Phương pháp tọa độ trong phẳng

Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Chủ đề 1. Tọa độ điểm, phép tính véc tơ
I. Tóm tắt lí thuyết
Ngoài các kiến thức quen thuộc, cần chó ý các hệ quả sau:
1. M là trung điểm của AB, thì:

x A + xB
y + yB
yM = A
2
2
2. G là trọng tâm ∆ABC , thì:
x + xB + xC
y + yB + yC
xG = A
yG = A
3
3
r
r
3. Cho u = ( x1; y1 )
v = (x ; y )
r r
r r 2 2
r
r
* u , v cùng phương ( v ≠ 0 ) ⇔ tồn tại k ∈ R : u = kv
r r
x1
y1
=0

hoặc u , v cùng phương ⇔
x2
y2
uuur uuur
* AB, AC cùng phương thì A, B, C thẳng hàng
r r
rr
* u ⊥ v ⇔ u.v = 0
r r
r rr r
x1 x2 + y1 y2
* cos(u , v ) =
, ( u ≠ 0, v ≠ 0 )
x12 + y12 . x2 2 + y2 2
xM =

II. Các ví dụ dụ tiêu biểu
Vídụ1: Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho hình thoi ABCD có A(3;1), B (−2;4) và giao của hai
đường chéo thuộc Ox. Tìm toạ độ C, D?
Hướng dẫn:
Gọi I là tâm hình thoi. Giả sử I ( a ;0) ∈ Ox

uur uur
2
Ta có: IA ⊥ IB nên IA.IB = 0 ⇔ a − a − 2 = 0 có nghiệm a = −1 và a = 2 .
* Với a = −1 hay I ( −1;0) . Do C, D đối xứng với A và B qua I suy ra
C (−5; −1) D(0; −4) .
* Với a = 2 hay I (2;0) ⇒ C (1; −1) D (6; − 4)
Vậy có 2 kết quả của C, D.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho hệ Oxy vuông góc có A( −6;2) B (2;6) C (7; −8) . Tìm D ∈ Ox sao cho
ABDC là hình thang có đáy AB?
Hướng dẫn:

uuur

uuur
D ∈ Ox , giả sử D( x;0) suy ra CD = ( x − 7;8)
uuur uuur
Tứ giác ABCD là hình thang có đáy AB và CD nên AB, CD cùng phương
x−7 8
Do đó:
= 0 ⇔ x = 23 . Vậy D(23;0)
8
4
Ví dụ 3: a) Cho A( −3;2) B (4;3) . Tìm M ∈ O x sao cho ∆MAB vuông tại M.
b) ∆ABC có A(1;5) B ( −4; −5) C (4; −1) . Tìm toạ độ chân các đường phân giác trong, ngoài
Ta có AB = (8;4) ;

của góc A.
c) ∆ABC có A(1; −1) B (5; −3) và đỉnh C thuộc Oy, trọng tâm G thuộc Ox. Tìm C và G?
Hướng dẫn:


a) M ∈ Ox , giả sử M ( x0 ;0) ;

uuur uuur
 x0 = 3
∆MAB vuông tại M ⇔ MA.MB = 0 ⇔ 
.Vậy có 2 điểm M là

 x0 = −2
M 1 (3;0), M 2 (−2;0)
Chó ý: Có thể dùng Pitago trong tam giác vuông.
b) I - chân phân giác trong
Ta có AB = 5 5

AC = 3 5 . Theo tính chất ta có

BI AB 5
BI 5
=
= hay
= .
IC AC 3
IC 3

uur 5 uur
5

Do I là phân giác trong nên BI = IC => I  1; − 
3
2

Chứng minh tương tự suy ra chân phân giác ngoài là J (16;5) .
c) Gọi C (0; y0 ), G ( x0 ;0) . Theo công thức tính toạ độ trọng tâm suy ra:
1+ 5 + 0

x
=
0


 xo = 2
3
Vậy C (0;4) G (2;0)
⇒


y
y
−
1
−
3
+
=
4
0
 0
0 =

3
Ví dụ 4: Cho 4 điểm A(-1;3) B(0;4) C(3;5) D(8;0). CMR: ABCD là tứ giác nội tiếp.
Hướng dẫn:

uuur uuur
AB. AD
1
Ta có: cos BAD = uuur uuur =
,
5

AB . AD

uuur uuur
CB.CD
−1
cos BCD = uuur uuur =
5
CB . CD

⇒ cos BAD + cos BCD = 0 ⇒ BAD + BCD = 1800 . Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp.
Cách khác: I(x;y) cách đều A, B, C, D

x = 3
y = 0

Ta có: IA = IB = IC = ID, tìm được 

Vậy I(3;0) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD.
III. Bài tập luyện tập
1) (ĐH, CĐ khối D - 2004). Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho ∆ABC có A(-1;0)
C(0;m) m ≠ 0 . Tìm toạ độ trọng tâm G theo m. Tìm m để ∆GAB vuông tại G.

B(4;0)

Đáp số: m = ±3 6
2) Cho A(-3;2) B(4;3). Tìm C thuộc Ox sao cho ∆ABC vuông tại C.
3) Trong mặt phẳng hệ Oxy vuông góc cho A(-2;1) B(1;1) C(0;1).Tìm M để ∆MAB, ∆OMC cùng cân
tại M.

1

3
a) Tìm B ∈ Ox, C ∈ Oy sao cho ∆ABC nhận I là trọng tâm
b) Tính S∆ABC ?

4) Cho A(6;6) I ( ;1)

5) (ĐH, CĐ khối B - 2003). Trong mặt phẳng hệ Oxy vuông góc cho tam giác ABC có AB = AC, góc A = 900.

2
3

M(1;-1) là trung điểm BC và G ( ;0) là trọng tâm ∆ABC . Tìm A, B, C?
Đáp số: A(0;2) B(4;0) C(-2;-2) (B, C có thể đổi cho nhau)


6) Trên hệ Đề các Oxy cho A(3;1). Tìm B, C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong góc phần tư thứ
nhất?
7) (ĐH,CĐ khối A - 2004): Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho A(0;2)
độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp OAB?

B(− 3; −1) . Tìm toạ

Đáp số: Tâm I ( − 3;1) ; Trực tâm H ( 3; −1)
8) Cho A(2;5) B(1;1) C(3;3). Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành?
9) ∆ABC có: A(0;6) B(-2;0) C(2;0). Gọi G là trọng tâm ∆ACM , với M là trung điểm AB.
a) Tìm G
b) Tìm toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c) CMR: GI ⊥ CM

1

3

Đáp số: a) G ( ;3)

8
3

b) I (0; )

10) Tam giác ABC có A(2;5) B(4;-3) C(-1;6)

uur uur uur r
uuur uuur r
b) Tìm D sao cho 3DB − 2CD = 0

a) Tìm I sao cho IA + 3IB − 2 IC = 0
c) CMR: A, I, D thẳng hàng?

uuur

uuur

d) Gọi E - trung điểm AB, N là điểm sao cho AN = k AC
Tìm k để AD, EN, BC đồng quy.

uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
MA + 3MB − 2 MC = 2 MA − MB − MC

e) Tìm quỹ tích M sao cho

Đáp số: a) I(8;-8)

b) D(14;-21)

d) k =

2
5

e) Quỹ tích M là đường tròn tâm I(8;-8) bán kính

50
2

11) ∆ABC với A(1;0) B(0;3) C(-3;-5). Tìm quỹ tích M trong các trường hợp sau:

uuur

uuur uuur

uuur

a) (2 MA − 3MB )( MA − 2 MB) = 0
2

2

b) 2 MA + MB = 2 MC

2

−3 15
; ), R = 10
2 2
b) Quỹ tích M là đường tròn tâm J(8;13) và R = 290
12) Tam giác ABC vuông tại A với B(-3;0) C(7;0) và bán kính đường tròn nội tiếp r = 2 10 − 5 . Tìm
tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết y I > 0?
Đáp số: a) Quỹ tích M là đường tròn tâm I (

