chuyên đề ôn thi vào 10 (152 bài tập chọn lọc)

ễn tp thi vo THPT

Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức
1
a +2
5
Bài 1: Cho biểu thức : P =

+
a +3 a+ a 6 2 a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1

x x +3
x +2
x +2
:

Bài 2: Cho biểu thức: P= 1
+
+
x 2 3 x x 5 x + 6
x
+
1



a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P<0
x 1

1
8 x 3 x 2
: 1

Bài 3: Cho biểu thức: P=

+


3 x 1 3 x + 1 9x 1 3 x + 1
a) Rút gọn P
6
b) Tìm các giá trị của x để P=
5


a 1
2 a
:

Bài 4: Cho biểu thức : P= 1 +

a 1 a a + a a 1
a
+
1



a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu a = 19 8 3
1 + a3

a (1 a ) 2 1 a 3
Bài 5: Cho biểu thức; P=
:
+ a .
a
1+ a

1+ a
1 a


a) Rút gọn P
1
b) Xét dấu của biểu thức M=a.(P- )
2
x +1

2x + x
x +1
2x + x

Bài 6: Cho biểu thức: P=
+
1 : 1 +

2x 1

2x + 1
2 x 1
2x + 1

a) Rút gọn P
1
b) Tính giá trị của P khi x = . 3 + 2 2
2

2 x
1
x
: 1 +

Bài 7: Cho biểu thức: P=



x
+
1
x
x
+
x

x

1
x

1



a) Rút gọn P
b) Tìm x để P 0

2a + 1
1 + a3
a

.
Bài 8: Cho biểu P=


a
1+ a
3

a
+
a
+
1
a



a) Rút gọn P

b) Xét dấu của biểu thức P. 1 a
x+2
x +1
x +1
.
Bài 9: Cho biểu thức: P= 1 :
+


x x 1 x + x +1 x 1
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3

(

)


ễn tp thi vo THPT

1 a a
1 + a a

Bài 10: Cho biểu thức : P=
+ a .
a
1 a
1+ a

a) Rút gọn P

b) Tìm a để P< 7 4 3
2 x
x
3x + 3 2 x 2
:

Bài 11: Cho biểu thức: P=
+

x 3 1
x

9
x
+
3
x

3



a) Rút gọn P
1
b) Tìm x để P<
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
x3 x
9 x
x 3

x 2

Bài 12: Cho biểu thức : P=
1 :


x + 3
x9
x+ x 6 2 x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1
15 x 11 3 x 2 2 x + 3
Bài 13: Cho biểu thức : P=
+

x + 2 x 3 1 x
x +3
a) Rút gọn P
1
b) Tìm các giá trị của x để P=
2
2
c) Chứng minh P
3
2 x
x
m2
Bài 14: Cho biểu thức: P=
với m>0
+

2
x +m
x m 4 x 4m
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P=0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
a2 + a
2a + a
Bài 15: Cho biểu thức : P=

+1
a a +1
a
a) Rút gọn P
b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P=2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
a +1
a +1

ab + a
ab + a
Bài 16: Cho biểu thức P=
+
1 :

+ 1
ab 1
ab 1

ab + 1
ab + 1

a) Rút gọn P
3 1
b) Tính giá trị của P nếu a= 2 3 và b=
1+ 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a + b = 4
a a 1 a a +1
1 a + 1
a 1

Bài 17: Cho biểu thức : P=

+ a
+

a a
a+ a
a a 1
a + 1
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6


ễn tp thi vo THPT

a
1

Bài 18: Cho biểu thức: P=

2
2 a

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thức: P= (

)

2

a 1
a +1



a +1
a 1


2

a b + 4 ab a b b a
.
a+ b
ab

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a= 2 3 và b= 3
x+2
x
1 x 1
:
Bài 20: Cho biểu thức : P=
+
+

2
x
x

1
x
+
x
+
1
1

x


a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P>0 x 1
2 x + x
1

x +2
: 1

Bài 21: Cho biểu thức : P=

x + x +1
x
x

1
x

1



a) Rút gọn P
b) Tính P khi x= 5 + 2 3
3x


1

2
1
2

:
Bài 22: Cho biểu thức P= 1 :
+

2+ x 4 x 42 x 42 x




a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P=20
2
x y
x 3 y 3
x y + xy

Bài 23: Cho biểu thức P=
+
:
x y

y

x
x+ y


a) Rút gọn P
b) Chứng minh P 0

1
3 ab
1

3 ab
a b
.
:
Bài 24: Cho biểu thức : P=
+




a + b a a + b b a b a a b b a + ab + b
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a=16 và b=4
2a + a 1 2a a a + a a a
.
Bài 25: Cho biểu thức: P= 1 +

