Ứng dụng chuỗi fourier trong phương trình truyền nhiệt và truyền sóng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

NGUYỄN THỊ ĐÔNG

ỨNG DỤNG CHUỖI FOURIER TRONG PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT VÀ TRUYỀN SÓNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

NGUYỄN THỊ ĐÔNG

ỨNG DỤNG CHUỖI FOURIER TRONG PHƯƠNG TRÌNH
TRUYỀN NHIỆT VÀ TRUYỀN SÓNG

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - 2014


Mục lục
1 Sơ lược về phương trình đạo hàm riêng trong trường hợp hai
biến
1.1 Mở đầu về phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Giới thiệu về phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . .
1.2.2 Công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với
phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Giới thiệu về phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . .
1.3.2 Công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với
phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Giới thiệu về phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Công thức biểu diễn nghiệm cho phương trình Laplace
trong hình tròn đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Chuỗi Fourier và các tính chất cơ bản
2.1 Chuỗi Fourier và khai triển hàm thành chuỗi Fourier . . . . . . .
2.2 Tính duy nhất và sự hội tụ đều của chuỗi Fourier . . . . . . . .
2.3 Sự hội tụ điểm của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Nhân tốt, nhân Dirichlet, nhân Fejer và nhân Poisson . .

2.3.3 Sự hội tụ của chuỗi Fourier theo nghĩa bình phương khả
tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Nguyên lý địa phương và hiện tượng Gibbs . . . . . . . .

.
.
.
.
.

9
14
14
15
17
17
18
23
23
29
35
35
35

. 44
. 47

3 Ứng dụng của chuỗi Fourier vào phương trình truyền sóng và
truyền nhiệt
3.1 Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Bài toán dao động của sợi dây với điều kiện biên Dirichlet
3.1.2 Bài toán dao động của sợi dây với điều kiện biên Neumann
3.2 Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bài toán Dirichlet trên đĩa đơn vị . . . . . . . . . . . . . .
1

5
5
7
7

53
53
53
67
71
71


3.2.2
3.2.3

Bài toán truyền nhiệt với điều kiện biên Dirichlet trong
thanh hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Bài toán truyền nhiệt với điều kiện biên Neumann trong
thanh hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2

Mở đầu
Giải tích Fourier là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán
học nói chung và của ngành Giải tích nói riêng. Lý thuyết này được khởi đầu từ
những yêu cầu của thực tế và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau
như: Vật lý, Cơ học, Số học, Xử lý tín hiệu, Mật mã, Âm học, Hải dương học,
Quang học, Hình học... Hiện nay giải tích Fourier vẫn là một trong những lĩnh
vực lớn của Toán học được nhiều người quan tâm.
Luận văn này đề cập đến lý thuyết chuỗi Fourier và ứng dụng của nó trong
việc giải quyết một lớp những phương trình đạo hàm riêng cổ điển, cụ thể là
phương trình truyền nhiệt và phương trình truyền sóng.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương một nhắc lại những kiến thức mở đầu về phương trình vi phân đạo
hàm riêng. Giới thiệu về phương trình truyền nhiệt, truyền sóng và phương trình
Laplace, đây là các phương trình tiêu biểu cho lớp phương trình đạo hàm riêng
cổ điển thường gặp trong thực tế. Trình bày phương pháp tách biến để tìm
nghiệm của các phương trình đó, từ đó dẫn đến những vấn đề mở đầu về việc
hình thành và nghiên cứu giải tích Fourier.
Chương hai trình bày lý thuyết chuỗi Fourier bao gồm khái niệm chuỗi và đưa
ra một số định lý quan trọng liên quan đến sự hội tụ đều và sự hội tụ điểm của
chuỗi Fourier. Phần đầu, ta nghiên cứu sự hội tụ đều trên cơ sở lí thuyết chuỗi
hàm và tính chất của chuỗi Fourier. Tiếp theo, ta giới thiệu khái niệm các nhân
Dirichlet, nhân Fejer, nhân Poisson và tính chất của các nhân để nghiên cứu sự
hội tụ điểm của chuỗi theo nghĩa thông thường, Casero, Abel, bình phương khả
tích. Phần cuối cùng của chương ta nghiên cứu dáng điệu của chuỗi Fourier tại
các điểm gián đoạn của nó gọi là hiện tượng Gibbs.
Chương ba trình bày ứng dụng của chuỗi Fourier vào việc tìm nghiệm của
phương trình truyền nhiệt, truyền sóng đặt trong các điều kiện biên và điều kiện
ban đầu cụ thể.
3

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn
Minh Tuấn. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã
dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc
hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những
điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn
tới phòng Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ
tục học tập và bảo vệ luận văn.
Cảm ơn các thầy và các bạn trong seminar Toán Giải Tích về những sự động
viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời gian qua.
Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinh
thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2013