Đáp số: I1 (2 + 10;2 10 − 5) , I 2 (2 − 10;2 10 − 5)
Chủ đề 2: Phương trình đường thẳng
I-Lý Thuyết
A-Phương trình đường thẳng
r
+ )vtpt n = (a; b)
1.Nếu đường thẳng (d) biết 
⇒ Phương trình tổng quát của (d) là :
+ ) di qua M(x 0 ;y 0 )

a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0


r
+ )vtcp u = (a; b)
 x = x0 + at
2. Nếu đường thẳng (d) biết 
⇒ Phương trình tham số của (d) là : 
+ ) di qua M(x 0 ;y 0 )
 y = y0 + bt

r
3.Nếu đường thẳng (d) có phương trình tổng quát: ax+by+c=0 thì (d) có một vtpt là n = (a; b) và mọi
nghiệm của phương trình là tọa độ của điểm thuộc (d).
r
 x = x0 + at
4.Nếu (d) có phương trình tham số 
thì (d) có một vtcp u = (a; b) và ứng với mỗi giá trị của t
 y = y0 + bt
cho ta tọa độ một điểm thuộc (d).
r
r
5.Nếu u = (a; b) là một vtcp (hoặc vtpt)của đường thẳng (d) thì u = (−b; a ) là một vtpt (hoặc vtcp)của

đường thẳng (d).
6.Cho đường thẳng (d): ax+by+c=0
- Nếu (d1)//(d) thì phương trình (d1)có dạng :ax+by+m=0
- Nếu (d2) ⊥ (d) thì phương trình (d2)có dạng :-bx+ay+n=0

7.Phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) có dạng
x y
+ = 1(a ≠ 0; b ≠ 0)
a b

8.Phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(xA;yA);B(xB;yB) có dạng:
x − xA
y − yA
=
xB − x A y B − y A
-

Nếu xB − x A =0 thì (d) có phương trình : x − xA =0

-

Nếu yB − y A =0 thì (d) có phương trình : y − y A =0

 x = x0 + at
9.Nếu đường thẳng (d)có phương trình tham số 
với a ≠ 0; b ≠ 0 thì ta có phương trình chớnh
 y = y0 + bt
tắc của (d) là :

x − x0 y − y0
=
a
b

B-Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
Cho (d1): a1 x + b1 y + c1 = 0
(d2): a2 x + b2 y + c2 = 0

Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) ta lập hệ

a1x+b1 y+c1 =0
(I )

a 2 x+b 2 y+c 2 =0
-

Hệ (I) vụ nghiệm ⇔ (d1)// (d2)

-

Hệ (I) có nghiệm duy nhất (x0;y0) ⇔ (d1)cắt (d2) tại điểm M(x0;y0)

-

Hệ (I) vụ số nghiệm ⇔ (d1) trựng (d2)

C-Góc giữa hai đường thẳng :


Góc giữa hai đường thẳng luôn bằng hoặc kề bù với góc giữa hai vtpt (hoặc góc giữa hai vtcp).
Suy ra:
Nếu (d1): a1 x + b1 y + c1 = 0
a1a 2 +b1b 2

(d2): a2 x + b2 y + c2 = 0 thì cosα =

a12 + b12 . a2 2 + b2 2

( α là góc giữa hai đường thẳng (d1) và

(d2))

D-Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Cho (d): ax+by+c=0 và điểm M ( x0 ; y0 ) .Khi đó khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng (d):
dM / d =

ax 0 +by 0 +c

a 2 + b2

Lưu ý:
Cho (d): ax+by+c=0 và hai điểm M ( x0 ; y0 ) , N ( x1 ; y1 ) .Đặt t = (ax 0 +by 0 +c)(ax1 +by1 +c)
Nếu t < 0 thì M,N nằm về hai phớa của (d).
Nếu t>0 thì M,N nằm cựng một phớa với (d).

II- Bài tập:
Dạng 1:viết phương trình của đường thẳng
Bài 1:Viết phương trình tổng quát,phương trình tham số ,phương trình chớnh tắc (nếu có) của đường thẳng
(d) trong các trường hợp sau:
r
a) (d) có vtpt n =(2;-3) và đi qua điểm M(1;2).
b) (d) đi qua điểm A(3;2) và vuông góc với (d1):2x-y-1=0
c) (d) đi qua hai điểm A(1;2) và B(3;4).
Giải :
a) Ta có :

qua M (1; 2)
r
(d): 
⇒ phương trình tổng quát của (d): 2(x-1)-3(y-2)=0
vtpt n(2; −3)

↔ (d): 2x-3y+4=0
r
r
 x = 1 + 3t
+) (d) có vtpt n(2; −3) suy ra (d) có vtcp là u(3; 2) ⇒ phương trình tham số của (d) là: 
 y = 2 + 2t

+) phương trình chớnh tắc của (d) là:

x −1 y − 2
=
3
2

b) Do (d) ⊥ (d1):2x-y-1=0 nờn (d) có dạng : x+2y+m=0
Vì A(3;2) ∈ (d) nờn ta có :3+2.2+m=0↔m=-7
Vậy phương trình tổng quát của (d) là :x+2y-7=0
+) Phương trình tham số của (d): Đặt y=t suy ra x=7-2t


 x = 7 − 2t
Vậy phương trình tham số của (d): 
y = t
+)Phương trình chớnh tắc của (d):

x−7 y
=
−2
1

qua A(1; 2)
uuur
c) Cách 1:Do (d) đi qua A và B nờn (d): 
⇒ phương trình tham số của (d) là
vtcp AB(2; 2)
 x = 1 + 2t


 y = 2 + 2t
+) Phương trình tổng quát của (d):Khử tham số t ở p tham số ta được: x-y+1=0
Cách 2: Phương trình tổng quát của (d):
x −1 y − 2
=
⇔ x − y +1 = 0
3 −1 4 − 2

 x = −1 + t
Từ đó suy ra phương trình tham số của (d): 
y = t
Bài 2:Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm các cạnh là M(2;1),N(5;3),P(3;-4).
Giải:
Giả sử M,N,P theo thứ tự lần lượt là trung điểm các cạnh BC,AC,AB.
Ta có:
+) phương trình BC được xác định bởi

qua M(2;1)
qua M(2;1)
uuur
( BC ) : 
⇔
 vtcp PN(−2; −7)
BC//PN
x − 2 y −1
⇔ ( BC ) :
=
⇔ ( BC ) : 7 x − 2 y − 12 = 0
−2
−7

+) phương trình AC được xác định bởi

qua N(5;3)
qua N(5;3)
uuur
( AC ) : 
⇔
 vtcp PM(1; −5)
AC//PM
x −5 y −3
⇔ ( AC ) :
=
⇔ ( AC ) : 5 x + y − 28 = 0
1
−5
+) phương trình AB được xác định bởi

qua P(3;-4)
 qua P
uuuur
( AB ) : 
⇔
 vtcp MN(3; 2)
 AB//MN
x−3 y +4
⇔ ( AB ) :
=
⇔ ( AB ) : 2 x − 3 y − 18 = 0
3
2

Kết luận: Vâỵ phương trình ba cạnh tam giác là: (AB):2x-3y-18=0
(BC):7x-2y-12=0
(AC):5x+y-28=0


Bài 3:lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết B(-4;-5) và phương trình hai đường cao của
tam giác là (d1):5x+3y-4=0 và (d2): 3x+8y+13=0
Giải:
Nhận xột:B(-4;-5) khụng thuộc vào các đường cao.giả sử các đường có phương trình :5x+3y-4 =0 là đường
cao xuất phát từ A.
+) phương trình cạnh AB:
Vì (AB) ⊥ (d2):3x+8y+13=0 ⇒ phương trình (AB) có dạng:8x-3y+c=0
Mặt khác: Do B(-4;-5) thuộc (AB) nờn :8(-4)-3(-5)+c=0↔c=17
Vậy phương trình (AB): 8x-3y+17=0
+) phương trình cạnh BC:
Vì (BC) ⊥ (d1):5x+3y-4=0 ⇒ phương trình (BC) có dạng:3x-5y+m=0
Mặt khác: Do B(-4;-5) thuộc (BC) nờn :3(-4)-5(-5)+m=0↔m=-13
Vậy phương trình (BC): 3x-5y-13=0
+) phương trình cạnh AC:

Điểm A = (d1 ) ∩ ( AB ) nên tọa độ A (-1;3)
Điểm C = (d 2 ) ∩ ( BC ) nên tọa độ C (1;-2)
Suy ra :phương trình cạnh AC là

x +1 y − 3
=
⇔ 5x − 2 y −1 = 0
1 + 1 −2 − 3

Kết luận : phương trình các cạnh của tam giác ABC:

(AB):8x-3y+17=0

(BC):3x-5y-13=0

(AC):5x+2y-1=0

Dạng 2:xét tương giao của hai đường thẳng
Bài 1:xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) (d1): x+2y+1=0 và

(d2): x+4y+3=0

b) (d1):x+y+1=0 và

x = 1+ t
(d2): 
 y = −1 − t

 x = 2t
và
c) (d1): 
y = 4+t

 x = 2u
(d2): 
 y = 2u

Giải:

x + 2 y +1 = 0

x = 1
a) xột hệ 
⇔
.Vậy (d1)cắt (d2) tại điểm A(1;-1)
x + 4 y + 3 = 0
 y = −1
b) phương trình tổng quát của (d2)là :x+y=0

x + y = 0
Xột h ệ : 
.Hệ vụ ngiệm .Suy ra (d1)//(d2).
x + y +1 = 0
c) phương trình tổng quát của(d1):x-2y+4=0
(d2):x-y=0


x − 2 y + 4 = 0
x = 4
Xột h ệ 
⇔
.Vậy (d1)cắt (d2) tại điểm A(4;4)
x − y = 0
y = 4
Bài 2: a) Biện luận theo m vị trí tương đối của (d1):mx+y+2=0 và (d2):x+my+m+1=0

 x = x1 + mt
 x = x2 + pu
b) Cho hai đường thẳng (d1): 
và (d2): 
 y = y1 + nt

 y = y2 + qu
Tìm điều kiện của m,n,p,q để (d1)và(d2):
+) cắt nhau
+) song song
+) trựng nhau
+) Vuông góc với nhau
Giải

mx + y + 2 = 0
a) xột hệ 
(I).Ta có
 x + my + m + 1 = 0

D=

m 1
1
−2
= m2 − 1; Dx =
= 1 − m;
1 m
−m − 1 m

Dy =

m −2
= m2 − m + 2
1 −m − 1

 x = −m − 1


TH1:Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1 .Hệ phương trình (I)có nghiệm duy nhất 
2 − m nờn (d1) cắt (d2) tại A(y
=

m +1
m-1;

2−m
)
m +1

TH2:Nếu D=0↔ m = ±1
Với m=1 ta có Dx=Dy=0↔ hệ có vụ số nghiệm↔(d1)trựng(d2)
Với m=-1 ta có Dx=2↔hệ vụ nghiệm↔(d1)//(d2).

 x1 + mt = x2 + pu
mt − pu = x2 − x1
b)xét hệ phương trình 
⇔
 y1 + nt = y2 + qu
nt − qu = y2 − y1
D=
Ta có :

Du =

m −p
n

−q

= np − mq; Dt =

m x2 − x1
n

y2 − y1

x2 − x1

−p

y2 − y1 − q

= p ( y2 − y1 ) − q ( x2 − x1 );

= m( y2 − y1 ) − n( x2 − x1 )

a) (d1) cắt (d2) ⇔ D ≠ 0 ⇔ np − mq ≠ 0
D = 0
np − mq = 0

b) (d1)//(d2) ⇔   Dt ≠ 0 ⇔ 
 p ( y2 − y1 ) − q ( x2 − x1 ) ≠ 0
 D ≠ 0
 u


D = 0

np − mq = 0

c) (d1) trựng (d2) ⇔  Dt = 0 ⇔ 
 p ( y2 − y1 ) − q ( x2 − x1 ) = 0
D = 0
 u
r
r
d) Ta có (d1)có vtcp u1 = (m; n) và (d2)có vtcp là u 2 = ( p; q ) .
r
r
Khi đó (d1 ) ⊥ (d 2 ) ⇔ u1 ⊥ u 2 ⇔ mp + nq = 0
Dạng 3:Một số bài toán về góc và khoảng cách
Bài1:Tính góc giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) trong các trường hợp sau
a) x+2y+1=0 và x+4y+3=0
 x = 2t
b) 
y = 4+t

và

x+2y+7=0

 x = 2t
 x = 2u
và 
c) 
y = 4+t
 y = 2u
Giải :

r
r
a) Ta có: (d1) có vtpt n1 = (1; 2) và (d2) có vtcp là n 2 = (1; 4) .Khi đó:gọi α là góc giữa hai đường
thẳng thì ta có:

cosα =

1.1+2.4
4 + 1. 16 + 1

=

9
85

r
r
b) Ta có: (d1) có vtpt n1 = (−1; 2) và (d2) có vtpt là n 2 = (1; 2) .Khi đó:gọi α là góc giữa hai đường
thẳng thì ta có:

cosα =

-1.1+2.2
4 + 1. 4 + 1

=

3
5

r
r
c) Ta có: (d1) có vtcp u1 = (2;1) và (d2) có vtpt là u 2 = (2; 2) .Khi đó:gọi α là góc giữa hai đường
thẳng thì ta có:

cosα =

2.2+2.1
4 + 4. 4 + 1

=

6
40

Bài 2:Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hớp sau
a) (d) đi qua M(1;1) và tạo một góc 300 với đường thẳng (d1):x-2y+8=0
x = t
b) (d) đi qua M(1;1) và tạo một góc 450 với đường thẳng (d2): 
 y = −2 + t
Giải:

r
r
a) Gọi u1 = (2;1) là vtcp của (d1) và u = (a; b) là vtcp của (d).
Theo giả thiết:góc giữa (d) và (d1) là 300 nờn ta có


2a + b

5. a 2 + b 2

=

3
⇔ 4(2a + b) 2 = 15(a 2 + b 2 ) ⇔ a 2 − 16ab − 11b 2 = 0
2

 k = 8 − 75
Giải phương trình trờn bằng cách đặt a=kb ta được k 2 + 16k − 11 = 0 ⇔ 
 k = 8 + 75
Với k = 8 − 75 đường thẳng (d) có vtcp có tọa độ (kb;b) chọn (k;1).Khi đó:
x −1 y −1
qua M(1;1)
r
(d): 
⇔ (d ) :
=
⇔ (d ) : x − (8 − 75) y + 7 − 75 = 0
k
1
 vtcp u (k ;1)
Tương tự với k = 8 + 75
r
r
b) Gọi u1 = (1;1) là vtcp của (d1) và u = (a; b) là vtcp của (d).
Theo giả thiết:góc giữa (d) và (d1) là 450 nờn ta có
a+b
2. a 2 + b 2

=

a = 0
2
⇔ 2ab = 0 ⇔ 
2
b = 0

Với a=0 đường thẳng (d) có vtcp có tọa độ (0;b) chọn (0;1).Khi đó:
qua M(1;1)
r
(d): 
⇔ (d ) : x − 1 = 0
 vtcp u (0;1)
Tương tự với b=0

Bài 3:Tính khoảng cách từ M tới đường thẳng (d) biết
a) M(1;1) và đường thẳng (d):x-y-2=0
 x = 2t
b) M(2;1) và đường thẳng (d): 
y = 4+t
Giải:
a) Ta có

dM / d =

1−1 − 2
1+1

= 2

b) ta có:phương trình tổng quát của (d):x-2y+8=0

dM / d =

1 − 10 + 8
1+ 4

=

1
5

Bài 4:Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1).Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới
đường thẳng đó bằng 3.
Giải:
Gọi (d):ax+by +c=0 là đường thẳng tháa món đề bài .

