Khoá luận tốt nghiệp dạy học một số định lí trong môn toán THPT bằng con đường có khâu suy đoán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC su PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THẢO

DẠY HỌC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TRONG
MÔN TOÁN THPT BẰNG CON ĐƯỜNG CÓ
KHÂU SUY ĐOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

••••

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2015

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ để em có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô giáo Dương Thị Hà đã
định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn, nên khóa luận không tránh khỏi nhũng hạn chế và còn
có nhiều thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và
các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.


Em xỉn chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 5 thảng 5 năm 2015 Sinh viên
LỜI CẢM
Nguyễn Thị Thảo

Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với

sự giúp đỡ tận tình của cô giáo Dương Thị Hà.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như ở mục tài liệu
tham khảo.
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em và nó
không trùng với bất kì tác giả nào khác.

Hà Nội, ngày 5 thảng 5 năm 2015 Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo


MỤC LỤC

NHỮNG CỤM TỪ VIÉT TẮT TRONG LUẬN VĂN

STT

VIET TAT

VIET ĐAY ĐU

1

GV

Giáo viên

2

HS

Học sinh

3

THPT

Trung học phô thông

4

pp

Phương pháp

5

Đpcm

Điêu phải chứng minh

6

(c.g.c)

Cạnh - góc - cạnh

7

SGK

Sách giáo khoa

8

NXB

Nhà xuât bản

9

VD

Ví dụ

10

TH

Trường hợp

11

PPDH

Phương pháp dạy học

12

Mp

Mặt phăng


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Việc tổ chức học sinh hoạt động học tập để từ đó học sinh lĩnh hội và vận
dụng kiến thức tốt là một vấn đề đáng quan tâm ở nhà trường phổ thông.
Cùng với khái niệm, định lí là một đối tượng mấu chốt của dạy học toán
học, tạo thành nội dung cơ bản của môn toán cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn,
đặc biệt là khả năng suy luận chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn
luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo đức.
Con đường hình thành định lí cho học sinh để từ đó học sinh phát hiện nội
dung định lí và chúng minh là một vấn đề quan trọng, những định lí là những công
cụ không thể thiếu được trong hoạt động chứng minh, cũng như giải toán. Đối với
học sinh nói chung, việc lĩnh hội kiến thức định lí còn gặp nhiều khó khăn và hạn
chế.
Sự thành công của việc dạy học phụ thuộc rất nhiều vào phương pháp dạy
học được giáo viên lựa chọn. Cùng một nội dụng nhung tùy vào phương pháp sử
dụng thì kết quả sẽ khác nhau về mức độ lĩnh hội các tri thức, sự phát triển của trí
tuệ cùng các khả năng tư duy, về giáo dục đạo đức và sự chuyển biến thái độ hành
vi mà học sinh lĩnh hội.
Trong quá trình nghiên cún em thấy một trong nhũng cách dạy học giúp học
sinh phát triển tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn đề,
khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và phát
triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn là dạy học
định lí bằng con đường có khâu suy đoán.
Vì lí do trên em trọn đề tài nghiên cứu của khóa luận là “Dạy học một số

định lí trong môn toán THPT bằng con đuxmg có khâu suy đoán.”

2. Mục đích nghiên cửu
Vận dụng lí luận về phương pháp dạy học định lí bằng con đường có khâu
suy đoán để dạy học một số định lí, tính chất trong chương trình toán THPT nhằm
phát huy tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh từ đó nâng cao hiệu quả
giảng dạy môn toán.


3. Nhiệm vụ nghiên cún
Nghiên cứu lí luận về dạy học định lí trong môn toán ở THPT.
Hệ thống hóa các định lí trong chương trình môn toán ở THPT.
Tổ chức dạy học một số định lí ở môn toán THPT bằng con đường có khâu
suy đoán.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Một số định lí trong môn toán ở phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Cấu trúc khóa ỉuận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, những danh mục viết tắt,
khóa luận gồm 2 chương:
Chưong 1: Cơ sở lí luận
Chương 2: Dạy học một số định lí trong môn toán THPT bằng con đường
có khâu suy đoán.
NỘI DUNG CHƯƠNG 1. Cơ SỞ LÍ LUẬN
1.1.