2 a 1
1 a a
1 a

a) Rút gọn P
6
b) Cho P=
tìm giá trị của a
1+ 6
2
c) Chứng minh rằng P>
3
x5 x

25 x
x +3
x 5

Bài 26: Cho biểu thức: P=
1 :

+

x

25
x
+
2
x

15
x
+
5
x

3




(

)


ễn tp thi vo THPT

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P<1

( a 1). a b
3 a
3a
1
:
Bài 27: Cho biểu thức: P=

+
a b 2a + 2 ab + 2b
a + ab + b a a b b
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
1 a +1
a + 2
1

Bài 28: Cho biểu thức: P=


:
a a 2

a 1
a 1
a) Rút gọn P
1
b) Tìm giá trị của a để P>
6
1
x3 + y x + x y + y 3
1
2
1 1
Bài 29: Cho biểu thức: P=
+
.
+ + :

y x + y x y
x 3 y + xy 3
x
a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
x3
2x
1 x
Bài 30: Cho biểu thức P=

.
xy 2 y x + x 2 xy 2 y 1 x
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2

(

)

Phần 2: Các bài tập về hệ phơng trình bậc 2:

(

)

Bài 31: Cho phơng trình : m 2 x 2 1 2 = 2 x + m 2
a) Giải phơng trình khi m = 2 + 1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 3 2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 32: Cho phơng trình : ( m 4 ) x 2 2mx + m 2 = 0
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 2 .Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính x12 + x22 theo m
Bài 33: Cho phơng trình : x 2 2( m + 1) x + m 4 = 0
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M= x1 (1 x2 ) + x2 (1 x1 ) không phụ thuộc vào m.
Bài 34: Tìm m để phơng trình :
a) x 2 x + 2( m 1) = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt
b) 4 x 2 + 2 x + m 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt
c) m 2 + 1 x 2 2( m + 1) x + 2m 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu
Bài 35: Cho phơng trình : x 2 ( a 1) x a 2 + a 2 = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
1 1 1
Bài 36: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức: + =
b c 2

(

)


ễn tp thi vo THPT

CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm

x 2 + bx + c = 0

x 2 + cx + b = 0
Bài 37:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:
2 x 2 ( 3m + 2 ) x + 12 = 0(1)

4 x 2 ( 9m 2 ) x + 36 = 0(2)
Bài 38: Cho phơng trình : 2 x 2 2mx + m 2 2 = 0
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình
Bài 39: Cho phơng trình bậc hai tham số m : x 2 + 4 x + m + 1 = 0
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 10
Bài 40: Cho phơng trình x 2 2( m 1) x + 2m 5 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 41: Cho phơng trình x 2 2( m + 1) x + 2m + 10 = 0 (với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà
không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 42: Cho phơng trình ( m 1) x 2 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phơng
trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức:
x1 x2 5
+ + =0
x2 x1 2
Bài 43: Cho phơng trình : x 2 mx + m 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1; x2 với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có) của phơng trình và giá trị
của m tơng ứng
b) Đặt A = x12 + x22 6 x1 x2
Chứng minh A = m 2 8m + 8
Tìm m để A=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
Bài 44: Giả sử phơng trình a.x 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 .Đặt S n = x1n + x2n (n nguyên dơng)
a) CMR a.S n + 2 + bS n +1 + cSn = 0
5

5

1+ 5 1 5

b) áp dụng Tính giá trị của : A=
2 + 2



Bài 45: Cho f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1
CMR phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
a)
Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2
b)
Bài 46: Cho phơng trình : x 2 2( m + 1) x + m 2 4m + 5 = 0
a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm


ễn tp thi vo THPT

b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính x12 + x22 theo m
Bài 47: Cho phơng trình x 2 4 x 3 + 8 = 0 có hai nghiệm là x1; x2 . Không giải phơng trình , hãy tính giá trị của
6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x22
5 x1 x23 + 5 x13 x2
Bài 48: Cho phơng trình x x 2( m + 2 ) x + m + 1 = 0
1
a) Giải phơng trình khi m=
2
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để : x1 (1 2 x2 ) + x2 (1 2 x1 ) = m 2

Bài 49: Cho phơng trình x 2 + mx + n 3 = 0 (1)
(n , m là tham số)
Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
x1 x2 = 1
Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phơng trình (1) thoả mãn hệ : 2
2
x1 x2 = 7
biểu thức : M =

