.

u u 0

u u 0

u u 0



lim || X || (u) || lim X(u) ||

u u 0

u u 0

Chứng minh
n
n

 

1. Ta có: X(u)   x i (u).ei , Y(u)   yi (u).ei
i 1

i 1

 
Ta có: lim (X  Y)(u)  lim
u u 0

u u 0

 
lim (X  Y)(u)  lim

u u 0

u u 0


(x

y
)(u).e
i  lim



i
i
(x
(u)

y
(u)).e
i



i 1

i 1

n

i

i

u u 0

n


i
x
(u).e
i  lim



i
y
(u).e
i


i 1

i 1

n

u u 0



 lim X(u)  lim Y(u)
u u 0

u u 0

9

n



2. Ta có: X  (x1 , x 2 ,..., x n )

Suy ra:

(g.X)  g(x1, x 2 ,..., x n )  (g.x1 ,g.x 2 ,...,g.x n )

(g.X)(u)  ((g.x1 )(u),(g.x 2 )(u),...,(g.x n )(u))




 (g(u).x1 (u),g(u).x 2 (u),...,g(u).x n (u))

 g(u)(x1 (u), x 2 (u),..., x n (u))


 g(u).X(u)



Suy ra: (g.X)(u)  g(u).X(u)
Suy ra:



lim (g.X)(u)  lim g(u). lim X(u)

u u 0

u u 0

u u 0

(theo định nghĩa của giới hạn hàm vectơ).
3. Ta có:


X  (x1 , x 2 ,..., x n ), Y  (y1 , y 2 ,..., y n )
Suy ra:
 

X.Y  x1.y1  x 2 .y 2     x n .y n
 
(X.Y)(u)  (x1.y1 )(u)  (x 2 .y 2 )(u)     (x n .y n )(u)
 x1 (u).y1 (u)  x 2 (u).y 2 (u)      x n (u).y n (u) (1)


Mặt khác: X(u).Y(u)  x1 (u).y1 (u)  x 2 (u).y 2 (u)      x n (u).y n (u) (2)
 


Từ (1) và (2) suy ra: (X.Y)(u)  X(u).Y(u)

Suy ra:
 


lim (X.Y)(u)  lim X(u). lim Y(u)
u u 0

u u 0

u u 0


4. Ta có: X  (x1 , x 2 ,..., x n ) suy ra


|| X || X.X  (x1 ) 2  (x 2 ) 2     (x n ) 2

10


|| X || (u)  ( (x1 ) 2  (x 2 ) 2     (x n ) 2 )(u)


|| X || (u)  (x1 ) 2 (u)  (x 2 ) 2 (u)     (x n )2 (u)

 

|| X || (u)  X(u).X(u) || X(u) ||



Suy ra: lim || X || (u)  lim || X(u) |||| lim X(u) ||
u u 0

u u 0

u u 0

(theo định nghĩa giới hạn của hàm vectơ).
2.4. Hàm vectơ liên tục (xem [3.5], tr.12)
a) Định nghĩa


 n
Hàm vectơ X từ tập hợp U trong E m đến E gọi là liên tục tại điểm



u 0  U nếu có lim X(u)  X(u 0 ) .
u u 0


Hàm vectơ X từ tập hợp U trong E m đến E n gọi là liên tục nếu nó
liên tục tại mọi u  U .
b) Tính chất


 n
Hàm vectơ X từ tập hợp U trong E m đến E có các hàm toạ độ


 n
x1,..., x n trong cơ sở (e1,...,e n ) của E liên tục tại điểm u 0  U khi và chỉ

khi các hàm số x1,..., x n liên tục tại u 0  U . Từ đó X liên tục khi và chỉ
khi x1,..., x n liên tục.
  
