giải HPT bằng pp đánh giá

Sở giáo dục - đào tạo .......................
***********************

Kinh nghiệm

GiảI hệ phơng trình bằng phơng pháp đánh giá

............................, ngày ..... tháng .... năm 20...
I. Đặt vấn đề:
Trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp
10 thờng có những bài tập giải hệ phơng trình mà việc giải những hệ phơng
trình đó ta phải sử dụng phơng pháp đánh giá, việc đánh giá các hệ phơng
trình đó cũng không có một trình tự nào rỏ ràng và cụ thể mà chúng ta phải
biết vận dụng linh hoạt trong từng trờng hợp cụ thể . Sau đây tôi xin nêu một
số phơng pháp thờng gặp khi giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đánh giá
và một số ví dụ minh họa.

II. GiảI quyết vấn đề:

HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH

Email:
1


Phơng pháp 1: Phơng pháp đánh giá bằng tập xác định
x + y +1 =1
Ví dụ: Giải hệ phơng trình:


y +

x +1 =1

(Đề thi vào trờng chuyên tĩnh)
Lời giải
x + y +1 1
Suy ra


x 0
y 0

Điều kiện


y +

x +1 1

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = 0
Do vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 0

Phơng pháp 2: Đánh giá bằng bất đẳng thức
2
2
2

x y 2 x + y = 0
Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình (I) 2
3

7 x 14 x +3 y + 4 = 0

Lời giải
( x 2 +1) y 2 = 2 x


Viết lại (I)

(1)


7( x 1) + 3(1 + y ) = 0

Từ (1) suy ra y 2 =
Lại có (x - 1)

2

2

3

( 2)

2x
1 y 1 1 + y3 0
x +1
2

2

x = 1
( x 1) = 0

0 , x nên (2)
3

y = 1
1 + y = 0

x = 1
y = 1

Kết quả (3) thỏa mản (1)

(3)

là nghiệm duy nhất của hệ ph-

ơng trình (I)
2
2
2

x + y + z = xy + yz + xz
Vídụ2: Giải hệ phơng trình 2007

+ y 2007 + z 2007 = 32008
x

Lời giải
Ta có (1) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 2xy - 2yz - 2xz = 0
(x - y) 2 + (y - z) 2 + (x - z) 2 = 0
Vì (x - y) 2 0; (y - z) 2 0; (x - z) 2 0 với mọi x;y;z
(x - y) 2 + (y - z) 2 + (x - z) 2 0 với mọi x; y; z
(3) x y = y z = z x = 0 x = y = z
Thay vào (2) ta có:
HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH

(1)
( 2)

(3)

Email:
2


3x 2007 = 3y 2007 = 3z 2007 = 3 2008 x 2007 = y 2007 = z 2007 = 3 2007
Vậy hệ phơng trình ban đầu có nghiệm là x = y = z = 3

Phơng pháp3: Đánh giá bằng tính chẵn lẻ

Ví dụ1: Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất
3 x a y 2 +1 =1

(I)
1
=a 2

x + y +
2
y + y +1


(Đề thi học sinh giỏi lớp 10 tĩnh Hà Tĩnh năm học 2000 - 2001)
Lời giải
Để ý

1
y+

y 2 +1

=

3 x a y 2 +1 =1
y 2 +1 y nên hệ (I) (II)

2
2

x + y +1 =a

Điều kiện cần
Thấy rằng nếu có nghiệm (x 0 ,y 0 ) thì hệ cũng có nghiệm (x 0 ,-y 0 )
Bởi vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là y 0 = 0
a =

