CHUYEN DE ON THI VAO LOP 10

CHUYấN I: CN THC BC HAI
Bi 1 :
1) n gin biu thc : P =
14 6 5 14 6 5+ +
.
2) Cho biu thc : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x

+ +

ữ
ữ

+ +


a) Rỳt gn biu thc Q.
b) Tỡm x
Q
> - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

1. Biểu thức rút gọn : Q =
1
2

x
.
b)
Q
> - Q

x > 1.
c) x =
{ }
3;2
thỡ Q

Z
Bi 2 : Cho biu thc P =
1 x
x 1 x x
+
+
a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
2
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

1. Biểu thức rút gọn : P =
x
x

+
1
1
.
b) Vi x =
1
2
thỡ P = - 3 2
2
.
Bi 3 : Cho biu thc : A =
1
1
1
1
+



+
x
x
x
xx
a) Rỳt gn biu thc sau A.
b) Tớnh giỏ tr ca biu thc A khi x =
4
1
c) Tỡm x A < 0.

d) Tỡm x
A
= A.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x

0, x

1. Biểu thức rút gọn : A =
1

x
x
.
b) Vi x =
4
1
thỡ A = - 1.
c) Vi 0

x < 1 thỡ A < 0.
d) Vi x > 1 thỡ
A
= A.

Bài 4 : Cho biu thức : A =
1 1 3
1
a 3 a 3 a

+
ữ ữ
+


a) Rt gọn biu thức sau A.
b) Xác định a đ biu thức A >
2
1
.
Hng dn :
a) KX : a > 0 v a

9. Biu thc rỳt gn : A =
3
2
+
a
.
b) Vi 0 < a < 1 thỡ biu thc A >
2
1
.
Bi 5 : Cho biu thc: A =
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x

+ +
+
ữ
+

.
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x

Z ? để A

Z ?
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0 ; x

1.
b) Biu thc rỳt gn : A =
x
x 2003
+
vi x 0 ; x

1.
c) x = - 2003 ; 2003 thỡ A

Z .
Bi 6 : Cho biu thc: A =
( )
2 x 2 x 1

x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
+

+

ữ
ữ

+

.
a) Rỳt gn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biu thc rỳt gn : A =
1
1

+
x
x
.
b) Vi 0 < x < 1 thỡ A < 0.
c) x =
{ }
9;4

thỡ A

Z.
Bi 7 : Cho biu thc: A =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x

+
+ +
ữ
ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biu thc rỳt gn : A =
1
2
++
xx
b) Ta xột hai trng hp :
+) A > 0


1
2
++

xx
> 0 luụn ỳng vi x > 0 ; x 1 (1)
+) A < 2


1
2
++
xx
< 2

2(
1
++
xx
) > 2


xx
+
> 0 ỳng vỡ theo gt thỡ x > 0. (2)
T (1) v (2) suy ra 0 < A < 2(pcm).
Bi 8 : Cho biu thc: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
+
+

+

(a

0; a

4)
a) Rỳt gn P.
b) Tớnh giỏ tr ca P vi a = 9.
Hng dn :
a) KX : a

0, a

4. Biu thc rỳt gn : P =
2
4

a
b) Ta thy a = 9

KX . Suy ra P = 4
Bài 9 : Cho biu thức: N =
a a a a
1 1
a 1 a 1

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+

1) Rt gọn biu thức N.
2) Tìm giá trị ca a đ N = -2004.
H ng dn :
a) KX : a

0, a

1. Biu thc rỳt gn : N = 1 a .
b) Ta thy a = - 2004

KX . Suy ra N = 2005.
Bi 10 : Cho biu thc
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+

+


+
+
=
a. Rỳt gn P.

b. Tớnh giỏ tr ca P khi
347x
=

c. Vi giỏ tr no ca x thỡ P t giỏ tr nh nht v tớnh giỏ tr nh nht ú.
Hng dn :
a ) KX : x

0, x

1. Biu thc rỳt gn :
3x
16x
P
+
+
=

b) Ta thy
347x
=


KX . Suy ra
22
33103
P
+
=

c) P
min
=4 khi x=4.
Bi 11 : Cho biu thc




















+

+
+
+
=

1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a. Rỳt gn P. b. Tỡm x
2
1
P
<
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hng dn :
a. ) KX : x

