Tài liệu ôn tập môn toán lớp 12 ôn thi THQG (3)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (228.63 KB, 25 trang )
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
CHUYÊN ĐỀ 2
ỨNG DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI TRONG VIỆC GIẢI HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
(PHÂN TÍCH NHÂN TỬ BẰNG MTBT)
LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình toán trung học, mà cụ thể là trong các đề thi đại học thì hệ
phương trình là nội dung thường xuyên xuất hiện trong đề thi, và đó là một nội dung
được xem là tương đối khó lấy điểm đối với các học sinh trung bình khá trong các đề
thi tuyển sinh đại học
Đối với hệ phương trình thì có rất nhiều phương pháp giải như chúng ta đã biết
như đặt ẩn phụ, dùng hàm số, dùng số phức, lượng giác, đánh giá, bất đẳng thức…
Có thể nói hệ phương trình có một vẻ đẹp riêng của nó vì sự phong phú về bài tập và
cách giải.
Trong quá trình giảng dạy, học tập và tham khảo nhiều tài liệu, tôi thấy có một
mẹo nhỏ có thể giải một lớp bài tập hệ phương trình với dự hỗ trợ của máy tính bỏ
túi. Hôm nay xin được giới thiệu cho các đồng nghiệp, bạn bè và học sinh tham
khảo. Hy vọng tài liệu này có thể giúp được đọc giả có thêm công cụ để học tập,
giảng dạy.
Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của bạn bè đồng nghiệp và các em học
sinh để tài liệu được hoàn chỉnh hơn.
Bình Tân, Ngày 15 Tháng 12 Năm 2014
1.
Ý TƯỞNG CỦA PHƯƠNG PHÁP
1
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
f ( x, y ) = 0
Cho phương trình
y=a
. Giả sử ta chọn
f ( x) = 0
phương trình
(hoặc
x = a = co nst
). Khi đó
x = ka n + b; a, b, k ∈ Q, n ∈ Z
giả sử có nghiệm
, ta hy vọng có
thể phân tích phương trình
f ( x, y ) = 0
(
)
f ( x, y ) = 0 ⇔ x − ky n − b g ( x, y ) = 0
f ( x, y ) = 0
được:
.
(Chú ý: Nếu phương tình
có mối quan hệ tuyến tính giữa x,y thì chắc chắn
ta sẽ phân tích được thành nhân tử)
1.1 Các ví dụ minh họa dùng máy tính bỏ túi phân tích nhân tử
A = 2 x 2 − 3 y 2 + 5 xy − 4 x + 2 y
Ví dụ 1:
Nhận xét: A là một tam thức bậc hai. Giả sử ta cho y=1000, ta được
A = ( x − 500 ) ( x + 2998 ) = ( 2 x − y ) ( x + 3 y − 2 )
A = x 2 + xy − 2 y 2 + 3x + 36 y − 130
Ví dụ 2:
Nhận xét: A là một tam thức bậc hai. Giả sử ta cho y=1000, ta được
A = ( x + 1990 ) ( x − 987 ) = ( x + 2 y − 10 ) ( x − y + 13)
A = x3 − xy + x 2 y − y 2 − x 2 + y
Ví dụ 3:
Nhận xét: A là một tam thức bậc hai với y. Giả sử ta cho x=1000, ta được
(
)
A = − ( y − 1000000 ) ( y + 999 ) = x 2 − y ( x + y − 1)
A = x3 y + xy 2 − x 2 − y − xy + 1
Ví dụ 4:
Nhận xét: A là một tam thức bậc hai đối với. Giả sử ta cho x=1000, ta được
(
)
1
2
A = 1000 y −
÷( y + 999999 ) = ( xy − 1) y + x − 1
1000
A = x3 y − xy 2 + 2 x 2 − xy − 2 y − 2
Ví dụ 5:
Nhận xét: A là một tam thức bậc hai đối với y. Giả sử ta cho x=1000, ta được
