Môđun noether và môđun artin

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

lời cảm ơn
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận: “Môđun Noether và môđun
Artin” cùng với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, em đã nhận được sự hướng dẫn và
giúp đỡ tận tình của Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga, đồng thời em cũng nhận được
sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên khoa Toán
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn-Thạc Sỹ Nguyễn Thị
Kiều Nga đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận của
mình.
Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận
này.
Do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế. Hơn nữa do lần đầu tiên làm
quen với công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em
rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn để khóa
luận của em được hoàn thiện hơn
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên

Đào Thị Huê

Đào Thị Huê

1

Lớp K32G Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Lời Cam Đoan
Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu
cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo- Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga. Trong quá
trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở mục tài liệu tham
khảo
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng
em và nó không trùng với kết quả của bất kỳ tác giả nào khác
Hà Nội, tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Đào Thị Huê

Đào Thị Huê

2

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Mục Lục
Lời mở đầu ................................................................................................... 1
Chương 1: Môđun ...................................................................................... 2

1.1. Môđun, môđun con, điều kiện tương đương với môđun con ......................... 2
1.2. Môđun thương ................................................................................................. 6
1.3. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun ...................... 8
1.4. Tập sinh, tập độc lập và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở của môđun, môđun
hữu hạn sinh ......................................................................................................... 10
1.5. Định nghĩa đồng cấu môđun, điều kiện tương đương ................................... 11
Chương 2: Dãy khớp ................................................................................. 16
2.1. Định nghĩa dãy khớp, dãy khớp ngắn, điều kiện tương đương ..................... 16
2.2. Một số tính chất dãy khớp ............................................................................. 17
2.3. Dãy khớp ngắn chẻ ra.................................................................................... 18
Chương 3: Môđun Noether Và Môđun Artin ........................................ 20
3.1. Iđêan trên vành giao hoán ............................................................................. 20
3.2. Môđun Noether ............................................................................................. 25
3.3. Môđun Artin .................................................................................................. 34
3.4. Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether ................................................ 41
3.5. Mối quan hệ giữa môđun Noether và môđun Artin ...................................... 47
3.6. Một số bài tập ................................................................................................ 52
Kết luận ................................................................................................................ 58
Tài liệu tham khảo ................................................................................................ 59

Đào Thị Huê

3

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Lời Nói Đầu
Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong toán học. Nó góp phần
thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại. Ngày nay nhu cầu học hỏi toán học nói
chung và môn Đại số nói riêng của sinh viên khoa Toán ngày càng tăng. Tuy nhiên
để đi sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc về cấu trúc
đại số
Ngày nay người ta coi đối tượng chủ yếu của Đại số là các cấu trúc đại số
như: nhóm, vành, trường, môđun, … Trong đó môđun là một trong những khái
niệm quan trọng nhất của Đại số hiện đại
Chính vì thế em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Môđun Noether và
môđun Artin” với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Đại
số và bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học
Nội dung khóa luận gồm ba chương:
Chương 1: Trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của môđun như:
môđun con, môđun thương, tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các
môđun, đồng cấu môđun,…
Chương 2: Trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của dãy khớp như:
dãy khớp, dãy khớp ngắn, dãy khớp ngắn chẻ ra,…
Chương 3: Trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản của môđun
Noether và môđun Artin
Trong quá trình thực hiện đề tài ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn nhận
được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của Thạc Sỹ Nguyễn Thị Kiều Nga và sự quan
tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán. Em xin gửi lời cảm ơn chân
thành đến các thầy, các cô
Mặc dù có cố gắng song do hạn chế về thời gian cũng như về kiến thức, tài
liệu… Vì vậy em mong nhận được sự quan tâm, góp ý của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 05, năm 2010
Sinh Viên
Đào Thị Huê

Đào Thị Huê

4

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 1: Môđun
1.1. Môđun, môđun con, điều kiện tương đương với môđun con
1.1.1. Môđun
a) Định nghĩa
Cho R là vành có đơn vị 1, một nhóm Abel cộng M được gọi là một Rmôđun trái, hay còn gọi là môđun trái trên R nếu tồn tại một ánh xạ
RM  M
( , x)  x

