Tài liệu ôn tập môn toán lớp 9

TÀI LIỆU
DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9 CHƯA ĐẠT CHUẨN KIẾN THỨC, KỸ NĂNG

MÔN TOÁN
( LƯU HÀNH NỘI BỘ)

I.PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH

Nội dung

Tiết thứ

CHUYÊN ĐỀ 1: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 tiết)

Tính chất cơ bản của phân thức

1-2

Phân tích đa thức thành nhân tử

3-4

Quy đồng mẫu nhiều phân thức

5-6

Phép cộng, trừ các phân thức đại số

7

Phép nhân, chia các phân thức đại số

8

Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

9 - 10

Bài tập

11

Kiểm tra 1 tiết

12

CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH (13 tiết)
PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải.

13

Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0.

14

Phương trình tích.

15

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

16

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Phương trình bậc hai một ẩn.

17

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

18

Công thức nghiệm thu gọn.

19

Hệ thức Vi-ét.

20

Ứng dụng hệ thức Vi-ét giải bài toán tìm hai số biết tổng và tích.

21

Tìm điều kiện xác định của một phương trình.

22

Phương trình chứa ẩn ở mẫu.

23
1


Phương trình trùng phương.

24

Kiểm tra 1 tiết (Chọn một trong 2 đề).

25

Chuyên đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH (9 tiết)

Khái niệm về PT bậc nhất hai ẩn - Hệ hai phương trình bậc nhất hai
ẩn

26

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

27 - 28

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

29 - 30

Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số bằng chương trình gài sẵn

trên máy tính bỏ túi
Bài tập tổng hợp về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Kiểm tra 1 tiết

31
32 - 33
34

CHUYÊN ĐỀ4:
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
VÀHỆ PHƯƠNG TRÌNH (12 tiết)
I. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆPHƯƠNG TRÌNH

Dạng toán số - chữ số
Dạng toán chuyển động

35
36 - 37

Dạng toán năng suất

38 - 39

II.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Dạng toán số - chữ số

40

Dạng toán chuyển động

41 - 42
43 - 44

Dạng toán năng suất
Dạng toán có nội dung Hình học - Hóa học

45

Kiểm tra theo chuyên đề

46
HÌNH HỌC

CHUYÊN ĐỀ 1: GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ tam gi¸c

Tam gi¸c
C¸c trêng hîp b»ng nhau cña tam gi¸c
TÝnh chÊt c¸c ®êng ®ång quy trong tam gi¸c

1
2
3
2


Tam giác đồng dạng
Các trờng hợp đồng dạng của tam giác
Các trờng hợp đồng dạng của tam giác vuông
Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông

Tỉ số lợng giác của góc nhọn
Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Kiểm tra

4
5
6
7
8
9
10

CHUYấN 2: GII CC BI TON V T GIC

Tứ giác

11

Hình thang - Hình thang cân

12 - 13

Hình bình hành - Hình chữ nhật

14 - 15

Hình thoi, hình vuông

16 - 17

Diện tích tứ giác

18

Ôn tập
Kiểm tra

19
20

CHUYấN 3: GII CC BI TON V NG TRềN

Xỏc nh ng trũn

21

Tớnh cht i xng ca ng trũn

22

Dõy cung v khong cỏch n tõm.
V trớ tng i ca ng thng vng trũn

23

V trớ tng i ca hai ng trũn

24

Gúc tõm, s o cung.

Liờn h gia cung v dõy

25

Tip tuyn ca ng trũn

26

Gúc ni tip.
Mi liờn h gia gúc ni tip v cung b chn

27

Gúc to bi tip tuyn v dõy cung

28

Gúc cú nh bờn trong ng trũn, gúc cú nh bờn ngoi ng
trũn.Cung cha gúc

29

T giỏc ni tip

30

di ng trũn, din tớch hỡnh trũn

31
3

Kiểm tra

32

II. NỘI DUNG CÁC CHUYÊN ĐỀ
CHUYÊN ĐỀ I: BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT)
Tiết 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
4


1. Luỹ thừa của một số hữu tỷ:
a) Tính chất:
an = a
.a2
.a...
14
4
3a

a0 = 1, a1 = a (a ≠ 0)

(n∈ N)

(n thừa số a)
a m .a n = a m +n

(m, n ∈ N )