Bài 50: Cho phơng trình: x 2 2( k 2) x 2k 5 = 0 ( k là tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho

x12 + x22 = 18
Bài 51: Cho phơng trình
( 2m 1) x 2 4mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 52:Cho phơng trình : x 2 ( 2m 3) x + m 2 3m = 0
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6
Phần 3: Hệ phơng trình:
Bài53: Tìm giá trị của m để hệ phơng trình ;
( m + 1) x y = m + 1

x + ( m 1) y = 2
Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 54: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
x y = 2

x +1 = y
y +1 = x 1

a)
b) x y
c)
2 y 5 = x
y = 3x 12
4 + 4 = 1
2 x + by = 4
Bài 55: Cho hệ phơng trình :
bx ay = 5
a)Giải hệ phơng trình khi a = b
b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm : * (1;-2)
* ( 2 1; 2 )
*Để hệ có vô số nghiệm


ễn tp thi vo THPT

mx y = 2m
Bài 56:Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m:
4 x my = 6 + m
x + ay = 1
Bài 57: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình :
axã+ y = 2
a) Có một nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
x 2 + xy + y 2 = 19
Bài 58 :Giải hệ phơng trình sau:

x xy + y = 1

x 1 + y 2 = 1
Bài 59*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm:
2
( x y ) + m( x y 1) x + y = 0
Bài 60 :GiảI hệ phơng trình:
2 x 2 xy + 3 y 2 = 13
2
2
x 4 xy 2 y = 6
a 3 + 2b 2 4b + 3 = 0
Bài 61*: Cho a và b thoả mãn hệ phơng trình : 2
.Tính a 2 + b 2
2 2
a + a b 2b = 0
(a + 1) x y = 3
Bài 61:Cho hệ phơng trình :
a.x + y = a
a) Giải hệ phơng rình khi a=- 2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0

Phần 4: Hàm số và đồ thị
Bài 62: Cho hàm số : y= (m-2)x+n (d) .Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)
b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+ 2 .
c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0
d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1
Bài 63: Cho hàm số : y = 2x 2 (P)

a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d) y = mx 1 theo m
d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài 64 : Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = 2 x + m
1.Xác định m để hai đờng đó :
a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x=-1. Tìm hoành độ điểm còn lại .
Tìm toạ độ A và B
2.Trong trờng hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.
Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi.
Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2(m 1) x + (m 2) y = 2
a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y = x 2 tại hai điểm phân biệt A và B


ễn tp thi vo THPT

b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 66: Cho (P) y = x 2
a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đt vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P)
b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2
3
Bài 67: Cho đờng thẳng (d) y = x 3
4
a) Vẽ (d)
b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bài 68: Cho hàm số y = x 1 (d)

a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)
b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình x 1 = m
Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng : (d) y = (m 1) x + 2
(d') y = 3 x 1
a) Song song với nhau
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau
Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng :
(d1 ) y = 2 x 5
đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
(d 2 ) y = x + 2
(d 3 ) y = a.x 12
Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định
1
Bài 72: Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) và
2
tiếp xúc với (P).
Bài 73: Cho hàm số y = x 1 + x + 2
a) Vẽ đồ thị hàn số trên
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x 1 + x + 2 = m
Bài 74: Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
2
Bài 75: Cho (P) y = x và (d) y=x+m
4
a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định pt đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4
d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)

Bài 76: Cho hàm số y = x 2 (P) và hàm số y=x+m (d)
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai
điểm A và B bằng 3 2
Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d1 ) y=-2(x+1)
a) Điểm A có thuộc ( d1 ) ? Vì sao ?
b) Tìm a để hàm số y = a.x 2 (P) đi qua A


ễn tp thi vo THPT

c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d 2 ) đi qua A và vuông góc với ( d1 )
d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( d 2 ) ; C là giao điểm của ( d1 ) với trục tung . Tìm toạ độ của B và C .
Tính diện tích tam giác ABC
1
Bài 78: Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lợt là -2 và 4
4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x [ 2;4] sao cho VMAB có diện tích lớn nhất.
(Gợi ý: cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x [ 2;4] có nghĩa là A(-2; y A ) và B(4; y B ) tính y A; ; y B )
2

Bài 79: Cho (P) y = x và điểm M (1;-2)
4
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi x A ; xB lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để x A2 xB + x A xB2 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó
d) Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B.