Dạy học định lí

1.1.1.

Thế nào là định lí?
Trên phương tiện tri thức khoa học, định lí được hiểu là:

-

“Một mệnh đề toán học mà chân lí của nó được khẳng định hay phủ định qua
chứng minh.” (Từ điển toán học, NXB khoa học và kĩ thuật 1993)

-

“Mệnh đề toán học đã được chúng minh.” (Le Petit larousse, NXB Larouss Bordas 1999)
Khác với tri thức khoa học, trong dạy học toán ở trường phổ thông định lí
được hiểu là một mệnh đề đã được chúng minh là đúng.
Nói chung trong chương trình toán ở trường phổ thông, các định lí thường
được đưa vào một cách tường minh, nghĩa là xuất hiện rõ ràng dưới một cái nhãn
“định lí”.
VD1: Định lí sin


“Trong tam giác ABC bất kì với BC = A,AC = B,AB = C và R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:
A _ B _ C „ sinA sin B
sinC
Nhưng cũng có những mệnh đề là một định lí (nghĩa là được chứng minh là
đúng) nhưng lại không được nêu thành định lí.
VD2: Các công thức lượng giác như công thức cộng, công thức biến đổi

tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng,...
Định lí là một mệnh đề đã được chứng minh dựa trên các tiên đề và quá
trình suy luận, là nhũng cái có thể chứng minh dựa vào lí thuyết đã được công

nhận. (Tiên đề là những điều được công nhận đúng mà không cần chứng minh.)
Định lí gồm có hai phần :
+ Giả thiết là điều đã cho.
+ Ket luận là điều suy ra.
VD3: Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng

thứ ba thì chúng song song với nhau.
Giả thiết: tf//c,b//c
Kết luận: AL ÍB
Định lí được đưa ra dưới hai dạng:
Dạng 1: Nhũng định lí được hình thành thông qua các hoạt động đo đạc,
gấp hình, thao tác trực quan và đi đến công nhận định lí mà không cần chứng
minh.
VD4: Định lí Pytago, định lí về tính chất ba đường trung tuyến của một tam

giác, định lí về đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp,...
Dạng 2: Định lí được hình thành cho học sinh trên cơ sở học sinh hoạt động
xác định định lí và chứng minh định lí hoàn chỉnh.
VD5: Định lí ba đường vuông góc

“Cho đường thắng A không vuông góc với mặt phẳng ( P ) và đường thẳng
B nằm trong (P ). Khi đó, điều kiện cần và đủ để B vuông góc với A là B vuông

góc với hình chiếu A' của A trên (P )


Nhưng dù định lí được diễn ra dưới dạng nào thì người giáo viên cần linh
hoạt, áp dụng với từng mức độ yêu cầu của chương trình để phù họp với lứa tuổi
học sinh, tránh sự chán nản trong hoạt động học của học sinh. (Đặc biệt là những
định lí buộc học sinh phải thừa nhận mà không được chứng minh.)

Tóm lại: Mỗi một mệnh đề toán học biểu thị tính chất của đối tượng toán
học mà tính chân thực của nó đã được chứng minh là đúng gọi là định lí.
1.1.2
-

Yêu cầu dạy học định lí

Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có
khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề
trong thực tiễn.

-

Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy được chứng minh
định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực toán
học.

-

Học sinh hình thành và phát triến năng lực chúng minh toán học, tù’ chỗ hiểu
chúng minh, trình bày lại được chúng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy
nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình phổ thông.

-

Thông qua học tập những định lí toán học, học sinh biết nhìn nhận nội dung môn
toán dưới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề đồng thời rèn luyện khả năng này.