0, x

9. Biu thc rỳt gn :
3x

3
P
+

=

b. Vi
9x0
<
thỡ
2
1
P
<

c. P
min
= -1 khi x = 0
Bi 12: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a

+

+ +
ữ

ữ
ữ
+


vi x>0 ,x

1
a. Rỳt gn A
b. Tớnh A vi a =
( ) ( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15+
( KQ : A= 4a )
Bi 13: Cho A=
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x
x
x x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

vi x

0 , x

9, x

4 .
a. Rút gọn A.
b. x= ? Thì A < 1.
c. Tìm
x Z
∈
để
A Z∈
(KQ : A=
3
2x −
)
Bài 14: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
− − +
+ −
+ − − +
với x
≥
0 , x

≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A.
c. Tìm x để A =
1
2
d. CMR : A
2
3
≤
. (KQ: A =
2 5
3
x
x
−
+
)
Bài 15: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +
− + + −
với x
≥
0 , x

≠
1.
a . Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A . ( KQ : A =
1
x
x x+ +
)
Bài 16: Cho A =
1 3 2
1 1 1x x x x x
− +
+ + − +
với x
≥
0 , x
≠
1.
a . Rút gọn A.
b. CMR :
0 1A≤ ≤
( KQ : A =
1
x
x x− +
)
Bài 17: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25

2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x
   
− − + −
− − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − + −
   
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z
∈
để
A Z∈
( KQ : A =
5
3x +
)
Bài 18: Cho A =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
− + +
− −
− + − −

với a
≥
0 , a
≠
9 , a
≠
4.
a. Rút gọn A.
b. Tìm a để A < 1
c. Tìm
a Z
∈
để
A Z∈
( KQ : A =
1
3
a
a
+
−
)
Bài 19: Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x

   
− + + −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− − +
   
với x > 0 , x
≠
4.
a. Rút gọn A.
b. So sánh A với
1
A
( KQ : A =
9
6
x
x
+
)
Bài20: Cho A =
( )
2
3 3
:
x y xy
x y
x y

y x
x y x y
 
− +
−
−
 ÷
+
 ÷
−
− +
 
với x
≥
0 , y
≥
0,
x y≠
a. Rút gọn A.
b. CMR : A
≥
0 ( KQ : A =
xy
x xy y− +
)
Bài 21 : Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x

x
x x x x x x x
 
− + + −
 
− + − +
 ÷
 ÷
 ÷
− + − +
 
 
Với x > 0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A =
( )
2 1x x
x
+ +
)
Bài 22 : Cho A =
( )
4 3 2
:
2 2
2
x x x
x x x

x x
 
 
− +
 ÷
+ −
 ÷
 ÷
 ÷
− −
−
 
 
với x > 0 , x
≠
4.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5−
(KQ: A =
1 x−
)
Bài 23 : Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x
   
+ − +
 ÷  ÷
− + − +

   
với x > 0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5−
(KQ: A =
3
2 x
)
Bài 24 : Cho A=
3
2 1 1 4
: 1
1 1
1
x x
x x x
x
 
+ +
 
− −
 ÷
 ÷
 ÷
− + +
 
−

 
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z∈
để
A Z∈
(KQ: A =
3
x
x −
)
Bài 25: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x
 
−
 
− −
 ÷
 ÷

 ÷
−
+ − + − −
 
 
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z
∈
để
A Z∈

c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A =
1
1
x
x
−
+
)
Bài 26 : Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3

x x x x
x
x x x
   
+ −
+ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − −
   
với x
≥
0 , x
≠
9
. a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A < -
1
2
( KQ : A =
3
3a
−
+
)
Bài 27 : Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1

1 1 1
x x x x x
x x
x x x
   
+ − − −
− − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
− + −
   
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5−
(KQ: A =
4
4
x
x +
)
c . CMR : A
1≤
Bài 28 : Cho A =
1 1 1

:
1 2 1
x
x x x x x
+
 
+
 ÷
− − − +
 
với x > 0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A (KQ: A =
1x
x
−
)
b.So sánh A với 1
Bài 29 : Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x
   
− −
− + −

 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   
Với
1
0,
9
x x≥ ≠
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A =
6
5
c. Tìm x để A < 1.
( KQ : A =
3 1
x x
x
+
−
)
Bài30 : Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x

x x
 
− + − +
−
 ÷
 ÷
−
+ +
 
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c. Tính A khi x =3+2
2
d. Tìm GTLN của A (KQ: A =
(1 )x x−
)
Bài 31 : Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −

+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 
với x
≥
0 , x
≠
1.

a. Rút gọn A.
b. CMR nếu x
≥
0 , x
≠
1 thì A > 0 , (KQ: A =
2
1x x+ +
)
Bài 32 : Cho A =
4 1 2
1 :
1 1
1
x x
x x
x
−
 

− +
 ÷
− −
+
 
với x > 0 , x
≠
1, x
≠
4.
a. Rút gọn
b. Tìm x để A =
1
2
Bài 33 : Cho A =
1 2 3 3 2
:
1 1
1 1
x x x x
x x
x x
 
+ − − +
 
− +
 ÷
 ÷
 ÷
− −

− +
 
 
với x
≥
0 , x
≠
1.
a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x= 0,36
c. Tìm
x Z
∈
để
A Z∈

Bài 34 : Cho A=
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x
   
+ + +
− + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ − − − +
   
với x

≥
0 , x
≠
9 , x
≠
4.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z∈
để
A Z∈

c. Tìm x để A < 0 (KQ: A =
2
1
x
x
−
+
)
¤N THI HäC K× I
CHUYÊN ĐỀ II: HÀM SỐ BẬC NHẤT
B ài 1 :
1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4).
2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng trªn víi trôc tung vµ trôc hoµnh.
B i 2 : Cho hm s y = (m 2)x + m + 3.
1) Tỡm iu kin ca m hm s luụn nghch bin.
2) Tỡm m th ca hm s ct trc honh ti im cú honh bng 3.
B i 3 : Cho hm s y = (m 1)x + m + 3.
1) Tỡm giỏ tr ca m th ca hm s song song vi th hm s y = -2x + 1.

2) Tỡm giỏ tr ca m th ca hm s i qua im (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
B i 5 : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định
ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =
2 1
.
B i 6 : Gi s ng thng (d) cú phng trỡnh y = ax + b. Xỏc nh a, b (d) i qua hai im
A(1; 3) v B(-3; -1).
Bi 7 Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s
ng bin hay nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Bi 8: Vit phng trỡnh ng thng (d), bit (d) song song vi (d) : y = - 2x v i qua
im A(2;7).
Bi 9: Cho hai ng thng : (d
1
): y =
1
2
2
x +
v (d
2
): y =
2x +
a/ V (d
1
) v (d
2

) trờn cựng mt h trc ta Oxy.
b/ Gi A v B ln lt l giao im ca (d
1
) v (d
2
) vi trc Ox , C l giao im ca (d
1
) v (d
2
) Tớnh
chu vi v din tớch ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)?
Bi 10: Cho các đờng thẳng (d
1
) : y = 4mx - (m+5) với m

0
(d
2
) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
)
b; Với giá trị nào của m thì (d
1

) cắt (d
2
) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm cố định A ;(d
2
) đi qua điểm cố
định B . Tính BA ?
Bi 11: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2
CHUYÊN ĐỀ III:
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẦN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN .
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Phương trình bậc nhất : ax + b = 0.
Phương pháp giải :
+ Nếu a ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất : x =
b
a
−
.
+ Nếu a = 0 và b ≠ 0
⇒
phương trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0
⇒

phương trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :



=+
=+
c'y b' x a'
c by ax
Phương pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phương pháp thế : Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phương trình
thứ 2 ta được phương trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phương pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
B. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau đây :
a)
2
2 x
x

1 -x
x
=
+
+
ĐS : ĐKXĐ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S =

{ }
4
.
b)
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2
Giải : ĐKXĐ :
1 x x
3
++
≠ 0. (*)
Khi ú :
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2

2x = - 3

x =
2
3

Vi

x =
2
3

thay vo (* ) ta cú (
2
3

)
3
+
2
3

+ 1 0
Vy x =
2
3

l nghim.
Vớ d 2 : Gii v bin lun phng trỡnh theo m :
(m 2)x + m
2
4 = 0 (1)
+ Nu m

2 thỡ (1)

x = - (m + 2).