(gọi là phép nhân vơí vô hướng) sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

i) (   ) x   x   x
ii)  ( x  y )   x   y
iii ) ( ) x   (  x)
iv) 1x  x ( tính chất Unitar)
với các phần tử tuỳ ý  ,   R và x,y  M
Tương tự, ta cũng có một định nghĩa cho R - môđun phải là một nhóm Abel cộng
M cùng với ánh xạ
M R  M

( x,  )  x

Thoả mãn các điều kiện :

i) x(   )  x  x
ii) ( x  y )  x  y
iii) x( )  ( x ) 
iv) x1  x
với các phần tử tuỳ ý  ,   R và x, y  M
Nhận xét:
 Các môđun trái và môđun phải trên R chỉ khác nhau ở một điểm khi tích

αβ “tác động” trên các môđun này thì α “tác động” trước, hay β “tác động” trước

Đào Thị Huê

5

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vì vậy, nếu R là vành giao hoán thì khái niệm môđun trái trùng với khái niệm
môđun phải.
Sau đây, chỉ xét các R môđun trái, và gọi chúng là các R-môđun
 Nếu R là một trường thì một R-môđun còn gọi là một không gian
Vectơ, mỗi phần tử của nó là một vectơ thường ký hiệu là x, y ,...

Như vậy, khái niệm môđun là khái niệm tổng quát của khái niệm không gian vectơ.
a) Ví Dụ
Ví Dụ 1:
Mỗi nhóm Abel cộng M là một Z-môđun
Thật vậy, với mọi x thuộc M, n thuộc Z, ta có:

 x  ...  x

 
n

nx  0
( x)  ...  ( x)
 
n


nÕun  0
nÕun  0
nÕun  0

Suy ra, nx  M
Do đó, ánh xạ :
ZM  M
(n, x)  nx

xác định và thoả mãn bốn điều kiện của tích vô hướng
Nhận xét
Ví dụ trên chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết nhóm Abel
Ví dụ 2:

Cho trường số thực R, M là tập hợp các véctơ gốc O trong mặt phẳng, thì M
là R-môđun
Thật vậy, tổng của hai vectơ trong M được xác định theo quy tắc hình bình hành
OA  OB  OC

A

C

Với OA, OB, OC  M
+ Phép cộng các véctơ có tính chất kết hợp, giao hoán

O

Đào Thị Huê

6

B
Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ Phần tử đơn vị là 0
+ Với mọi OA  M thì tồn tại vectơ đối là - OA  M
Suy ra , ( M, + ) là nhóm Abel
Với mọi OA , α  R thì α OA là vectơ vị tự của OA qua phép vị tự tâm O , tỷ số α

Suy ra, α OA  M
Bằng hình học sơ cấp ta chứng minh được tích vô hướng xác định ở trên thoả mãn
bốn điều kiện trong định nghĩa
Vậy M là một R -môđun, hay M là một không gian vectơ trên R
Ví dụ 3:
Cho R là vành có đơn vị , R n  R  ...  R
xác định phép cộng và nhân vô hướng như sau :

(a1,..., an )  (b1,..., bn )  (a1  b1,..., an  bn )

 (a1 ,..., a n )  ( a1,..., a n )
với   R, (a1,..., an ),(b1,..., bn )  Rn
Khi đó Rn là R-môđun
Ví dụ 4:
Mọi vành có đơn vị là một môđun chính nó
Nhận xét
Ví dụ trên chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm lý thuyết vành
Ví dụ 5:
Cho R là vành, M là R-môđun, X là tập bất kỳ khác
Ký hiệu A   f : X  M : f là ánh xạ





Trên A xác định phép toán:
 f, g  A ta có: f  g : X  M sao cho:
x  X : (f  g)(x)  f (x)  g(x)