4


Chương 1

Sơ lược về phương trình đạo hàm
riêng trong trường hợp hai biến
1.1

Mở đầu về phương trình đạo hàm riêng

Trong phần đầu tiên này, luận văn sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn các

kiến thức mở đầu về phương trình vi phân đạo hàm riêng như định nghĩa, phân
loại và đưa ra phương pháp giải cho một số loại phương trình tiêu biểu.
Phương trình vi phân đạo hàm riêng hay ngắn gọn là phương trình đạo hàm
riêng xuất hiện ở các bài toán thực tế trong khoa học kỹ thuật, vật lý và cơ
học như chuyển động sóng của âm thanh, bức xạ điện từ, hoặc chuyển động của
các dòng chảy và nói chung là các hiện tượng biến đổi trong không gian và thời
gian. Nhiều hiện tượng trong thực tế được quy về các phương trình hay hệ nhiều
phương trình đạo hàm riêng khác nhau.Về mặt toán học, phương trình đạo hàm
riêng được định nghĩa như sau ( [1])
Định nghĩa 1.1. Một phương trình liên hệ giữa hàm ẩn u(x1 , x2 . . . xn ), các biến
độc lập x1 , x2 , . . . , xn và các đạo hàm riêng của nó được gọi là phương trình vi
phân đạo hàm riêng. Cụ thể, nó có dạng
F x1 , x2 , . . . , xn , u,

∂u
∂u
∂k u
,...,
,..., k
∂x1
∂xn
∂ 1 x1 , . . . , ∂ kn xn

= 0,

(1.1)

trong đó hàm F là một hàm nào đó của các đối số của nó.
Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi
là cấp của phương trình. Chẳng hạn, phương trình cấp một của hàm hai biến

5


có dạng
F x, y, u,

∂u ∂u
,
∂x ∂y

= 0.

Phương trình cấp hai của hàm một biến có dạng
F x, y, u,

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
, ,
,
,
∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

= 0.

Định nghĩa 1.2. Phương trình đạo hàm riêng dạng (1.1) được gọi là tuyến tính
nếu như nó tuyến tính đối với ẩn hàm và tất cả các đạo hàm riêng của nó.
Ví dụ, phương trình

a(x, y)

∂2u
∂2u
∂2u
∂u
+
2b(x,
y)
+
c(x,
y)
+ d(x, y)
2
2
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂u
+ f (x, y)u = g(x, y),
+e(x, y)
∂y

là phương trình tuyến tính cấp hai đối với trường hợp hàm hai biến số.
Luận văn tập trung nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
cấp hai, cụ thể là phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt trong
R2 , R2 . Đối với các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, chúng ta có
thể phân loại chúng như sau:
Xét phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực trong trường hợp hai biến
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux, uy ) = 0,

(1.2)

và một điểm (x0 , y0 ) cố định trong R2 .
Định nghĩa 1.3. Phương trình (1.2) được gọi là
a) Thuộc loại ellip nếu như tại điểm đó
b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0)c(x0 , y0 ) < 0.

b) Thuộc loại hyperbol nếu như tại điểm đó
b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0)c(x0 , y0 ) > 0.

c) Thuộc loại parabol nếu như tại điểm đó
b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0)c(x0 , y0 ) = 0.

Nếu tại mọi điểm trong một miền G ⊂ R2 phương trình (1.2) đều thuộc cùng
một loại thì ta nói phương trình ấy thuộc loại đó trong miền G. Về sau thì ta
có thể thấy rằng
6


1. Phương trình Laplace thuộc loại phương trình ellip.
2. Phương trình truyền sóng thuộc loại phương trình hyperbol.
3. Phương trình truyền nhiệt thuộc loại phương trình parabol.
Đây cũng là các phương trình tiêu biểu cho từng loại phương trình đã nêu ở
trên. Sau đây ta sẽ giới thiệu về hai loại phương trình chủ yếu được quan tâm
trong luận văn, đó là phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt,
đây cũng là các loại phương trình đạo hàm riêng cổ điển thường gặp nhất trong
thực tế cũng như trong lý thuyết.

1.2
1.2.1

Phương trình truyền sóng
Giới thiệu về phương trình truyền sóng

Đầu tiên, ta xét hai ví dụ sau đây về hiện tượng lan truyền sóng trong không
gian, cụ thể là về sự dao động trên một sợi dây (trường hợp một chiều) và sự
dao động của màng (trường hợp hai chiều), tương ứng với đó ta sẽ có các dạng
của phương trình truyền sóng.
a. Phương trình dao động của dây
Xét một sợi dây căng thẳng theo chiều trục Ox. Bằng một cách nào đó, ta
làm sợi dây dao động và xem xét quy luật dao động của sợi dây ấy.
Ta chỉ xét những dao động ngang của sợi dây, tức là giả thiết khi dao động,
các phần tử vật chất của sợi dây chuyển động thẳng góc với trục Ox. Độ lệch
của các phần tử vật chất so với vị trí cân bằng được ký hiệu là u. Rõ ràng u là
một hàm phụ thuộc thời gian và hoành độ của phần tử vật chất ấy, tức là
u = u(x, t).

Ta đã biết rằng, với một số giả thiết lý tưởng thì phương trình dao động của
dây có dạng
ρ(x)

∂2u
∂2u
=
T
+ p(x, t),
∂t2
∂x2

(1.3)

trong đó ρ(x) là tỉ trọng dài của sợi dây (mật độ phân bố vật chất theo chiều
dài), T là lực căng của sợi dây và do định luật Hooke thì T là một hằng số,
p(x, t) là ngoại lực tác động vào dây.
Nếu sợi dây đồng chất, không có ngoại lực tác động thì ρ = const và p(x, t) = 0.
Khi đó phương trình (1.3) được viết lại dưới dạng
2
∂2u
2∂ u
=
a
,
∂t2
∂x2

7

(1.4)


trong đó a =

T
ρ.