(m, n ∈ N,m ≥ n)

am:an = am-n

n

m n

(x ) = x

x
xn
(x.y) = x .y ;  ÷ = n
y
y

m.n

n

n

n

( y ≠ 0)

b) Ví dụ:
a) 3x5. 5x2 = 15x5+2=15x7
b) 15m9 : 3m7 = 5m2

2. Nhân đơn thức với đa thức:
a) Công thức:

A(B + C) = AB + AC ; A(B - C) = AB – AC

b) Ví dụ:
1. 5x(3x2 - 4x + 1) = 5x.3x2 + 5x(-4x) + 5x.1 = 15x3 – 20x2 + 5x
2. (2 3 + 5 ) 3 - 60 = 2 3 3 + 5 3 − 4.15 = 6 + 15 − 2 15 = 6 − 15
3. Nhân đa thức với đa thức:
a) Quy tắc: Nhân một đa thức với một đa thức ta nhân lần lượt từng số hạng của đa
thức này với đa thức kia rồi cộng tổng các tích vừa tìm được.
b) Công thức

(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD

c) Ví dụ:
1. (x - 2)(6x2 - 5x + 1) = x.6x2 + x(-5x) + x.1 + (-2)6x2 + (-2)(-5x) + (-2).1
= 6x3 - 5x2 + x - 12x2 + 10x - 2 = 6x3 - 17x2 + 11x - 2.
2. (1 - x )(1 + x + x ) = 1 +

x + x − x − x x − x x = 1− x x

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Thực hiện phép tính:
2
3

a) (3xy - x2 + y) x2y

b) (5x3 - x2)(1 - 5x)

Giải:
2
3

2
3

2
3

2
3

a) (3xy - x2 + y) x2y = 3xy. x2y + (-x2). x2y + y. x2y
= 2x3y2 -

2 4
2
x y + x2y2
3
3

b) (5x3 - x2)(1 - 5x) = 5x3 - 25x4 - x2 + 5x3
5


= - 25x4 + 10x3- x2
Bài 2. Tìm x biết: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30

Giải: 3x(12x - 4) - 9x(4x - 3) = 30
36x2 - 12x - 36x2 + 27x = 30
15x = 30 ⇒ x = 2
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
( 28 − 12 − 7 ) 7 + 2 21 = 4.7 . 7 − 4.3. 7 − 7 . 7 + 2 21
= 2 7. 7 − 2 3. 7 − 7. 7 + 2 21 = 2.7 – 2 21 - 7 + 2 21 = 7
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Tính:
1
2

1
2

a) ( x + y)( x + y)

b) (x -

1
1
y)(x - y)
2
2

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau (với a ≥ 0 ):
a) 3a . 27a
b) 9a 2b 4
c) 3a 3 12a
Bài 3. Triển khai và rút gọn các biểu thức sau: (với x, y không âm)

b) ( x + y )( x 2 + y − x y )

a) ( x + 2 )( x − 2 x + 4 )

Tiết 2 : TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC (Tiếp)
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Chia đa thức cho đơn thức:
* Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức
A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả
với nhau.
Ví dụ:
(15x2y3 + 12x3y2 - 10 xy3) : 3xy2
= (15x2y3 : 3xy2) + (12x3y2 : 3xy2) + (-10xy3 : 3xy2)
= 5xy + 4x2 -

10
y
3

2. Chia đa thức một biến đã sắp xếp.
Ví dụ: Thực hiện phép chia:
1. (6 x 2 + 13x − 5) : (2 x + 5)
Giải:
6 x 2 +13 x − 5

2x + 5

6

3x − 1

- ( 6 x 2 + 15 x )
−2 x − 5

- ( −2 x − 5)
0
2. Sắp xếp đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia:
(12 x 2 − 14 x + 3 − 6 x3 + x 4 ) : (1 − 4 x + x 2 )

Giải: Ta có 12 x 2 − 14 x + 3 − 6 x3 + x 4 = x 4 − 6 x3 + 12 x 2 − 14 x + 3
và 1 − 4 x + x 2 = x 2 − 4 x + 1
x 4 − 6 x 3 +12 x 2 −14 x + 3

- ( x 4 − 4 x3 + x 2 )

x2 − 4x + 1

x2 − 2 x + 3

−2 x 3 + 11x 2 − 14 x + 3

- ( 2 x3 + 8 x 2 − 2 x )
3 x 2 − 12 x + 3
−(3 x 2 − 12 x + 3)

0
3. Tính chất cơ bản của phân thức:
a) Định nghĩa phân thức đại số:

Phân thức đại số (hay phân thức) có dạng

A
, trong đó A, B là các đa thức và B
B

khác đa thức 0.
1
6 x2 y 2
Ví dụ:
5 ;
8x y
x+2

b) Phân thức bằng nhau:

Ví dụ:

A C
=
B D

nếu AD = BC

x +1
1
=
vì (x +1)(x - 1) = x2 - 1
2
x − 1 x -1

c) Tính chất cơ bản của phân thức:

d) Quy tắc đổi dấu:

A A.M A A:N
=
; =
B B.M B B:N

(M ≠ 0; N ≠ 0; B ≠ 0)

A
-A
A
A
-A
=
;
=−
=−
B
-B
B
-B
B

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
7

Bài 1. Các phân thức sau có bằng nhau không?