2
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
(
)
1
2
A = −1000 y +
÷( y − 99999 ) = ( xy + 2 ) x − y − 1
500
A = 2 x 2 − 3 y 2 + 5 xy − 4 x + 2 y
Ví dụ 6:
Nhận xét: A là một tam thức bậc hai. Giả sử ta cho y=1000, ta được
A = 2 ( x − 500 ) ( x + 2998 ) = ( 2 x − y ) ( x + 3 y − 2 )
2. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
xy + x − 2 = 0
3
2
2
2
2 x − x y + x + y − 2 xy − y = 0
2.1 Giải hệ phương trình:
Đại học khối D-2012
Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là dạng tam thức bậc hai của y. Giả sử ta cho
y = 1000000 = x 2 ; y = 2001 = 2 x + 1
x=1000. Khi đó: phương trình (2) có hai nghiệm
Bài giải:
(
Pt (2) ⇔ y − x 2
) ( y − 2 x − 1) = 0
y = x2
⇔
y = 2x +1
Kết hợp với Pt (1) ta được:
y = x 2
y = 2x +1
∨
xy + x − 2 = 0 xy + x − 2 = 0
y = x 2
y = 2 x + 1
⇔
∨ 2
3
x + x − 2 = 0 x + x − 1 = 0
y = ± 5
y =1
⇔
∨
−1 ± 5
x = 1 x =
2
3
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
−1 + 5
−1 − 5
S = ( x; y ) = ( 1;1) ,
; 5÷
,
;
−
5
÷
÷ 2
÷
2
2.2 Giải hệ phương trình:
5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2( x + y ) = 0
2
2
2
xy ( x + y ) + 2 = ( x + y )
Đại học khối A-2011
Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc 3 theo ẩn x, hoặc y. Giả sử cho
x=
y=1000, khi đó phương trình có nghiệm
1
1
=
1000 y
. Khi đó, trong phương trình (2)
( xy − 1)
có nhân tử
Bài giải:
(
)
pt (2) ⇔ ( xy − 1) x 2 + y 2 − 2 = 0
xy − 1 = 0
⇔ 2
2
x + y = 2
Kết hợp pt(1) ta được:
5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2 ( x + y ) = 0 5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2 ( x + y ) = 0
∨
2
2
x + y = 2
xy = 1
TH 1:
5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2 ( x + y ) = 0
3 y 3 + 3 x − 6 y = 0
⇔
xy = 1
xy = 1
y4 − 2 y2 + 1 = 0
x = 1 x = −1
⇔
⇔
∨
1
y = 1 y = −1
x = y
4
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
(
TH 2:
5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − x 2 + y 2
x 2 + y 2 = 2
) ( x + y ) = 0 ⇔ ( x − y ) ( x − 2 y ) = 0
2
2
x + y = 2
x = y
x = 2 y
⇔ 2
∨ 2
2 x = 2 5 y = 2
2 2
−2 2
x =
x =
x = 1 x = −1
5
5
⇔
∨
∨
∨
2
y = 1 y = −1
y = − 2
y = 5
5
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
2 5 2 −2 5 −2
S = ( x; y ) = ( 1;1) , ( −1; −1)
;
;
÷,
÷
5÷
5÷
5
5
2.3 Giải hệ phương trình:
xy + x + y = x 2 − 2 y 2
x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y
Đại học khối D-2008
Nhận xét: Phương trình (1) có dạng bậc 2 theo ẩn x hoặc y. Giả sử cho y=1000, khi đó
x = −1000 = − y; x = 2001 = 2 y + 1
phương trình (1) có nghiệm
Bài giải:
Điều kiện:
x ≥ 1
y ≥ 0
pt (1) ⇔ ( x + y ) ( x − 2 y − 1) = 0
x + y = 0(l )
⇔
x = 2 y +1
5
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
Kết hợp phương trình (2) ta được:
x = 2 y + 1
x = 2 y + 1
⇔
( y + 1) 2 y − 2 = 0