Điểm P(2;5) thuộc (d) nên ta có:2a+5b+c=0
Khoảng cách từ Q(5;1) tới (d) bằng 3 nờn :


5a + b + c
2

a +b

2

⇔ 5a + b + c = 3 a 2 + b 2

Từ đó ta có hệ
c = −2a − 5b
b = 0 và c=-2a

2
a
+
5
b
+
c
=
0
c = −2a − 5b

 b = 0

⇔
⇔ 
⇔

24
−134 vậy ta được
2
2
2
2
2


b=
a
và
c=
a
(3
a
−
4
b
)
=
9(
a
+
b
)
5
a
+
b
+
c
=
3
a
+
b
24


 b =

a
7
7

 
7
hai đường thẳng x-2=0 và 7x+24y-134=0

Bài 5: Cho P(3;0) và hai đường thẳng (d1):2x-y-2=0 và (d2):x+y+3=0.Gọi (d) là đường thẳng qua P cắt
(d1)và (d2) lần lượt tại A và B sao cho PA=PB.Viết phương trình của (d)
Giải
Giả sử A(xA;yA) và B(xB;yB).Khi đó ta có :A thuộc (d1) nờn 2xA-yA-2=0
B thuộc (d2) nờn xB+yB+3=0

 x A + xB = 2 xP
x + x = 6
PA=PB ⇔ 
⇔ A B
 y A + yB = 2 y P
 y A + yB = 0
11 16
7 16
Từ các phương trình ta được A( ; ) và B( ;- )
3 3
3 3
11
16
y−

3 =
3 ⇔ 8 x − y − 24 = 0
Vậy phương trình đường thẳng (d):
7 11
16 16
−
− −
3 3
3 3
x−

Bài 6:Cho tam giác ABC với A(7/4;3),B(1;2),C(-4;3).Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.
Giải:

Đường thẳng AB và AC có phương trình là lượt là:
4x-3y+2=0 và y-3=0
Các đường phõn giác trong và ngoài của góc A là:
4x+2y-13=0 và 4x-8y+17=0
Do hai điểm B,C nằm cùng phía với đường phân giác ngoài và nằm khác phía với đường phân giác trong
của góc A nên ta chỉ cần xét vị trí của B,C với một trong hai đường,chẳng hạn :4x+2y-13=0.Thay tọa độ
B,C vào ta được: 4+8-13=-1<0 và -16+6-13=-23<0 suy ra B,C cùng phía với đường thẳng :4x+2y-13=0
Vậy đường phân giác trong của góc A là :4x-8y+17=0

Bài 7:Cho hai đường thẳng :
(d1):x+2y-3=0
(d2):3x-y+2=0
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua P(3;1) và cắt d1;d2 tại A;B sao cho đường thẳng (d) tạo với (d1)
và (d2) một tam giác cân cóc cạnh đáy là AB.

Hướng dẫn:
Cách 1:Viết phương trình hai đường phân giác của (d1)và (d2).Khi đó (d) vuông góc với các đường phân
giác này
Cách 2: Giả sử A(xA;yA) và B(xB;yB).Dựa vào giả thiết:A thuộc (d1),B thuộc (d2),ba điểm A,B,P thẳng hàng
ta tìm được tọa độ A,B

Dạng 4:Tìm điểm liên quan tới đường thẳng
Lưu ý:- Tìm hình chiếu H của M trờn đường thẳng (d)
Ta là theo các bước:-Viết phương trình Mx vuông góc với (d)
- H là giao của Mx và (d)
- Tìm điểm N đối xứng với M qua (d)
Ta làm theo các bước: -Tìm tọa độ hình chiếu H của M trờn (d)
- H là trung điểm MN
- Cho hai điểm A;B và đường thẳng (d).Tìm trờn (d) điểm P sao cho PA+PB nhá nhất:
Ta xét hai trường hợp:
TH1:A,B khác phớa thì P chớnh là giao điểm của AB và (d)
TH2:Nếu A,B cựng phớa với (d):- Ta tìm điểm A1 đối xứng với A qua (d).
- Khi đó:PA+PB=PA1+PB

Bài 1:Cho đường thẳng (d):x+2y+1=0 và điểm M(1;2)
Tìm tọa độ :
a) Hình chiếu của M trờn (d)
b) Điểm N đối xứng với M qua (d).
Giải:
a) phương trình đường thẳng Mx vuông góc với (d):2x-y+c=0
M(1;2) thuộc Mx nờn :2-2+c=0↔c=0
Suy ra phương trình Mx:2x-y=0.Gọi H là hình chiếu của M trờn (d).khi đó H là giao điểm của Mx và
(d) suy ra tọa đọ của H là nghiệm của hệ
1


x
=
−

x + 2 y +1 = 0
1 2
5
⇔
.vậy H( − ; − )

5 5
2 x − y = 0
y = − 2

5
b) N đối xứng với M qua (d) suy ra H là trung điểm của MN
2
7


 xN + 1 = − 5
 xN = − 5
⇔
⇔
y + 2 = − 4
 y = − 14
N
 N
5
5




Bài 2:Tìm trờn trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới các đểm A(1;2) và B(3;4) la nhá
nhất.
Giải:
Nhận xột:A.B cựng phớa với 0x.
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua 0x suy ra A1(1;-2)
Phương trình A1B:

x −1 y + 2
=
⇔ 3x − y − 5 = 0
3 −1 4 + 2

Gọi P0 là giao điểm của A1B và 0x suy ra P0(5/3;0)
Ta có :PA+PB>=A1B
Vậy PA+PB nhá nhất khi A1,P,B thẳng hàng↔P trựng P0

Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ 0xy cho hai điểm A(-1;3) và B(1;1) và đường thẳng
(d):y=2x.Tìm trờn (d)điểm C sao cho:
a) Tam giác ABC là một tam giác đều
b) Tam giác ABC là một tam giác cõn
Giải
a) C thuộc (d) nờn ta có C(x0;2x0)
2
 AB = AC
5 x0 − 10 x0 + 2 = 0
Tam giác ABC đều ⇔ 
(vụ nghiệm)

⇔ 2
 AC = BC
5 x0 − 6 x0 − 6 = 0

Vậy không tồn tại điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC đều
b) C thuộc (d) nờn ta có C(x0;2x0)
5 x0 2 − 10 x0 + 2 = 0
 AB = AC
5 ± 15
3 ± 39

Ta có: Tam giác ABC cõn ⇔  AC = BC ⇔  −4 x0 + 8 = 0
⇔ x0 =
, x0 =
, x0 = 2

5
3
2
5 x − 6 x − 6 = 0
 AB = BC
 0
0
Vậy có 5 điểm thuộc (d) để tam giác ABC là một tam giác cân

Bài tập tự làm
1 – Cho trung điểm ba cạnh của một tam giác là M(2;1), N(5;3), P(3;-4).
a/ Hãy lập phương trình ba cạnh của tam giác.
b/ Lập phương trình các đường trung trực của các cạnh tam giác.
2: a- Viết phương trình đường thẳng đi qua (3 ; -4) và song song với đường thẳng:

x + 4y – 2 = 0.
b- Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường thẳng: 3x – 5y + 2 =0 và 5x – 2y + 4
= 0 đồng thời song song với đường thẳng: 2x – y + 4 = 0
3: Lập phương trình đường trung trực của các cạnh của tam giác, biết trung điểm các cạnh là: M(-1 ; -1),
N(1 ; 9), P(9 ; 1).
4 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết B(-4 ; -5) và hai đường cao có phương trình là: 5x
+ 3y – 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0
5: Tam giác ABC có cạnh AB: 5x – 3y + 2 = 0 và hai đường cao xuất phát từ đỉnh A và B lần lượt có
phương trình là: 4x – 3y + 1 = 0 và 7x + 2y – 22 = 0.
Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba?
6: Xác định a để các đường thẳng sau đồng quy:


2x – y + 3 = 0 , x + y + 3 = 0 , ax + y – 3 = 0 .
7: Cho điểm P(3 ; 0) và hai đường thẳng:
d1: 2x – y – 2 = 0 , d2: x + y + 3 = 0
Gọi d là đường thẳng đi qua P cắt d1, d2 lần lượt tại A;B . Viết phương trình của d biết rằng PA = PB.
8: Cho ∆ ABC ,biết trung điểm của BC, CA, AB lần lượt là M1(2;1), M2(5;3),
M3(3;-4).
1/ Lập phương trình các cạnh của tam giác?
2/ Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác?
9: Cho ∆ ABC có A(1;3), trung tuyến BM: x – 2y + 1 = 0, CN: y – 1 =0 .Tìm toạ độ các đỉnh của
∆ ABC?
10: Trong mặt phẳng Oxy cho I(3;2), đường thẳng d đi qua I, cắt Ox, Oy tại M và N (sao cho I trong M,N ).
Xác định đường thẳng d để S ∆OMN nhá nhất.
11 – Cho hai điểm A(1; 6), B(-3; -4), hãy tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng
(d): 2x- y- 1= 0 sao cho MA + MB bé nhất.
12 - Cho hai điểm A(4; 1), B(0; 4). Tìm trên đường thẳng (d): 3x – y – 1 = 0 một điểm M sao cho
MA − MB lớn nhất?
13 – Tính diện tích tam giác ABC có A(2; -3), B(3; 2), C(-2; 5).