Thì (A, +) là nhóm Abel với phần tử đơn vị là ánh xạ

:X M
x0

Đào Thị Huê

7

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tích vô hướng của f  A với   R xác định như sau:
R A  A
( , f )   f

Trong đó:
f : X  M
x  (f )( x)   . f ( x)

Khi đó A là R-môđun
Ví dụ 6:
Mỗi iđêan trái của vành R là một R-môđun. Đặc biệt, mỗi iđêan của R là một
R-môđun và bản thân R cũng là một R-môđun
1.1.2. Môđun con
a) Định nghĩa
Cho M là R-môđun, N  M , N gọi là R-môđun con của môđun M nếu N là
R-môđun với hai phép toán cảm sinh

b) Điều kiện tương đương với môđun con
Cho M là R-môđun, N  M. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i) N là R-môđun con của M
ii) x, y  N ,   R : x  y  N , x  N
iii)  ,   R, x, y  N : x  y  N
c) Ví dụ
Ví dụ 1:
Cho M là R-môđun thì M luôn có hai môđun con tầm thường là môđun con
không 0 và M
Ví dụ 2:
Mọi nhóm Abel cộng M là Z-môđun thì các môđun con của M chính là các
nhóm con của M
Ví dụ 3:
Mọi vành có đơn vị R là R-môđun thì các iđêan trái của R là các môđun con
của R

Đào Thị Huê

8

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ví dụ 4:
Cho R-môđun M và x là một phần tử của M. Khi đó tập hợp
Rx  ax : a  R



là một môđun con của M
Ví dụ 5:
Cho R là một vành giao hoán, khi đó vành đa thức R[x,y] là một R-môđun
nhận R[x] làm một R-môđun của nó.
d) Tính chất
 Giao của một họ tuỳ ý các môđun con của M là một môđun con của M
Nhận xét:
+ Hợp của một họ bất kỳ các môđun con của M nói chung không là một
môđun con của M
+ Nếu M là R-môđun, ( N i ) iI là các môđun con của M thoả mãn:
i, j  I , k  I : N i  N k , N j  N k thì  N i là R-môđun
iI

 Cho M là R-môđun, S  M thì giao của tất cả các môđun con của M chứa
S là một môđun con của M chứa S (đó là môđun con bé nhất của M chứa S ) gọi là
môđun con của M sinh bởi S. Ký hiệu :

S

+ Ta gọi S là tập sinh của M
+ Nếu

S =M thì S là tập sinh của M

+ Nếu S hữu hạn, S  S1,..., Sn  thì
 n


S     i Si :  i  R , Si  S 
 i 1


và gọi là môđun hữu hạn sinh
Đặc biệt, S  s thì

S =

s =  s =  s :   R gọi là môđun xyclic

1.2. Môđun thương
1.2.1. Xây dựng Môđun thương
Cho M Là R-môđun, N là môđun con của M. Khi đó:

Đào Thị Huê

9

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

M

N

 x  N : x  M 

là một nhóm Abel với phép cộng:
(x  N )  ( y  N )  x  y  N

Trên M N xác định phép nhân vô hướng như sau :
  R, x  N  M

N

thì  ( x  N )  x  N

Thì phép nhân vô hướng thoả mãn các điều kiện của tích vô hướng
Do đó, M N là R-môđun, gọi là môđun thương của môđun M theo môđun con N
Định nghĩa:
Cho N là một môđun con của một R-môđun M. Khi đó R-môđun M N như
vừa xây dựng ở trên được gọi là môđun thương của M theo N . Phần tử x+N của
M

N

thường được ký hiệu là x , và được gọi là ảnh của x trong M N

Nhận xét:
a x  b y  ax  by với a, b  R, x, y  M . Và nếu P là một môđun con của M

chứa N thì R-môđun thương P N là một R-môđun con của M N
1.2.2. Ví dụ
Ví dụ 1:
M là R-môđun thì 0 và M là các môđun con của M. Suy ra, tồn tại

các môđun thương
M

0  x  0: x  M 
 x : x  M 
M

M

M

 x  M : x  M 

 M 

Ví dụ 2:
Mọi vành có đơn vị R là R-môđun, I là iđêan của R thì I là môđun con của R