( 2 y + 1) 2 y − y 2 y = 2 y + 2
(
)
x = 5
x = −1
⇔
( n) ∨
( l)
y = 2
y = −1
S = ( x; y ) = { ( 5; 2 ) }
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
2.4 Giải hệ phương trình:
y 4 − 2 xy 2 + 7 y 2 = − x 2 + 7 x + 8
2
3 y + 13 − 15 − 2 x = x + 1
Đề thi thử đại học khối A-THPT Trần Phú –Hà Tĩnh– 2013
Nhận xét: Phương trình (1) có dạng trùng phương theo ẩn y. Giả sử cho x=1000, khi đó
y 2 = 1001 = x + 1; y 2 = 992 = x − 8
phương trình (1) có nghiệm
Bài giải:
−1 ≤ x ≤
Điều kiện:
(
15
2
)(
)
pt (1) ⇔ y 2 − x − 1 y 2 − x + 8 = 0
y2 = x +1
⇔
2
y = x − 8
Kết hợp phương trình (2) ta được:
y 2 = x + 1
y 2 = x − 8
∨
2
2
3 y + 13 − 15 − 2 x = x + 1 3 y + 13 − 15 − 2 x = x + 1
6
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
TH 1:
2
y 2 = x + 1
y = x + 1
⇔
( x + 1) ( 15 − 2 x ) = 2 x
3 x + 16 = 15 − 2 x + x + 1
y2 = x +1
y2 = x +1
y = ±2
⇔ x ≥ 0
⇔ x ≥ 0
⇔
x = 3
2
x = 3( n); x = −5 / 6(l )
6
x
−
13
x
−
15
=
0
TH 2:
y 2 = x − 8
(l )
2
3 y + 13 − 15 − 2 x = x + 1
Do − 1 ≤ x ≤
15
⇔ y 2 = x − 8 < 0(vn )
2
S = ( x; y ) = { ( 3; 2 ) , ( 3; −2 ) }
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
2.5 Giải hệ phương trình:
x + 3 = 2 3 y − x . y + 1
2
x − xy + y = x + 2
Nhận xét: Phương trình (1) có dạng bậc hai theo ẩn x hoặc y. Giả sử ta cho y=1000,
khi đó phương trình (1) có nghiệm x=1999=2y-1. Khi đó, trong phương trình (1) có
( x − 2 y + 1)
nhân tử
Bài giải:
Điều kiện:
y ≥ −1
3 y − x ≥ 0
7
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
(
pt (1) ⇔ x 2 + 6 x + 9 = 4 3 y 2 − xy − x + 3 y
⇔ ( x − 2 y + 1) ( x + 6 y + 9 ) = 0
)
x = 2 y −1
⇔
x = −6 y − 9
Kết hợp phương trình (2) ta được:
x = 2 y − 1
x = −6 y − 9
∨ 2
2
x − xy + y = x + 2 x − xy + y = x + 2
x = 2 y − 1
x = 2 y − 1
⇔
2
2
x − xy + y = x + 2
( 2 y − 1) − ( 2 y − 1) y + y = 2 y − 1 + 2
TH 1:
x = 2 y − 1
x = −1 x = 3
⇔ 2
⇔
∨
y = 0 y = 2
2 y − 4 y = 0
x = −6 y − 9
x = −6 y − 9
⇔
2
2
42 y + 124 y + 88 = 0
( 6 y + 9 ) + ( 6 y + 9 ) y + y = −6 y − 7
TH 2:
−31 − 37
−31 + 37
x =
x =
21
2
⇔
∨
y = −1 + 2 37 y = −1 − 2 37
7
7
Vậy hệ có nghiệm
−31 ± 37 −1 m2 37
S = ( x; y ) = ( −1;0 ) ; ( 3; 2 ) ;
;
÷
÷
21
7
2.6 Giải hệ phương trình:
y 2 − 2 xy + 2 x = 1
2
y + xy − 6 x = 3
Nhận xét: Phương trình (1) là phương trình bậc hai theo ẩn y, giả sử ta cho x=1000,
y = 1; y = 1999 = 2 x − 1
khi đó phương trình (1) có nghiệm
. Khi đó, phương trình (1) sẽ
( y − 1) ( y − 2 x + 1) = 0
phân thích được thành nhân tử
8
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
Bài giải:
pt (1) ⇔ ( y − 1) ( y − 2 x + 1) = 0
y =1
⇔
y = 2x −1
Kết hợp phương trình (2) ta được:
TH 1:
TH 2:
y = 1
y = 2 x − 1
∨ 2
2
y + xy − 6 x = 3 y + xy − 6 x = 3
y =1
y =1
⇔
2
−5 x = 2 x = −
5
y = 2 x − 1
y = 2 x − 1
⇔ 2
2
y + xy − 6 x = 3 6 x − 11x − 2 = 0
1
x=−
x = 2
6
⇔
∨
y = 3 y = − 4
3
−2 −1 −4