x − x2
x
=
a)
5 x 2 − 5 5( x + 1)

x 2 + 8 3x 2 + 24 x
=
b)
2x −1
6x − 3

Bài 2. Áp dụng quy tắc đổi dấu để rút gọn phân thức:
45 x(3 − x) − 45 x( x − 3)
=
= –3
15 x( x − 3)
15 x( x − 3)
Bài 3. Tính:
a)

2300
23

b)

63x 3

với x > 0
7x

Giải:
a)

2300
=
23

23.100
23. 100
=
=
23
23

b)

63x 3
=
7x

9.7 x.x 2
3x 7 x
=
7x
7x

100 = 10

= 3x

với x > 0

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Rút gọn phân thức:
10 xy 2 ( x + y )
b)
15 xy ( x + y ) 2

6 x2 y 2
a)
8x y5

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

( x y + y x )( x − y )
= x− y
xy

với x > 0 và y > 0

x 3 + 3 xy + 2 y 2
1
=
b) 3
2

2
3
x + 2 x y − xy − 2 y
x− y

TIẾT 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đa thức.
Ví dụ:
a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)
b) x - 2 x y +5 x - 10y = [( x )2 – 2 y
=

x ] + (5 x - 10y)

x ( x - 2y) + 5( x - 2y)
8


= ( x - 2y)( x + 5)
2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
a) Phương pháp đặt nhân tử chung :
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được
biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.
Công thức:

AB + AC = A(B + C)

Ví dụ:
1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)
2. 3x + 12 x y = 3 x ( x + 4y)
b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng
hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.
* Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3
A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2)
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. x2 – 4x + 4 = ( x − 2 )

2

2. x 2 − 9 = ( x − 3)( x + 3)
2
2
3. ( x + y ) − ( x − y ) = [ ( x + y ) + ( x − y ) ] [ ( x + y ) − ( x − y ) ] = 2 x.2 y = 4 xy

Cách khác: ( x + y )2 − ( x − y )2 = x 2 + 2 xy + y 2 − ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = 4 xy
c) Phương pháp nhóm hạng tử:
Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được
nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ:

1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2 – 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)
= (x – 2y)(x + 5)
2. x - 3 x +
=

x y – 3y = (x - 3 x ) + ( x y – 3y)

x ( x - 3) + y( x - 3)= ( x - 3)( x + y)

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
9


Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2)
b) 2(x + 3) – x(x + 3)
c) x2 + 4x – y2 + 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y)
Bài 2: Giải phương trình sau :
2(x + 3) – x(x + 3) = 0
x + 3 = 0
 x = −3
⇔ ( x + 3) ( 2 − x ) = 0 ⇔ 
⇔
2 − x = 0
x = 2
Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 10( x - y) – 8y(y -

x)

b) 2 x y + 3z + 6y +

xy

Bài 2: Giải các phương trình sau :
a) 5 x ( x - 2010) -

x + 2010 = 0

b) x3 - 13 x = 0

TIẾT 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (Tiếp)
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)
Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c ( a ≠ 0 )
b1b2 = ac

b1 + b2 = b

nếu

Ví dụ:
a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1
= 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1)
b) y − 3 y + 2 = y − y − 2 y + 2

=
=

y

(

(

) (

y −1 − 2

y −2

)(

)

y −1

)

y −1

e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Ví dụ:
a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2
= (y2 + 8)2 - (4y)2
= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y)

10


b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x
= (x + 2)2 - ( 2 x ) = ( x − 2 x + 2 ) ( x + 2 x + 2 )
2

g. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:
Ví dụ:
a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b)
=(a - b) (a2 - b2)
= (a - b) (a - b) (a + b)
= (a - b)2(a + b)
b) 27 x3 y − a 3b3 y = y ( 27 x 3 − a 3b3 )
3
= y (3 x)3 − ( ab ) 



= y ( 3x − ab ) ( 9 x 2 + 3 xab + a 2b 2 )
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2)

a)

= ( 2 x ) − y 3  + ( 4 x 2 − y 2 )



2
= ( 2 x − y ) ( 2 x ) + 2 xy + y 2  + ( 2 x + y ) ( 2 x − y )


3

= ( 2 x − y ) ( 4 x 2 + 2 xy + y 2 + 2 x + y )

b) x2 + 5x - 6 = x2 + 6x - x - 6
= x(x + 6) - (x + 6)
= (x + 6)(x - 1)
c) a4 + 16 = a4 + 8a2 + 16 - 8a2
= (a2 + 4)2 - ( 8 a)2
= (a2 + 4 + 8 a)( a2 + 4 - 8 a)
Bài 2: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành
nhân tử:
a) (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)
b) (x2 - 5x + 6):(x - 3)
Giải:
a) Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1)
nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)
= (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1)
= (x2 + 1)
b)

Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6
11


= x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2)

nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:
x 2 +xy-y 2
a)
2x 2 -3xy+y 2

2x 2 -3x+1
b)
x 2 +x-2

Bài 2: Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)
a) xy + y x + x + 1

b)

a 3 − b3 + a 2b − ab 2

TIẾT 5. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số:
Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân số sau:

5
7
và
12 30

* Bước 1: Tìm BCNN (12;30) = 60
* Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu:

60:12=5
60:30=2

* Bước 3: Nhân tử và mẫu của phân số với thừa số phụ tương ứng.
5
5.5 25
=
=
12 12.5 60
7
7.2 14
=
=
30 30.2 60
2. Quy đồng mẫu nhiều phân thức:
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Ví dụ: Quy đồng mẫu thức của

3x
x+3
và 2
2x + 4
x −4

* Bước 1: Tìm MTC.
- Phân tích các mẫu thành nhân tử.
2x +4 = 2(x + 2)
12


x2 - 4 = (x - 2) (x + 2)
- MTC là: 2(x - 2) (x + 2)
* Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu.
+) 2(x - 2) (x + 2): 2(x + 2) = (x - 2)
+) 2(x - 2)(x + 2): (x2 - 4) = 2
* Bước 3 : Nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
3x ( x − 2 )
3x
3x
=
=
2 x + 4 2( x + 2) 2 ( x + 2 ) ( x − 2 )

2 ( x + 3)
x+3
x+3
=
=
2
x − 4 ( x + 2)( x − 2) 2 ( x + 2 ) ( x − 2 )

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:

5
3
và 2
2x + 6
x −9

MTC: 2(x - 3)(x + 3)
5
5
5( x − 3)
=
=
2x + 6 2( x + 3) 2( x + 3)( x − 3)
3
3
3.2
6
=
=
=
x 2 − 9 ( x + 3)( x − 3) 2( x + 3)( x − 3) 2( x + 3)( x − 3)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu với một phân
thức để tìm MTC thuận tiện hơn).
4x 2 − 3x + 5
a)
;
x3 −1
b)

10
;
x+2

1 − 2x
x2 + x +1
5
2x − 4

TIẾT 6. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN THỨC (Tiếp)
I. Luyện tập:
Bài 1: Quy đồng mẫu phân thức sau:

2x
x
và
x 2 − 8x + 16
3x 2 − 12x

Phân tích các mẫu:
x2 - 8x + 16 = (x - 4)2
3x2 - 12x = 3x(x - 4)
MTC: 3x(x - 4)2
13


2x
2x
2x.3x

6x 2
=
=
=
x 2 − 8x + 16 ( x − 4) 2 3x ( x − 4) 2 3x ( x − 4) 2
x
x
x ( x − 4)
=
=
3x − 12x 3x ( x − 4) 3x ( x − 4) 2
2

Bài 2: Rút gọn biểu thức :

1
1
+
2+ 3 2− 3

Giải: MTC : (2+ 3 )(2- 3 )
Quy đồng:

1
1
2− 3+2+ 3 4
+
=
= =4
2+ 3 2− 3

4−3
1

Bài 3: Giải phương trình:

x+2 1
2
= +
x − 2 x x ( x − 2)

Giải: ĐKXĐ: x ≠ 0;x ≠ 2

x+2 1
2
2
2
= +
x − 2 x x ( x − 2 ) ⇒ x + 2x = x − 2 + 2 ⇔ x + x = 0

 x = 0 ( kTM®K )
.Vậy phương trình có tập nghiệm S = { −1}
⇔ x ( x + 1) = 0 ⇔ 
x
=
−
1
TM®K
(
)


II. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
a)

x+ y x− y
;
;
x− y x+ y

Bài 2: Chứng minh đẳng thức :

b)

1
1
;
;
x+y x−y

3
2
3
6
6+2
−4
=
2
3
2

6

TIẾT 7: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cộng hai phân thức cùng mẫu:
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau
và giữ nguyên mẫu thức.
Ví dụ: Tính:
a)

A C A+C
+ =
B B
B

x2
4x + 4 x 2 + 4x + 4 x + 2
+
=
=
3x + 6 3x + 6
3x + 6
3

14


b)

x2

2 .x + 2

+

2 2 .x + 2
2 .x + 2

x 2 + 2 2 .x + 2

=

2 .x + 2

(x + 2) = x + 2
2(x + 2)
2
2

=

2. Cộng hai phân thức không cùng mẫu:
* Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức
rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
y − 12

6

Ví dụ: 6 y − 36 + y 2 − 6 y
MTC: 6y(y - 6)
6

(y -12)y
y − 12
y − 12
6
6.6
+
=
+
=
+
2
y − 6 y 6( y − 6)
6 y ( y − 6)
6 y − 36
y ( y − 6)
6y(y-6)
y−6
y 2 − 12 y + 36
( y − 6) 2
=
=
= 6y
6 y ( y − 6)
6 y ( y − 6)

*Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất sau:
- Tính chất giao hoán:

A C C A
+ = +

B D D B





- Tính chất kết hợp:  + ÷+ = +  + ÷
B D F B D F 
A

C

E

A

C

E

3. Phép trừ các phân thức đại số:
*Quy tắc: Muốn trừ phân thức
C
D

A
C
A
cho phân thức , ta cộng
với phân thức đối của

B
D
B

A C
A  C
=
+ − 
B D
B  D

Ví dụ:
( x + 3)
 x +1 
+
2
 − x( x − 1) 
( x − 1)



a)

x +1
x+3
=
- 2
2
x −1 x − x

=

x+3
 ( x + 1) 
( x + 3) x
 ( x + 1)( x + 1) 
=
−
+ −
+
( x + 1)( x − 1)  x( x − 1) 
x( x + 1)( x − 1)  x( x + 1)( x − 1) 

=

x −1
1
( x + 3) x − ( x + 1) 2
=
=
2
x( x − 1) x( x + 1)
x( x + 1)( x − 1)

b)

x+2
( 3 + x)  − x + 2 
3+x
+

=

( 3 − x)
3−x

x−2
x−2


( 3 + x)( 3 − x)  ( x + 2 ) ( x − 2 )
=
+ −
 ( x − 2) 3 − x
( x − 2)( 3 − x)


(

)


2
2
2
3
−
x
−
(
x

−
4)
7
−
2
x
=
=
 ( x − 2)( 3 − x)
( x − 2)( 3 − x)


II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
15


Bài 1: Thực hiện phép tính sau:
x −1
2x 2 − x
2 − x2
+
+
1− x
x −1
x −1

=

x −1
2 − x2

2x 2 − x
2 − x2
+
=
x −1
x −1
x −1
x −1

=

( x − 1) 2
= x −1
x −1

Bài 2: Rút gọn biểu thức
x +1
2 x
( x + 1)( x + 2) + 2 x ( x − 2)
+
=
x−4
x −2
x +2

P =
=

x + 2 x + x + 2 + 2x − 4 x
3x − x + 2

=
x−4
x−4

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Tính:

1
1
−
x x −1

Bài 2: Cho biểu thức: P =

x +1
2 x
2+5 x
+
−
4− x
x −2
x +2

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi x = 1.
TIẾT 8: PHÉP NHÂN, CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phép nhân các phân thức đại số:
A C A.C
. =

(B; D ≠ 0)
B D B.D

Ví dụ:
a)
b)

x − 1 x + 1 ( x + 1)( x − 1)
x2 −1
.
=
= 2
x + 2 x − 2 ( x + 2)( x − 2) x − 4
3 + x x − 3 ( 3 + x)( x − 3) x 2 − 3
.
=
= 2
x +1 1− x
( x + 1)(1 − x)
x −1

2. Phép chia các phân thức đại số:
Ví dụ:
a)

A C A D
: = .
( B, C , D ≠ 0)
B D B C

7 − x x +1 7 − x x + 2 7 − x
:
=
.
=
x + 2 x + 2 x + 2 x +1 x +1

(x ≠ -2, x ≠ -1)

x 2 − 2 x 2 + 2 .x
x2 − 2
( x − 1)
(x − 2)
:
=
.
=
b) 2
x −1
x( x − 1) x( x + 2 )
x −x
x2

(x ≠ 1, x ≠ - 2 )
16


3. Biến đổi biểu thức hữu tỉ:
- Biểu thức hữu tỉ là biểu thức có chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân
thức đại số.

- Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức là sử dụng các quy tắc cộng, trừ
nhân, chia các phân thức đại số để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân
thức .
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Thực hiện phép tính:
7 x + 2 14 x + 4 7 x + 2 x 2 y
(7 x + 2) x 2 y
x
:
=
.
=
=
3
2
3
3
3 xy
x y
3xy 14 x + 4 3 xy (14 x + 4) 6 y 2


Bài 2: Rút gọn biểu thức: Q = 

x

1− x

=
=

+

x  3− x
−
(đ/k:....)
1 + x  1 − x

x (1 + x ) + x (1 − x ) 3 − x
−
1− x
1− x
3 x − 3 − 3(1 − x )
−3
=
=
1− x
1− x
1+ x

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ


Bài 1: Rút gọn biểu thức: A= 

x

 x −2

Bài 2: Tính:

 x−2
.
x + 2  4 x
x

+

x +1 x + 2 x + 3
:
.
x + 2 x + 3 x +1

TIẾT 9: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
A ⇔ A ≥ 0
−A ⇔ A < 0