Mặt khác nếu X,Y, Z là các hàm vectơ liên tục trên tập hợp U và g là
hàm số liên tục trên U thì cũng có các hàm vectơ sau liên tục trên U:
 

 3
 
X  Y , g.X , (n=3, E có hướng ) X.Y có các hàm số liên tục trên U
  
 3
  
X.Y , || X || (n=3, E có hướng) X,Y, Z .

11


§3. Đạo hàm của hàm vectơ một biến số
3.1. Định nghĩa (xem [3.5], tr.13)

 n

Cho J là một khoảng trong R, xét hàm vectơ X : J  E , t  X(t) .

Khi đó giới hạn:


X(t  t)  X(t)
lim
t 0
t
tồn tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm vectơ này tại t, kí hiệu


dX
(t) .
là X '(t) hoặc
dt



n
Hàm vectơ X(t) gọi là hàm hằng nếu X(t)  e cho trước của E

t  J .

3.2. Tính chất (xem [3.5], tr.13)
a) Tính chất 1

Hàm vectơ X(t) từ khoảng J  R đến E n có các toạ độ x1, x 2 ,..., x n
 

 n
trong cơ sở (e1,e 2 ,...,e n ) của E có đạo hàm tại t  J khi và chỉ khi các

hàm số x1, x 2 ,..., x n có đạo hàm tại t  J . Khi đó:




X '(t)  (x1 )'(t).e1  (x 2 )'(t).e 2     (x n )'(t).e n
Chứng minh
Ta có:


X(t  t)  X(t) x1 (t  t)  x1 (t) 1 x 2 (t  t)  x 2 (t)  2

e 
e    
t
t
t

12



x n (t  t)  x n (t)  n
e
t

Áp dụng định lý 2.3.3. ta có:


X(t  t)  X(t)
x1 (t  t)  x1 (t) 1
x 2 (t  t)  x 2 (t)  2
lim
 lim
e  lim
e
t 0
t 0
t 0
t
t
t

x n (t  t)  x n (t)  n
e
t 0
t





Hay X '(t)  (x1 ) '(t).e1  (x 2 )'(t).e 2      (x n ) '(t).e n
    lim

(ta có điều phải chứng minh).
b) Tính chất 2

Hàm vectơ X(t) trên khoảng J là hàm hằng khi và chỉ khi đạo hàm


X '(t)  0 t  J .

Chứng minh:
 

Nếu hàm vectơ có hàm toạ độ x1, x 2 ,..., x n đối với cơ sở (e1 ,e 2 ,...,e n )

 n
của E thì khi x là hàm hằng kéo theo là hàm hằng và ngược lại. Mặt khác





nếu X có đạo hàm thì : X '(t)  (x1 ) '(t).e1  (x 2 ) '(t).e 2  ...  (x n )'(t).e n


Từ đó X '(t)  0 khi và chỉ khi (x1 ) '(t),(x 2 ) '(t),...,(x n )'(t) bằng 0. Vì

hàm số là hàm hằng trên một khoảng khi và chỉ khi đạo hàm của nó bằng 0
tại mọi khoảng của nó bằng 0 tại mọi điểm của khoảng. (điều phải chứng
minh)
c) Đạo hàm của hàm vectơ
Cho tập hợp U trong E n cho các hàm vectơ
đạo hàm tại t ta có:
 
 
1) (X  Y) '  X ' Y '



2) ( X ')   'X   X '

13

 
 n
X,Y : J  E ;  : J  R có


3)

4)

 3
Với n=3, E có hướng:
 
 

 
(X  Y)'  (X ' Y)  (X  Y ')
 
  
(X.Y) '  X 'Y  XY '

Chứng minh
1) Bằng định nghĩa ta có:
 
 




(X  Y)(t  t)  (X  Y)(t)  X(t  t)  Y(t  t)  X(t)  Y(t)
 
 




 (X  Y)(t  t)  (X  Y)(t)  (X(t  t)  X(t))  (Y(t  t)  Y(t))
Chia cả 2 vế cho t ta có
 
 