1.1.3

Các con đường dạy học định lí
Trong việc dạy học định lí Toán học người ta phân biệt hai con đường:

con đường có khâu suy đoán và con đường có khâu suy diễn. Hai con đường
này được minh họa bằng sơ đồ:
Con đường có khâu suy đoán

Con đường có khâu suy diễn


-

Con đường có khâu suy đoán gồm năm hoạt động:

+ Gợi động cơ và phát biểu vấn đề: Xuất phát tù’ nhu cầu thực tế hoặc tù’
nội bộ toán học.
+ Dự đoán và phát biểu định lí +
Chứng minh định lí + Vận dụng
định lí + Củng cố định lí
Con đường này được sử dụng một cách tìm tòi, phát hiện định lí mà học
sinh có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện với mức độ nhất định. Tuy nhiên
điều kiện đó không phải bao giờ cũng thỏa mãn, vì vậy còn phải sử dụng cả con
đường thứ hai dưới đây khi cần thiết.
-

Con đường có khâu suy diễn gồm năm hoạt động:

+ Gợi động cơ và phát biếu vấn đề: Xuất phát từ nhu cầu thực tế hoặc từ nội
bộ toán học.
+ Suy diễn dẫn tới định lí: Xuất phát từ những tri thức toán học đã biết dùng

suy diễn dẫn logic dẫn tới định lí.
+ Phát biểu định lí +
Vận dụng định lí +
Củng cố định lí
-

Sự khác biệt giữa hai con đường này là: Theo con đường có khâu

suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lí, còn ở con
đường có khâu suy diễn hai việc này nhập lại thành một bước. Tùy từng nội dung


cụ thể của tùng định lí mà chúng ta có thể trình bày theo cách này hay cách khác.
Sau đây ta tìm hiểu rõ hơn về con đường có khâu suy đoán.
1.2.

Con đường có khâu suy đoán

1.2.1.

Các định nghĩa, các cách hiếu về con đường

này Theo phương pháp dạy học của Nguyễn Bá Kim.
- Con đường có khâu suy đoán trong dạy học định lí: Xuất phát từ một nhu
cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học, từ đó giáo viên dẫn dắt
học sinh dựa vào những phương thức mang tính suy đoán, quy nạp không hoàn
toàn, lật ngược vấn đề,... từ đó đi đến một định lí tường minh hay một sự hiểu biết
về trực giác về định lí đó tùy theo yêu cầu của chương trình.
Theo phương pháp dạy học của Lê Văn Tiến.
- Con đường có khâu suy đoán trong dạy học định lí được dựa trên quan

điểm cho rằng hoạt động thực nghiệm (quan sát, đo đạc, dự đoán ...) và hoạt động
nghiên cún lí thuyết chỉ là thời điểm khác nhau của hoạt động toán học (trong
nghiên cún cũng như trong dạy học toán). Nghiên cún thực nghiệm và nghiên cứu
lí thuyết có mối quan hệ biện chứng không thể tách rời. Vì vậy, phát triển năng lực
thực nghiệm cũng có vai trò quan trọng như phát triến năng lực tư duy, khả năng
suy luận, trí tưởng tượng,...
Vì vậy mà trong chương trình toán THPT các khả năng thực nghiệm, suy
luận, phân tích, tưởng tượng, đánh giá, phải được phát triển đồng thời. Trình bày
một vấn đề, dự đoán về kết quả, thực nghiệm trên các ví dụ, thiết lập một chứng
minh, vận dụng các công cụ lí thuyết, trình bày lời giải, kiểm tra các kết quả đạt
được đánh giá tính thích đáng của chúng so với vấn đề đặt ra chỉ là những thời
điểm khác nhau của cùng một hoạt động toán học.
1.2.2. Ưu điếm, nhược điếm và điều kiện sử dụng của con đường có khâu suy
đoán
* Nhược điểm
- Tốn nhiều thời gian.
* Ưu điểm


- Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn
đề. Khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và
phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn.
- Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt về mối liên hệ giữa suy đoán
và chứng minh.
- Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp,
trừu tượng hóa, khái quát hóa,...
* Điều kiện sử dụng
- Con đường này được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện định
lí mà học sinh có thể hiểu được và tự mình thực hiện được ở mức độ nhất định.
1.3.