1

3 x a =1


Thay y 0 = 0 vào (II) ta có
4
2

a =
x +1 =a
3


Điều kiện đủ
2

3 x + y +1 =1
x=y=0
a = -1, hệ (II) trở thành
2

x + y +1 =1

4

3x
y 2 +1 =1

4

3
a = , hệ (II) trở thành
3
x + y 2 +1 = 16

9


7

x =


9

y =0


7

x =

Hệ có nghiệm duy nhất
9

y =
0


Vậy tập hợp các giá trị của a tơng thích với yêu cầu bài toán là

4

a = 1; a =
3


Ví dụ2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất

HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH

Email:
3


x 2 +3 + y = a

2
2

y +5 + x = x +5 + 3 a

Lời giải
*Điều kiện cần
Thấy rằng, nếu hệ có nghiệm (x 0 ,y 0 ) thì nó cũng có nghiệm (-x 0 ,-y 0 ),
(-x 0 ,y 0 ),(x 0 ,-y 0 ).Bởi vậy, nghiệm duy nhất của hệ chỉ có thể là x 0 = y 0 = 0
Thay vào hệ ta có a = 3
*Điều kiện đủ
Với a =

x 2 +3 + y = 3

3 , hệ trở thành 2
2

y +5 + x = x +5

(1)
( 2)

Để ý: x 2 +3 + y 3 Dấu đẳng thức xẩy ra khi x = y = 0.
Suy ra (1) x = y = 0. Thấy rằng x = y = 0 cũng là nghiệm của (2)
Suy ra x = y = 0 là nghiệm duy nhất của hệ
Tóm lại: Tập hợp các giá trị phải tìm của a là a = 3

Phơng pháp 4: Đặc biệt hóa một ẩn
2
2
2

x + y + z + 2 xy xz yz = 3

Ví dụ1: Giải hệ phơng trình (I)

2
2

x + y + yz xz 2 xy = 1

Lời giải

(Đề thi giáo viên giỏi huyện Cẩm Xuyên năm 2004)
( x + y ) 2 z ( x + y ) + z 2 3 = 0

Viết lại (I) (II)


2

( x y ) z ( x y ) +1 = 0

Đặt

u +v

x=

u = x + y

2

Hệ (II) trở thành (III)

v
=
x

y
u

v

y =

2


Hệ (III) có nghiệm

2
2

u zu + z 3 = 0
2

v zv + 1 = 0


z2
4
u 0

2
z= 2


z

4
v 0

x =1
y =0

*Với z = 2 ta có (III) u = v = 1
Hệ đã cho có nghiệm (1;0;2)

HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH

Email:
4


x =
1

y =0


*Với z = -2 ta có (III) u = v = -1
Hệ đã cho có nghiệm (-1; 0; -2)

*Tóm lại: Hệ đã cho có hai nghiệm là (1; 0; 2) và (-1; 0; -2)
Nhận xét: - Số ẩn nhiều hơn số phơng trình suy ra đặc biệt hóa một ẩn
xem là tham số
- Sự vắng mặt hạng tử z 2 trong phơng trình (2) cho ta thấy thiếu
bình đẳng của nó đối với x và y
- Sự phân tích trên dẩn chúng ta đặc biệt hóa ẩn z, xem nó là tham
số
( x + 3) 3 = 3 2 y
2

z + 4 y 2 = 8 y

(2 z x)( x + 3) = 5 x +16
z 0


Ví dụ2: Giải hệ phơng trình (I)

(1)
( 2)
(3)
( 4)

Lời giải
Xem z là tham số,khi đó phơng trình (2) trở thành 4(y - 1) 2 = 4 - z 2 (i)
Phơng trình (i) có nghiệm khi và chỉ khi z 2 4 -2 z 2
(5)
Phơng trình (3) trở thành : x 2 + 2(4 - z)x + 16 - 6z = 0
(ii)
z 0