Phương trình (1.4) có vô số nghiệm. Vì vậy, để xác định được nghiệm ta cần
ấn định thêm các điều kiện ban đầu hoặc các điều kiện biên.
b. Phương trình dao động của màng
Xét một màng mỏng, khi cân bằng nằm trong mặt phẳng xOy . Bằng một
cách nào đó ta cũng làm màng dao động và xem xét quy luật dao động của

màng.
Ta cũng giả thiết màng dao động ngang và độ lệch của điểm M(x, y) trong
mặt phẳng xOy trên màng ký hiệu là u. Rõ ràng
u = u(x, y, t).

Tương tự như ví dụ trong phần a, với các giả thiết lý tưởng, ta thu được
phương trình dao động của màng
∂2u
∂2u ∂2u
ρ(x, y) 2 = T ( 2 + 2 ) + p(x, y, t),
∂t
∂x
∂y

(1.5)

trong đó ρ(x, y) là tỉ trọng của màng (mật độ phân bố vật chất theo diện tích
mặt), T là suất căng của màng và p(x, y, t) là ngoại lực tác dụng.
Nếu màng là đồng chất, không có ngoại lực tác động thì ρ = const , p(x, y, t) =
0. Khi đó phương trình (1.5) được viết lại dưới dạng thuần nhất
2
∂2u
∂2u
2 ∂ u
=
a
(
+
),
∂t2

∂x2 ∂y 2

trong đó a =

(1.6)

T
ρ.

Cũng như phương trình (1.4), phương trình (1.6) cũng có vô số nghiệm, nên
để xác định quy luật dao động của màng ta cần bổ sung các điều kiện như điều
kiện biên, điều kiện ban đầu . . .
Nhiều quy luật vật lý, cơ học cũng đưa đến phương trình tương tự như (1.4)
và (1.6). Chẳng hạn, quy luật chuyển động dọc của một thanh đàn hồi đồng
chất cũng biểu diễn bởi (1.4), trong đó u(x, t) là độ lệch của phần tử dao động
của thanh so với vị trí cân bằng x, x là hoành độ của phần tử ấy. Quy luật dao
động nhỏ của chất khí lý tưởng với một số giả thiết vật lý xác định trong hiện
tượng truyền âm biểu diễn bởi phương trình
2
∂2u
∂2u ∂2u
2 ∂ u
=
a
(
+
+ 2 ),
∂t2
∂x2 ∂y 2
∂z

(1.7)

trong đó (x, y, z) là tọa độ của phần tử khí, u(x, y, z, t) là độ lệch áp suất khí ở
điểm (x, y, z) tại thời điểm t, so với áp suất lúc bình thường tại (x, y, z).
8


Những phương trình (1.4), (1.6), (1.7) thường được gọi là phương trình truyền
sóng. Hệ số a trong các phương trình ấy là vận tốc truyền sóng. Theo định nghĩa
về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 thì phương trình
truyền sóng thuộc loại phương trình parabol. Trong phần tiếp theo ta sẽ đi xây
dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền sóng.
1.2.2

Công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương
trình truyền sóng

Để đơn giản cho việc trình bày, trong phần này ta chỉ xét phương trình truyền
sóng thuần nhất trong trường hợp một chiều (1.4) hay còn gọi là bài toán Cauchy
đối với phương trình dây rung tự do
2
∂2u
2∂ u
=
a
,
∂t2
∂x2

(1.4)

với điều kiện ban đầu và vận tốc ban đầu lần lượt xác định bởi
u(x, 0) = f (x),

−∞ < x < +∞,

ut (x, 0) = g(x),

−∞ < x < +∞.

(1.8)
(1.9)

Để xây dựng công thức nghiệm cho bài toán hỗn hợp (1.4) − (1.8) − (1.9) ta
sẽ sử dụng hai cách khác nhau, cụ thể là
Cách 1. Dùng phương pháp đổi biến
Ta dùng phép đổi biến
ξ = x − at, η = x + at,

khi đó ta thu được
∂2u
∂2u
∂2u
∂2u
=
+
2
+
,

∂x2
∂ξ 2
∂ξ∂η ∂η 2
2
∂2u
∂2u
∂2u
2 ∂ u
=
a
−
2
+
.
∂t2
∂ξ 2
∂ξ∂η ∂η 2

Thay các đạo hàm riêng này vào phương trình sóng (1.4) ta có
4

∂2u
=0
∂ξ∂η

⇔

∂ ∂u
∂ξ ∂η

Từ đây ta nhận được
u = F (ξ) + G(η),

9

= 0.


trong đó F là hàm tùy ý chỉ phụ thuộc ξ , G là hàm tùy ý chỉ phụ thuộc η . Đồng
thời F, G phải là hàm khả vi hai lần.
Trở lại biến ban đầu, phương trình sóng có nghiệm
u(x, t) = F (x − at) + G(x + at).