Các bước dạy học định lí bằng con đường có khâu suy đoán

1.3.1.

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

- Học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc
trong nội bộ toán học.
VD1: Định lí cosin
Vẽ lên bảng một tam giác A ABC vuông tại A , có các cạnh tương ứng là AB
= C, AC = B, BC = A.
GV: Ta đã biết công thức nào tính độ dài cạnh BC theo hai cạnh kia ?
HS: Định lí Pytago A 2 =B 2 +C 2
GV: Như vậy khi biết A là góc vuông, và biết độ dài hai cạnh kề thì ta có
thể tính được cạnh còn lại. Neu, vẫn cho biết độ lớn góc A và độ dài hai cạnh kề
của nó, nhưng góc A là một góc bất kì, liệu có tính được độ dài cạnh thứ ba hay
không?
- Đưa ra một số tình huống có vấn đề bằng tương tự hóa, khái quát hóa, lật
ngược vấn đề,... mà cách giải quyết của nó chính là nội dung định lí.
VD2: Trong mặt phang, đường thẳng có ba dạng phương trình khác nhau
như sau:

, \x = x ữ +at
+ Phương trình tham sô: <

2

2

với A +B ^ 0

{y = y ữ +bt

+ Phương trình chính tắc: ——^-=——với A 2 +B 2 ^ 0
a

b


+ Phương trình tổng quát: AX + BY + C = 0 với A 2 + B 2 ^ 0 Tương tự,
trong không gian phương trình đường phẳng cũng có ba dạng sau đây không?
x = x ữ +at
■ y=y 0 + bt;?—^ s -=^ : ^ l =?—^ L ;Ax+By + Cz + D = 0 với a
b
c
z = z ồ + ct
A 2 +B 2 +C 2 ^0,A 2 + B 2 + C 2 ^0 VD3: Sau khi học xong

định lí: “Nếu hàm số Ỵ = F(X ) có đạo hàm tại điểm X Q thì nó liên tục tại điểm
đó.”
Vậy ngược lại: Neu hàm số Y = F(X ) liên tục tại điểm JC0 thì liệu nó có đạo
hàm tại điểm đó không?
1.3.2

Dự đoán và phát biểu định ỉí

- Dựa vào những phương thức mang tính suy đoán như quan sát thực
nghiệm, quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa
một định lí đã biết, nghiên cún trường hợp suy biến, xét mối liên hệ và phụ

thuộc,...
VD1: Quan sát thực nghiệm định lí “ Phép quay là phép dời hình.”
GV: Quan sát chiếc tay lái vô lăng trên tay người lái xe thì ta thấy khi tay lái
xe quay tay lái một góc nào đó thì hai điểm A,B trên tay người lái cũng quay theo.
Khi đó vị trí của hai điểm A,B thay đổi nhung khoảng cách giữa hai điểm A,B có
thay đổi không?
HS: Vị trí hai điểm A,B thay đổi nhung khoảng cách giữa hai điểm không
thay đổi.
GV: Đây cũng chính là nội dung định lí “ Phép quay là phép dời hình.”
VD2: Dự đoán bằng tương tự hóa “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song

với mặt phang thứ ba thì song song với nhau.”
Định lí “Neu hai đường thắng cùng song song với một đường thắng thứ ba
thì chúng song song.”
Tương tự, nếu hai mặt phang cùng song song với một mặt phang thứ ba thì
chúng song song với nhau hay không?
Khi trình bày xong một dự đoán học sinh đúng trước hai câu hỏi cần trả lời
(hay hai vấn đề cần giải quyết) dự đoán đúng hay sai? Vì sao? Nói cách khác học


sinh đứng trước một bài toán mở cần giải quyết và có một sự không chắc chắn về
mệnh đề dự đoán (không biết nó đúng hay sai). Tính không chắc chắn này là động
cơ đê học sinh hình thành những phép thử những mò mẫm,... Đó chính là cơ hội
để phát triển dần dần ở học sinh các khả năng nghiên cún khoa học.
1.3.3.
-