Phơng trình (ii) có nghiệm x 0 z(z - 2) 0
z 2

(6)

z = 0

Từ (4), (5), (6) suy ra
z = 2

*Thay z = 0 vào các phơng trình (i) và (ii) sẻ lần lợt có
y = 0

x = - 4,
y = 2
Cặp giá trị (x = - 4; y = 0; z = 0) không thỏa mản hệ phơng trình (I)
(7)
Cặp giá trị (x = -4; y = 2; z = 0) thỏa mản hệ phơng trình (I)
(8)
*Thay z = 2 vào các phơng trình (i) và (ii) ta sẻ lần lợt có x = -4 ; y = 1 (9)
Cặp giá trị (x = -4; y = 1; z = 2) thỏa mản hệ phơng trình (I)
(10)
*Từ (7),(8),(10) kết luận hệ đã cho có hai nghiệm là (- 4; 2; 0) và (- 4; 1; 2)
Nhận xét:
Sự có mặt của bất đẳng thức (4) cho thấy tính đặc biệt của ẩn z đối với hệ
đã cho
Khi z đợc đặc biệt hóa, thì (2),(3) theo thứ tự trở thành phơng trình một ẩn
đối với x,y.
HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH

Email:
5


Nhờ đó ta thu đợc các đánh giá độc lập đối với biến z
Phơng pháp5: Đánh giá giữa các ẩn
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dơng của hệ

2 x 2008 =y 2007 +
z 2007

2008
2y
=x 2007 +
z 2007


2 z 2008 =x 2007 +y 2007


(1)
( 2)
(3)

Lời giải
Ta sẻ chứng minh x = y = z. Thật vậy:
Do vai trò của x , y , z nh nhau nên không mất tính tổng quát,giả sử
x y và x z
(4)
Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên:
Từ (1),(2),(4) 2x 2008 = y 2007 + z 2007 x 2007 + z 2007 = 2y 2008
2x 2008 2y 2008 x y
(5)
Từ (1),(3),(4)

2x 2008 = y 2007 + z 2007 y 2007 + z 2007 = 2z 2008
2x 2008 2z 2008 x z

(6)

Từ (4),(5),(6) suy ra x = y = z

Thay vào (1) ta có 2x 2008 = x 2007 + x 2007 = 2x 2007 suy ra x = 1 (do x > 0)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x = y = z = 1

Phơng pháp 6: Đánh giá bằng tính chia hết
Ví dụ: Chứng tỏ rằng hệ phơng trình
x 2008 = y 2005 + 667
2008
= z 2005 + 670
y
z 2008 = x 2005 + 671


(1)
( 2) không có nghiệm nguyên
(3)

Lời giải
Cộng vế theo vế của (1),(2),(3) ta đợc:
x 2008 + y 2008 + z 2008 = x 2005 + y 2005 + z 2005 + 2008
(x 2008 x 2005 )+ (y 2008 - y 2005 ) + (z 2008 z 2005 ) = 2008
x 2005 (x 3 - 1) + y 2005 (y 3 - 1) + z 2005 (z 3 - 1) = 2008
x 2005 (x- 1)x(x + 1) + y 2005 (y- 1)y(y + 1) + z 2005 (z- 1)z(z + 1) = 2008 (4)
Dể thấy vế trái của phơng trình (4) chia hết cho 6 (do tích của 3 số
nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6)
Mặt khác 2008 chia cho 6 có số d là 4
HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH

Email:
6

Do đó phơng trình (4) không có nghiệm nguyên.
Vì vậy hệ (I) không có nghiệm nguyên x,y,z
III.Kết luận - kiến nghị:
Trên đây là một vài phơng pháp giải hệ phơng trình bằng phơng pháp
đánh giá mà trong quá trình giảng dạy tôi đã tổng hợp, sử dụng trong
quá trình dạy bồi dỡng học sinh khá, giỏi.Đây chỉ là kinh nghiệm nhỏ
về cách giải hệ phơng trình trong rất nhiều phơng pháp giải hệ phơng
trình chúng ta đã gặp. Mong nhận đợc sự góp ý chân thành từ các thầy
cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thanh Hóa, ngày 11 tháng 5 năm 2011
Ngời đa tài liệu:

Nguyễn Quốc Việt

HS: Nguyễn Quốc Việt- TPTH

Email:
7