Tại thời điểm t = 0, nghiệm của phương trình truyền sóng thỏa mãn các điều
kiện ban đầu (1.8) và (1.9) nên
F (x) + G(x) = f (x),
a

∂
∂
F (x) − a G(x) = g(x).
∂t
∂t

Do đó, nghiệm của phương trình sóng với điều kiện ban đầu đã biết là
1
1
u(x, t) = [f (x + at) + f (x − at)] +
2
2a

x+at

g(y)dy.
x−at

Công thức nghiệm trên được gọi là công thức D’Alembert.
Tiếp theo, ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền sóng bằng
phương pháp tách biến.
Cách 2. Sử dụng phương pháp tách biến
Bây giờ, ta tìm nghiệm không tầm thường (tức là nghiệm khác không) của
phương trình sóng (1.4) dưới dạng tách biến
u(x, t) = X(x)T (t),

trong đó X(x) là hàm chỉ phụ thuộc vào x, T (t) là hàm chỉ phụ thuộc vào t. Khi
đó thay nghiệm vào phương trình (1.4) ta có
X(x)T ′′ (t) = a2 X ′′ (x)T (t),

hay

T ′′ (t)
X ′′ (x)
=
.
a2 T (t)
X(x)

Ta thấy vế phải của phương trình không phụ thuộc vào x, vế trái không phụ
thuộc vào t nên rõ ràng phải có một hằng số λ nào đó thỏa mãn
T ′′ (t)

X ′′ (x)
=
= −λ,
a2 T (t)
X(x)

từ đó ta đi đến bài toán tìm giá trị λ và hàm riêng X(x), T (t) thỏa mãn

T ′′(t) + λa2 T (t) = 0,
X ′′(x) + λX(x)
10

= 0.

(1.10)


Giả sử rằng sợi dây được gắn cố định tại điểm đầu x = 0 và điểm cuối x = L,
tức là ta có các điều kiện biên
u(0, t) = X(0)T (t) = 0,

t > 0,

(1.11)

u(L, t) = X(L)T (t) = 0,

t > 0.

(1.12)

Do T (t) = 0 nên
X(0) = X(L) = 0.

Kết hợp điều này với phương trình thứ hai của (1.10) ta nhận được bài toán giá
trị ban đầu đối với phương trình vi phân cấp hai

X ′′ (x) + λX(x) = 0,
(1.13)
X(0) = 0, X(L) = 0.
Ta phân biệt các trường hợp sau đây
1. λ < 0. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.13)
√

X(x) = C1 e

−λx

+ C2 e−

√
−λx

,

C1 , C2 là các hằng số

thỏa mãn điều kiện ban đầu
X(0) = C1 + C2 = 0,
√

X(L) = C1 e

−λL

+ C2 e−

√

−λL

= 0.

Từ đó C1 = C2 = 0, tức là X(x) = 0. Hay nghiệm u(x, t) chỉ có thể là nghiệm tầm
thường.
2. λ = 0. Khi đó nghiệm tổng quát của (1.13) là
X(x) = ax + b,

a, b là các hằng số

thỏa mãn điều kiện ban đầu
X(0) = b = 0, X(L) = aL = 0.

Do vậy a = b = 0 nên X(x) = 0, ta nhận được nghiệm tầm thường u(x, t) của
phương trình (1.4).
3. λ > 0. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.13) là
√
√
X(x) = C cos λx + D sin λx,

C, D là các hằng số

thỏa mãn điều kiện ban đầu
X(0) = C = 0,
√
X(L) = D sin λL = 0.
11


Để (1.13) có nghiệm không tầm thường thì D = 0 và khi đó
sin

√

√

λL = 0 ⇒

λL = nπ.

Do đó ta nhận được các giá trị riêng λ thỏa mãn
λn =

(nπ)2
,
L2

n = 1, 2, 3, . . .

Tương ứng ta có các hàm riêng X(x)

Xn (x) = Dn sin

nπ
x,
L

n = 1, 2, 3, . . .

Tóm lại ta thu được dãy các giá trị riêng λn và hệ các hàm riêng Xn (x) của bài
toán (1.10) có dạng

X (x) = D sin nπ x,
n
n
L
2
(nπ)
λ
= 2 , n = 1, 2, 3, . . .
n

L

Thay ngược trở lại giá trị của λ vừa nhận được vào phương trình đầu tiên ẩn
T (t) của hệ (1.10) ta nhận được phương trình vi phân cấp hai
Tn′′ (t) +

n2 π 2 2
a T (t) = 0.
L2

Giải phương trình trên ta thu được nghiệm tổng quát
Tn (t) = En cos

nπa
nπa
t + Fn sin
t, En , Fn là hằng số.
L
L

Như vậy các hàm X(x) và T (t) được xác định như sau

 Xn (x) = Dn sin nπ x,
L
 T (t) = E cos nπa t + F sin nπa t, n = 1, 2, 3 . . .
n
n
n
L
L

(1.14)

Từ đó các nghiệm riêng un (x, t) thu được dưới dạng
un (x, t) = Xn (x)Tn (t) = (An cos

nπa
nπ
nπa

t + Bn sin
t) sin
x,
L
L
L

với An = Dn En , Bn = Dn Fn .
Những nghiệm này đều thỏa mãn (1.4) với điều kiện biên u(0, t) = u(L, t) = 0.
Dễ thấy rằng, nếu u và v là các nghiệm của (1.4) thì αu + βv với α, β là các hằng
số thực cũng là nghiệm của (1.4). Vì thế, bây giờ, ta hãy xây dựng một cách
hình thức chuỗi
u(x, t) =

∞
n=1

(An cos

nπa
nπa
nπ
t + Bn sin
t) sin
x.
L
L
L
12

(1.15)


Ta sẽ đi tìm các điều kiện sao cho hàm u(x, t) xác định bởi chuỗi (1.15) là nghiệm
đúng của bài toán.
Trước tiên, để ý rằng chuỗi bên phải là chuỗi hàm vô hạn nên câu hỏi về sự
hội tụ của chuỗi hàm sẽ được đặt ra đầu tiên.
Tiếp theo, các hệ số An , Bn cần được xác định theo một cách nào đó để (1.15)
là nghiệm đúng của bài toán (1.4) và thỏa mãn các điều kiện ban đầu (1.8) và
(1.9)
u(x, 0) = f (x),

0 < x < L,

ut (x, 0) = g(x),

0 < x < L.