Đào Thị Huê

10

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Suy ra, tồn tại môđun thương

R  x  I : x  R
I

Với phép toán cộng và nhân vô hướng xác định như sau:
(x  I )  ( y  I )  x  y  I

 (x  I )   x  I
Chú ý:
Vành thương không là môđun thương
Thật vậy, trong vành thương, phép nhân xác định bởi:
( x  I )( y  I )  xy  I
x  I là một lớp ghép,  :   x  I

Ví dụ 3:
Nếu R là trường thì một môđun trên R là các không gian vectơ, các không
gian con là các không gian vectơ con, do đó, môđun thương là các không gian vectơ
thương.
1.3. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun
1.3.1. Tích trực tiếp và tổng trực tiếp
a) Tích trực tiếp
Cho M i là một họ các R-môđun, i  I. Trên tập

 M  ( x )
iI

i

i iI

: xi  M i 

Xác định hai phép toán cộng và nhân vô hướng như sau:
( xi ) iI  ( yi ) iI  ( xi  yi ) iI

 ( xi ) iI  (xi ) iI

Với ( xi )iI ;( yi )iI   Mi ;  R
iI

Khi đó,

M
iI

i

là R-môđun và gọi là tích trực tiếp của họ môđun M i iI

b) Tổng trực tiếp
( xi ) iI   M i gọi là có giá hữu hạn nếu xi hầu hết bằng 0
iI

Đào Thị Huê

11

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Đặt

 M  ( x )

i iI

i

iI

Trường ĐHSP Hà Nội 2

: ( xi ) iI có giá hữu hạn



Với phép cộng và nhân vô hướng như trên. Khi đó

M
iI

i

là R-môđun và gọi là tổng

trực tiếp của họ các môđun M i iI
Nhận xét:
Nếu họ chỉ số I hữu hạn I  1,...,n thì khái niệm tổng trực tiếp và tích trực
tiếp như nhau

c) Định lý:
Cho M là R-môđun, A, B là các môđun con của M. khi đó, M  A  B khi và
chỉ khi M  A  B, A  B  0
Nhận xét
Nếu M  A  B, A  B  0 thì A  B  A  B
Do đó thường không phân biệt hai khái niệm này (tức A  B  A  B, A  B  0)
Tổng quát
Giả sử M 1 ,...,M n là các môđun con của R-môđun M sao cho:
M  M 1  ...  M n và M i   M j  0
i j

n

Khi đó, M   M i
i 1

1.3.2. Hạng tử trực tiếp
a) Định nghĩa
Cho N là môđun con của R-môđun M. Ta nói N là hạng tử trực tiếp của M
khi và chỉ khi tồn tại một môđun con P của M sao cho M  N  P
Khi đó ta cũng nói P là một môđun con phụ của N trong M
b) Ví dụ
 Nếu M là không gian vectơ hữu hạn chiều thì mọi không gian con của M
đều có một không gian phụ
 Z là Z-môđun. Các môđun con của Z chính là nZ
Giả sử, nZ là một môđun con của Z, n  0

Đào Thị Huê

12

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Mọi môđun con khác không của Z có dạng pZ, p  0
Ta có:
np  nZ
np  pZ

Suy ra, nZ  pZ  0 vì np  0, np  nZ  pZ
Vậy mọi môđun con khác 0 của Z đều không là hạng tử trực tiếp của Z
1.4. Tập sinh, tập độc lập và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở của môđun, môđun
hữu hạn sinh
1.4.1. Tập sinh của môđun, môđun hữu hạn sinh
Cho M là R-môđun, S  M , giao của tất cả các môđun của M chứa S là một
môđun con của M chứa S (đó là môđun con bé nhất của M chứa S ) gọi là môđun
con của M sinh bởi tập S và ký hiệu là

