Khoá luận tốt nghiệp ứng dụng một số vấn đề phép biến đổi đồ thị hàm số để giải phương trình và bất phương trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

HOÀNG XUÂN QUÝ

ỨNG DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ
THỊ HÀM SỐ ĐẺ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
•

•

•

•

___

r

Chuyên ngành: Đại sô

Người hướng dẫn khoa học
T h.s NGUYỄN THỊ BÌNH


Hà Nôi - 2014
Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm HàNội 2. Có được bản
khóa luận tốt nghiệp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Ban
giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt là ThS.
Nguyễn Thị Bình đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và giúp đỡ em những chỉ dẫn hết sức quý

giá đế em nghiên cứu và hoàn thành đề tài này.
Với mong muốn viết được một khóa luận đầy đủ phong phú và hữu ích cho người
đọc em đã rất cố gắng nhưng lượng thời gian ít, kinh nghiệm bản thân còn ít và dung
lượng hạn chế nên không thế tránh khỏi sai sót và chưa hoàn thiện. Rất mong được sự góp
ý của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài được hoàn chỉnh và phát triển hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!

H à N ộ i , n g à y 2 0 t h á n g 4 n ă m 2 0 1 5 Sinh viên

Hoàng Xuân Quý
Khóa luận tốt nghiệp "ứng dụng một số phép biến đổi đồ thị hàm số để giải
phưong trình và bất phương trình " được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo
Nguyễn Thị Bình. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc.


H à N ộ i , n g à y 2 0 t h á n g 4 n ă m 2 0 1 5 Sinh viên

Hoàng Xuân Quý
MỤC LỤC


MỎ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học nói chung, nó chiếm vị trí rất
quan trọng trong việc dạy học ở các trường học. Qua toán học, người học nâng cao khả
năng tư duy, suy luận và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác. Và toán

học cũng giúp người học phát triển và hoàn thiện nhân cách của mình. Chính vì lẽ đó việc
lĩnh hội và tiếp thu môn toán là cả một vấn đề mà không người dạy toán nào không quan
tâm.
Trong chương trình toán học phố thông, đại số là một bộ phận
lớn mà trong đó hàm số, đặc biệt là các phép biến đổi đồ thị
hàm số đóng vai trò khá quan trọng. Vì vậy việc hiểu và nắm
vững được nó là việc làm vô cùng cần thiết, là tiền đề cho
người học khi tiếp tục học lên những bậc cao hơn. Hơn thế nữa,
ứng dụng của các phép biến đối đồ thị hàm số là vấn đề được
sách giáo khoa nước ngoài đặc biệt quan tâm, ngoài phép tịnh
tiến, đối xứng trục còn bổ sung phép co dãn đồ thị theo chiều
ngang hay chiều dọc với nhiều ứng dụng của nó. Trong khi đó,
sách giáo khoa toán Việt Nam biến đổi đồ thị hàm số chỉ giới
hạn ở phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ và cũng
được cung cấp hết sức đơn giản trong sách giáo khoa đại số 10
nâng cao, chưa nghiên cứu kĩ ứng dụng các phép biến đối này vào
giải phương trình và bất phương trình. Trong xu thế hội nhập
quốc tế hiện nay, nền toán học cũng cần hội nhập.

Hiện nay trên thị trường sách đã xuất bản và Internet ngày càng có nhiều tác giả với
những tài liệu khác nhau viết về chủ đề này. Tuy nhiên, trong các tài liệu này thì các dạng
bài tập chưa thực sự được phân loại rõ ràng, hệ thống hóa chưa được đầy đủ, đa dạng. Vì
vậy việc nghiên cứu chúng gặp nhiều khó khăn, gây ảnh hưởng đến việc nắm bắt kiến
thức và giải bài tập.
Với những lí do trên cùng niềm say mê nghiên cứu và sự chỉ bảo tận tình của ThS.
Nguyễn Thị Bình em đã tập trung thực hiện đề tài "ứng dụng một số phép biến đổi đồ
thị hàm số để giải phương trình và bất phương trinh " nhằm làm rõ hơn vấn đề này và
4