14 – Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(7; -2) cách điểm N(4;-6) một khoảng bằng 5 ?
15 – Tam giác có diện tích S = 3, hai đỉnh A(3; 1), B(1; -3), trọng tâm tam giác nằm trên trục Ox . Tìm toạ
độ đỉnh C ?
16 - Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; 1), tạo với đường thẳng
2x + 3y + 4 = 0 một góc 450 .
17 – Lập phương trình các cạnh của một tam giác nếu biệt một đỉnh A(1; 3), và hai
trung tuyến lần lượt có phương trình là: x- 2y+ 1= 0, y- 1 =0.
18 – Một tam giác có M(-1; 1) là trung điểm của một cạnh và phương trình của hai cạnh kia là: x+ 2y- 2=
0; 2x+ 6y+ 3 = 0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác.
19 - Cho ∆ ABC , biết A(3; -3), đường phân giác trong BE: x + 2y – 1 =0,
CF: x – 3y – 6 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC?
20 - Cho ∆ ABC , biết A(7; 9), trung tuyến CM: 3x + y – 15 = 0, phân giác trong BD: x + 7y – 20 = 0.
Lập phương trình các cạnh của tam giác.
21 – Lập phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua M(1;2) cach đều hai điểm A(2; 7), B(5; -5).
22 – Cho điểm A(1; 2), B(3; 4) và đường thẳng ( ∆ ): x – 2y – 2 = 0. Tìm điểm M∈( ∆ ) để:
uuur uuur
a/ MA + MB nhá nhất?
b/ MA2 + MB2 nhá nhất ?
23 – Cho A(2; 1) và đường thẳng (d): 2x + 3y + 4 =0
a/ Tìm các điểm B, C trên đường thẳng (d) để ∆ ABC vuông cân tại A .
b/ Tìm các điểm B, C trên đường thẳng (d) để ∆ ABC là tam giác đều.
24 – Cho hình vuông ABCD có A-4; 5), một đường chéo nằm trên đường thẳng (d): 7x – y + 8 = 0 . Lập
phương trình các cạnh và đường chéo còn lại .
25 – Lập phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua P(2; -1) sao cho nó cùng với đường thẳng (d1): 2x –y +5 =0,
(d2): 3x +6y – 1= 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2).
26 – Cho đường thẳng (d1): x – y =0, (d2): 2x + y – 1 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết
A ∈ (d1), C ∈ (d2); B,D ∈ Ox .
27 – Cho hình chữ nhật ABCD tâm I(1/2; 0), AB: x -2y +2 = 0, AB = 2 AD. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C,D
biết A có hoành độ âm .

Chủ đề 3:Đường trũn
A-lý thuyết


 tâm I(a;b)
1.Cho đường trũn (C) có 
⇒ phương trình đường trũn (C) là : ( x − a )2 + ( y − b)2 = R 2
bán
kính
R


2.Cho phương trình : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (1). Với điều kiện a 2 + b 2 − c > 0 thì (1) là phương trình của
ột đường trũn tõm I(a;b) bán kớnh R= a 2 + b2 − c
3.Để viết phương trình tiếp tuyến của đường trũn (C) ta xột hai khả năng
Khả năng 1: Biết tiếp điểm.Khi đó tiếp tuyến là đường thẳng đi qua tiếp điểm và vuônng góc với đường
thẳng nối tâm và tiếp điểm.
Khả năng 2: không biết tiếp điểm.Ta thường sử dụng điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xóc với đường trũn
(C) là :Khoảng cách từ tõm tới (d) bằng bán kớnh.

B-Bài tập:
Dạng 1:lập phương trình đường trũn.
Bài 1:Lập phương trình đương trũn (C) biết:
a) (C) có tâm I(2;-4) và đi qua điểm A(1;3)
b) (C) có tâm I(-2;2) và tiếp xóc với đường thẳng (d):x+2y+1=0
Giải:
a) Bán kớnh của (C) là IA= 1 + 49 = 50 .Vậy phương trình (C):
(x-2)2+(y+4)2=50
c) Do (C) tiếp xỳc với (d) nờn ta có: bán kớnh của (C) bằng khoảng cách từ I tới (d).Suy ra:
R=

−2 + 4 + 1
5

=

3
5

Vậy phương trình (C) là: ( x + 2) 2 + ( y − 2) 2 =

9
5

Bài 2: lập phương trình đường trũn (C),biết :
a) (C) đi qua ba điểm A(1;4),B(-4;0),C(-2;-2)
b) (C) đi qua hai điểm A(0;1),B(1;0) và có tâm nằm trên đường thẳng (d): x+y+2=0
Giải:
a) Giả sử phương trình (C): x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 điều kiện a 2 + b 2 − c > 0
Ta có :Điểm A(1;4) thuộc (C) nên 1+16-2a-8b+c=0 (1)

Điểm B(-4;0) thuộc (C) nờn 16+8a+c=0 (2)
Điểm C(-2;-2) thuộc (C) nên 4+4+4a+4b+c=0 (3)
Từ (1);(2);(3) ta có hệ.Giải hệ này ta được a=1/2;b=1/2;c=-20
Vậy phương trình (C):x2+y2-x-y-20=0
b) Giả sử phương trình (C): x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 điều kiện a 2 + b 2 − c > 0
Ta có : Tõm I(a;b) thuộc (d):x+y+2=0 nờn :a+b+2=0


A(0;1) thuộc (C) nờn ta có :1-2b+c=0

B(1;0) thuộc (C) nờn ta có:1-2a+c=0
Giải hệ ta được: a=-1;b=-1;c=-3
Vậy phương trình của (C):x2+y2+2x+2y-3=0

Bài 3:Lập phương trình đường trũn (C) biết (C) đi qua điểm A(2;-1) và tiếp xóc với hai trục 0x,0y
Giải
Gọi I(a;b) là tõm của (C).Vì (C) tiếp xỳc với hai trục tọa độ nên ta có :

a = b =R

TH1:a=b.Khi đó (C) có dạng :(x-a)2+(y-a)2=a2
A(2;-1) thuộc (C) nờn (2-a)2+(-1-a)2=a2↔vụ nghiệm
TH2:a=-b.Khi đó (C) có dạng (x-a)2+(y+a)2=a2
A(2;-1) thuộc (C) nờn (2-a)2+(-1+a)2=a2↔a=1 hoặc a=5

 Với a=1 phương trình (C): (x-1)2+(y+1)2=1
 Với a=5 phương trình (C): (x-5)2+(y+5)2=25
Bài 4:Viết phương trình đường trũn (C) nội tiếp tam giác OAB với O:gốc tọa độ,A(4;0),B(0;3)
Giải
Cách 1: Nhận xột (C) tiếp xỳc với hai trục 0x và 0y nờn ta có :Gọi I(a;b) là tõm của (C) thì a=b=r.
Mặt khác S ∆ OAB=p.r=(1/2).OA.OB=6
p=6 Suy ra r=1
Vậy phương trình (C):(x-1)2+(y-1)2=1
Cách 2: Gọi I(a;b) là tõm của (C).
Ta có I thuộc các đường phân giác trong của góc AOB và BAO
Phõn giác trong của AOB là :x-y=0
x y
Phương trình của AB là + = 1 ⇔ 3 x + 4 y − 12 = 0
4 3
Suy ra phương trình đường phõn giác trong của góc BAO là :3x+9y-12=0

