bài tập toán ôn thi đại học

Họ và tên: Trịnh Anh Dũng

*Tập xác định: D   \ 1
* Sự biến thiên
Ta có lim  y  và lim 1 y  nên x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x  1

x  1

Ta có lim y  1 và lim y  1 nên y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x 

Ta có y ' 

x 

4

 x  1

2

0

Bảng biến thiên

x
y'
y





1



1
Hàm số đồng biến trên  ; 1 và  1;  
* Đồ thị




1


Đồ thị hàm số nhận điễm I  1;1 là giao điễm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

Ta có y '   m  1 x 2  2  m  1 x  m
Hàm số luôn đồng biến trên  khi y '  0,  x  
Với m  1  y  4 x  1 không thỏa mãn


Với m  1 . Hàm số luôn đồng biến trên  khi
 m  1
m  1  0
 m  1
1




1 m

3
 '  0
1  3m  0
 m  3
1
Vậy với m  thì hàm số luôn đồng biến trên 
3

a) Phương trình đã cho tương đương
2x  1
2
x  0
16.  2 x   24.2 x  8  0   x 1  
2 
 x  1

2
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  0; 1
b) Bất phương trình đã cho tương đương

 log 4 x  3

2

 1   log 4 x  4  log 4 x  2   0  2  log 4 x  4  16  x  256

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S  16; 256

1 d x2  1

  2 ln x 2  1
dx 2
 2
Ta có I  2 2


x2  1
0 x 1
0
Vậy I  2 ln 2
1

1

 2 ln 2
0


Ta có AB   2; 2; 2  

x  2  t
x2 y2
z




 Phương trình đường thẳng AB :
hay  y  2  t
1
1
1
 z  t

Gọi I  2  t ; 2  t ; t  là giao điễm của AB với  P 
 2  t  2  t  2t  6  0  t  

5
 1 1 5
 I  ; ; 
2
 2 2 2

 1 1 5
Vậy I   ;  ;  là giao điễm của AB với mặt phẳng  P 
 2 2 2


a) Phương trình đã cho tương đương
cos x  0

7 cos x  2sin 2 x  7 cos x  4sin x cos x  
 x   k
7
sin x   loai 
2


4



 k
2
b) Gọi A : “trong đội bay đó có ít nhất 4 chiến đầu cơ của Mỹ”
 A : “trong đối bay đó số chiến cơ của Mỹ ít hơn 4 chiến cơ”
6
Ta có   C25

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 

Trường hợp 1: Không có chiến cơ nào của Mỹ  có C150 .C106 cách chọn
Trường hợp 2: Có 1 chiến cơ của Mỹ  có C151 .C105 cách chọn
Trường hợp 3: Có 2 chiến cơ của Mỹ  có C152 .C104 cách chọn
Trường hợp 3: Có 3 chiến cơ của Mỹ  có C153 .C103 cách chọn
  A  C150 .C106  C151 .C105  C152 .C104  C153 .C103

C150 .C106  C151 .C105  C152 .C104  C153 .C103
 PA 
C256
1
C150 .C106  C15
.C105  C152 .C104  C153 .C103
689
 PA  1 

6
1265

C25

Ta có CH  BH 2  BC 2  a 13

SH  SC 2  CH 2  a 13
1
1
 VSABCD  SA.S ABCD  .a 13.9a 2  3a 3 13
3
3
3
Ta có d  A,  SBD    d  H ,  SBD  
2
Kẻ HE  BD, HF  SE
 BD  HE
Ta có 
 BD   SHE   BD  HF
 BD  SH
Mà
HF  SE  HF   SBD   HF  d  H ,  SBD  
Ta có HE 
Xét SHE :

2
AO  a 2
3

1
1
1

15
a 390
a 390



 HF 
 d  A,  SBD   
2
2
2
2
15
10
HF
HS
HE
26a


Gọi A ' là điễm đối xứng với A qua BD , M
là giao điễm của AA ' với BD  A '  BC và
M là trung điễm AA '
Qua D kẻ DI / / BF  I  CF  , do E là trung
điễm của BD  BFDI là hình bình hành
 E là trung điễm FI
Gọi N là giao điễm của BD với AI
Do M là trung điễm A A ' và MN / / A ' I nên
N là trung điễm AI
Xét tam giác FAI có EN là đường trung bình

nên EN / / FA , mà EN  BF  FA  BF
Đường thẳng BF qua B  5;1 và F  4;3 nên BF : 2 x  y  11  0
Đường thẳng BD qua B  5;1 và vuông góc với đường thẳng BF nên phương trình BD : x  2 y  3  0
Đường thẳng BF qua F  4;3 và vuông góc với đường thẳng BF nên phương trình AF : x  2 y  2  0
Ta có A  AF   d  : x  2 y  18  0  A  8;5 
Đường thẳng AA ' qua A  8;5  và vuông góc với đường thẳng BD  AA ' : 2 x  y  21  0
Ta có M  AA ' BD  M  9;3 , M là trung điễm AA '  A ' 10;1
Đường thẳng BC qua B  5;1 và A ' 10;1 nên phương trình đường thẳng BC : y  1


Gọi x là số chiếc Su-25 và y là số chiếc Su-34. Ta có thể tấn công được 2 x  4 y sở chỉ huy và 2 x  2 y kho
xăng. Theo giả thiết, x và y phải thỏa mãn các điều kiện
0  x  28 và 0  y  10
2 x  4 y  48 hay x  2 y  24
2 x  2 y  32 hay x  y  16
Tổng số tiền mua nguyên liệu là T  x; y   7 x  13 y
Bài toán trở thành: Tìm các số x và y thỏa mãn hệ bất phương trình
0  x  28
0  y  10

sao cho T  x; y   7 x  13 y có giá trị nhỏ nhất

 x  2 y  24
 x  y  16
Ta có T  x; y  đạt giá trị nhỏ nhất khi giá trị ấy đạt được tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCDE
Tại A  28;10   T  326
Tại B  6;10   T  172
Tại C  8;8   T  160
Tại D  25; 0   T  175
Tại E  28;0   T  196

Ta thấy T đạt giá trị nhỏ nhất khi x  8, y  8
Vậy có 8 chiếc Su-25 và 8 chiếc Su-34

Ta có P  a 2  2b 

1
4

 a  b  c  c  a  b  c  c  12

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a  b  c  0 . Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
a 2  2b  a 2  1  2b  1  2a  2b  1
1
1
4


2
 a  b  c  c  a  b  c  c   a  b 2
4
4

 a  b  c  c  1

2



8
8

27


3
 2a  2b  2c  c  1 c  1  2a  2b  2   a  b  13
27

 P  2 a  b 

4
2



27

a  b a  b  c
Đặt t  a  b  t  0  khi đó
P  2t 

3

1

t 1 t 1 t 1
4
27
27   t t 4 



1




  2 2  432  5


3
3
3
t 2  t  13
 3
 t  1   2 2 t 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5 , dấu "  " xảy ra khi a  b  c  1