Khoá luận tốt nghiệp một số tính chất địa phương của đường cong

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

TRẦN THỊ HẠNH

VÁN ĐÈ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
••••

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ThS.NGUYẺN VĂN VẠN

HÀ NỘI-2015

Trong quá trình tìm hiếu, nghiên cún khóa luận này tôi
không khỏi lúng túng và bỡ ngỡ. Nhưng dưới dự giúp đỡ, chỉ bảo


tận tình của Ths Nguyễn Văn Vạn tôi đã từng bước tiền hành và hoàn thành khóa luận với đề tài “Vấn đề lớn
nhất, nhỏ nhất trong không gian Oxyz”.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cùng tất cả các thầy cô trong khoa Toán học đã giúp
đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa luận.
Mặc dù có những cố gắng tìm tòi nhất định, song khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp của tất cả các thầy cô và các bạn sinh viên.
LỜI CẢM ƠN
Hà Nội, thảng 5 năm 2015 Sinh viên

Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Ths Nguyễn Văn Vạn.

Tôi xin cam đoan rằng:
- Khóa luận này là kết quả nghiên cún, tìm tòi của riêng tôi.

Trần Thị Hạnh

- Những tư liệu được trích dẫn trong khóa luận là trung thực.
-

Ket quả nghiên cứu này không thể trùng khít với bất kì công trình nghiên cứu của tác giả nào đã
được công bố trước đó.
Neu sai, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015


Sinh viên
MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

Trần Thị Hạnh


bài cực trị trong hình học không gian. MỞ ĐẦU

1. Lí

do chọn đề tài.

Trong chương trình hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán
thường gặp như: viết phương trình mặt phang, viết phương trình đường thẳng

hay viết phương trình mặt cầu, ... ta còn bắt gặp các bài toán tìm vị trí của
điểm, đường thẳng hay mặt phang liên quan đến một điều kiện cực trị. Có thể
nói rằng cực trị hình học trong phương pháp tọa độ trong không gian là một
dạng toán khó, đòi hỏi học sinh vừa phải biết tư duy hình học, vừa phải biết
kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu Toán học, tôi thấy đây là một
dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn các học sinh khá giỏi. Neu
ta biết sử dụng linh hoạt, khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, vectơ,
phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen
thuộc.
Chính vì những lí do trên, tôi quyết định đi sâu vào nghiên cứu đề tài
“Vấn đề lớn nhất, nhỏ nhất trong không gian Oxyz” nhằm mở ra một cách
nhìn nhận mới về bài toán cực trị trong hình học không gian. Đồng thời tôi
cũng mong muốn rằng, thông qua việc nghiên cún sẽ đem lại cho tôi những
kinh nghiệm quý báu phục vụ cho công tác giảng dạy sau này.
2. Mục đích nghiên cứu.

Khóa luận cung cấp cho bạn đọc phương pháp giải
một số dạng
-

Rèn luyện kĩ năng sử dụng linh hoạt, sáng tạo các tính chất hình học
thuần túy để giảm bới tính toán.
4


-

Đồng thời khóa luận cũng giúp bạn đọc có thể giải quyết tốt các bài
toán khác của hình học giải tích, có cái nhìn mới về dạng toán này.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-

Tuyển chọn và sắp xếp các dạng toán cơ bản theo một trình tụ’ hợp
lí để bạn đọc tiếp nhận chúng một cách dễ dàng, tạo hứng thú khi
gặp bài toán này.
- Đưa ra cách tiếp cận lời giải dưới góc độ bản chất hình học.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4.1 .Đối tượng nghiên cứu
Trong phạm vi khóa luận này, tôi chủ yếu nghiên cứu các dạng toán
cực trị thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên
nghiệp, phương pháp giải và ví dụ minh họa.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Như chúng ta đã biết có thể sử dụng công cụ giải tích để xét sự biến
thiên và tìm cực trị của một đại lượng như: góc, khoảng cách, độ dài...trong
các bài toán tọa độ trong không gian. Mặc dù cách làm này khá rõ ràng
nhưng quá trình tính toán phức tạp. Trong khóa luận này, tôi chủ yểu xét
một số bài toán cực trị với bản chất hình học của nó, từ đó đề xuất phương
pháp giải bằng công cụ thuần túy hình học nhằm giảm bớt tính toán trong
quá trình giải.
5. Phưong pháp nghiên cứu
-

Phương pháp tổng hợp các vấn đề lí thuyết.