Tạm thời giả sử rằng các hệ số An , Bn đã được xác định sao cho (1.15) là nghiệm
đúng của bài toán. Khi đó thay (1.15) vào điều kiện ban đầu u(x, 0) = f (x) ta có
∞

An sin

n=1

nπ
x = f (x).
L

(1.16)

Xét tại điều kiện ut (x, 0) = g(x), giả sử chuỗi (1.15) có thể đạo hàm từng số hạng
thì ta nhận được
ut (x, 0) =

∞

n=1

nπ
nπa
Bn sin
x = g(x).
L
L

(1.17)

Như vậy, bài toán có nghiệm thì nghiệm đó phải được biểu diễn dưới dạng chuỗi
(1.15), ở đó An , Bn được xác định bởi (1.16) và (1.17). Vậy câu hỏi đặt ra ở đây
là
Bài toán 1.1. Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [0, L].
Với điều kiện nào của hàm số f (x) thì ta có các hệ số An sao cho
f (x) =

∞

An sin

n=1

nπx
.
L

Với điều kiện nào của hàm số g(x) thì ta có các hệ số Bn sao cho
ut (x, 0) =

∞
n=1

nπ
nπa
Bn sin
x = g(x).
L
L

Đây chính là câu hỏi mở đầu cho việc nghiên cứu giải tích Fourier, từ đó đưa
đến các ứng dụng của giải tích Fourier trong việc giải các lớp phương trình đạo
hàm riêng khác nhau, chẳng hạn như phương trình truyền nhiệt và phương trình
truyền sóng mà luận văn sẽ tập trung nghiên cứu. Trong các phần tiếp theo của
luận văn ta sẽ đưa ra các điều kiện chính xác để bài toán trên được nghiệm
13


đúng.
Tuy nhiên, các hệ số An có thể được dự đoán qua một cách đánh giá đơn giản
như sau. Đầu tiên, từ biểu thức xác định An

∞

nπ
x = f (x).
L

An sin

n=1

(1.18)

Nhân hai vế của phương trình với sin mπ
L x rồi lấy tích phân từ 0 đến L ta thu
được
L
0

=

∞

L

mπ
xdx =
f (x) sin
L

0

∞

An sin

n=1
L

An

sin
0

n=1

Kết quả trên có được là do
L

sin
0

nπ
mπ
x sin
xdx
L
L

nπ
mπ
L

x sin
xdx = Am .
L
L
2


0

nếu m = n,

nπ
mπ
x sin
xdx =
L
L
L/2

nếu m = n.

Như vậy, ta có thể dự đoán được

2
Am =
L

L

f (x) sin

0

mπ
xdx.
L

(1.19)

Bằng lập luận tương tự ta cũng dự đoán được
2
Bn =
nπa

L

g(x) sin
0

mπ
x.
L

(1.20)

Trong phần tiếp theo, khi xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền
nhiệt bằng phương pháp tách biến ta cũng thấy xuất hiện câu hỏi tương tự như
Bài toán 1.1.

1.3
1.3.1

Phương trình truyền nhiệt
Giới thiệu về phương trình truyền nhiệt

Xét một vật thể rắn mà nhiệt độ của nó tại điểm (x, y, z) vào tại thời điểm t
là một hàm u(x, y, z). Nếu các phần tử của vật thể có nhiệt độ khác nhau, thì
bên trong vật thể có sự trao đổi nhiệt lượng từ phần nóng (có nhiệt độ cao hơn)
sang phần lạnh hơn (có nhiệt độ thấp hơn).
14


Giả sử vật thể được coi là đẳng hướng, tức là tại một điểm (x, y, z) xác định
thì nhiệt truyền theo phương nào cũng như nhau. Nói cách khác đi, hệ số truyền
nhiệt k chỉ phụ thuộc vào (x, y, z) không phụ thuộc vào các hướng. Khi đó quy
luật truyền nhiệt được cho bởi
γ(x, y, z)ρ(x, y, z)

∂u
∂2u ∂2u ∂2u
= k(x, y, z)( 2 + 2 + 2 ) + F (x, y, z, t),
∂t
∂x
∂y
∂z

(1.21)

trong đó k(x, y, z), γ(x, y, z), ρ(x, y, z) lần lượt là hệ số truyền nhiệt, nhiệt dung
và tỉ khối của vật thể tại (x, y, z). F (x, y, z, t) là mật độ nguồn nhiệt trong vật
thể tại (x, y, z) ở thời thời điểm t (nhiệt lượng tỏa ra hay mất đi trong một đơn

vị thể tích và đơn vị thời gian).
Nếu vật thể là đồng chất, tức là γ, ρ, k là các hằng số và trong vật thể không
có nguồn nhiệt F (x, y, z, t) = 0 thì (1.21) có dạng
∂u
∂2u ∂2u ∂2u
= a2 ( 2 + 2 + 2 ),
∂t
∂x
∂y
∂z

trong đó a =

(1.22)

k
γρ .