phân loại các dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có một hệ thống bài tập được phân loại rõ
ràng, đáp ứng được nhu cầu khác nhau của việc tự học cũng như học tập trên lóp,tiến tới
hội nhập chương trình toán quốc tế.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu và phân loại ứng dụng một số phép biến đổi đồ thị của
ánh xạ vào giải phương trình và bất phương trình. Làm rõ sự biến đối đồ thị hàm số và
một số bài tập liên quan.
3. Đối tưọng nghiên cứu
Một số phép biến đổi đồ thị hàm số, ứng dụng trong giải phương
trình và bất phương trình và các bài tập liên quan.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu sau đó phân tích, so sánh, tống hợp, khái quát hóa.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt
nghiệp bao gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở Chương 2: Một số phép biến đổi đồ thị
Chương 3: Một số ví dụ và bài tập.
NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SÓ KIÉN THỨC co SỞ
1.1.

Khái niệm hàm số
Cho D œ R , D 0 . Một quy tắc f cho tương ứng mỗi X e D với một và

chỉ một y E R gọi là một hàm số.
Kí hiệu: f: D —» R
x^y
Tập D được goi là tập xác định của hàm số. Phần tử X gọi là đối số (biến số). Phần tử
y < = R tương ứng với X gọi là giá trị của hàm số tại X, kí hiệu

5

y = f(x).
Tập hợp T f = { f ( x ) I Vx e D ) gọi là tập giá trị của hàm số.
1.2.
Khái niệm đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên D
Ta gọi tập họp các điểm (*>/(*)) với Vx G D là đồ thị của hàm số
y = m.
Việc biểu diễn các điểm (x,/(x)) thuộc đồ thị hàm số y = f (x) lên mặt phang tọa độ
Oxy gọi là vẽ đồ thị của hàm số.
1.3.

Một số đồ thị hàm số cơ bản

1.3.1.

Đồ thị hàm số lũy thừa

6


a) Hàm lũy thừa bậc chẵn y = xn với n e {2,4,6,....}

Hình 1.3.1.1
b) Hàm số lũy thừa bậc lẻ y = xn với n e {3,5,7,....}

Hình
1.3.1.2

7


a) Hàm lũy thừa bậc chẵn y = xn với n e {2,4,6,....}

Hình 1.3.1.3
d) Hàm số nghịch đảo lũy thừa bậc lẻ y = Xn với n E {...., — 5, —3, —1}

Hình 1.3.1.5

f) Hàm số căn bậc lẻ y = Xn với n e

Ị - .
Hình
1.3.1.2

8


a) Hàm lũy thừa bậc chẵn y = xn với n e {2,4,6,....}

Hình 1.3.2.1

Hình
1.3.1.2

9


a) Hàm lũy thừa bậc chẵn y = xn với n e {2,4,6,....}

1.3.3.
Đồ thị hàm số mũ và hàm logarit
a) hàm y = ax

Hình 1.3.3.1
b) Hàm y = loga X

Hình
1.3.1.2

1
0


a) Hàm lũy thừa bậc chẵn y = xn với n e {2,4,6,....}

Hình
1.3.1.2

1
1


1.3.4. Đường bậc
hai

X y

b) Đường elip—- +

a b

=1

Hình
1.3.4.2
1
2


c) Đường hypebol
2 2

cl)4-£ = l

a b Tâm đối xứng: 0(0,0),
Các đỉnh có tọa độ (-a,0) và (a,0)

c2)

—
b a

= lTâm đối xứng: 0(0,0), Các đỉnh có toa đô (0,-b) và (0,b)

Các đường tiệm cận y = — x và ỵ

= -—X

Hình 1.3.4.4

Chú ý:

Oy và điểm 0(0,0)
(2) Đường tròn, đường elip, parabol và hypebol được biết đến một cách tống
quát là các đường Conic. Chúng có thể thu được bằng cách lấy thiết diện của
một hình nón theo những góc khác nhau.