S = ( x; y ) = ( 2;3) ; ;1÷; ; ÷
5 6 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm
2 x3 + 2 x 2 y − xy = y 2 − x − y
3
2
2 x − xy + x = 4
2.7 Giải hệ phương trình:
Nhận xét: Phương trình (1) là phương trình bậc hai theo ẩn y. giả sử cho x=1000,
y = −1000 = − x; y = 2000001 = 2 x 2 + 1
phương trình (1) có nghiệm
trình (1) thể phân tích thành nhân tử
. Khi đó, phương
( y + x ) . ( y − 2 x 2 − 1) = 0
Bài giải:
9
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
(
)
pt (1) ⇔ ( y + x ) y − 2 x 2 − 1 = 0
y = −x
⇔
2
y = 2x +1
2
y = − x
y = 2x + 1
∨ 2
3
2
2
2
2 x + 2 x − 4 = 0 2 x − x 2 x + 1 + x − 4 = 0
(
Kết hợp phương trình (2) ta được:
TH 1:
)
y = − x
y = −1
⇔
3 2
x + x − 2 = 0 x = 1
y = 10 + 17 y = 10 − 17
y = 2 x 2 + 1
⇔ 1 + 17 ∨ 1 − 17
2
x =
x − x − 4 = 0 x =
2
2
TH 2:
Vậy hệ phương trình có nghiệm
1 − 17
1 + 17
S = ( x; y ) = ( 1; −1) ;
;10 − 17 ÷
;
;10
+
17
÷
÷ 2
÷
2
2.8 Giải hệ phương trình:
x 2 − 2 y 2 + xy + x − y = 0
3
3
2
2
x − y + 2 x y + y = −1
Nhận xét: Phương trình (1) là phương trình bậc 2 theo ẩn x, giả sử cho y=1000. Khi
x = 1000 = y; x = 2001 = 2 y + 1
đó, phương trình (1) có hai nghiệm
.Do đó, phương trình
( x − y ) ( x − 2 y − 1) = 0
(1) sẽ phân tích được thành nhân tử
Bài giải:
10
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
pt (1) ⇔ ( x − y ) ( x − 2 y − 1) = 0
x = y
⇔
x = 2 y +1
Kết hợp phương trình (2) ta được:
x = y
x = 2 y + 1
∨
3
3
3
2
2
3
2
2
x − y + 2 x y + y = −1 x − y + 2 x y + y = −1
TH 1:
TH 2:
y = −1
x = y
x = y
⇔
⇔
3
3
3
2
2
2
x = −1
x − y + 2 x y + y = −1 2 x + x + 1 = 0
x = −1
x = 2 y + 1
⇔
3
2
y = −1
15 y + 21y + 8 y + 2 = 0
S = ( x; y ) = { ( −1; −1) }
Vậy hệ phương trình có nghiệm
2 x 2 − 8 xy 2 − xy + 4 y 3 = 0
3
2
16 x + 2 x − 8 y + 5 = 0
2.9 Giải hệ phương trình:
Nhận xét: Phương trình (1) là phương trình bậc hai theo ẩn x, giả sử cho y=1000. Khi
x = 4000000 = 4 y 2 ; x = 500 =
đó, phương trình (1) có hai nghiệm
y
2
. Do đó, phương
( x − 4 y ) ( 2x − y ) = 0
2
trình (1) có thể phân tích thành nhân tử
Bài giải:
(
)
pt (1) ⇔ x − 4 y 2 ( 2 x − y ) = 0
x = 4 y2
⇔
x = y
2
11
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
Kết hợp phương trình (2) ta được:
TH 1:
x = 4 y 2 ( *)
3
16 x + 14 = 0
x = 4 y 2
y = 2 x1
∨ 3
3
2
2
16 x + 2 x − 8 y + 14 = 0 16 x + 2 x − 8 y + 14 = 0
( **)
x≥0
Từ pt (*), suy ra:
, kết hợp phương trình (**) suy ra hệ vô nghiệm.
y = 2 x
y = 2 x
⇔
3
2
2
16 x + 2 x − 32 x + 14 = 0
( x − 1) 16 x − 16 x − 14 = 0
TH 2:
2±3 2
1
x=
x
=
−
x = 1
x = 2
4
6
⇔
∨
⇔
∨
y
=
2
y = 2±3 2
y = 3 y = − 4
3
2
(
)
2 ± 3 2 2 ± 3 2
S = ( x; y ) = ( 1; 2 ) ;
;
÷
4
2 ÷
Vậy hệ phương trình có nghiệm
2 x 2 + xy − y 2 = 5 x − y − 2
2
2
x + y + x + y = 4
2.10 Giải hệ phương trình:
Nhận xét: Phương trình (1) có dạng bậc hai đối với ẩn x hoặc y, giả sử cho y=1000.