Hơn nữa, nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc x, y, t ví dụ xét sự trao đổi nhiệt trong
một bản phẳng mỏng thì (1.22) có dạng
∂2u ∂2u
∂u
= a2 ( 2 + 2 ).
∂t
∂x
∂y

(1.23)

Nếu nhiệt độ chỉ phụ thuộc vào x, t chẳng hạn xét sự truyền nhiệt trong một

thanh thẳng, nhỏ thì (1.22) có dạng
∂u
∂2u
= a2 2 .
∂t
∂x

(1.24)

Trong hai trường hợp này ta cần giả sử là không có sự trao đổi nhiệt giữa bản
mỏng hay thanh nhỏ với môi trường xung quanh. Cũng tương tự như phương
trình dao động của dây và của màng, muốn xác định quy luật truyền nhiệt trong
vật thể thì ngoài phương trình (1.21) ta cần bổ sung thêm các điều kiện đầu
tại t = 0 hoặc các điều kiện biên. Theo phân loại, phương trình nhiệt thuộc loại
phương trình parabol. Dưới đây ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho phương
trình truyền nhiệt trong các điều kiện biên, điều kiện ban đầu cụ thể.
1.3.2

Công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương
trình truyền nhiệt

Xét phương trình truyền nhiệt trong thanh đồng chất
∂u
∂2u
= a2 2 ,
∂t
∂x
15

(1.24)

thỏa mãn điều kiện ban đầu
u(x, 0) = f (x),

0 < x < L,

(1.25)

và các điều kiện biên thuần nhất
u(0, t) = 0,

t > 0,

u(L, t) = 0,

t > 0.

(1.26)

Giả sử thêm f là hàm liên tục, khả vi từng khúc và triệt tiêu tại điểm đầu x = 0
và x = L, tức là
f (0) = f (L) = 0.

Tương tự đối với việc xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền sóng
Phần 1.3, ta tìm nghiệm không tầm thường của bài toán (1.24) dưới dạng tách
biến
u(x, t) = X(x)T (t),

trong đó X là hàm chỉ phụ thuộc vào x, T là hàm chỉ phụ thuộc vào t. Thay

biểu thức nghiệm lên phương trình (1.24) ta thu được
X(x)T ′ (t) = a2 T (t)X ′′ (x),

hay

T ′ (t)
X ′′ (x)
=
= −λ,
a2 T (t)
X(x)

trong đó λ là một hằng số. Từ đó phương trình (1.24) cũng dẫn đến bài toán
tìm giá trị riêng và hàm riêng như sau

T ′ (t) + a2 λT (t) = 0,
(1.27)
X ′′ (x) + λX(x) = 0.
Điều kiện biên (1.26) cho ta

X(0) = X(L) = 0.

Như vậy đối với hàm X(x) ta nhận được bài toán biên đối với phương trình vi
phân cấp hai
X ′′ (x) + λX(x) = 0,

(1.28)

X(0) = X(L) = 0.

Tương tự với giải phương trình truyền sóng, chỉ với những giá trị của λ > 0 thỏa
mãn
n2 π 2
,
n = 1, 2, 3, . . .
(1.29)
λn =
2
L

16


thì bài toán (1.28) có nghiệm không tầm thường
Xn (x) = An sin

nπ
x
L

n = 1, 2, 3, . . .

Với các giá trị riêng của λn được xác định như (1.29), phương trình thứ nhất
trong hệ (1.27) có nghiệm tương ứng là
Tn (t) = Bn e−(

nπa 2
) t
L

,

n = 1, 2, 3, . . .

Do đó phương trình (1.24) thỏa mãn điều kiện biên (1.26) có các nghiệm riêng
dạng
un (x, t) = Cn e−(

nπa 2
) t
L

sin

nπ
x,
L

với Cn là hằng số tùy ý. Tương tự như đối với phương trình truyền sóng, ta xây
dựng hình thức chuỗi
u(x, t) =

∞
n=1

un (x, t) =

∞

Cn e−(

nπa 2
) t
L

sin

n=1

nπ
x,
L

n = 1, 2, 3, . . .

(1.30)

và đi xác định các hệ số Cn sao cho chuỗi đã cho là nghiệm của bài toán truyền
nhiệt. Rõ ràng, hàm u(x, t) xác định bởi chuỗi (1.30) thỏa mãn điều kiện biên
(1.26) do từng hạng thức của chuỗi thỏa mãn điều kiện đó. Bây giờ ta áp dụng
điều kiện ban đầu tại t = 0 cho hàm u(x, t), ta được
u(x, 0) =

∞

Cn sin

n=1

nπ

x = f (x).
L

(1.31)

Đến đây dẫn đến câu hỏi tương tự như Bài toán 1.1 trong phần xây dựng công
thức nghiệm cho phương trình truyền sóng.
Trong phần tiếp theo ta sẽ xét tới trạng thái ổn định của phương trình truyền
nhiệt, từ đó dẫn đến phương trình Laplace khi nhiệt độ của môi trường ổn định.