Ví dụ 1.3.4.1 Dựng đồ thị các hàm số sau:
a) 9x2 + 9y2 = 5
b) 2x2 + 3y2 = 6
2

Ạ
Y
75/3

2

c) 2x - 3y = 6 Lời giải:
a) 9x2 + 9y2 = 5

•N/5/3
X

V5/3

Hình 1.3.4.5

b) 2 x 2 + 3 ỵ 2 = 6

3 2

c) 2 x 2 - 3 y 2 = 6
2 2

— -¿ = 1
3 2


Hình 1.3.4.7


CHƯƠNG 2. MỘT SỎ PHÉP BIÉN ĐỎI ĐÒ THỊ
2.1.Sự biến đổi đồ thị
Cho đồ thị của hàm số y = f(x):
Neu biến X được thay thế bởi một hàm số của X (ví dụ X được thay bởi
2x), hoặc nếu biến y được thay thế bởi một hàm số của y (ví dụ y được thay thế
bởi 3y+4), thì về mặt đồ thị, các đồ thị này sẽ tương ứng với sự biến đối của đồ
thị hàm số y=f(x)
2.2.

Phép tịnh tiến

Cho đồ thị hàm số y
= f(x):

Đồ thị của các hàm số sauđược tịnh tiến từ đồ thị hàm y=f(x)
Hàm sô
Phép biên đôi
Các điêm
Y = f(x+a)
Tịnh tiên theo phương ngang a đơn (x,y)-> (x-a,ỵ) Không có
điếm bất động
vị
(tịnh tiến theo trục Ox)
(i) sang trái nếu a > 0
(ii) sang phải nếu a < 0
Y+a = f(x)
Tịnh tiên theo phương thăng đứng a (x,y)-> (x,y-a) Không có
đon vị (Tịnh tiến theo trục Oy)
điểm bất động
(i) xuống dưới nếu a > 0
(ii) lên trên nếu a < 0

Ví dụ 2.2.1.
(a) Vẽ đồ thị hàm số y = X2, từ đó vẽ đồ thị hàm y = (x +1)2
Hướng dẫn:
+ Vẽ đồ thị hàm số y = X + Vẽ đồ
thị hàm số y = (x+1)2

Đồ thị hàm số y = (x+1 Ý có dạng y = (x+a)2 với a > 0 nên đồ

thị hàm

>’ = (x + l)2 được suy ra từ đồ thị hàm y = X bằng cách tịnhtiến sang trái 1
2

đơn vị.


- 1- -

-

2- -

-

3- -

Hình 2.2.1
(b) Vẽ đồ thị hàm y=x2 và y-l=x2 Hướng dẫn:
+ Vẽ đồ thị hàm y = X2
+ Vẽ đồ thị hàm y - 1 = X2 từ đồ thị hàm y = X bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm y = X2
lên trên 1 đon vị.

Ví dụ 2.2.2: Dựng đồ thị hàm số cho bởi phương trình sau
(i)x2 + y2=5
Hướng dẫn:

(ii) (x-2)2 + (y +1)2 =

5


Hình 2.2.3

Chú ý: Phương trình tống quát của đường tròn tâm có toạ độ (p,q) và bán kính
r là
(x - p)2 + (y - q)2 = r2
Các trục đối xứng là X = p và y = q và tâm đối xứng là (p , q)
Ví dụ 2.2.3:
a) Cho đồ thị hàm số y = 3 x 2 +1 (Cl) vẽ đồ thị hàm số y = 3(x-2)2(C2)
b) Tìm m đê phương trình3x2 -12x+10+ra = 0(l) có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải:
a) Đặt f ( x ) = 3 x 2 +1 và g(x) = 3(x-2)2
Đồ thị hàm số y = 3(x - 2)2 được suy ra từ đồ thị hàm y = 3 x 2 +1 bằng việc biến
đối theo các bước:

•

Tịnh tiến (Cl) sang phải 2 đơn vị
y = f ( x ) ----->>’ = /(•*-2) = 3(x-2)2 + l(C'l)