Chửng minh định lí

Gợi động cơ chứng minh

Đe phát huy tính tự giác, tích cực của học sinh trong học tập, cần làm cho
học sinh thấy rõ sự cần thiết phải tiến hành chứng minh.
VD1: Định lí “Qua đường thẳng A không vuông góc với mặt phang (P ), có
duy nhất một mặt phặng (Q ) vuông góc với mặp phẳng (P )
GV: Lấy điểm OEA, dựng đường thắng B đi qua O và vuông góc với (P ).
Đe chứng minh có duy nhất một mặt phang (Ổ) vuông góc với mặt phẳng ( P ) thì
trước tiên GV cần hướng dẫn HS chứng minh mặt phẳng ( A,B ) chính là mặt
phang (Q ). Rồi mới chứng minh có duy nhất một mặt phang ( Q ) vuông góc với
mặp phang (P ).

-

Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh như phân
tích, tổng hợp so sánh, trùn tượng hóa, khái quát hóa,...
VD2: Chứng minh rằng: sin3;c = 3sin xcos2 Jt-sin3 Jt

-

Hướng dẫn cho HS những tri thức phương pháp trong chứng minh.


+ Thứ nhất: Cần tập luyện cho học sinh những tri thức về các quy tắc kết
luận logic thường dùng.
A=>£;A
Quy tắc đoạn luận:
B
=> phủ
B;B định:
=> c
Tam đoạn luận bắc cầu: Tam A

đoạn
Các quy tắc phản chứng: A^>C
X í ,, ,
ẤA
= >=>
£ AB\B
^ > ~Ã
B A CA Vjc,A(x) 3jc,A(x)
Một sô quy tăc khác: =-----= ;------------—; _ ’llU;—’
£=>A
A=>z?
3x,A(x) Vx,A(x)

Các quy tắc không được dạy một cách tường minh vì vậy chúng ta nên
hướng dẫn học sinh phân tích các bước qua phép chứng minh, trình bày các


bước đó qua căn cứ suy luận để học sinh nhận biết và hiểu rõ đã dùng các kết luận
quy tắc logic như thế nào? Mỗi lần sử dụng định nghĩa định lí là một lần sử dụng
quy tắc kết luận logic.
VD3: Đinh lí “Neu một đường thẳng D và mặt phang (P ) cùng vuông góc
với một đường thẳng À thì đường thẳng D song song với mặt phang (P ) hoặc nằm
trong mặt phẳng (P )
Phép chứng minh thường được trình bày tóm tắt như sau: Nếu D và (P) có
một điểm chung D thì ta vẽ thêm một đường thẳng D' nằm trong (P) và đi qua
D . Theo định lí đã biết (Q) trùng (P) . Từ đó suy ra D nằm trong (P ).

Ta phân tích phép chứng minh thành các bước:
Bước 1: Neu D và (P) không có điểm chung thì theo định nghĩa đường
thẳng song song với mặp phang, D LL(P ).

Bước 2: Neu D và (P) có một điểm chung D thì trong mặt phang (P) có ít
nhất một đường thẳng D\ không trùng với đường thẳng D , đi qua D. Theo định lí
về xác định mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng (Q) đi qua D và D'.
Bước 3: Vì D' thuộc mặt phang (P ) và mặt phang (P) vuông góc với A nên
theo định nghĩa mặt phang vuông góc với đường thẳng, D ' _L A
Bước 4: Đường thẳng À vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau D , D'
nằm trong mặt phang (Q) (theo định lí nếu một đường thẳng vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phang thì sẽ vuông góc với mọi
đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó và theo định nghĩa đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng), A1(Q)
Bước 5: Hai mặt phang (P) và (Q) đều đi qua D và đều vuông góc với À
(theo định lí qua một điểm cho trước chỉ có một mặt phang vuông góc với đường
thẳng cho trước), (P) trùng (Q). Từ đó suy ra D nằm trong (P).