S

+ Nếu

S =M thì nói S là tập sinh của M

+ Nếu

S =M và S hữu hạn thì nói M là hữu hạn sinh

Giả sử

S S1,..., Sn thì

n

M    S i :  i  R 
 i 1


1.4.2. Tập độc lập và phụ thuộc tuyến tính
 Một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S là một tổng

a s
sS

s

(a s  R) trong

đó a s  0 hầu hết trừ một số hữu hạn (một tổng như vậy gọi là một tổng có giá hữu
hạn)
 Cho M là R-môđun, S  M , nếu mọi x thuộc M đều có thể viết dưới dạng
một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S
x   as s

(a s  R)

sS

thì nói x biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S
Nhận xét:
Cho M là R-môđun, S  M , S là tập sinh của M khi và chỉ khi mọi phần tử
của M đều biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S

Đào Thị Huê

13

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tập con S của M được gọi là độc lập tuyến tính nếu:

 a s  0 thì
sS

s

a s  0, s  S

Nhận xét
Nếu S là tập độc lập tuyến tính của M thì:

 a s  b s
sS

Suy ra,

 (a
sS

s

s

sS

s

 bs ) s  0

Suy ra, a s  bs , s S
Do đó,nếu x  M , x biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S thì biểu diễn đó là
duy nhất
Đặc biệt không có phần tử nào của S có thể biểt thị tuyến tính qua các phần tử còn
lại của S
 Tập S  M gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính,
tức tồn tại một tổ hợp tuyến tính

 a s  0 . Trong đó không phải mọi
sS

s

a s  0 . Nếu

tập S độc lập tuyến tính (phụ thuộc tuyến tính ) thì ta cũng nói các phần tử của S
độc lập tuyến tính ( phụ thuộc tuyến tính)
 M là R-môđun, S  M , S gọi là cơ sở của M nếu S là tập sinh và độc lập
tuyến tính .
Ví dụ:
+ R là vành có đơn vị 1, R là R-môđun thì 1 là cơ sở của R
+ R là vành có đơn vị. R n  R  ... R thì R n là R-môđun, e1 ,...,en  là cơ sở
của R n với ei  (0,...,0,1,0...,0) khi đó e1 ,...,en  gọi là cơ sở chính tắc
+ Z n là Z-môđun, n>1, n  N , Z n không có tập độc lập tuyến tính nào vì
mọi x  Z n , n x  0 mà n  0
1.5. Định nghĩa đồng cấu môđun, điều kiện tương đương
1.5.1. Định nghĩa

Đào Thị Huê

14

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Cho M, N là các R-môđun, ánh xạ f : M  N gọi là một đồng cấu môđun
hay R-đồng cấu (còn gọi là ánh xạ tuyến tính) nếu f thoả mãn hai tính chất sau:
i) f ( x  y)  f ( x)  f ( y), x, y  M

ii) f (ax)  af ( x), a  R, x  M
+ Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh, thì nó tương ứng
được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
+ Nếu f ( M )  ON  thì f được gọi là đồng cấu không và thường đựơc viết là 
+ Kí hiệu:
ker f  f

1

(0)

gọi là hạt nhân (hạch) của f

Im f  f ( M )

gọi là ảnh của f

co ker f  N

gọi là đối hạch của f

coimf  M

Im f

ker f

gọi là đối ảnh của f

+ Một đồng cấu từ M vào M gọi là một tự đồng cấu của M

+ Hai R-môđun M và N được gọi là đẳng cấu, và viết là M  N , nếu tồn tại
một đẳng cấu R-môđun từ M đến N
Nhận xét:
Cho R-đồng cấu f : M  N . Khi đó f là đồng cấu không khi và chỉ khi
ker f  M , và f là một toàn cấu khi và chỉ khi Im f  N