-

Phương pháp thống kê toán học.

5


bài cực trị trong hình học không gian.
-

Phương pháp thực nghiệm.

-

Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

-

Phương pháp phân tích, tống hợp.
NỘI DUNG CHƯƠNG 1: Cơ SỞ LÝ THUYẾT

1.1.Tích có hướng của hai vecto’
1.1.1.

Hệ tọa độ trong không gian
-

Trong không gian, xét bộ ba trục tọa độ Ox, Oy, 0z có chung điểm gốc
0 và đội một vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông

-

Trên các trục Ox, Oy, 0z của hệ tọa độ vuông góc Oxyz, lần lượt xét

các vectơ đơn vị 7, J , K cùng hướng với các trục tương ứng. Khi đó
thay vì viết hệ trục Oxyz, ta còn kí hiệu là trục ( O ,7 , J , K ) .

-

Điêm 0 gọi là gốc tọa độ, Ox gọi là trục hoành, Oy gọi là trục tung, 0z
gọi là trục cao.

6


-

Các mặt phang đi qua hai trong ba trục tọa độ gọi là các mặt phang tọa
độ, ta kí hiệu chúng là (Oxy), (Oyz), (Ozx).

-

Ta cần chú ý các đang thức sau:

i . i = j .k = k . i = 0

1.1.2.

Tọa độ của vectơ
-

Trong không gian, xét hệ trục tọa độ Oxyz. Khi đó với mỗi vectơ

U tồn tại duy nhất bộ số (x; y; z) sao cho: U = X Ì + Y . J + z.ĩc . Bộ số (x; y; z) được

gọi là tọa độ của vectơ U và kí hiệu U =

-

ỊX;Ỵ;Z)

hay U ( X ; Y ; Z ).

Từ định nghĩa về tọa độ của vectơ, ta dễ dàng suy ra các tính
chất sau:

Cho các vectơ U \ ( X ; Y ; Z ), U I ( X 2 ; Y 2 ; Z 2 ) và số k tùy ý, ta có:
T

T

1)

Uị =U2 x] =x2,yt = y2,Zị = z2

2)

ui±u2=(xì±x2;yỊ±y2;zì±zĩ)

T

3) k Mị = ( k .x Ị ;k . y ì ; k. z ] )
4) u l M 2 =x l x ĩ + y i y ĩ + z i z 2
5) \ u ] = Jx *T y f + z *

7) u x 1 ư2 U ị ,u 2 =0 < ^ >

JCjJc2

+

+ ZịZ

2

=0

7


bài cực trị
trong
hìnhđiểm
học không gian.
1.1.3.
Tọa
độ của
-

Trong không gian tọa độ Oxyz, mỗi điêm M hoàn

8

toàn được xác

định bởi vectơ O M . Tọa độ của điêm M được

định nghĩa là tọa độcủavectơ

O M . Như vậy:

M ( x; y ; z) < ^ > O M = x i + y j + z k

có:

Xét hai điểm A(xa; Ỵa; Z ), B(xb; yB; ZB) và số thực k, k Ỷ 1, ta

ÃB =

(x A - XB; y A - y B ; Z A - ZB)

A

|^ổ| = y j { x A -) 2 + ( y A - y B f + (z A - ^ ?
M chia đoạn AB theo tỉ số k khi và chỉ khi M A = K M B , khi đó:

l-k
y.4 ~ky»

1

—k
Z

A
~kZ
H ìk

M là trung điểm của đoạn AB thì M ^
1.1.4.

X

A+XB .yẠ+yB ,ZA+ZB

Tích có hướng của hai vecto'
-

Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ U ( A ; B ; C ) và
V(A';B';C')

là một vectơ, kí hiệu là Ị U , V ~ Ị hay U

AV

và được xác

định bằng toa đô như sau:
B C ị bCc 'A- b ' Ac ;Bc a\ c ' a \ a b ' - a ' b )

R —1

/

L«,VJ
=

V B'C

'

9

C'A

'

A'B

'

/


bài cực trị trong hình học không gian.

1
0


-

Tính chất của tích có hướng:

1) Vectơ [«,v] vuông góc với cả hai vectơ M vàv, tức là:
vj . U = p,v].v = 0
2) Ị U A v| = |m|.|v|.SĨIiỊm, vj
3) p,;] = õ khi và chỉ khi hai vectơ « và V cùng phương.