2
a, A = A = 

c,

A
A
=
B
B

( A ≥ 0,B > 0 )

b, A.B = A. B ( A ≥ 0,B ≥ 0 )
d, A 2B = A B ( B ≥ 0 )

Ví dụ:
a) Rút gọn biểu thức:

2 + 8 + 50 =

2 +2 2 +5 2 =8 2

b) Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 1 − 10a + 25a 2 − 4a , tại a =

2

17


1 − 10a + 25a 2 − 4a = (1 − 5a) 2 − 4a
= 1 − 5a − 4a

Thay a =

2 vào biểu thức trên ta được:

1− 5 2 − 4 2 = 2 −1
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Rút gọn 20 − 45 + 75 − 180 = 2 5 − 3 5 + 5 5 − 6 5 = −2 5


a
1   1
2 
−
:
+
÷

÷
÷
 a −1 a − a   a + 1 a −1 

Bài 2: Cho biểu thức: A = 

a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A
b) Tìm a để A > 0
Giải: a) Điều kiện A xác định: a > 0; a ≠ 1


  1

a
1
2
−
:
+
÷

÷

a ( a − 1) ÷
 a −1
  a + 1 ( a − 1)( a + 1) 

Ta có: A = 
=

b) A > 0

a. a −1
a −1+ 2
a −1
a −1 a −1
:
=
.
=
a ( a − 1) ( a − 1)( a + 1)
a ( a − 1) a + 1
a

a −1
> 0 ⇔ a −1 > 0 ⇔ a > 1
a

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn: B =

3
2

+
3 +1
3 −1

Bài 2: Cho biểu thức: Q =


a
− 1+
a 2 − b2 
a 2 − b2
a


b
÷:
2
2
 a− a −b

a) Rút gọn Q.
b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b
2+ x

Bài 3: Cho biểu thức P = 

2− x

−

2− x
2+ x

−

4x 
x −3
:
÷
÷
x −4 2 x −x

a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0.
c) Tìm giá trị của x sao cho P = 1 .
TIẾT 10: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC
CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI (Tiếp )
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
18


a) A B = − A 2 B ( A < 0, B ≥ 0 ) ; A B = A 2B ( A ≥ 0, B ≥ 0 ) ;
A
1
=
B B

b)

A

A B
=
B
B

c)
d)

( AB ≥ 0,B ≠ 0 )

AB

( B > 0) ;

(

C A− B
C
=
A−B
A+ B

)

( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B ) .

(

C A+ B
C

=
A−B
A− B

)

( A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B )

Ví dụ: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 biết:
1 
a +1
 1
M=
+
:
với a > 0, a ≠ 1
a
−
a
a
−
1
a
−
2
a
+
1



Giải:
1 
a +1
 1
M =
+
÷:
a − 1 a − 2 a + 1
a− a
 1+ a 
a +1
=
÷:
2
 a ( a − 1)  ( a − 1)
=

a −1
1
= 1−
a
a

Suy ra M = 1 −

1
< 1 (Vì a > 0, a ≠ 1 ). Vậy M < 1
a

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Rút gọn biểu thức:

5+ 5 +5 − 5
5− 5 5+ 5

Giải:

(
(

5+ 5 +5− 5 = 5+ 5
5− 5 5+ 5
5− 5

Bài 2: Cho biểu thức:

) ( 5 + 5) + ( 5 − 5) ( 5 − 5 ) = ( 5 + 5 )
) ( 5 + 5) ( 5 + 5) ( 5 − 5)
 x2 x
x
−
P= 
4 x
 4

2

+( 5 − 5)
20

2

=3

  x +1
x −1 
.
−
÷

÷
÷  x −1
x +1 ÷



a) Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P?
b) Tìm giá trị của x để P = 0
Giải:
a) Điều kiện: x > 0; x ≠ 1

19


 x2 x
x
P = 
−
4 x

 4
x3 − x
=
.
4 x
=

x ( x + 1)

(

  x +1
x −1 
x 2 x. x − x
.
÷
÷.  x − 1 − x + 1 ÷
÷ =
4 x



)(

)

x +1 + x −1 .

(

x +1− x +1

x −1

)

=

(

) ( x −1)
( x − 1) ( x + 1)
2

x +1 −

2

x ( x − 1) ( x + 1) 2 x − 2
.
x −1
4 x

x −1

2 x

x = 0

b) Để P = 0 ⇔ x ( x + 1) = 0 ⇔ 

 x = −1
Các giá trị này không thỏa mãn điều kiện, do đó không có giá trị nào của x để P = 0.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Rút gọn biểu thức:

5+ 5 5− 5
+
5− 5 5+ 5

Bài 2: Cho biểu thức Q =

1− x x
1− x

a) Tìm điều kiện xác định Q?
b) Rút gọn Q.
c) Tìm x để Q = 1.
6x − 1  x 2 − 36
 6x + 1
+ 2
Bài 3: Cho phân thức P =  2
;
÷.
2
 x − 6x x + 6x  12x + 12

a) Tìm điều kiện xác định của P?
b) Rút gọn P.
c)Tính giá trị của P tại x = 9 + 4 5 .