(X  Y)(t  t) (X  Y)(t) (X(t  t)  X(t)) (Y(t  t)  Y(t))




t
t
t
t
Chuyển qua giới hạn ta có:
 
 
(X  Y)(t  t)
(X  Y)(t)
lim
 lim
t 0
t 0
t
t




(X(t  t)  X(t))
(Y(t  t)  Y(t))
 lim
 lim
t 0
t 0
t
t

 
 
Suy ra: (X  Y) '  X ' Y ' (ta có điều phải chứng minh).
2) Sử dụng tính chất a) ta có:




X '(t)  x1 (t).e1  x 2 (t).e 2  ...  x n (t).e n
 

 n
(e1 ,e 2 ,...,e n ) là cơ sở của E thì:



(X)(t)   (t).x1 (t).e1       (t).x n (t).e n



(X) '(t)  ( (t).x1 (t)) '.e1      ( (t).x n (t)) '.e n

Có: ( (t).x1 (t))'   '(t).x1 (t)   (t).(x1 )'(t) t  1,2,...,n




Nên (X)'(t)   '(t).(x1 (t).e1     x n (t).e n )   (t).((x1 (t))'.e1   

 (x n (t)) '.e n )

14





Suy ra: (X) '   '.X   X ' (Ta có điều phải chúng minh).
 3
3) Với n=3, E có hướng ta có:


X  (x1 , x 2 , x 3 ), Y  (y1 , y 2 , y3 )

Ta có:
   x 2
XY
 y2


x3 x3
,
y3 y3

x1 x1
,
y1 y1

x2 


y 2 

 (x 2 .y3  x 3 .y 2 , x 3 .y1  x1.y3 , x1.y 2  x 2 .y1 )

suy ra:
 
(X  Y) '  ((x 2 .y3 )' (x 3 .y 2 ) ',(x 3 .y1 )' (x1.y3 ) ', (x1.y 2 ) ' (x 2 .y1 ) ')
 ((x 2 )'.y3  x 2 .(y3 ) ' (x 3 )'.y 2  x 3 .(y 2 )',
(x 3 ) '.y1  x 3 .(y1 ) ' (x1 ) '.y3  x1.(y3 ) ',

(x1 )'.y 2  x1.(y 2 )' (x 2 )'.y1  x 2 .(y1 )') (1)

Mặt khác:
   (x 2 )' (x 3 )' (x 3 ) ' (x1 )' (x1 )' (x 2 )' 

X ' Y  
,
,
3
3
1
1
2 
 y2
y
y
y
y
y



 ((x 2 ) '.y3  (x 3 )'.y 2 ,(x 3 ) '.y1  (x1 )'.y3 , (x1 ) '.y 2  (x 2 )'.y1 )

   x 2
x3
x3
x1
x1
x2 

X  Y'  
,
,
 (y 2 )' (y3 )' (y3 )' (y1 )' (y1 )' (y 2 )' 


 (x 2 .(y3 ) ' x 3 .(y 2 ) ', x 3 .(y1 ) ' x1.(y3 ) ', x1.(y 2 ) ' x 2 .(y1 ) ')

Khi đó:
 
 
(X ' Y)  (X  Y ')  ((x 2 ) '.y3  x 2 .(y3 ) ' (x 3 )'.y 2  x 3 .(y 2 ) ',
(x 3 ) '.y1  x 3 .(y1 ) ' (x1 ) '.y3  x1.(y3 ) ',
(x1 ) '.y 2  x1.(y 2 ) ' (x 2 ) '.y1  x 2 .(y1 ) ') (2)

15


Từ (1) và (2) suy ra:
 

 
 
(X  Y)'  (X ' Y)  (X  Y ') (ta có điều phải chứng minh).
4) Bằng định nghĩa ta có:
 
 