- ứng dụng của tích có hướng:
1) Tính diện tích hình bình hành ABCD

2) Tính diện tích tam giác ABC
[AB,ACị

SARC

3) Thể tích khối tứ diện ABCD
[AB,AC^ị.AD

4) Tính thể tích khối hộp ABCDA^C^D’
VABCDA’B’C’D’ = ll^AB,/ÍZ)J.AA

Ba vectơ
0

1.2.1.

U,V,

w đồng phẳng khi và chỉ khi p, v].w =

Viết phưong trình của mặt phẳng

1
1


bài cực trị trong hình học không gian.
Bài toán viết phương trình của mặt phẳng là bài toán cơ bản nhất trong
hình học không gian. Sau đây là một số kiến thức cần nhớ để giải quyết bài
toán này.
-

Vectơ

N

* õ gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phang ( A ) nếu giá của n

vuông góc với mặt phẳng.

-

Trong không gian Oxyz, cho mặt phang (or) đi qua điểm
M (jc0;_y0;z0) và có vectơ pháp tuyến Ũ( A ; B ; C ) . Khi đó mặt phang (tf)có

phương trình tổng quát là:
A ( x- x 0 ) + B ( y- y 0 ) + C ( z- z 0 ) = 0

Ax + By + Cz + D

= 0 VƠI D = — ( ^ Ả X q + B y 0 + Cz 0 ^, ABC ^ 0.

-

Mặt phang («) đi qua ba điểm A, B và c sẽ nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Đăc biẽt:

♦

Các mặt phang tọa độ : + (Oxy) có phương trình: z = 0
+ (0yz) có phương trình: X = 0 +

(0zx) có phương trình: y = 0
♦

♦
♦

Mặt phang (a) đi qua gốc tọa độ khi và chỉ khi D = 0.

Mặt phang (or) song song (hoặc chứa) trục Ox khi
và chỉ khi A = 0.
Mặt phẳng

(a)song song (hoặc chứa) trục Oy khi và

chỉ khi B = 0.

Mặt phẳng

(a)song song (hoặc chứa) trục 0z khi và

chỉ khi c = 0.

1
2


♦

Mặt phang

(ữr)song song (hoặc trùng) với mặt phang (Oxy) khi và chỉ

khi A = B =
♦

0.

Mặt phẳng (a)song song (hoặc trùng) với mặt phẳng (0yz) khi và chỉ
khi B = c = 0.

♦

Mặt phang (a)song song (hoặc trùng) với mặt phăng (0zx) khi và chỉ
khi c = A = 0.
♦

Mặt phang (ữr)cắt các trục Ox, Oy, 0z lần lượt tại các điểm A(a ; 0 ;
0), B(0 ; b ; 0), C( 0 ; 0 ; c) có phương trình:

Phương trình (1) gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
-

Vị trí tương đối giữa hai mặt phang
(oti): AjX + BịỴ + CịZ + Dị =0, N ( A , B , C )
A

Í

L

Ì

(a 2 ): A2x + B2y + C2Z + D2 = 0, n a ( A 2 , B 2 , C 2 )

•

((X]) cắt (a2) khi và chỉ khi/?ơ * N hay A] : B] : Ci Ỷ A2 : B2 : c2
-

Khoảng cách tù’ một điểm tới một mặt phang

Xét mặt phẳng (a) : Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2 + c2 > 0 Khoảng
cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mặt phang (a) là:

1
3


bài cực trị trong hình học

không
d(M,
(a)) gian.
=K+

+
yJA2+B2+C2

•

Nếu M(x0; y0; z0) thuộc (a) thì d(M, (a)) = 0.

•

Nếu H là hình chiếu của M trên (a) thì d(M, (a)) = MH.

•

Với mọi điểm K thuộc (a) và K không trùng với H thì MK > MH.

•

Neu hai mặt phang song song thì khoảng cách giữa chúng là :
d = 7J£Ũ£IL

yỊA2+B2 +c2

-

Góc giữa hai mặt phẳng (ai) và (a2) là :

\n.. M,

cos((a,),(a2))= 6-os(«a,«ơJ

•

r«ii-r«*i

Hai mặt phang vuông góc với nhau khi và chỉ khi
n

•

a, - n a 2 =

0

Hai mặt phang trùng nhau hoặc song song với nhau thì góc giữa hai
mặt phang đó bằng 0°.