+ Nu m = 2 thỡ (1) vụ nghim.
Vớ d 3 : Tỡm m

Z phng trỡnh sau õy cú nghim nguyờn .
(2m 3)x + 2m
2
+ m - 2 = 0.
Gii :
Ta cú : vi m

Z thỡ 2m 3

0 , võy phng trỡnh cú nghim : x = - (m + 2) -
3 - m2
4
.
pt cú nghim nguyờn thỡ 4

2m 3 .
Gii ra ta c m = 2, m = 1.
Vớ d 3 : Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh : 7x + 4y = 23.
Gii :
a) Ta cú : 7x + 4y = 23

y =
4
7x - 23
= 6 2x +
4
1 x

Vỡ y

Z

x 1

4.
Gii ra ta c x = 1 v y = 4
BI TP PHN H PT
B i 1 : Gii h phng trỡnh:
a)
2x 3y 5
3x 4y 2
=


+ =

b)
x 4y 6
4x 3y 5
+ =


=

c)
2x y 3
5 y 4x

=


+ =

d)
x y 1
x y 5
=


+ =

e)
2x 4 0
4x 2y 3
+ =


+ =

f)
2 5
2
x x y
3 1
1,7
x x y

+ =

+



+ =

+


B i 2 : Cho h phng trỡnh :
mx y 2
x my 1
=


+ =

1) Gii h phng trỡnh theo tham s m.
2) Gi nghim ca h phng trỡnh l (x, y). Tỡm cỏc giỏ tr ca m x + y = -1.
3) Tỡm ng thc liờn h gia x v y khụng ph thuc vo m.
B ài 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y 3 m
2x y 3(m 2)
=


+ = +

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
B ài 4 : Cho hệ phương trình:
(a 1)x y a
x (a 1)y 2
− + =


+ − =

có nghiệm duy nhất là (x; y).
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x
2
– 17y = 5.
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
2x 5y
x y
−
+
nhận giá trị nguyên.
B ài 5 : Cho hệ phương trình:
x ay 1
(1)
ax y 2
+ =



+ =

1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
B ài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phương trình
mx y n
nx my 1
− =


+ =


có nghiệm là
( )
1; 3−
.
B ài 7 : Cho hệ phương trình
( )
a 1 x y 4
ax y 2a

+ + =


+ =


(a là tham số).

1) Giải hệ khi a = 1.
2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y
≥
2.
B ài 8 (trang 22): Cho hệ phương trình :



=+
=+
1 - m 4y 2)x - (m
0 3)y (m -x
(m là tham số).
a) Giải hệ khi m = -1.
b) Giải và biện luận pt theo m.
B ài 9 : (trang 24): Cho hệ phương trình :



+=−
=
1 m 4y mx
0 y m -x
(m là tham số).
a) Giải hệ khi m = -1.
b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác định mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
B ài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ thì
gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính
vận tốc của mỗi xe.

HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
B ài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa.
Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A.
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.
B ài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau
5
4
4
giờ thì đầy bể.
Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau
5
6
giờ nữa mới nay bể . Nếu một
mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể.
Đáp số : 8 giờ.
B ài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t
0
C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi phải
dùng bao nhiêu lít 100
0
C và bao nhiêu lít 20
0
C để được hỗn hợp 10 lít 40
0
C.
Hường dãn :
Ta có hệ pt :




=+
=+
400 20y 100x
10 y x

⇔




=
=
7,5 y
2,5 x
Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 20
0
C.
B ài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng độ 50%. Lại thêm 300g
nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dịch
ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu.
Theo bài ra ta có hệ pt :








=
+
+
=
+
+
%40%100.
500 y
200) (
%50%100.
200 y
200) (
x
x

⇔




=
=
1000 y
400x

Vậy nồng độ phần trăm của dung dịch axít ban đầu là 40%.
CHUYÊN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ĐỊNH LÝ VIET VÀ ỨNG DỤNG
A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax

2
+ bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ
thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào
(1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy
nhất
- hoặc vô nghiệm
- hoặc vô số nghiệm
b)Nếu a
≠
0
Lập biệt số
∆
= b
2
– 4ac hoặc
∆
/
= b
/2
– ac
*
∆
< 0 (
∆
/
< 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm
*
∆
= 0 (

∆
/
= 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x
1,2
= -
a
b
2
(hoặc x
1,2
= -
a
b
/
)
*
∆
> 0 (
∆
/
> 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
2
∆−−
; x
2

=
a
b
2
∆+−
(hoặc x
1
=
a
b
//
∆−−
; x
2
=
a
b
//
∆+−
)
2. Định lý Viét.
Nếu x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) thì