*Tính S theo m
*Xác định m để S= 4(8 + m 2 m 2 + m + 2 )
Bài 80: Cho hàm số y = x 2 (P)
a) Vẽ (P)
b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
1
Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = mx 2m 1
4
a) Vẽ (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
1
Bài 82: Cho (P) y = x 2 và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m.
4
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B m R
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
2
3
Bài 83: Cho (P) y = x và đờng thẳng (d) đi qua điểm I( ;1 ) có hệ số góc là m
2
4
a) Vẽ (P) và viết phơng trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
2
x
Bài 84: Cho (P) y = x và đờng thẳng (d) y = + 2
2
4

a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài 85: Cho (P) y = x 2
a) Vẽ (P)
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 86: Cho (P) y = 2x 2
a) Vẽ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của m và n để đ ờng
thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB


ễn tp thi vo THPT

Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình

(d1 ) x + y = m
cắt nhau tại một điểm trên (P)
(d 2 )mx + y = 1

y = 2x 2
Phần 5: Giải toán bằng cách lập phơng trình
1. chuyển động
Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A .
Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận
tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi
Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ . Tính vận
tốc của ca nô khi nớc yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nớc là 4 km/h.
Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở về A .Thời gian xuôi

ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút . Tính kc giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h
Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng và một đoạn đờng dốc . Vận
tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn
hơn đoạn đờng bằng là 110km và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã đi.
Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30 Km/h , xe con đi với
3
vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi đợc
quãng đờng AB , xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên quãng đờng còn lại .
4
Tính quãng đờng AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.
Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ng ời đó đi
bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h . Tính vận tốc lúc đi ,
biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 94:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngợc chiều nhau . Sau 1h40 thì gặp
nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc 9Km/h và
vận tốc dòng nớc là 3 Km/h.
Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h . Sau
đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách
A bao nhiêu Km ?
Bài 96: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một thời gian, một ngời đi xe máy cũng
xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B . Nhng sau
khi đi đợc nửa quãng đờng AB , ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10
Km . Tính quãng đờng AB
Bài 97: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h . Khi đến B ngời đó nghỉ 20 phút rồi
quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h . Tính qđ AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.
Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó ng ợc từ B về A . Thời gian
đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3
Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi .
Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận
tốc đó , khi còn 60 Km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đờng còn lại . Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đờng AB.

Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca
nô II chạy với vận tốc 24 Km/h . Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài
quãng đờng sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc .
Bài 101: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một ngời đi xe máy cũng đi
từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính v của mỗi xe , biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 Km và ngợc dòng 63 Km. Một lần khác , ca nô
đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngợc dòng 84 Km . Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riêng
( thực ) của ca nô.
Bài103: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về mất 8 giờ 20 phút . Tính vận tốc của
tầu khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 Km/h.
Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A
đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 Km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy
nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120 Km trong một thời gian
đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h
trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng .


ễn tp thi vo THPT

Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định . Sau khi đi đ ợc 1 giờ
ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h . Tính vận
tốc lúc đầu của ôtô.
Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30 Km , ngời đó nhận
thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới
đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu.
2. Năng xuất
Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình để
làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một
mình xong công việc ấy trong bao lâu?

Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nhng do cải tiến kỹ thuật nên
mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt
mức 104 000 đôi giầy . Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá , nhng đã vợt mức đợc 6 tấn
mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế
hoạch đã định
Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó đợc bổ xung thêm 3 xe nữa
nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả
các xe có khối lợng bằng nhau.
2
Bài 112: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành đợc
3
mức khoán . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu ?
Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định . Họ làm chung với
nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi
tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 114: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời
thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% côngviệc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
3. Thể tích
Bài 115: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút . Nếu chảy
riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao
lâu sẽ đầy bể ?
Bài 116: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút . Nếu chảy
riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ
chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm
1
đợc 10 m3 . Sau khi bơm đợc
thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm đợc
3

15 m3 . Do vậy so với quy định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính thể tích bể chứa.
Bài 118: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể . Nếu
1
mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ đ ợc
bể . Hỏi mỗi
5
vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 119: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể . Nếu chảy
riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong
bao lâu ?