-

Đường thẳng d đi qua điểm M 0 ( X 0 -, Y 0 - , Z 0 ) và có vectơ chỉ phương
u ị a \ b \ c ) có phương trình tham số là:
X = Jt0

+at

<

y = y 0 + b t ’ (íeK)
z = z0+ct

-

Trong trường hợp A B C * 0 bằng cách khử t từ phương trình tham số
ta được phương trình chính tắc:
1
4


*-*0 _ Y - Y Ữ _z~z0
a

-

b

c

Đường thắng d đi qua hai điểm phân B \ È T A ( X A \ Y Á ' , Z A ), B ( X B \ Y B \ Z )
TÌ

có các thành phần tọa độ tương ứng khác nhau thì có phương trình:
y - y A IZ1A
X

•

B~XA y B y A ZB~ZÂ

Một số vấn đề về đường thẳng và mặt phang

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phang
Xét mặt phẳng (a): Ax + By + Cy + D = 0, A 2 + B2 + c2 > 0, có vectơ pháp
tuyến

N

(A; B; C) và đường thẳng d qua M(x 0; y0; z0) có vectơ chỉ phương

U

(a; b; c).

+) Đường thang d cắt mặt phang (a) khi và chỉ khi
N U = 0 +) Đường thẳng d song song với mặt phang
(a) khi và chỉ khi

1
5


M ed

M <£ (a )

+) Đường thẳng d thuộc mặt phẳng (a) khi và chỉ khi
n.u = 0

M Gd
M e (a)

GÓC giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ot)
ịu.nị

si
n

•

Đường thắng d vuông góc với mặt phắng (a) khi và chỉ khi
-

-

,- a b c
u = kn — = — = —
ABC

Một số vấn đề giữa hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng có phương trình:
X = x2 + a 2 u

X = X. + a.t

\ '•'

Z = Z2+C2U

À| qua điểm
(aiỉ bi;
b2; c2).

C|).

y

=

y\

+

V J (íel) và

A2

: < y = y2 +

b2u ,

Ị«elỊ

z = z , +c.t

M|(X|; yi;

Zi)

và có vectơ chỉ phương

A2 qua điểm M2(x2; y2; z2) và có vectơ chỉ phương

u2

Mị

(a2;


•

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.


+) A1 và A2 chéo nhau khi và chỉ khi |^Ml,M2].Ằf1M2 * 0.
+) A] và A2 đồng phẳng khi và chỉ khi Ị U Ị ,

U2

J .M]M2 =

0

+) À| và A2 cắt nhau khi và chỉ khi

J^õ
\ M X ểA2

+) A, và A? song song khi và chỉ khi Ị r—

+) À| và A2 trùng nhau khi và chỉ khi

—1 -

M, G A2

• Góc giữa hai đường thẳng Ai và À2 là:

COS(A,,A2)= COSỊM,,M2Ì

Hai đường thăng vuông góc với nhau khi và chỉ khi M, . U 2 = 0 .
Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến một đường thẳng A|

d(M,A,) =

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song

\uA

song
,
11,]

|M2M
M
,

d(A|, À2) — d(M2, A|) =

1
8


Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

1
9


d(A], A2) —

•

Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường
thắng cắt và vuông góc với cả hai đường thắng đó.

Gọi H|, H2 lần lượt là giao điếm của đường vuông góc chung với hai
đường thắng đó. H|H2 là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điêm bất kì
thuộc hai đường thẳng.

1 2 — d(A], A )

H H
1.2.3.

2

Viết phưong trình mặt cầu

-Mặt cầu tâm Ỉ ( X 0 ; Y 0 ; Z 0 ) , bán kính R có phương trình:
(x -x 0 ) 2 + ( y -y 0 ) 2 + ( z - z o y = R 2

-

Phương trình JC2 + Y 2 + Z 2 + 2 A X + 2 B Y + 2 C Z + D = 0 là phương
trình mặt cầu khi và chỉ khi

A2

+B2 +C2 >

D.

Khi đó tâm mặt cầu

là điêm
I( -a ; -b ; -c) và bán kính mặt cầu là R = Vữ2 + B 2 + C 2 - D .
-

Khi mặt phăng (P): Ax + By + Cz + D = 0 cắt mặt cầu (S) với
phương trình (S): ( X - A ) 2 +( Y - B )2 + ( Z - C ) 2 = R 2 thì giao tuyến là
một đường tròn. Phương trình đường tròn có dạng:
(C )• í ( x ~ a ) 2 + ( y ~ b ) 2 + { z ~ c ) 2 = r :
Ị Ax + B y + C z + D = 0

+) Tâm J của đường tròn (C) là hình chiếu của tâm I của mặt cầu (S) trên mặt
phang (P).