VD4: Tính chất “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt
phang thì song song với nhau”
Ta chứng minh A -L(P), B-L(P) và A không trùng B. Theo quy tắc tam
đoạn luận bắc cầu ta suy ra A / LB.
+ Thứ hai: cần giúp học sinh hình thành những tri thức về phương pháp suy
luận, chứng minh như suy ngược (suy ngược tiến, suy ngược lùi), suy xuôi, quy
nạp toán học, chứng minh bằng phản chúng và chứng minh loại dần,...
Phép suy xuôi là đi từ nhũng đều đã biết, đến mệnh đề cần chứng minh có
sơ đồ sau:
A = AQ A, —».... A N = B Phép suy ngược là đi từ

mệnh đề cần chứng minh đến những điều đã biết, gồm suy ngược tiến và suy
ngược lùi:
B = B 0 —» B { —».... —» B N = A
B = B A <—5,

Nói đúnghơn ta thường

(suy ngược tiến)

B N = A (suy ngược lùi)

dùng phép suy ngược lùi (kết họp

ngược tiến) để tìmra phương pháp chúng minh và dùng phương

với suy

pháp

suy

xuôi để trình bày chứng minh.
Trong ba sơ đồ trên A là một định nghĩa, tiên đề hay một mệnh đề đúng nào
đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh.
Chú ý: Suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán chứ không phải là một phép
chúng minh như suy xuôi, suy ngược lùi.
VD5: Chứng minh rằng: “Neu trong tứ diện ABCD có AB _L CD và AC _L
BD thì AD±BCR

* Chủng minh bang phương pháp suy

c

xuôi
-

Gọi H là trực tâm của AABC ta có:
BH -LAC, theo giả thiết AC_L£D=> AC-LDH
CH _L AB , theo giả thiết AB _L CD => Aổ ± D//

Vì AC-LDH và AB±DH nên BC-LDH Ta
lại có:

_LA// do đó BC _L AD

(đpcm)
* Chứng minh bang phương pháp suy ngược lùi
Muốn chứng minh AD-LBC ta chỉ cần tìm một điểm X sao cho AX _L
BC và DX _L BC.

-

Gọi H là trục tâm của AABC ta có: AH _L BC
CH _L AB , theo giả thiết ABLCD^> AB - L DH
BH _LAC, theo giả thiết AC±BD^>AC±DH Từ

đó suy ra DH _L BC (đpcm)
* Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
Cho mệnh đề chứa biến P(N ) với NE~\ , để chúng minh P(N) đúng với
N > A, ae] , ta làm theo các bước sau:

B1: Chứng minh rằng P( a) đúng.
B2: Giả sử P(K ) đúng, với K > A tùy ý, ta chúng minh P(K +1) đúng.

B3: Ket luận P(N ) đúng với \/N>A.
VD6: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N > 3 ta luôn có:
2" >2/1 + 1 (1)
-

Với N = 3 ta có: 23 >2.3 + 1 đúng. Vậy (1) đúng với n = 3.

-

Giả sử (1) đúng với N = K >3,K

-

Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với N = K + \

tức là 2 K > 2K + 1 là đúng.

Nghĩa là cần chúng minh 2/c+1 > 2(K +1) +1 hay 2 K + ] >2K + 3
-

Thật vậy ta có: 2*> 2k + \^> 2 k+ ' > 4k + 2 = 2k + 2k + 2 > 2k + 3 (đpcm)
Kết luận 2" >2N + L với N> 3.