x = −998 = − y + 2; x =
Khi đó, phương trình (1) có hai nghiệm
1001 y + 1
=
2
2
. Do đó,
( x + y − 2 ) ( 2 x − y − 1) = 0
phương trình (1) có thể phân tích thành nhân tử
Bài giải:
12
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
pt (1) ⇔ ( x + y − 2 ) ( 2 x − y − 1) = 0
y = 2x −1
⇔
y = 2− x
Kết hợp phương trình (2) ta được:
TH 1:
TH 2:
y = 2 x − 1
y = 2 − x
∨
2
2
2
2
x + x + y + y = 4 x + x + y + y = 4
−4
x=
y = 2 x − 1
x = 1
5
⇔
∨
2
5 x − x − 4 = 0
y = 1 y = −13
5
x + y = 2
x = 1
y = 2 − x
⇔
⇔
2
2
xy = 1
y =1
x + x + y + y = 4
Vậy hệ phương trình có nghiệm
2.11 Giải hệ phương trình:
−4 −13
S = ( x; y ) = ( 1;1) ; ;
÷
5 5
x3 − 3 x 2 + x + 3 y = xy + 3
2
2
2 y − 3 xy − 9 x + 3 x = y
Nhận xét:
Phương trình (2) có dạng bậc hai theo ẩn x hoặc y, giả sử cho x=1000. Khi đó, phương
y = 3000 = 3 x; y =
trình (2) có hai nghiệm
−2999 −3 x + 1
=
2
2
. Do đó, phương trình (2) có
( y − 3x ) ( 2 y + 3x − 1) = 0
thể phân tích được thành
Phương trình (1) là phương trình bậc 3 theo ẩn x, giả sử cho y=1000. Khi đó, phuognw
x=3
trình (1) có nghiệm
. Do đó, phương trình (1) có thể phân tích thành
( x − 3) ( x 2 − y + 1) = 0
13
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
Bài giải:
pt (2) ⇔ ( y − 3 x ) ( 2 y + 3 x − 1) = 0
y = 3x
⇔
2 y + 3x − 1 = 0
(
)
pt (1) ⇔ ( x − 3) x 2 − y + 1 = 0
x = 3
⇔ 2
x = y −1
Kết hợp phương trình (1); (2) ta được:
y = 3 x y = 3x
3x + 2 y − 1 = 0 3 x + 2 y − 1 = 0
∨ 2
∨
∨ 2
x = 3 x − y + 1 = 0 x = 3
x − y + 1 = 0
TH 1:
TH 2:
TH 3:
y = 9
x = 3
3± 5
x =
y = 3x
2
⇔
2
x − 3x + 1 = 0
y = 9± 3 5
2
y = −4
x = 3
−1
x=
3 x + 2 y − 1 = 0
3 x + 2 y − 1 = 0
x
=
−
1
2
⇔ 2
⇔
∨
2
y = 2 y = 5
x − y + 1 = 0
2 x + 3 x + 1 = 0
4
TH 4:
Vậy hệ phương trình có nghiệm
−1 5 3 ± 5 9 ± 3 5
S = ( x; y ) = ( 3; −4 ) ; ( 3;9 ) ; ; ÷;
;
÷
2 ÷
2 4 2
14
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
2.12 Giải hệ phương trình:
2
y = ( 5x + 4 ) ( 4 − x )
2
2
y − 5 x − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0
Nhận xét:
Phương trình (2) có dạng bậc hai theo ẩn x hoặc y, giả sử cho x=1000. Khi đó, phương
y = 5004 = 5 x + 4; y = −996 = − x + 4
trình (2) có hai nghiệm
. Do đó, phương trình (2)
( y − 5x − 4 ) ( y + x − 4 ) = 0
có thể phân tích được thành
Bài giải:
pt (2) ⇔ ( y − 5 x − 4 ) ( y + x − 4 ) = 0
y = 5x + 4
⇔
y = 4− x
Kết hợp phương trình (1) ta được:
TH 1:
TH 2:
y = 5 x + 4
y = 4 − x
∨ 2
2
y = ( 5 x + 4 ) ( 4 − x ) y = ( 5 x + 4 ) ( 4 − x )
x = 0 ⇒ y = 4
y = 5x + 4
y = 5x + 4
⇔
⇔
x = −4 ⇒ y = 0
y
=
5
x
+
4
4
−
x
x
5
x
+
4
=
0
(
)(
) (
)
5
y = 4 − x
x = 0 ⇒ y = 4
y = 4 − x
⇔
⇔
2
6 x ( 4 − x ) = 0
x = 4 ⇒ y = 0
y = ( 5 x + 4 ) ( 4 − x )
Vậy hệ phương trình có nghiệm
−4
S = ( x; y ) = ( 0; 4 ) ; ( 4; 0 ) ; ;0 ÷
5
3. BÀI TẬP ÁP DỤNG
3.1 Giải hệ phương trình:
x 2 + 5 x − xy = 3 y − 6
2
2
4 x y − 3 xy + 2 y = 9
15
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
3.2 Giải hệ phương trình:
3.3 Giải hệ phương trình:
3.4 Giải hệ phương trình:
3.5 Giải hệ phương trình:
3.6 Giải hệ phương trình:
3.7 Giải hệ phương trình:
3.8 Giải hệ phương trình:
y 2 + xy = 3 x + 4 y − 3
3
x − 2 + 2 − y = 3
y
12 = 3 + x − 2 4 y − x
x
y + 3 + y = x2 − x − 3
x 2 + y 2 = 5
y − 1 ( x + y − 1) = ( y − 2 ) x + y
x3 + 2 y 2 = x 2 y + 2 xy
2
2 x − 2 y − 2 = x − 2 y + 3
x + 3 = 2 ( 3 y − x ) ( y + 1)
2
x − xy + y = x + 2
2 xy
2
2
x + y + x + y = 1
x + y = x2 − y
Đề thi thử đại học-THPT Lê Qúy Đôn -HCM– 2010
4 y 4 + 16 xy − 16 y 2 + x3 − 3x 2 y − 4 x 2 = 0
x − 2 y + x + y = 2 3
Đề thi thử đại học khối -THPT Hùng Vương -HCM– 2013
( x − y ) x 2 + xy + y 2 + 3 = 3 x 2 + y 2 + 2
4 x + 2 + 16 − 3 y = x 2 + 8
3.9 Giải hệ phương trình:
(
) (
)
Đề thi thử đại học khối A-THPT Lương Tài 2-Bắc Ninh – 2013
16
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
3.10 Giải hệ phương trình:
x3 − 3 x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y
2
1
2
x + y − x + y =
2
Đại học khối A,A1-2012
2 xy − x y + 3 y = 4 ( x + y )
2
2
2
xy x + y + ( x + y ) = 3xy + 1
2
2
3
(
3.11 Giải hệ phương trình:
3.12 Giải hệ phương trình:
3.13 Giải hệ phương trình:
x
y − x − 2y = 6y + 2
x + x − 2 y = x + 3y − 2
x 3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0
2
2
2
x + 1 − x = 3 2 y − y
(
3.14 Giải hệ phương trình:
)
)
x 2 + 1 x + ( y − 4 ) 3 − y = 0
x − xy = y + 5
(
3.15 Giải hệ phương trình:
(
3.16 Giải hệ phương trình:
3.17 Giải hệ phương trình:
)
(
)
x x2 + y 2 = y4 y 2 + 1
4 x + 5 + y 2 + 8 = 6
)
x 4 x 2 + 1 + ( y − 3) 5 − 2 y = 0
x 2 − 5 − 2 y = 3
x 3 + x − 2 = y 3 + 3 y 2 + 4 y
2
2
x + 2 y − x + y − 5 = 0
17
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
x3 − 3x 2 + 2 = y 3 + 3 y 2
3 x − 2 = y 2 + 8 y
3.18 Giải hệ phương trình:
Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ
x 2 − 5 y + 3 + 6 y 2 − 7 x + 4 = 0
y ( y − x + 2 ) = 3x + 3
3.19 Giải hệ phương trình:
x3 + y 3 = 3 x 2 − 6 x − 3 y + 4
2
2
x + y − 6 x + y − 10 = y + 5 − 4 x + y
3.20 Giải hệ phương trình:
x 3 − 3 x = y 3 − 3 y 2 + 2
x − 1 + y − 2 = 2
3.21 Giải hệ phương trình:
x3 − x 2 y = x 2 − x + y + 1
3
3
2
2
x − 9 y + 6 ( x − 3 y ) − 15 = 3 6 x + 2
3.22 Giải hệ phương trình:
Đề thi thử ĐH – Bắc Ninh
2 x + y + 5 − 3 − x − y = x 3 − 3 x 2 − 10 y + 6
3
2
3
x − 6 x + 13 x = y + y + 10
3.23 Giải hệ phương trình:
3.24 Giải hệ phương trình:
THPT Thuận Thành –
7 x3 + y 3 + 3xy ( x − y ) − 12 x 2 + 6 x = 1
3 4 x + y + 1 + 3 x + 2 y = 4
Đề thi thử ĐH – Hà Tĩnh
18
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
3.25 Giải hệ phương trình:
3.26 Giải hệ phương trình:
3.27 Giải hệ phương trình:
3.28 Giải hệ phương trình:
3.29 Giải hệ phương trình:
3.30 Giải hệ phương trình:
3.31 Giải hệ phương trình:
3.32 Giải hệ phương trình:
x ( 3x − 7 y + 1) = −2 y ( y + 1)
x + 2 y + 4 x + y = 5
Đề thi thử ĐH – Thái Bình
x3 + 2 y 3 − 3 xy 2 − 2 xy + x 2 + y 2 = 0
1
y + x + 4 y + 2 +1 = 0
x 3 + y 3 + 6 xy = 8
2