1.5.2. Điều kiện tương đương
Cho M, N là các R-môđun, ánh xạ f : M  N là đồng cấu môđun khi và chỉ
khi f (ax  by)  af ( x)  bf ( y), x, y  M , a, b  R
Ví dụ:
+ M, N là R-môđun, ánh xạ  : M  N
x0

là đồng cấu môđun
+ M là R-môđun thì ánh xạ đồng nhất id : M  M
xx

Đào Thị Huê

15

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

là đẳng cấu môđun
+ Cho M là R-môđun, N là môđun con của M

ánh xạ

p:M  M

N
x xN

là toàn cấu môđun và gọi là toàn cấu chính tắc
1.5.3. Tính chất
Tính chất 1:
Tích của hai đồng cấu môđun là một đồng cấu môđun
Tính chất 2:
Cho M, N là các R-môđun, f : M  N là đồng cấu môđun, A là môđun con
của M, B là môđun con của N và f 1 ( B)  x  M : f ( x)  B là môđun con của M
Đặc biệt, f : M  N là đồng cấu môđun
ker f  x  M : f ( x)  0 N   f 1 (0 N )

Im f  f (M )   f ( x) : x  M 

Khi đó, Im f là môđun con của N và ker f là môđun con của M
Tính chất 3:
f là đơn cấu khi và chỉ khi ker f  0 M 
f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f  N
Tính chất 4: (Định lý cơ bản của R-đồng cấu tổng quát)
Cho f : M  N là R-đồng cấu, A, B lần lượt là các môđun con của M, N sao
cho f ( A)  B
pA : M  M

pB : N  N

A

B

là các toàn cấu chính tắc. Khi đó, tồn tại duy nhất R-đồng cấu
f :M

A

N

B

Sao cho f p A  p B f hay hình vuông sau giao hoán

Đào Thị Huê

16

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

f
M

N

pA

M

pB

A


N
f

B

Tính chất 5: (Định lý cơ bản của R-đồng cấu)
Cho f : M  N là R-đồng cấu, A  ker f là môđun con của M
pA : M  M

A

là phép chiếu chính tắc ( toàn cấu chính tắc)

Khi đó tồn tại duy nhất R-đồng cấu môđun
f :M

A

N

Sao cho f p A  f , tức biểu đồ sau giao hoán
f
M

N

f

pA
M

A

Hơn nữa, f là đơn cấu và Im f  Im f
Hệ quả:
+ Cho f : M  N là R-đồng cấu. Khi đó: N ker f  Im f
+ Cho f : M  N là toàn cấu môđun
Khi đó: M ker f  N
Các hệ quả:
 Cho A là R-môđun con của B, B là R-môđun con của C
Ta có: C

B



C

A

B

A

 Cho B, C là hai môđun con của R-môđun A thì
BC

Đào Thị Huê

C

B

17

BC

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tính chất 6:
Cho f : M  N là R-đồng cấu môđun. Khi đó các điều kiện sau tương
đương:
i) f là R-đồng cấu tầm thường (đồng cấu kkhông)
ii) Im f  0 N 
iii) ker f  M

Tính chất 7:
Cho

f :M  N

và g : N  K là các R-đồng cấu môđun. Khi đó

g  f : M  K là đồng cấu tầm thường khi và chỉ khi Im f  ker g

Đào Thị Huê

18

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 2: Dãy Khớp
2.1. Định nghĩa dãy khớp, dãy khớp ngắn, điều kiện tương đương
2.1.1. Các định nghĩa
 Dãy các môđun và các đồng cấu môđun
n
n 1
n 1
...  M n1 

M n 

M n1 

...

được gọi là một dãy khớp khi và chỉ khi Im n1  ker  n , n
 Một dãy khớp với 5 môđun
O  M  M'  M" O

gọi là dãy khớp ngắn
2.1.2. Điều kiện tương đương

f
g

 M 
 M ' 
 M " 
 O là dãy khớp ngắn khi và chỉ
Dãy khớp O 

khi f là đơn cấu, g là toàn cấu và Im f  ker g
2.1.3. Ví dụ
 Cho N là R-môđun con của M thì đồng cấu

