de thi Olympic 30 4 2011 Toan tai Can Tho

ĐỀ OLYMPIC 30 THÁNG 4 MÔN TOÁN 10 LẦN THỨ 17
NĂM 2011 TẠI CẦN THƠ
Câu 1 Giải phương trình sau trên tập số thực:
Câu 2 Cho số nguyên dương n và các số
nhất của n. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho:

là bốn ước nguyên dương nhỏ

Câu 3 Trong mặt phẳng cho góc
và hai điểm
sao cho tam giác
OAB cân tại O. Gọi là một đường thẳng di động không đi qua O nhưng luôn đi qua
trung điểm I của đoạn AB, đường thẳng cắt Ox, Oy lần lượt tại C và D. Gọi M là trung
điểm của CD, gọi N là giao điểm của OM với AB, gọi H là hình chiếu của N trên CD.
Khi đường thẳng di động, hãy tìm quỹ tích của điểm H.
Câu 4 Cho a, b, c là ba số không âm và thỏa mãn điều kiện:
minh rằng:

. Chứng

Câu 5 Chứng minh rằng từ 2011 số nguyên dương bất kì luôn có thể chọn ra 2 số mà
tổng hoặc hiệu của nó chia hết cho 4018.
Câu 6 Cho elip
và đường thẳng
. Gọi B, C là
giao điểm của với (E) sao cho
. Gọi A là điểm thuộc (E) sao cho khoảng cách
từ A tới là lớn nhất. Tìm điểm M thuộc (E) để khoảng cách từ M tới đường thẳng AB
là lớn nhất.

ĐỀ OLYMPIC 30 THÁNG 4 MÔN TOÁN 11 LẦN THỨ 17
NĂM 2011 TẠI CẦN THƠ
Câu 1: (3đ)
Giải pt sau trên tập số thực

Câu 2: (4đ)
Cho p là số nguyên tố lẻ. Cm rằng không tồn tại các số nguyên x,y thỏa mãn hệ thức
Câu 3: (3đ)
Qua điểm S bất kì thuộc mặt cầu bán kính R ta dựng các đường thẳng đôi một hợp với
nhau một góc , cắt mặt cầu tại các điểm A,B,C (khác S) sao cho SA=SB=SC. Xác định
để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất
Câu 4: (3đ)
Cho tam giác ABC không tù nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Gọi G là trọng
tâm của tam giác ABC và
lần lượt là hình chiếu của G lên BC,CA,AB. Các
đường thẳng qua A,B,C lân 2lượt vuông góc với GA,GB,GC và đôi một cắt nhau tại
. Gọi
lần lượt là diện tích các tam giác
CM
Câu 5 (3đ)
Cho dãy số

xác định bởi

với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1. Tìm
Câu 6: (4đ)
Tìm tất cả các hàm số
thỏa mãn điều kiện