•

Tịnh tiến (C’l) xuống dưới 1 đơn vị được hàm số: y + l =
f(x-2) = 3(x-2ý+ỉ


------> y = f ( x - 2)-1=3(jc-2)2 + 1-1
= 3(x-2ý = g(x)

a)
3 x 2 — 12jc + 10 + m = 0<=>3(;t2 — 4 x + 4 ) + m — 2 = 0<=>3(;t — 2)2 =2 —
m
SỐ nghiệm của phương trình (1) bằng số nghiệm của phương trình 3(x 2)2 = 2 — m

Số nghiệm phương trình 3 ( x - 2)2 = 2 - /72 bằng số giao điểm của đồ thị (C2) và
đường thẳng y = 2 - m
Từ đồ thị có: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi 2-m>0<^>m<2 Ket luận:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m < 2
2.3.
Phép co, dãn đồ thị.
Cho đồ thị hàm số y = f(x), đồ thị các hàm số sau được co, dãn từ đồ thị hàm
y = f(x)
Hàm sô

Sư biên đôi

Các điêm


y = f (ax)

Co dãn theo chiêu ngang với hệ sô co
dãn là 1/a (co, dãn theo trục Ox)
(i) đồ thị dãn nếu 0 < a < 1 (ii) đồ thị
co nếu a > 1

(x, y) ->(x/a, y) Điểm
bất động: mọi điểm
nằm trên truc Oy

ay = f(x)

Co dãn theo chiều dọc với hệ số co
dãn là 1/a (co, dãn theo trục Oy)

(i) đồ thị dãn nếu 0 < a < 1 (ii) đồ thị
co nếu a > 1

(x, y)->(x, y/a) Điểm
bất động: mọi điểm
nằm trên trục Ox

Ví dụ 2.3.1:
Vẽ đồ thị hàm số y = (2x)2 từ đồ thị hàm số y = X .
Lời giải:
Ta thấy đồ thị hàm số y = X2 là đồ thị hàm số đơn giản dễ vẽ.
Hàm số y = (2x)2 có dạng y = f(ax) với f(x) = X2 và a = 2 > 1. Do đó từ đồ thị hàm số
y = X ta thực hiện 1 phép co theo hướng trục Ox với hệ số co là
2

a2
Toạ độ các điêm thay đôi:
(x;y)

->

(x/a;y)

( 0 ;0 )

->

( 0 ;0 )

(1;1)

->

( 1/2;1)

(2:4)

->

(1;4)

Ta có đồ thị:


=> Nhận xét: từ hình 2.3.1 ta có thế thấy với mỗi giá trị của y thì giá trị của X giảm 2
lần từ đồ thị trước sang đồ thì sau biến đổi. Tức là giá trị X nhỏ đi hay đồ thị co lại
theo chiều ngang.
Ví dụ 2.3.2:
Vẽ đồ thị hàm số — = x 2 từ đồ thị hàm số Ỵ = x 2 .
4
Lời giải:
Hàm số — =

X2

có dạng a y = /(x) với f ( x ) = x 2 và a = — < 1. Do đó từ

đồ thị hàm số y = Jt2 ta thực hiện 1 phép dãn theo hướng trục Oy với hệ số dãn là a =
4
'y2

Như vậy đô thị hàm sô — = X sẽ được vẽ dê dàng nhờ việc dãn đô thị
hàm số y = JC2 với hệ số dãn là 4.
Lúc này mọi điếm thuộc đồ thì ban đầu sẽ thay đối:

(x;y)

-»

íX , —^
y. aj


(0;0)

->

(0;0)

(-1:0

—>

(-1:4)

Ta có đồ thị:

Hình 2,3.2
=> Nhận xét: từ hình 2.3.2 ta có thể thấy với mỗi giá trị của X thì giá trị của y tăng 4
lần từ đồ thị trước sang đồ thì sau biến đối. Tức là giá trị y lớn hơn hay

đồ thị dãn ra theo chiều dọc.
Ví dụ 2.3.3: Vẽ đồ thị hàm số y -2 V = — -1 từ đồ thị hàm số ỵ 2
2

Hướng dẫn:
+ Vẽ đồ thị hàm số x = y 2 : = f ( y ) (Cl)

= X