i:N M
xx
là đơn cấu

p:M  M

N
x xN

là toàn cấu
Xét dãy các R-đồng cấu môđun:
i
p
O  M 
 N 
M

N

O

Ta có: Im i  N
ker p   x  M : p( x)  x  N  N 

Đào Thị Huê

19

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

x  N  N  xN

Ta có: ker p  N
Suy ra, I m i  ker p
Mà i là đơn cấu, p là toàn cấu
Suy ra, dãy trên là dãy khớp ngắn
 Cho h : X  Y là đồng cấu môđun, đối hạt nhân co ker h  Y Im h là Rmôđun thương, ker h là môđun con của X
i
h
p
 X 
 Y 
 co ker h  O
Xét dãy: O  ker h 

trong đó i : ker h  X

là đơn cấu

xx

p : Y  co ker h là toàn cấu
y  y  Im h
ker p  y  Y : p( y)  y  Im h  Im h
y  ker p  y  Im h  Im h  y  Im h  ker p  Im h

Suy ra, dãy trên là dãy khớp
2.2. Một số tính chất dãy khớp
2.2.1. Định lý
Trong một dãy khớp tuỳ ý
f
g

h
A

B

C

D

của các R-đồng cấu, các điều kiện sau tương đương:
i) f là toàn cấu
ii) g là đồng cấu tầm thường
iii) h là đơn cấu
2.2.2. Các hệ quả
 Trong một dãy khớp tuỳ ý
f
g
h
k
A 
B

C

D

E

những đồng cấu của các R-môđun. Khi đó: C  O khi và chỉ khi f là toàn cấu và k
là đơn cấu

Đào Thị Huê

20

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 Nếu dãy O  C  O các R-môđun là dãy khớp thì C  O
 Trong một dãy khớp tuỳ ý
d
f
g
h
k
A

B

C

D

E

F

các đồng cấu các R-môđun. Các điều kiện sau tương đương:
i) g là R-đẳng cấu
ii) f và h là các đồng cấu tầm thường
iii) d là toàn cấu và k là đơn cấu
f
g
h
 C 
 D 
 O là dãy khớp thì g là đẳng cấu
 Nếu dãy O 

2.3. Dãy khớp ngắn chẻ ra
2.3.1. Định nghĩa
f
g

Y

Z  ... những đồng cấu của những R Dãy khớp ...  X 

môđun được gọi là chẻ ra tại môđun Y khi và chỉ khi R-môđun con A  Im f  ker g
của Y là một hạng tử trực tiếp của Y (tức Y  A  B, với B là môđun con của Y)
f
g

Y

Z  ... được gọi là chẻ ra nếu nó chẻ ra tại

 Dãy khớp ...  X 

mọi môđun không nằm ở hai đầu của nó
Nhận xét:

f
g

 A 
 B 
 C 
O ,
Cho dãy khớp ngắn O 

Im   O  ker f , A  O  A  Im   A

Suy ra dãy khớp chẻ ra tại A
ker  C  C  O  ker  O

Suy ra dãy khớp chẻ ra tại C
Dãy khớp ngắn chẻ ra khi và chỉ khi dãy khớp chẻ tại môđun B
2.3.2. Ví dụ
Cho M, P là các R-môđun
j
p
 P 
O
Dãy khớp O  M  M  P 

()

trong đó:
j:M M P

x  (x, 0)

Đào Thị Huê

21

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Gọi là phép nhúng chính tắc
p: M P  P
( x, y )  y

là phép chiếu chính tắc
Ta chỉ ra (*) chính là dãy khớp ngắn chẻ ra
Ta có Im j  ker p  M là một hạng tử trực tiếp của M  P suy ra , (*) là dãy khớp
ngắn chẻ ra tại M  P
Theo nhận xét ở 2.3.1 ta có (*) là dãy khớp ngắn chẻ ra .