Tọa độ của I là nghiệm của hệ tạo bởi hai đường phân giác nên I(1;1)
Bán kính r=kc(I,OA)=1.Vậy phương trình (C): (x-1)2+(y-1)2=1

Bài 5: Lập phương trình đường trũn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có ba cạnh nằm trờn ba đường thẳng
5y=x;y=x+2,y=8-x
Hướng dẫn:
Tìm tọa độ ba đỉnh và viết phương trình đường trũn qua 3 điểm

Dạng 2:Viết phương trình tiếp tuyến của đường trũn
Bài 1:Cho đường trũn (C): (x-5)2+(y+5)2=25
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:
a) Tiếp tuyến đi qua điểm M(1;2).


b) Tiếp tuyến tại điểm M(5;0)
Giải:
a) Ta có (C):Tõm I(5;-5),bán kớnh R=5
Phương trình đường thẳng qua điểm M(1;2) có dạng:
a(x-1)+b(y-2)=0 (d)

Để (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ d I /( d ) = R = 5 ⇔

a (5 − 1) + b(−5 − 2)
2

a +b

2

= 5 ⇔ 4 a − 7b = 5 a 2 + b 2

⇔ (4a − 7b) 2 = 25(a 2 + b 2 ) ⇔ 9a 2 + 56ab − 24b 2 = 0


−28 − 10 10
k =
9
Giải phương trình trờn bằng cách đặt a=kb.Ta có: 9k 2 + 56k − 24 = 0 ⇔ 

−28 + 10 10
k =
9


Ứng với k =
Vớ i k =

−28 − 10 10
−28 − 10 10
ta có phương trình tiếp tuyến của (C):
( x − 1) + ( y − 2) = 0
9
9

−28 + 10 10
−28 + 10 10
ta có phương trình tiếp tuyến của (C):
( x − 1) + ( y − 2) = 0
9
9

b) Tiếp tuyến tại điểm M(5;0):Ta có :tiếp tuyến của (C) là đường thẳng qua M và có vtpt là
uuur
IM = (0;5) nên phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(5;0)là:
0(x-5)+5(y-0)=0↔y=0

Bài 2: Cho đường trũn (C): x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến song song với (d):x-y=0
b) Tiếp tuyến vuông góc với (d1):3x-4y=0
Giải:
a) Ta có : (C) có tõm I(1;3) bán kớnh R=1;
Tiếp tuyến của (C) song song với (d):x-y=0 nờn tiếp tuyến có dạng:
x-y+c=0 ( ∆ )
Vì ∆ là tiờp tuyến của (C) d I /( ∆ ) =

1− 3 + c
2

c = 2 + 2
= R =1⇔ c − 2 = 2 ⇔ 
c = 2 − 2

Vậy ta có hai tiếp tuyến : x − y + 2 + 2 = 0 và x − y + 2 − 2 = 0
b) Tiếp tuyến của (C) vuông góc với (d1):3x-4y=0 nờn tiếp tuyến có dạng:4x+3y+c=0 (d2)
Vì (d2) là tiếp tuyến của (C)

d I /( d2 ) =

4+9+c

25

 c = −8
= R = 1 ⇔ c + 13 = 5 ⇔ 
c = −18


Vậy ta có hai tiếp tuyến : 4x+3y-8=0 và 4x+3y-18=0
Lưu ý :Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường trũn:
B1:xột tiếp tuyến vuông góc với 0x : x=a+R và x=a-R.Kiểm nghiệm lại tiếp tuyến tháa món điều kiện đầu
bài
B2:Xột tiếp tuyến khụng vuông góc với 0x có dạng: y=kx+m

Để tìm k và m: Ta giải hệ lập được từ điều kiện tiếp xóc
 Chỳ ý: Nếu (C1) và (C2) ngoài nhau:có 4 tiếp tuyến chung
 Nếu (C1) và (C2) tiếp xỳc ngoài:có 3 tiếp tuyến chung
 Nếu (C1) và (C2) cắt nhau:có 2 tiếp tuyến chung
 Nếu (C1) và (C2) tiếp xỳc trong:có 1 tiếp tuyến chung
 Nếu (C1) và (C2) lồng nhau:khụng có tiếp tuyến chung
Bài 3: Cho hai đường trũn (C1): x 2 + y 2 − 10 x + 24 y − 56 = 0 và
(C2): x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 20 = 0
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường trũn
Giải:
Ta có : (C1): có tõm I1(5;-12),bán kớnh R1=15
(C2): có tõm I2(1;2),bán kớnh R2=5
Vì :I1I2= 212 * Xột tiếp tuyến vuông góc với 0x :

 Tiếp tuyến vuông góc với 0x của (C1):x=5 ± 15
 Tiếp tuyến vuông góc với 0x của (C2):x=1 ± 5

Vậy (C1) và (C2) khụng có tiếp tuyến chung vuông góc 0x
* Xét tiếp tuyến chung không vuông góc với 0x:Giả sử phương trình tiếp tuyến chung là :y=kx+m↔kxy+m=0(d)
- (d) tiếp xỳc với (C1)↔kc(I1,(d))=R1↔(5k+12+m)2=225(1+k2)
- (d) tiếp xỳc với (C2)↔kc(I2,(d))=R2↔(k-2+m)2=25(1+k2)


14 + 10 7
35+10 7
và m=
k =
21
21
Giải hệ ta được: 

14 − 10 7
35-10 7
và m=
k =

21
21
Vậy ta có hai tiếp tuyến chung

Chủ đề 4. ứng dụng phương pháp toạ độ phẳng
vào bài toán đại số
I. ứng dụng phương pháp toạ độ véc tơ để chứng minh bất đẳng thức, tìm
GTLN, GTNN
A. Các công thức về độ dài đoạn thẳng kết hợp bất đẳng thức về độ dài véc tơ

1. Cho 3 điểm A, B, C:

2.

AB + BC ≥ AC (Đẳng thức xảy ra khi B nằm giữa A và C)
| AB − BC |≤ AC (Đẳng thức xảy ra khi B nằm ngoài khoảng A và C)
r r r r
a + b ≤ a + b . Đẳng thức xảy ra khi hai véc tơ cùng hướng.
r r r r
a − b ≤ a + b . Đẳng thức xảy ra khi hai véc tơ ngược hướng.
r r r r r r
a+b+c ≤ a + b + c
r
r
u = ( x; y ) thì: u = x 2 + y 2

B. Một số ví dụ tiêu biểu
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhá nhất của hàm số y =

4 + x 2 + 4 + (3 − x) 2

y = 22 + x 2 + 22 + (3 − x) 2
r
r
Trong hệ toạ độ Oxy vuông góc lấy : u = (2; x ), v = (2;3 − x)

Hướng dẫn:

áp dụng tính chất ta có :

r r r r
y = u + v ≥ u + v = 42 + 32 = 5 hay y ≥ 5
r r
3
Vậy Miny = 5 ⇔ u , v cùng hướng => x =
2
2
2
2
2
2
2
Ví dụ 2: CMR: a + b + c + d ≥ ( a − c) + (b − d )
Hướng dẫn:
Trong hệ Oxy vuông góc lấy A(a;b)

B(c;d)

uuur uuur uuur uuur uuur
áp dụng tính chất ta có: OA + OB ≥ OA − OB = BA
2

2

2

2

2

hay a + b + c + d ≥ ( a − c) + (b − d )
Ví dụ 3: (ĐH, CĐ khối A - 2003)
Cho x, y, z dương và x + y + z ≤ 1