S = x
1
+ x
2
= -
a
b
p = x
1
x
2
=
a
c
Đảo lại: Nếu có hai số x
1
,x
2
mà x
1
+ x
2
= S và x
1
x
2
= p thì hai số đó là nghiệm (nếu có ) của
phương trình bậc 2:
x
2

– S x + p = 0
3. Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai.
Cho phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) . Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của phương trình
.Ta có các kết quả sau:
x
1
và x
2
trái dấu( x
1
< 0 < x
2
)
⇔
p < 0
Hai nghiệm cùng dương( x
1
> 0 và x
2
> 0 )
⇔






>
>
≥∆
0
0
0
S
p
Hai nghiệm cùng âm (x
1
< 0 và x
2
< 0)
⇔






<
>
≥∆
0
0
0

S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x
2
> x
1
= 0)
⇔





>
=
>∆
0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x
1
< x
2
= 0)
⇔






<
=
>∆
0
0
0
S
p
4. Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
• Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
=
a
c
• Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x
1
= -1 , x
2
= -
a

c
• Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và
0
≥∆
thì phương trình có nghiệm
x
1
= m , x
2
= n hoặc x
1
= n , x
2
= m
b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x
1
,x
2
của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x
1
+ x

2

- Lập tích p = x
1
x
2
- Phương trình cần tìm là : x
2
– S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện cho
trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi):
*) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x

2
= S
2
– 2p
*) (x
1
– x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 4x
1
x
2
= S
2
– 4p
*) x
1
3
+ x
2
3
= (x

1
+ x
2
)
3
– 3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) = S
3
– 3Sp
*) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2

– 2x
1
2
x
2
2
*)
21
21
21
11
xx
xx
xx
+
=+
=
p
S
*)
21
2
2
2
1
1
2
2
1
xx

xx
x
x
x
x
+
=+
=
p
pS 2
2
−
*) (x
1
– a)( x
2
– a) = x
1
x
2
– a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p – aS + a
2
*)
2

21
21
21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+−
−
=
−−
−+
=
−
+
−
(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện
0
≥∆
)
d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho trước .Tìm
nghiệm thứ 2
Cách giải:

• Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x
1
cho trước có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

0
≥∆
(hoặc
0
/
≥∆
) (*)
- Thay x = x
1
vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
0
≥∆
(hoặc
0
/
≥∆
) mà ta thay luôn
x = x
1
vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và

giải phương trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này
có
∆
< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x
1
cho trước.
• Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình (như cách
2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm được nghiệm
thứ 2
+) Cỏch 3: thay giỏ tr ca tham s tỡm c vo cụng thc tớch hai nghim ,t ú tỡm c
nghim th 2
B . BI TP P DNG
Bi 1: Gii v bin lun phng trỡnh : x
2
2(m + 1) +2m+10 = 0
ÔN THI HọC Kì I
CHUYấN II: HM S BC NHT
B i 1 :
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
B i 2 : Cho hm s y = (m 2)x + m + 3.
1) Tỡm iu kin ca m hm s luụn nghch bin.
2) Tỡm m th ca hm s ct trc honh ti im cú honh bng 3.
B i 3 : Cho hm s y = (m 1)x + m + 3.
1) Tỡm giỏ tr ca m th ca hm s song song vi th hm s y = -2x + 1.
2) Tỡm giỏ tr ca m th ca hm s i qua im (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.

B i 5 : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định
ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =
2 1
.
B i 6 : Gi s ng thng (d) cú phng trỡnh y = ax + b. Xỏc nh a, b (d) i qua hai im
A(1; 3) v B(-3; -1).
Bi 7 Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s
ng bin hay nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Bi 8: Vit phng trỡnh ng thng (d), bit (d) song song vi (d) : y = - 2x v i qua
im A(2;7).
Bi 9: Cho hai ng thng : (d
1
): y =
1
2
2
x +
v (d
2
): y =
2x +
a/ V (d
1
) v (d
2
) trờn cựng mt h trc ta Oxy.
b/ Gi A v B ln lt l giao im ca (d

1
) v (d
2
) vi trc Ox , C l giao im ca (d
1
) v (d
2
) Tớnh
chu vi v din tớch ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)?
Bi 10: Cho các đờng thẳng (d
1
) : y = 4mx - (m+5) với m

0
(d
2
) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
)
b; Với giá trị nào của m thì (d
1
) cắt (d
2

) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm cố định A ;(d
2
) đi qua điểm cố
định B . Tính BA ?
Bi 11: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)