Phần 6 : Hình học
Bài120: Cho hai đờng tròn tâm O và O có R > R tiếp xúc ngoài tại C . Kẻ các đờng kính COA và COB. Qua
trung điểm M của AB , dựng DE AB.
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O tại F . CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng
c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O tại G . CMR EC đi qua G
d) *Xét vị trí của MF đối với đờng tròn tâm O , vị trí của AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE


ễn tp thi vo THPT

Bài 121: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R . Dựng Cx , Dy vuông góc với CD . Từ điểm E bất kì trên
nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx tại P , cắt Dy tại Q.
a) Chứng minh POQ vuông ; POQ đồng dạng với CED
b) Tính tích CP.DQ theo R
R
POQ 25
c) Khi PC= . CMR
=

2
CED 16
d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông CPQD khi chúng cùng quay
theo một chiều và trọn một vòng quanh CD
Bài 122: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất
kì trên OA , nối CE cắt đờng tròn tại F . Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vuông góc với
OA . Gọi I là giao điểm của Fx và Ey .
a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Tứ giác CEIO là hình gì ?
c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ?
Bài 123: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn . Qua A dựng tiếp tuyến Ax . Trên Ax lấy một
điểm Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB .
a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc
b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax.
c) Hạ BK Ax , BK cắt QO tại H . CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ tích của điểm H
Bài 124: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O . Các đờng cao AD , BK cắt nhau tại H , BK kéo
dài cắt đờng trong tại F . Vẽ đờng kính BOE .
a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?
b) Gọi I là trung điểm của AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng
BH
c) CMR OI =
và H ; F đối xứng nhau qua AC
2
Bài 125: Cho (O,R) và (O ,R ) (với R>R )tiếp xúc trong tại A . Đờng nối tâm cắt đờng tròn O và đờng tròn
O tại B và C . Qua trung điểm P của BC dựng dây MN BC . Nối A với M cắt đờng tròn O tại E .
a) So sánh AMO với NMC
( - đọc là góc)
b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng và OP = R ; OP = R
c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O
Bài 126: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính OB . Đờng tròn này cắt

đờng tròn O tại C và D
a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR OC AD ; OD AC
c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B
Bài 127: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng tròn đó tại hai điểm cố định A và B . Từ một
điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q
là các tiếp điểm ) .
a) Tính các góc của MPQ biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 45 0 .
b) Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đờng tròn .
c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp MPQ khi M chạy trên d
Bài 128: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đờng
tròn tại M .
a) CMR OM BC
b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB
( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác của tam giác )
Bài 129: Cho ABC ( AB = AC , A < 900 ), một cung tròn BC nằm trong ABC và tiếp xúc với AB , AC
tại B và C . Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đờng vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC ,
CA , AB . Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q là giao điểm của MC , IH.
a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc
b) CMR tia đối của tia MI là phân giác HMK
c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ // BC


ễn tp thi vo THPT

Bài 130: Cho ABC ( AC > AB ; BA C > 900 ) . I , K theo thứ tự là các trung điểm của AB , AC . Các đ ờng
tròn đờng kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.
a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc

c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp AEF . Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng
DH , DE .
Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA = R 2 , một đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M , N ;
gọi I là trung điểm của đoạn MN .
a) CMR OI MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)
b) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông
c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của (O)
Bài132: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB . Trên cung AC lấy điểm F bất
kì . Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.
a) AFC và BEC có quan hệ với nhau nh thế nào ? Tại sao ?
b) CMR FEC vuông cân
c) Gọi D là giao điểm của đờng thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đờng tròn . CMR tứ giác BECD nội
tiếp đợc
Bài133: Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vuông góc với nhau . E là một điểm bất kì trên cung
nhỏ BD ( E B; E D ) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.
a) CMR AMC đồng dạng ANC .
b) CMR : AM.CN = 2R2
CN
c) Giả sử AM=3MB . Tính tỉ số ND
Bài 134: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB . Gọi H , I lần lợt là hai điểm chính giữa các
cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao điểm của AM , HI.
a) Tính độ lớn góc HKM
b) Vẽ IP AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)
c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đờng tròn (O) đờng kính AB
Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC của ABC đều . Vẽ góc xOy =600 sao cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC
lần lợt tại M, N .
a) CMR OBM đồng dạng NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN .
b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC .
c) CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định , khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các

tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC
Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB=2R ( M A, B ). Vẽ các tiếp tuyến
Ax , By , Mz của nửa đờng tròn đó . Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt tại N và P . Đờng thẳng AM cắt By tại C và đờng thẳng BM cắt Ax tại D . Chứng minh :
a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP
b) N và P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC
c) AD.BC = 4R2
d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ nhất
Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB (cung AB không
chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lợt tại M và N .
a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đờng tròn
b) IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB
Bài 138: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B ( B C ) và vẽ đờng tròn tâm (O)
đờng kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đ ờng tròn
(O) tại I .
a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng
c) CMR: MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O) và MI2 = MB.MC