2

1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82
2
x
y
z
r
1 r
1 r
1
Hướng dẫn: Trong hệ Đề Các Oxy, xét a = ( x; ); b = ( y; ); c = ( z; )
x
y
z
r r r r r r
Theo tính chất ta có: a + b + c ≥ a + b + c
x2 +

CMR:

hay

1 1 1
1
1
1
x + 2 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ ( x + y + z )2 +  + + 
x
y
z
x y z
2

2

(1)

Ta có:
2
2
1 1 1 
1 1 1 
2
( x + y + z ) +  + +  = 81( x + y + z ) +  + +   − 80( x + y + z ) 2
 x y z  
 x y z  
1 1 1
≥ 18( x + y + z )  + +  − 80( x + y + z ) 2
(2)
x y z
2

1 1 1
+ +  ≥ 9 và do 0 < x + y + z ≤ 1
x y z

Dễ dàng chứng minh được ( x + y + z ) 

2

1 1 1
nên từ (2) suy ra ( x + y + z ) +  + +  ≥ 162 − 80 = 82
x y z
2

Thay vào (1) suy ra điều phải chứng minh.

r r r r r r
1
. Khi đó a + b + c = a + b + c
3
1
Vậy đẳng thức xảy ra khi x = y = z =
3
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =

C. Bài tập luyện tập
1) CMR:

(a + c) 2 + b 2 + (a − c)2 + b 2 ≥ 2 a 2 + b2

2) CMR:

x 2 + 4 y 2 + 6 x + 9 + x 2 + 4 y 2 − 2 x − 12 y + 10 ≥ 5
r
r
Gợi ý: u = ( x + 3;2 y ) và v = (1 − x;3 − 2 y )

x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 ≥ y 2 + yz + z 2
r r r r
r
r
y 3y
z − 3y
Gợi ý: Vận dụng u + v ≥ u − v với u = ( x + ;
)
v = (x + ;
)
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
4) CMR: 4cos x.cos y + sin ( x − y ) + 4sin x.sin y + sin ( x − y ) ≥ 2 với ∀x, y ∈ R .
3) CMR:

a2 + a + 1 + a2 − a + 1 , a ∈ R
uuur uuur uuur uuur

1 − 3
1 3
Gợi ý: Vận dụng OA + OB ≥ OA − OB với A( a + ;
) B(a − ; )
2 2
2 2

5) Tìm GTNN: A =

6) (ĐH, CĐ khối B - 2006): Cho x, y là số thực thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức

A = ( x − 1)2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 + | y − 2 |
uuuur uuur uuuur
Gợi ý: M ( x − 1; − y ) N ( x + 1; y ) . Ta có OM + ON ≥ MN
2

=> A ≥ 2 1 + y + | y − 2 |
2

Khảo sát h/s: f ( y ) = 2 1 + y + | y − 2 | suy ra Min f ( y ) = 2 + 3

MinA = 2 + 3 khi x = 0 và y =

1
.
3

II. Sử dụng phương trình đường thẳng, đường tròn giải và biện luận phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình đại số
A. Phương pháp chung và các ví dụ tiêu biểu

Phương pháp chung: Sử dụng phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn và tính chất
của đường tròn (hình tròn) trong mặt phẳng toạ độ để khảo sát sự tương giao giữa các hình. Từ đó dẫn tới
kết quả.
1. Xét sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn để giải toán


4 x − 3 y + 2 ≤ 0

Ví dụ 1: Tìm a để hệ có nghiệm: 

2
2
x + y = a

Giải:
+ Nếu a ≤ 0 , hệ vô nghiệm
+ Nếu a > 0 , thì số nghiệm của hệ (nếu có) là số giao điểm của nửa mặt phẳng biểu diễn bởi

4 x − 3 y + 2 ≤ 0 và đường tròn tâm O(0;0), R = a . Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi
4
R ≥ OH ⇔ a ≥
(H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng 4 x − 3 y + 2 = 0 ).
25
 x + y + 2 xy + m ≥ 1
Ví dụ 2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 
 x + y ≤ 1
Giải:

( x − 1)2 + ( y − 1) 2 ≤ m + 1 (1)
Hệ ⇔ 

(2)
x + y ≤ 1
+ Với m + 1 ≤ 0 hay m ≤ −1 , hệ vô nghiệm
+ Với m + 1 > 0 hay m > −1
(1) biểu diễn hình tròn tâm I (1;1), R = m + 1 trên hệ toạ độ Oxy
(2) biểu diễn nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x + y = 1 . Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
1
1
x + y = 1 tiếp xóc đường tròn ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = m + 1 , khi đó:
= m +1 ⇔ m = − .
2
2
2. Sự tương giao giữa đường tròn và đường tròn để giải toán

 x 2 + y 2 + 4 = 4( x + y )
Ví dụ 3: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất: 
2
2
2
( x − 3) + ( y − 4) = a
Hướng dẫn:

( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 = 4
Hệ ⇔ 
2
2
2
( x − 3) + ( y − 4) = a

(1)

(2)

Rõ ràng (1) và (2) là phương trình đường tròn lần lượt có tâm I1 (2;2), R1 = 2 và

I 2 (3;4), R2 =| a |
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 2 đường tròn tiếp xóc trong hoặc ngoài

I1I 2 = R1 + R2 hoặc I1I 2 =| R1 − R2 | suy ra a = ± ( 5 ± 2)
B. Bài tập luyện tập

 x2 + y 2 − 2 x ≤ 2
1) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 
x − y + a = 0
( x − 1)2 + ( y − 1) 2 ≤ 2
2) Cho hệ 
x − y + m = 0
Tìm m để hệ nghiệm đóng với ∀x ∈ [ 0;2] .
 x2 + y 2 − x = 0
3) Tìm a để hệ có 2 nghiệm phân biệt: 
 x + ay − a = 0

Đáp số: a = −1 ±

Đáp số: m = 0
Đáp số: 0 < a <

4
3

6

| x | + | y |= 1

4) Tìm m để hệ có nghiệm: 

2

Đáp số: m ≥

2

x + y ≤ m
x − y + m = 0
5) Tìm m để hệ có nghiệm:  2
2
x + 2x + y ≤ 1
6) Giải và biện luận:

1
2

Đáp số: −1 ≤ m ≤ 3

2 | x | − x2 = m

7) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất:

4− x + x+5 =m

u + v = m
 2
2
Hướng dẫn: Đặt 4 − x = u , x + 5 = v đưa về hệ: u + v = 9
u , v ≥ 0

( x − 1 − 4m)2 + ( y − 1 − 3m) 2 = 9m 2
8) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất: 
2
2
 x + y − 10 x − 6 y + 30 = 0
7 ± 33
Đáp số: m = 1 , m =
4
9) Tìm b sao cho với mỗi giá trị bất kì của a, hệ có 2 nghiệm phân biệt:

 x 2 + y 2 − 5 x + 6 y + 4 = 0 (1)

(2)
 ax + y + ab = 0
Hướng dẫn: (2) luôn đi qua M(-b;0). Hệ có 2 nghiệm phân biệt khi
MI < R ⇔ −4 < b < −1 ((1) có tâm I và bán kính R)
2
2
 x + y + 2 y ≤ a − 1
10) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 
2
2
 x + 2 x + y ≤ a − 1
2

2
 x + ( y + 1) = a
Hướng dẫn: Hệ có nghiệm duy nhất khi 2 đường tròn 
2
2
( x + 1) + y = a
1
tiếp xóc ngoài nhau. Kết quả: a =
2
2
2
 x + y = 2(1 + m)
11) Tìm m để hệ có đóng 2 nghiệm: 
Đáp số: m = 0
2
( x + y ) = 4

Chủ đề 5: ba đường Cônic
A. Đường elip
1. Tóm tắt lí thuyết
* Định nghĩa: ( E ) = {M : MF1 + MF2 = 2a}
x2 y2
+ 2 =1
(a > b > 0) với a 2 = b 2 + c 2
2
a
b
Trục lớn: độ dài 2a, trục bé độ dài 2b
Tiêu điểm: F1 (−c;0)
F2 (c; 0)