Đào Thị Huê

22

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 3: Môđun Noether Và Môđun Artin
3.1. Iđêan trên vành giao hoán
3.1.1. Định nghĩa
Cho X là vành giao hoán, A là iđêan của X
- Iđêan thực sự A của X được gọi là iđêan nguyên sơ nếu xy  A, y  A thì tồn tại
n  N để x n  A

- Iđêan thực sự A của X gọi là iđêan nguyên tố nếu xy  A thì x  A hoặc y  A
- Iđêan thực sự A của X gọi là iđêan cực đại nếu tồn tại iđêan B của X mà A  B


thì B =X
- Cho A là iđêan của X, tập
Rad (A) = {x  X  n  N để xn  A}
được gọi là căn của A ( Rad (A) là một iđêan của X)
Đặc biệt, căn của iđêan {0} được gọi là căn luỹ linh của X và kí hiệu là Rad (X)
Rad (X) = {x  X

 n  N để xn = 0 }

Một phần tử của Rad (X) gọi là phần tử luỹ linh của X
Ví dụ:

X là vành, {0} là iđêan của X
xy  {0}  xy= 0
+ Nếu X là miền nguyên thì {0} là iđêan nguyên tố vì:
xy = 0  x=0 hoặc y=0
+ {0} không là iđêan cực đại vì mọi iđêan B  X đều chứa iđêan {0} ( với X không
là trường )

Đào Thị Huê

23

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ Nếu X là trường thì {0} là iđêan nguyên tố và {0} là cực đại vì trường X chỉ có 2
iđêan là {0} và X
+ Phần tử 0 là phần tử luỹ linh của X vì 0  Rad (X)
3.1.2 Mệnh Đề
Cho X là vành giao hoán, A là iđêan của X . Khi đó ta có các phát biểu sau :
a) A là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi X A là miền nguyên
b) A là iđêan cực đại khi và chỉ khi X A là trường
c) A là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi Rad (A) là iđêan nguyên tố
d) Một iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố, một iđeean nguyên tố luôn là
iđêan nguyên sơ
Chứng minh:
a) 

X
X

A

Giả sử A là iđêan nguyên tố của vành X

  x  A : x  X  là vành thương của X trên A vì A nguyên tố nên A  X do đó

A có nhiều hơn một phần tử

Đơn vị của X A là e  A với e là đơn vị của X
Do X là vành giao hoán nên X A cũng là vành giao hoán
Giả sử x  A và y  A là hai phần tử tuỳ ý của X A
Nếu ( x  A)( y  A)  0  A  A
Thì xy  A  A  xy  A
Vì A nguyên tố nên x  A hoặc y  A
Nếu x  A  x  A  A  0  A
Nếu y  A  y  A  A  0  A
Vậy X

A

Do đó, X

không có ước của không

A

là miền nguyên

Đào Thị Huê

24

Lớp K32G Toán


Khóa luận tốt nghiệp



Giả sử X

Khi đó X

A

A

Trường ĐHSP Hà Nội 2

là miền nguyên

có nhiều hơn một phần tử, do đó X  A

Giả sử x, y là hai phần tử thuộc X sao cho : xy  A
Suy ra ( x  A)( y  A)  xy  A  0  A
Vì X A không có ước của 0  A nên: x  A  0  A  A, y  A  0  A  A

x  A
y A


Hay

vậy A là iđêan nguyên tố
b) 

Giả sử X

A

là một từ trường

Ta chứng minh A là iđêan cực đại. Thật vậy:

X

A

là trường nên X

A

có nhiều hơn một phần tử do đó, A  X

Giả sử I là một iđêan cử X sao cho A  I


Suy ra, tồn tại x0  I \ A
Ta xét x0 +A  X

A

Vì x0  A nên x0  A khả nghịch (trong trường mọi phần tử khác không đều khả
nghịch)
Nghĩa là có một phần tử x0'  A sao cho :

( x0'  A)( x0  A)  x0' x0  A  e  A (với e là phần tử đơn vị của X)
Hay e  x0' x0  a với a  A
Vì x0  I và a  A  I nên e  I
Suy ra I  X
Vậy A là iđêan cực đại của X



Giả sử A là iđêan cực đại của X thì A  X

Đào Thị Huê

25

Lớp K32G Toán