(X.Y)(t  t)  (X.Y)(t)  (X(t  t)  X(t)).Y(t  t)  X(t).(Y(t  t)  Y(t))
Chia cả 2 vế cho t ta có:
 
 



(X.Y)(t  t)  (X.Y)(t) (X(t  t)  X(t)).Y(t  t)

t
t



X(t).(Y(t  t)  Y(t))

t
Chuyển qua giới hạn ta có:

 
 



(X.Y)(t  t)  (X.Y)(t)
(X(t  t)  X(t)).Y(t  t)
lim
 lim
t 0
t 0
t
t



X(t).(Y(t  t)  Y(t))
 lim
t 0
t
Suy ra:
 
  
(X.Y) '  X 'Y  XY ' (ta có điều phải chứng minh).

 n
d) Cho X là một hàm vectơ trên khoảng J trong R đến E có đạo hàm




X '(t) tại mọi t  J . Hàm số || X || trên J là hàm hằng khi và chỉ khi X '(t)

vuông góc với X(t) với mọi t  J .



Nếu || X || là hàm hằng trên J thì từ: || X || (t) || X(t) || X(t).X(t) .
 
Ta có X.X là hàm hằng trên J.
 
 2
 
Khi đó: (X.X)'(t)  (X (t))'  2.X(t).X '(t)  0 t  J


Vậy X '(t)  X(t) t  J .




Ngược lại X '(t)  X(t) t  J thì X '(t).X(t)  0 t  J .

16


 2
 
 
Lúc đó (X (t))'  2.X(t).X '(t)  0 t  J nên X.X là hàm hằng trên J hay


chính || X || là hàm hằng trên J.

3.3. Đạo hàm cấp cao (xem [1.4], tr.7)
a) Định nghĩa

 n

Cho X : J  E , t  X(t) ta cũng có thể xét đạo hàm cấp k, k 1:

 (k) dn  (k 1)
X (t)  (X
(t))' .

Ta có X(t) khả vi lớp Ck nếu nó có đạo hàm đến cấp k và đạo hàm cấp

k liên tục. X(t) khả vi lớp C  (hàm vectơ chẵn, hàm vectơ trơn) nếu nó có
đạo hàm mọi cấp.
b) Ví dụ


e : R.  E2



t  e(t)  cos t.i  sin t.j

 (k)


 2


trong đó (i, j) là cơ sở trực chuẩn của E , k  N* : e (t)  e(t  k. ).
2
c) Khai triển Taylor

 n

Nếu X : J  E , t  X(t) có đạo hàm đến cấp k tại t  J thì ta có:



t 2 
t k 1  (k 1)
X(t  t)  X(t)  t.X '(t) 
 X ''(t)    
X
(t)
2!
(k  1)!


t k  (k)

 (X (t)  (t, t))
k!


Trong đó: (t, t)  0 khi t  0 .
3.4. Đổi biến số (xem [1.5], tr.8)
 n



Cho I,J  R : X : J  E , t→ X (t) có đạo hàm tới mức cần thiết

 : I  J , s  t  (s)

17


là hàm số có đạo hàm thì hàm vectơ

 n
(X. ) : I  E

s  X( (s))


tới mức cần thiết và có: (X. ) '   '.(X '. )



(X. )''   ''.(X '. )   '2 .(X '. ) .

Cũng có thể viết:

d 
d dX
(X. )' 



ds
ds dt


2
d 2 
d 2 dX
 d   d '  
(X. )  2 
     2 
ds
ds dt
 ds   dt


Chứng minh



Nếu X có các hàm toạ độ x1,..., x n đối với cơ sở (e1,...,e n ) của E n :






X(t)  x1 (t).e1      x n (t).e n thì (X. )(s)  x1 ( )(s).e1      x n ( )(s).e n
Vậy:




(X. ) '(s)  (x1 ( (s)))'.e1      (x n ( (s))) '.e n


  '(s).(x1' ((s)).e1     x n ' ((s)).e n )

  '(s).X '((s))


Hay : (X. ) '   '.(X '. )

d 
d dX
(X.)' 