(c > 0)
c
Tâm sai: e =
a

* Phương trình chính tắc (E):


Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở: x = ± a, y = ± b
Bán kính qua tiêu của điểm M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) :

MF1 = a + exM ;

Đường chuẩn x = ±

MF2 = a − exM

a
e

 x = a sin t
* Phương trình dạng tham số của (E): 
với 0 ≤ t ≤ 2π
 y = bcost
2. Các dạng toán tiêu biểu
Loại 1: Phương trình elip, các yếu tố liên quan của elip
Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của elip biết:
a) Trục lớn có độ dài 8, trục nhá có độ dài 6
12
b) Độ dài trục lớn là 26, tâm sai e =

13
c) Đi qua M (4; 0) N (0;3)
Hướng dẫn:
x2 y2
Giả sử phương trình chính tắc elip là: 2 + 2 = 1 (a > b > 0)
a
b
2
x
y2
a) Ta có a = 4, b = 3. Phương trình là
+
=1
16 9
2a = 26
a = 13
x2 y2

b) Ta có  c 12 ⇒ 
Phương trình elip:
+
=1
169 25
b = 5
 a = 13
16
 a 2 = 1 a 2 = 16
x2 y 2
⇒ 2
Phương trình elip là:

+
=1
c) Ta có 
9
16
9
b
=
9

 =1 
 b 2
Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc elip trong các trường hợp sau:
− 6
a) Khoảng cách 2 đường chuẩn 6, và elip đi qua M (2;
)
3
b) MF1 − MF2 = 2 , ở đây elip qua M ( 2; 3)
Hướng dẫn:
x2 y2
Giả sử phương trình chính tắc elip là: 2 + 2 = 1 (a > b > 0)
a
b
a
a) Khoảng cách 2 đường chuẩn là 6 hay ta có: 2. = 6 => a = 3e ⇔ a 2 = 3c
e
− 6
4
2
x2 y 2

x2 y 2
(E) qua M (2;
) ta có: 2 + 2 = 1 => 2 elip:
+
= 1 và
+
=1
24 14
3
a 3b
6
2
3
9
2 3
+ 2 =1
2 3
2
2

M
∈
(
E
)

a b
 2 + 2 = 1 b = 4
⇔
⇔ a b

⇔ 2
b) 
 MF1 − MF2 = 2
a = 8
 a + cxM  −  a − cxM  = 2 cxM = 2
 a 2 = 2c 2


a  
a 
a
Loại 2: Các bài toán liên quan tính chất elip
Ví dụ 3: (Đề thi tốt nghiệp THPT - 2004)


x2 y 2
+
= 1 có 2 tiêu điểm F1 , F2 . A, B là 2 điểm thuộc (E) sao
25 16
cho AF1 + BF2 = 8 . Tính AF2 + BF1 = ?
Ví dụ 4: (ĐH, CĐ khối D - 2005)
x2
Cho (E):
+ y 2 = 1 và C (2; 0) . Tìm toạ độ A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng qua Ox và ∆ABC là
4
tam giác đều.
Hướng dẫn:
Giả sử A( x0 ; y0 ) B (− x0 ; y0 ) và giả sử y0 > 0
Cho phương trình (E):

Khi đó AB = 2 y0 . Rõ ràng ∆CAB cân tại C nên ∆ABC đều khi và chỉ khi AC = AB
suy ra: (2 − x0 ) 2 = 3 y0 2

x0 2
+ y0 2 = 1 .
4
2
4 3
4 3
−4 3
. Vậy A(2;
) B (2;
)
Từ đó suy ra: x0 = ⇒ y0 = ±
7
7
7
7
x2
x2 y 2
Ví dụ 5: Cho 2 elip (E1):
+ y 2 = 1,
( E2 ) : +
=1
16
9
4
Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của 2 elip trên.
Hướng dẫn:
 x0 2

+ y0 2 = 1

16
Giao điểm của 2 elip có toạ độ thoả mãn  2
2
 x0 + y0 = 1
 9
4
432
28
92
Giải hệ tìm được x0 2 =
y0 2 =
. Vậy x0 2 + y0 2 =
là phương trình cần tìm
25
55
11
x2 y 2
Ví dụ 6. Cho phương trình (E):
+
= 1 và (∆) : x − 2 y + 2 = 0 cắt (E) tại B, C. Tìm A ∈ ( E ) sao cho
8
4
diện tích tam giác ABC lớn nhất?
Hướng dẫn:
Gọi toạ độ A theo tham số là A( x A ; y A ) = (2 2 cos t ; 2sin t ) với 0 ≤ t ≤ 2π
2
π
Diện tích tam giác ABC lớn nhất ⇔ d ( A; ∆) =

| 2cos (t + ) + 1 | lớn nhất
4
3
Mặt khác do A ∈ ( E ) nên

Max d ( A; ∆) = 2 3 ⇒ A(2; − 2)

3. Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho A(4; − 3)

B (2 2;3) . Viết phương trình chính tắc của elip qua A, B

3
3
;1) và tâm sai e =
2
2
a) Lập phương trình chính tắc (E)

Bài 2: Cho (E) đi qua A(−

b) Tìm M ∈ ( E ) sao cho F1MF2 = 1200

Đáp số:

a)

x2
 19 
 

 4

2

+

y2
 19 
 
 16 

2

=1



19 
b) M  0; ±

4 


Bài 3: (ĐH, CĐ khối A - 2008)
Lập phương trình chính tắc (E) biết rằng (E) có tâm sai là

5
và hình chữ nhật cơ sở
3

có chu vi bằng 20?

x2 y 2
+
=1
9
4
B (0; 2sin t ) với 0 ≤ t ≤ 2π . Xét quỹ tích M

Đáp số:
Bài 4: Trên mặt phẳng Oxy cho 2 điểm di động A(3cos t ;0)
uuuur uuur r
thoả mãn: 2 AM + 5MB = 0 .

x2 9 y 2
+
=1
4 100
Bài 5: Lập phương trình chính tắc (E) có độ dài trục lớn bằng 4 2 và 2 đỉnh trên trục nhá cùng với 2 tiêu
điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn?
x2 y 2
Đáp số:
+
=1
8
4
Bài 6: Tìm tâm sai của (E) trong các trường hợp sau:
a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhá dưới một góc vuông?
b) Khoảng cách giữa 2 đỉnh trên 2 trục bằng 2 lần tiêu cự?
1

34
Đáp số: a) e =
b) e =
17
2
Bài 7: (CĐ Tài chính kế toán - 2006)
x2 y 2
Trong Oxy vuông góc cho (E):
+
= 1 và các tiêu điểm F1, F2 (F1 có hoành độ âm). Tìm
8
4
M ∈ ( E ) sao cho MF1 − MF2 = 2

Đáp số: Quỹ tích M là

Đáp số: M 1 ( 2; 3) hoặc M 2 (− 2; − 3)
2

2

x
y
+
= 1 và (d ) : 2 x + 15 y − 10 = 0
25 16
a) CMR: (d) cắt (E) tại A, B trong đó A ∈ Ox . Tìm độ dài AB
b) Tìm C ∈ ( E ) sao cho tam giác ABC cân tại A

Bài 8: Cho (E):

6
3 229
Đáp số: a) A(5;0) B (−4; ) AB =
5
5
−6
b) C (−4; )
5
Bài 9: Phương trình chính tắc (E) đi qua A(0;3) và có 2 tiêu điểm F1(-4;0) F2 (4; 0) . Tìm M ∈ ( E ) sao cho
MF2 = 2MF1.
25 3 119
Đáp số: Có 2 điểm M ( ; ±
)
12
12
x2 y 2
Bài 10: (E) có phương trình:
+
= 1 và M(1;1)
25 9
Viết phương trình (d) qua M và cắt (E) tại A, B phân biệt sao cho M là trung điểm của AB?
Đáp số: 9 x + 25 y − 34 = 0 (d)

x2
+ y 2 = 1 và C(2;0)
9
Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng nhau qua Ox và tam giác CAB vuông?

Bài 11: Cho (E):