2
x + y = 2 x + y + 14
( 17 − 3 x ) 5 − x + ( 3 y − 14 ) 4 − y = 0
2
2 2 x + y + 5 + 3 3x + 2 y + 11 = x + 6 x + 13
( x − y ) ( x + 3) 2 + ( y + 3) 2 + xy − 2 = 3 y 2 + 15 y + 23
x 2 + 2 x + y + 2 = 3
4 x 2 + 2 xy − 2 y 2 + 5 y − x = 3
2
2
2 x − 5 xy + 2 y + 3 x = 10
3 x 2 − 3 xy + y 2 − 9 x + 3 y + 4 = 0
2
3 y − 6 xy + 2 x − 10 y + 3 = 0
3
2
3
2
x + x + x = y + 4 y + 6 y + 3
2
2
x + y + 3x + xy − 4 y + 7 = 0
19
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
3.33 Giải hệ phương trình:
3.34 Giải hệ phương trình:
3.35 Giải hệ phương trình:
3.36 Giải hệ phương trình:
43
3
2
=0
2 xy − 3 y − 4 xy +
27
6 x3 y + 3xy 3 + 5 xy = 6 x 2 y 2 + 2 x 2 + y 2 + 1
( x + y ) 3 + y 3 − ( xy + 1) ( 2 x + y − 1) + ( x + 2 y ) 2 = 7 x 2 + 1
2
3 x − 2 y 2 − 9 x − 8 y = 3
( x − 1) 3 − ( y + 1) 3 − 12 ( x − y ) + 24 = 0
2
1
2
x + y − x + y =
2
3
3
2
2
x − y − x y + xy − 2 xy + y − x = 0
3
2
x − y = x − 2x + y + 2
(
(
3.37 Giải hệ phương trình:
3.38 Giải hệ phương trình:
3.39 Giải hệ phương trình:
3.40 Giải hệ phương trình:
3
2
3
2
x + y + y = y + 2 x + 1
2
2
2 x − y − 6 x + 2 y + 3 = 0
8 x3 + 2 x 2 + 18 x + 8 x 2 y + 4 xy 2 = 5 y 3 + 13 y 2 + 9 y
3
3
5 y + 16 x = 7
x3 + 4 x 2 − y 3 + 5 y 2 + 3 ( 2 x − 3 y ) + 9 = 0
2
x + 1 − x 2 + 6 y − 8 − y 2 = 1
(
3.41 Giải hệ phương trình:
)
)
x 2 + 1 x + ( y − 3) 2 − y = 0
3
x + 3 x + xy 2 − 8 6 − 2 x + 11 = 0
)(
)
(
)
x 3 − 3 y x3 + 3 y + y 3 = x 2 3 x 2 − 4 − 28 y + 32
x 4 + 4 + y 2 + 1 = 5
20
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
3.42 Giải hệ phương trình:
2 y 25
3
2
3
x + 2 x − 2 xy − y + 3 − 24 = 0
2 x 2 − x − 2 xy + 3 y + 2 y 2 + 1 = 0
2
x2 − 2 y + 2 = 2x − y
3
2
2
x + 2 x = y x + 3x − y
(
3.43 Giải hệ phương trình:
3.44 Giải hệ phương trình:
3.45 Giải hệ phương trình:
3.46 Giải hệ phương trình:
3.47 Giải hệ phương trình:
3.48 Giải hệ phương trình:
3.49 Giải hệ phương trình:
3.50 Giải hệ phương trình:
)
3
2 y + y + 2 x 1 − x = 3 1 − x
2
2 y +1 + y = 4 + x + 4
3 x 2 + 2 y 2 − 5 xy + x − y = 0
x 2 y − y 3 x + 1 = 2 ( x − y )
8 ( x + y ) − 3 xy = x 2 + 2 y 2
2
2
4 2 − x + 3 − y = 2 x − y + 5
3 x − 1 + 4 ( 2 x + 1) = y − 1 + 3 y
( x + y ) ( 2 x − y ) + 6 x + 3 y + 4 = 0
x − y + ( x − 1) y + 5 = 5
y x 2 − 4 x + 5 + ( 2 − x ) y 2 + 1 = 0
x 3 + 3 x = y 3 + 6 y 2 + 15 y + 14
3
2
3 − x + 4 + y = x + y − 5
3
3
2
x − 12 x − y + 6 y − 16 = 0
2
2
2
4 x + 2 4 − x − 5 4 y − y + 6 = 0
21
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
3.51 Giải hệ phương trình:
x 2 + 4 y 2 + 4 x = 4 xy + 8 y + 5
( x + y ) x − 2 y + ( x + y ) x − y = 2
( y − 2 ) x + 2 = x y
2
( y + 1) x + 1 = ( y − 3) 1 + x − 3x + y
(
3.52 Giải hệ phương trình:
3.53 Giải hệ phương trình:
3.54 Giải hệ phương trình:
3.55 Giải hệ phương trình:
3
2 y + 2 x 1 − x = 3 1 − x − y
2
y + 1 = 2 x + 2 xy x + 1
x + 3 = 2 ( 3 y − x ) ( y + 1)
x+5
= xy − 2 y − 2
3y − 2 −
2
( 3 − x ) 2 − x = 2 y 2 y − 1
3
x + 2 + 2 y + 2 = 5
x2 + 2 y + 3 = 3 − 2 y