Cũng có thể viết:
ds
ds dt



d 2 (X. ) d  d dX
  
 ( (s)) 
Mà:
2
ds  ds dt
ds


18





d 2 (X.) d  d dx
Suy ra:





(s)


ds  ds dt
ds 2




2
d 2 (X.) d 2 dx
 d  d ' 
Suy ra:
 2
      2  (s)
ds 2

ds dt
 ds  dt



Hay (X. ) ''   ''.(X '. )   '2 (X '. )

3.5. Nguyên hàm, tích phân của hàm vectơ 1 biến số (xem [1.7], tr.9)
3.5.1. Nguyên hàm
a. Định nghĩa
 n


 n


Cho X : J  E , t→ X (t), nếu có hàm vectơ Z : J  E , t→ Z(t) sao




cho Z'(t) = X(t) : t  J thì Z gọi là một nguyên hàm của hàm vectơ X .
b. Nhận xét


Z'(t) = X(t) : t  J
+
n
i


c. Nếu: X(t) =  x i (t).e

( là vec tơ hằng)

thì X(t) là nguyên hàm khi và chỉ khi các hàm

i 1

thành phần

n

i
(t) có nguyên hàm và  X(t)dt =  (  x i (t)dt)e
i 1

3.5.2. Tích phân
a. Định nghĩa


I   a,b   J ; ab 
a

giới hạn đối với mọi phân hoạch a= < < <…< =b của [a,b], với mọi
i  [t i 1 , t i ] khi max  t i  t i1   0.

b. Nhận xét

19


Nếu  X(t)dt

+

b 




thì  X(t)dt = Z(t) |ab  Z(b)  Z(a)
a

b 


||
X(t)
|| dt


a

a

Ta cũng có kết quả sau: ||  X(t)dt ||

b

3.6. Nhận xét (xem [1.6], tr.9)


 n
Đối với vectơ nhiều biến số chẳng hạn hai biến số X :U→ E ,

(u,v)↦ X (u,v) (U mở ⊂ ) ta có thể nói tới các đạo hàm riêng
 



X X 2 X
2 X 2 X
tồn tại và liên tục thì
;
;
;... và cũng có kết quả
;
u v u.v
u.v v.u
chúng bằng nhau.

20


Chương 2. ỨNG DỤNG
Trong chương này ta tìm hiểu về một số ứng dụng của hàm vectơ trong
nghiên cứu đường và mặt trong E n .
§1. Nghiên cứu đường trong En

1.1. Vectơ tiếp xúc (xem [2.1], tr.11)
Nhắc lại rằng không gian Euclid E n là một không gian afin liên kết với
 n
không gian vectơ Euclid E . Hai điểm p,q của E n xác định một vectơ
  n
 

 E mà ta viết pq   hay p  q   . Ta xét tập tích:

 n
T.E n  E n  E

Ta gọi mỗi phần tử  p  (p, )  T.E n là một vectơ tiếp xúc của E n tại
p. TE n được gọi là tập các vectơ tiếp xúc của E n .
   n
Với p  E n , kí hiệu là Tp E n  { p  (p,  );   E } là tập các vectơ tiếp xúc



 n
với E n tại p thì có song ánh E  Tp E n ,    p  (p, )
 n
Từ đó đưa được cấu trúc không gian vectơ Euclid từ E lên Tp E n và

gọi Tp E n là không gian vectơ tiếp xúc của E n tại p.


Ta định nghĩa với mọi  p  (p, ) , p  (p, )  Tp E n
 
 p .p  .

 n
Chú ý. Giả sử U là tập mở trong E n . Ta có TU  U  E được gọi là tập
các vectơ tiếp xúc của U. Với p  U , ta kí hiệu và gọi nó là không gian
vec tơ tiếp xúc của U tại p.

21