ễn tp thi vo THPT

(Lớp10- bộ đề toán)
Bài 139: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đờng tròn . Ngời ta
vẽ một đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với đờng kính AB tại N . Đờng tròn này cắt
MA , MB lần lợt tại các điểm thứ hai C , D
a) Chứng minh : CD // AB .
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định.
c) CMR : KM.KN không đổi
Bài 140: Cho một đờng tròn đờng kính AB , các điểm C , D ở trên đờng tròn sao cho C , D không nằm trên
cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC , AD lần lợt là M , N ;

giao điểm của MN với AC , AD lần lợt là H , I ; giao điểm của MD với CN là K
a) CMR: NKD; MAK cân
b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc . Suy ra KH // AD
c) So sánh góc CAK với góc DAK
Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng (d) vuông góc với AC tại A .
Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia CM cắt đờng thẳng d tại D ; tia AM cắt đờng tròn
tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P.
a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc
b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M
c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng tròn cố định khi M di động.
Bài 142: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi H là điểm chính giữa
của cung AM . Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của đ ờng tròn (O) tại điểm K . Các tia AH ;
BM cắt nhau tại S .
a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đờng tròn cố định .
b) Xác định vị trí tong đối của đờng thẳng KS với đờng tròn (B;BA)
c) Đờng tròn đi qua B , I , S cắt đờng tròn (B;BA) tại một điểm N . CMR đờng thẳng MN luôn đi qua một
điểm cố định khi M di động trên cung AB.
d) Xác định vị trí của M sao cho MK A = 900 .
Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa C
và D . Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F . Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và
PD kéo dài cắt nhau tại K . CMR:
a) Góc CID bằng góc CKD
b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
c) IK // AB
d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A
Bài 144: Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến chung Ax. Một đờng
thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lợt tại các điểm B , C và cắt Ax tại điểm M . Kẻ các đờng kính BO1D và CO2E.
a) CMR: M là trung điểm của BC
b) CMR: O1MO2 vuông

c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng
d) Gọi I là trung điểm của DE CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đờng thẳng d
Bài 145: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R 2 cố định và một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho
tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác MAB ; P , Q lần lợt là các giao điểm thứ hai của
các đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S là giao điểm của các đờng thẳng PB , QA.
a) CMR : PQ là đờng kính của đờng tròn (O)
b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?
c) Chứng minh độ dài SH không đổi
d) Gọi I là giao điểm của các đờng thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một đờng tròn cố định.
Bài 146: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R . Kẻ tiếp
tuyến PM (M là tiếp điểm ) .
a) CMR : BM // OP
b) Đờngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình gì ? Tại sao ?
c) Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao điểm của PN với OM .
CMR : K , I , J thẳng hàng
d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đờng tròn (O)
Bài 147: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vuông góc nhau . Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M
( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai N . Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt
tiếp tuyến tại N với đờng tròn (O) ở điểm P .


ễn tp thi vo THPT

a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc
b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ?
c) CMR : CM.CN không đổi
d) CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định
Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đờng thẳng AO , AO cắt đờng tròn
(O) lần lợt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai E , F .
a) CMR: B , F , C thẳng hàng

b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc
c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng tròn (O) , (O)
Bài 149: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn ( M khác A,B) . Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của đoạn AB tại I . Đờng tròn (I) tiếp xúc với
AB cắt đờng thẳng d tại C và D ( D nằm trong góc BOM ).
a)
CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM.
b)
CMR : CA và DB vuông góc với AB
c)
CMR : AMB đồng dạng COD
d)
CMR : AC.BD = R2
Bài 150: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm M bất kỳ trên đờng tròn . Gọi các điểm chính giữa
của các cung AM , MB lần lợt là H , I . Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K .
a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi
b) Hạ . Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R)
c) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S thuộc đờng tròn (O;R)
d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định.
Bài 151: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn sao cho cung AC < 90 0
và CO D = 900 . Gọi M là một điểm trên nửa đờng tròn sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây
AM , BM cắt OC , OD lần lợt tại E và F .
a) Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR : D là điểm chính giữa của cung MB.
c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần lợt tại I , K . CMR các tứ
giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M , O , B , K , S cùng thuộc
một đờng tròn
Bài 152: Cho ABC (AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB , AC tại
B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC . Trên cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đ ờng

vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm
của CM , IH là Q.
a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc .
b) CMR : MI2 = MH . MK
c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ MI
d) CMR nếu KI = KB thì IH = IC