1.4
1.4.1

Phương trình Laplace
Giới thiệu về phương trình Laplace

Xét phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng và không có
nguồn nhiệt
2
∂2u
∂u
2 ∂ u
= a ( 2 + 2 ).
∂t
∂x
∂y

17

Giả sử sau một thời gian nhiệt độ trong môi trường ổn định nghĩa là u(x, y, t)
không còn phụ thuộc vào thời gian, ta có
∂u
= 0.
∂t

Khi đó, phương trình nhiệt ổn định có dạng
∂2u ∂2u
+
= 0.
∂x2 ∂y 2

Định nghĩa 1.4. Trong không gian hai chiều (x, y), phương trình dạng
∂2u ∂2u
+
= 0.
∂x2 ∂y 2

(1.32)

được gọi là phương trình Laplace.
Ta thường ký hiệu vế trái của phương trình là ∆u
∆u :=

∂2u ∂2u
+
,
∂x2 ∂y 2

(1.33)

và toán tử ∆u được gọi là toán tử Laplace.
Hàm u(x, y) được gọi là hàm điều hòa tại điểm (x0 , y0 ) nếu tại điểm đó nó có
đạo hàm cấp hai liên tục và thỏa mãn phương trình Laplace.
1.4.2

Công thức biểu diễn nghiệm cho phương trình Laplace trong hình
tròn đơn vị

Xét đến phương trình Laplace trong hình tròn đơn vị, bán kính r = 1, trong
trường hợp tổng quát với hình tròn bán kính r bất kỳ ta xét tương tự. Xét hình
tròn đơn vị trong mặt phẳng
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1},

biên của hình tròn D là đường tròn đơn vị C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}. Trong
hệ tọa độ cực (r, θ) với 0 ≤ r < 1 và 0 ≤ r < 2π , ta có
D = {(r, θ) : 0 ≤ r < 1}

và

C = {(r, θ) : r = 1}.

Bài toán tìm nghiệm của phương trình Laplace trên D với điều kiện biên
u = f trên C được gọi là bài toán Dirichlet

∆u
= 0 trên D,
(1.34)
u(1, θ) = f (θ) trên C.
18

Trong tọa độ cực (r, θ), toán tử Laplace (1.33) có dạng
∆u =

∂ 2 u 1 ∂u
1 ∂2u
+
+
.
∂r 2
r ∂r r 2 ∂θ2

Từ đó phương trình Laplace (1.32) có dạng
1 ∂u2
∂ 2 u 1 ∂u
+
=
−
.
∂r 2
r ∂r
r 2 ∂θ2

Ta tìm nghiệm phương trình dưới dạng tách biến u(r, θ) = F (r)G(θ), trong đó
F (r) là hàm chỉ phụ thuộc vào r , G(θ) là hàm chỉ phụ thuộc vào θ, thay công
thức nghiệm vào phương trình trên thu được
r 2 F ′′ (r) + rF ′ (r)
G′′ (θ)
=−

.
F (r)
G(θ)

Vế trái của phương trình trên chỉ phụ thuộc vào r, vế phải của phương trình chỉ
phụ thuộc θ nên
G′′ (θ)
r 2 F ′′ (r) + rF ′ (r)
=−
= λ, λ là hằng số thực.
F (r)
G(θ)

Khi đó, ta có


G′′ (θ) + λG(θ)

= 0,

r2 F ′′ (r) + rF ′(r) − λF (r) = 0.

(1.35)

Ta thấy nếu cho θ một gia số 2π thì hàm u(r, θ) phải lấy giá trị của nó
u(r, θ + 2π) = u(r, θ).

Do vậy, từ u(r, θ) = F (r)G(θ) ta có
G(θ + 2π) = G(θ).

Vậy G(θ) là nghiệm của bài toán

G′′ (θ) + λG(θ) = 0,
G(θ)
= G(θ + 2π).

(1.36)

Ta phân biệt ba trường hợp sau của λ
1. Nếu λ < 0 phương trình (1.36) có nghiệm tổng quát
√

G(θ) = Ae

−λθ

√

+ Be

λθ

, A, B là hằng số tùy ý.

G(θ) tuần hoàn khi và chỉ khi A = B = 0 nên bài toán chỉ có nghiệm tầm thường
u(r, θ) = 0.
19


2. Nếu λ = 0 thì G(θ) = A0 .

3. Nếu λ > 0, phương trình (1.36) có nghiệm tổng quát
√
√
G(θ) = A cos λθ + B sin λθ.

Như vậy G(θ) tuần hoàn với chu kì 2π nếu
√

λ = n ⇒ λ = n2 , n = 1, 2, 3, . . .

(1.37)

Gn (θ) = An cos nθ + Bn sin nθ.

(1.38)

Khi đó, ta có
Thay giá trị λ = n2 vào phương trình thứ hai trong hệ (1.35) ta được
r 2 F ′′ + rF ′ − n2 F = 0.

(1.39)

Với n = 0, ứng với giá trị λ = 0 thì (1.39) có dạng
rF ′′ + F ′ = 0,

và phương trình này có nghiệm tổng quát
F0 (r) = C0 + D0 ln r,

C 0 , D0

là các hằng số tùy ý.

Với λ = n2 , trong đó n = 0 thì ta xét
r 2 F ′′ (r) + rF ′ (r) − n2 F = 0.

(1.39)

Đây là phương trình vi phân cấp hai dạng Euler thừa nhận nghiệm riêng dạng
F (r) = r µ ,

với µ là hằng số, thay nghiệm riêng này lên phương trình (1.39) ta được
r 2 µ(µ − 1)r µ−2 + rµr µ−1 − n2 r µ = 0 ↔ µ = ±n,

tức là
µ = ±n.