2
3
3
2 x + 2 y + 3 y ( x + 1) + 6 x ( x + 1) + 2 = 0
(
3.56 Giải hệ phương trình:
3.57 Giải hệ phương trình:
)
x 3 − 3 x = y 3 − 3 y 2 + 2
x − 1 + y − 2 = 2
(
3.58 Giải hệ phương trình:
3.59 Giải hệ phương trình:
)
) (
)
2 x x 2 + 3 − y y 2 + 3 = 3 xy ( x − y )
2
( x − 2 ) = 8 − 4 y
y 3 + 5 y − 2 xy ( y − 1) = 4 x 2 + 10 x
2
x − 6 2 x + 5 + 18 = y
22
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
(
3.60 Giải hệ phương trình:
3.61 Giải hệ phương trình:
3.62 Giải hệ phương trình:
3.63 Giải hệ phương trình:
)
( x + y ) x + y + 4 y 2 + 3 y 4 = 0
x + 2 y 2 + 1 = y 2 − y − 1
4 x 2 + 4 xy + y 2 + 2 x + y − 2 = 0
2
8 1 − 2 x + y − 9 = 0
x 2 − y 2 + xy − y = 0
2
2
6 x + y − 5 xy − 7 x + 3 y + 2 = 0
y − 2x + y − x
+1 = 0
xy
2
2
1 − xy + x − y = 0
( y − 2 ) x + 2 = x y
2
x + 1 y + 1 = ( y − 3) 1 + x − 3 x + y
(
3.64 Giải hệ phương trình:
3.65 Giải hệ phương trình:
)
x3 + x + 1
1 x2
+
2
x
−
1
(
) 1 − ÷ = 2 ( 3 y − 1) − ( x − y )
2
y
y y
3
x − x −1 + 4 −1 = 0
y2
y
(
3.66 Giải hệ phương trình:
(
)
)
2
2
3 x4 + y 4 + 2 x2 y 2
x
y
+
y 2 x2 =
2
x2 + y 2
xy 2 + 3 y 2 + 4 x = 8
(
)
23
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
3.67 Giải hệ phương trình:
3.68 Giải hệ phương trình:
3.69 Giải hệ phương trình:
3.70 Giải hệ phương trình:
3.71 Giải hệ phương trình:
2 y 2 − 7 y + 10 − x ( y + 3) + y + 1 = x + 1
3
= x + 2y
y +1 +
x +1
2 ( x − y ) + ( 2 x + 1) ( y + 1) = 1
; ∀x ≥ 0
3
3
3 y + 2 = 8 x − 2 y − 2
( x + 2 ) 2 + 4 ( y − 1) 2 = 4 xy + 13
x 2 − xy − 2 y 2
2
+ x+ y =
2
x− y
x − y2
x+3 y
=1
4 y + 2x + y
1
1
−1
−
=
3 3x − 4 y − 8
y −1 2
( 1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y
2
2 y − 3 x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3
Đề thi ĐH KB – 2014
(
3.72 Giải hệ phương trình:
)
x 12 − y + y 12 − x 2 = 12
x 3 − 8 x − 1 = 2 y − 2
Đề thi ĐH A – 2014
3. TỔNG KẾT
3.1 ƯU ĐIỂM
- Có thể giải quyết được một lớp bài tập hệ phương trình có dạng phân tích thành
nhân tử.
- Một số hệ phương trình có sử dụng tính đơn điệu hàm số có thể bằng phương
pháp này.( Những hàm số dạng đa thức)
3.2 NHƯỢC ĐIỂM
24
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
giải HPT
Chuyên đề 2: Ứng dụng MTBT trong việc
( Kỷ thuật phân tích nhân tử bằng MTBT )
-
-
Bản chất của việc học toán là rèn luyện tư duy, còn phương pháp này là một cái
mẹo để giải quyết nhạnh hệ phương trình, do đó không nên lạm dụng quá sẽ làm
cho người học hạn chế được sự tư duy, sang tạo trong học toán
Đối với các em học sinh khi mới bắt đầu tham gia giải hệ phương trình thì
không nên giải theo cách này mà nên tập khả năng đặt nhân tử chung, tập phân
tích bài toán.
TẠI LIỆU THAM KHẢO
[1] Một số tài liệu trên internet có nguồn góc từ: Diễn đàn toán học, Tài liệu về
hệ phương trình của Thầy Lê Văn Đoàn, Thầy Nguyễn Minh Hiếu, thủ thuật
máy tính của Alexander Viet,….Và rất nhiều nguồn khác nhau trên internet.
25
Thực hiện: GV Nguyễn Văn Sang