TIẾT 11: LUYỆN TẬP
Câu 1: Rút gọn các phân thức sau:

(

)

y 2 − 3y + ( xy − 3x ) y ( y − 3 ) + x ( y − 3 ) ( y − 3 ) ( x + y ) y − 3
y 2 − 3y + xy − 3x
=
=
=
=
a)
x2 − y2
( x + y) ( x − y)
( x + y) ( x − y)
( x + y) ( x − y) x − y

(

)

2 x2 − 2x + 4
2 x2 − 4 x + 8
2
=
=
b)
3

2
x +8
( x + 2) x − 2 x + 4 x + 2

(

)

2

 x −1
x + 1  1
x
−
−
Câu 2 : Cho biểu thức: P = 
÷
÷
2 ÷
x − 1 ÷
 x +1
 2 x

a). Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P.
20


b) Tìm x để

P

>2
x

Giải:
a) Điều kiện: x ≥ 0 : x ≠ 1
2

 x −1
x + 1  1
x 
P = 
−
÷
÷ 2 x − 2 ÷
÷ =
x
+
1
x
−
1


 


(

) (
( x − 1) (

2

x −1 −

)

2
x + 1 ÷ 2 − 2 x 2

÷
x +1 ÷
÷ 4 x 


)

 4 x   1− x   4 x  ( 1− x)
1− x
= 
= 
=
÷
÷

÷
÷
÷
x
 1− x   2 x   1− x  4x
2

2

P
1− x
1
1
>2⇔
>2⇔ x<
2
0< x<
b) Để x
.
Kết
hợp
với
điều
kiện
ta
được:
3
x
3

( )

14
1
=
1

+
x −3
x2 − 9
14
1
14
1
⇔
= 1+
= 1+
Giải: Ta có phương trình 2
x −3
( x + 3) ( x − 3)
x −3
x −9
ĐKXĐ: x ≠ ±3 .
14
1
= 1+
⇒ 14 = ( x + 3) ( x − 3) + ( x + 3 )
x −3
( x + 3 ) ( x − 3)

Câu 3: Giải phương trình:

⇔ 14 = x 2 − 9 + x + 3
⇔ x 2 + x − 20 = 0

∆ = 1 + 4.20 = 81 > 0,

∆ = 81 = 9
−1 + 9
−1 − 9
x1 =
= 4; x 2 =
= −5 ,
2
2

x1 = 4; x2 = -5 đều thoả mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 4; x2 = -5.

TIẾT 12: KIỂM TRA
ĐỀ SỐ 1
Câu 1: Rút gọn các phân thức sau:
4 − 4x 2 − 9y 2 − 12xy
b)
2x + 2 + 3y

x 2 − 4x 3 + 3
a) 2
x − 5x + 6

Câu 2: Tính:

xy − 4y

2xy + 4y

c) x 2 y3 + x 2 y3

2 +1
3 +1
:
2 −1
4−2 3

Câu 3: Cho biểu thức

21


1

A = x −
x



÷



x 
÷
x −1 ÷


x
+

x +1

a) Tìm điều kiện xác định của A? Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

3
4

c) Tìm x để A < 8.
ĐỀ SỐ 2

Câu 1: Tính:

(

1
2− 5

)

2

−

(

1
2+ 5

x−

Câu 2: Giải phương trình:


Câu 3: Cho biểu thức: A = 1 −


)

2

4
+ 2 + x = 0 (1)
2+ x

a−3 a   a −2
a −3
9−a 
+
−
÷: 
÷
a −9   a +3 2− a a + a −6

a) Rút gon A.
b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên.

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (12 TIẾT)
ĐỀ SỐ 1

Câu
Câu 1

Lời giải

a)

x 2 − 4x 3 + 3 ( x − 1) ( x − 3)
x −1
=
=
2
x − 5x + 6 ( x − 2 ) ( x − 3) x − 2

Điểm

1đ

22


b)

4 − 4x 2 − 9y 2 − 12xy 4 − ( 4x 2 + 12xy + 9y 2 )
=
2x + 2 + 3y
2x + 3y + 2

4 − ( 2x + 3y )
( 2 + 2x + 3y ) ( 2 − 2x − 3y )

=
= 2 − 2x − 3y
2x + 3y + 2
2 + 2x + 3y
xy − 4y 2xy + 4y xy − 4y + 2xy + 4y 3xy
3
c)
+
=
= 2 3 = 2
2 3
2 3
2 3
x y
x y
x y
x y
xy

1đ

2

=

1đ

2 +1
3 +1
:

2 −1
4−2 3
Câu 2

=
=

2 +1
x
4−2 3

2 −1

(

3 + 1)

2 −1

( 4 − 2 3) ( 4 + 2 3)

2

1
1
=
16 − 12 2

=

2đ

a) Với x > 0 và x ≠ 1 ta có:

 x −1   x
A =
÷
 x 

A=
Câu 3

A=

( x −1) .
x

(

)

x −1 + x

(

x −1

)

x +1 





x2 − x + x2 + x
( x −1)

2 x2
=2 x
x

1đ
1đ

3
3
b) Với x = ⇒ A = 2 = 3
4
4

c) A < 8 ⇔ 2 x < 8 ⇔ x < 4 ⇔ x < 16

2đ
1đ

kết hợp với điều kiện 0 < x < 16; x ≠ 1 .

ĐỀ SỐ 2
Câu
Câu 1

Lời giải

Điểm

Ta có:

1đ
23


(

1
2− 5
1

=

=

)

−

2

(

(

5−2

)

2

(

1
2+ 5

)

2

1đ

1

−

(

5+2

)

2

=

1
1
−
5−2
5+2

) ( 5 − 2) = 4 = 4
( 5 + 2) ( 5 − 2) 5 − 4
5+2 −

Giải: Điều kiện: x ≥ 0 ⇒ x + 2 > 0 , Ta có:

1đ

(1) ⇔ x ( 2 + x ) − 4 + 2 + x = 0
⇔ x ( 2 + x ) = 2 − x (2)

Điều kiện: 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 .
Câu 2

Kết hợp điều kiện của bài ta có: 0 ≤ x ≤ 2

1đ

Bình phương hai vế của (2) ta có:
x ( x + 2) = ( 2 − x )

2

⇔ x2 + 2x = 4 − 4x + x2 ⇔ x =

2
3

1đ

2
Vậy nghiệm của phương trình là x = .
3
Câu 3

a) TXĐ: a ≥ 0; a ≠ 4

A = 1 −



(

)(

)


a   a −2
a −3 3− a 
A = 1 −
+

−
÷: 
÷
a
+
3
a
+
3
2
−
a
a −2

 
A=

3
a −2
:
a +3 a +3

A=

3
a −2

3
∈Z
b) Giả sử a ∈ Z . Để A ∈ Z ⇔

a −2
⇔

(

(
(

)(
)(

) ÷
) ÷

  a −2
a −3 3− a 3+ a
÷: 
+
+
a −3 ÷  a +3 2− a
a −2
a +3
 

a ( a − 3)
a +3

0,5 đ
0,5 đ

1đ

1đ

)

a − 2 là ước của 3

24





⇔






a − 2 = −1 
⇔
a −2=3

a − 2 = −3 
a − 2 =1

a =3⇔ a =9
a =1⇔ a =1

2đ

a = 5 ⇔ a = 25
a = −1(l )

CHUYÊN ĐỀ2: PHƯƠNG TRÌNH
PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Tiết 13: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀCÁCH GIẢI
I. Kiến thức cơ bản:
1. Định nghĩa:
Phương trình dạng ax+b=0, với a và b là hai số đã cho và a ≠0, được gọi là
phương trình bậc nhất một ẩn.
Ví dụ:
5x + 8 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = 5; b = 8
-2x + 4 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -2; b= 4
-7x – 3 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -7; b = -3
2. Hai quy tắc biến đổi phương trình:
a) Quy tắc chuyển vế:
Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia
và đổi dấu hạng tử đó.
Ví dụ 1: Cho phương trình: x – 2 = 0, chuyển hạng tử -2 t ừ v ế trái sang v ế ph ải v à
đổi dấu thành +2 ta được x = 2
2
2
+ x = 0, chuyển hạng tử từ vế trái sang vế phải và
3
3
2
2

đổi dấu thành - ta được x = 3
3

Ví dụ 2: Cho phương trình:

b) Quy tắc nhân với một số:
Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Ví dụ 3: Cho phương trình:
=6

1
x = 3, nhân hai vế của phương trình với 2 ta được: x
2

Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.
Ví dụ 4: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế của phương trình cho 3 ta được: x =
−2
3

c) Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận
được một phương trình mới tương đương phương trình đã cho.
Ví dụ 5: Giải phương trình:
3x – 6 = 0
Giải: 3x – 6 = 0 ⇔ 3x = 6 (Chuyển -6 sang vế phải và đổi dấu)
⇔ x=2
(Chia hai vế cho 3)
Vậy phương trình có tập nghiệm S={2}
II. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Chỉ ra phương trình nào là phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:

a) 2 – x = 0;
b) 8x – 3 = 0;
c) 0x – 3 = 0
;
d)
3x – 2 = 3.
Bài 2: Giải phương trình: a) 3 -

1
x =0
2

b) x + 8 = 0

25