Như vậy phương trình (1.39) có hai nghiệm riêng là rn và r−n nên nghiệm tổng
quát nó có dạng
Fn (r) = Cn r n + Dn r −n ,
(1.40)
với Cn , Dn là các hằng số tùy ý.
Vậy phương trình Laplace thừa nhận các nghiệm riêng

A(C + D ) ln r, nếu
n = 0,
0
0
um (r, θ) =
(C rn + D r−n )(A cos nθ + B sin nθ) nếu n = 0.
n

n

20

(1.41)


Tuy nhiên các hàm un (r, θ) là các hàm tuần hoàn trong hình tròn, nên liên tục
tại r = 0. Vì thế trong (1.41) hệ số D0 của ln r và Cn của r−n phải triệt tiêu.
Tóm lại, các nghiệm riêng có dạng

u (r, θ) = a
0
0
(1.42)
u (r, θ) = rn (a cos nθ + b sin nθ), n = 1, 2 . . .
n

n

n

với a0 = A0 C0 , an = An Cn , bn = Bn Cn .
Tương tự như trong cách xây dựng phương trình truyền sóng và truyền nhiệt ta
xây dựng một cách hình thức chuỗi
u(r, θ) =

∞

∞

un (r, θ) = a0 +

n=0

r n (an cos nθ + bn sin nθ).

(1.43)

n=1

Và đi xác định các hệ số an và bn sao cho chuỗi (1.43) thực sự là nghiệm của bài
toán (1.34).
Ta tạm giả thiết rằng các hệ số an , bn được chọn sao cho chuỗi (1.43) hội tụ và
tổng của nó là một hàm điều hòa liên tục trong hình tròn 0 < r ≤ 1. Ta tìm
nghiệm của bài toán (1.34) dưới dạng
u(r, θ) =

∞

∞

un (r, θ) = a0 +

n=0

r n (an cos nθ + bn sin nθ).

n=1

Thay vào điều kiện biên ta được
∞

u(1, θ) = a0 +

(an cos nθ + bn sin nθ) = f (θ).

(1.44)

n=1

Sử dụng công thức Euler
eix = cos x + i sin x,

ta có thể viết (1.44) dưới dạng phức như sau
f (θ) = u(1, θ) =

∞

∞

(an cos nx + bn sin nx) =

n=0

n=0

= a0 +
= a0 +

= a0 +

(an

∞
n=1
∞
n=1
∞
n=1

(an

einx

[(an +

+ e−inx
2

+ bn

einx + e−inx
einx − e−inx
+ bn
)
2
2i

einx − e−inx

)
2i

bn einx
bn e−inx
)
+ (an − )
]
i 2
i
2

bn einx
(an + )
+
i 2

∞
n=1

21

(an −

bn e−inx
)
i
2

∞

= a0 +

n=1

bn einx
+
(an + )
i 2
∞

= a0 ei0x +

(an +

n=1

=

∞

−1

(a−n −

n=−∞
−1
inx

bn e
)
+
i 2

n=−∞

b−n einx
)
i
2

(a−n −

b−n einx
)
i
2

cn einx .

n=−∞

Tương tự thì nghiệm của bài toán dưới dạng tách biến có thể viết dưới dạng
phức như sau
u(r, θ) =

∞

an r |n| einθ .

n=−∞

Như vậy, khi xây dựng công thức nghiệm cho bài toán truyền sóng và truyền
nhiệt, ta dẫn đến câu hỏi sau
Bài toán 1.2. Cho f là hàm số bất kỳ, với điều kiện nào thì tồn tại các hệ số
an , bn sao cho
f (x) = a0 +

∞

+∞

cn einx .

(an cos nx + bn sin nx) =

(1.45)

n=−∞

n=1

Hơn nữa, nếu hàm số f có thể được viết dưới dạng (1.43) thì với điều kiện nào
của hàm f thì chuỗi bên vế phải của (1.43) hội tụ, trong trường hợp chuỗi này
hội tụ thì mối liên quan giữa tổng của chuỗi và hàm f là như thế nào?
Các câu hỏi này dẫn đến các khái niệm về chuỗi Fourier và khai triển dưới
dạng chuỗi Fourier của một hàm số cho trước mà ta sẽ giới thiệu ở Chương 2.
Trong chương này ta cũng sẽ đưa ra các tính chất cơ bản của chuỗi Fourier cũng
như nghiên cứu sự hội tụ của nó.

22


Chương 2

Chuỗi Fourier và các tính chất cơ
bản
Phần mở đầu của chương này chúng ta sẽ giới thiệu định nghĩa của chuỗi
Fourier và khai triển hàm thành chuỗi Fourier.

2.1

Chuỗi Fourier và khai triển hàm thành chuỗi Fourier

Xét chuỗi hàm đã được chỉ ra trong Chương 1
∞

+∞
inx

cn e
n=−∞

inx

=

cn e

=

(an sin nx + bn cos nx)

(2.1)

n=0

n∈Z

và gọi chuỗi hàm có dạng ở vế phải (2.1) là chuỗi hàm lượng giác.
Giả sử rằng chuỗi hàm lượng giác (2.1) hội tụ đều trên [−π, π] và
+∞

(2.2)

cn einx .

f (x) =
n=−∞

Nhân cả hai vế của (2.2) với e−imx với m là một số nguyên khác không, sau đó
lấy tích phân hai vế ta được
cn ei(n−m)x dx.

cn einx e−imx dx =

f (x)e−imx dx =
−π

π

π

π

−π n∈Z

−π n∈Z

Giả sử ta có thể lấy tích phân từng số hạng trên đoạn [−π, π], và sử dụng đẳng
thức

0
π
nếu
n=m
1
einx e−imx =
2π −π
1
nếu
n = m,
23