+) Bán kính của đường tròn (C) là R = V/?2 -IJ2 = \ Ị R 2 - D 2 { Ỉ , ( P) )


1.2.4.

Cực trị trong không gian
Bài toán cực trị trong hình học không gian thường được phát biểu dưới

dạng yêu cầu xác định tọa độ của điểm, phương trình của một đường hay một
mặt để một biểu thức hình học nào đó đạt giái trị lớn nhất hay nhỏ nhất. Khi
gặp bài toán này, ta thường sử dụng hai phương pháp sau:
♦

Cách 1: Sử dụng các tính chất hình học đê giảm bớt tính toán.
♦

Cách 2: Sử dụng thuần túy tọa độ, áp dụng các phương pháp đại số
để giải.

1.2.5.

Bài toán xác định tọa độ điếm, vecto’ trong không gian
Muốn xác định tọa độ một điêm, vectơ ta cần xác định các thành phần

tọa độ gồm hoành độ, tung độ, cao độ.
-

Trên quan điêm Hình học thì điếm đó phải là giao điếm của các
đường, mặt trong không gian, chẳng hạn:

•

Giao điểm của đường thẳng và đường thang, của đường thang và mặt
phang, của đường thẳng và mặt cầu ...

•

Giao điểm của ba mặt phang, giao điểm của hai mặt phang và một
đường thẳng, giao điểm của hai mặt phẳng và một mặt cầu ...

-

Trên qua điểm Đại số thì chúng ta cần tìm ba phương trình để chúng
ta thiết lập hệ ba phương trình ba ẩn.

1.3.Các phương pháp tìm giá trị 1ÓT1 nhất, nhỏ nhất của biếu thức
1.3.1.

Định nghĩa

Cho biếu thức f(x) xác định trên D.


-

Ta nói M (không đổi) là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều
kiện sau đồng thời được thỏa mãn:

•

f(x) < M, V X e D.

•

3 x0 e D: f(x0) = M.
-

Ta nói m (không đối) là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu hai điều
kiện sau đồng thời được thỏa mãn:

•

f(x) > m, V X G D.

•

3 x0 e D: f(x0) = m.

1.3.2.

Phương pháp đạo hàm
-

Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

Neu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì F
( X O ) = 0.

-

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

Neu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ
điểm Xo) thì:
•

Neu qua Xo đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực
tiểu tại x0.

•

Neu qua Xo đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại
tại Xo.

-

Trong trường hợp phương trình y’ = 0 có nghiệm nhưng ta
không xét được dấu của y’, khi đó ta sử dụng định lí sau:


“Neu hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm X() và
f (x0) =0 và f ’(x0) Ỷ 0 thì Xo là điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa:
•

Neu f ’(Xo)

< 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0.

•

Neu f”(xo)

> 0 thì hàm số đạt cực tiêu tại Xo.”

-

Các bước tìm cực trị:

Bước 1 : Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính y’, giải phương trình y’ = 0.
Bước 3: Tìm các giới hạn (nếu cần).
Bước 4: Lập bảng biến thiên và suy ra cực trị của hàm số.
Đăc biẽt:

Neu hàm số liên tục trên D = [a, b] và phương trình y’ = 0 có các
nghiệm C|, c2, cn thì:
Max f(x) = max (f(a), f(b), f(C|),
Min f(x) = min {f(a), f(b), f(c,),
Phưong pháp miền giá trị của hàm số

1.3.3.
-

f(cn)}
f(cn)}

Với bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên
D. Ta gọi

Ỵ0

là một giá trị bất kì của hàm số y = f(x) trên miền đã

cho. Khi đó phương trình y = f(x) có nghiệm trong D.
1.3.4.

Từ điều kiện có nghiệm suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x).
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức


-

Bất đẳng thức Cauchy
Cho các số không âm A

N

A 2 ,. . . , A N ,

ta có:

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi A { = A 2 = . . . =
-

AN.

Bất đẳng thức Bunyakovsky
Cho các số a l ,a 2 ,. . . ,a n ,b Ị ,b 2 ,. . . ,b t t thuộc M ta có:

•

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a >0

',| + |ứ2| + ... + |a(i|

/
a.

<0

với i = 1,2, n.