* Chứng minh bang phản chứng


Đe chứng minh mệnh đề Л đúng (nghĩa là chứng minh A là sai) thì ta
giả sử ngược lại Л sai (nghĩa là A đúng) và chỉ ra rằng việc A đúng sẽ dẫn tới
mâu thuẫn. Như vậy A phải sai, nghĩa là A đúng, ta làm theo các bước:
В1 : Giả sử A sai (nghĩa là A đúng)

B2: (Suy diễn trực tiếp) Từ các tiên đề В và A ta đi tới mâu thuẫn.
B3: Kết luận A đúng.
Các kiểu suy luận dẫn tới mâu thuẫn có thế là:
+ А л В => А

+ А А В => С А С (С là mệnh đề nào đó)
+ А л В => В

+ АЛ В => D (D là mệnh đề đúng đã biết )

VD7: Chúng minh bất đẳng thức cosi: A > -JAB với A,B > 0.
Bước 1 : Giả sử ngược lại A + B > 2\[ÃB sai, nghĩa là ta có A + B <
2\[ÃB đúng. Bước 2: A,B>0, A + B<2\FÃB ^>(A + B) 2 <4AB =>
(A -B) 2 < 0 (vô lí)

Bước 3: Giả sử A + B< 2\[ÃB là sai, vậy ta có A+B> 2YFÃB .
(đpcm) VD8: Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai.
“Cho tam thức bậc hai /(Jt) = 'DX 2 +BX + C,(A ^0)và một số
thực A. Neu A.F (A ) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân
biệt X|, X 2 ( JC, < JC2 ) và Jt, < A < X 2 Chứng minh:


2
2 b
c
Ta CÓ /(x) = ax +bx + c=a(x +—X + —)
b
aa

b

-4ac
=

Ta giả sử ngược lại, phương trình
không có hai nghiệm phân biệt. Từ đó suy ra
A< 0
A < 0 =>«./(«:)> 0 với Vjc . Điều này

mâu thuẫn với giả thiết a.f(a)< 0 Vậy
phương trình có hai nghiệm XỊ,X 2 (x,
Giả sử ngược lại: A nằm ngoài
khoảng hai nghiệm X Ỉ 9 X 2 => a.f(a) > 0 trái
với giả thiết.
Vậy jCj < A < X 2 .
* Chứng minh loại dần
VD9: Chứng minh loại dần định lí đảo

về dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc
hai F(X) = AX 2 +BX + C,(A ^0) có ba
trường họp xảy ra À > 0, A = 0, A < 0.
TH1: À = 0 => A.F(A ) > 0 với Vx.
Nhưng theo giả thiết có A mà A.F(A)
< 0 trái với giả thiết. Vậy trường hợp này

không xảy ra.
TH2: A < 0 => A.F(A ) > 0 với Vx.


Nhưng theo giả thiết có A mà A.F(A)

< 0 trái với giả thiết. Vậy trường họp này

không xảy ra.
Từ các kết quả trên suy ra A > 0 thì
tam thức có hai nghiệm phân biệt
JCj,JC2 (Xịa. F(A) > 0 với Vx thỏa mãn A<X ] hay A >
X 2 trái với giả thiết


Vậy A.F(A)< 0 với Vx thỏa mãn JC,
< AChú ý: Việc sử dụng phương pháp loại
dần đòi hỏi phải xem xét thật đầy đủ các
trường hợp có thể xảy ra.
+ Thứ ba: Làm cho học sinh thấy rõ
ba bộ phận cấu thành (luận đề là một mệnh
đề cần chứng minh; luận cứ là những tiên
đề, định nghĩa, định lí đã biết; luận chúng là
những phép suy luận được sử dụng trong
chứng minh) và ba yêu cầu đảm bảo chứng
minh là đúng (luận đề không được đánh
tráo; luận cứ phải đúng; luận chứng phải hợp
logic).
VD10: Phân tích chứng minh bất đẳng
thức cosi.
Tiên đê

Luận chứng

Luận cứ
Hăng đăng thức:

(A-BÝ >0, VA,B >

A 2 - 2AB + B 2 > 0,

0

\/A,B> 0

A 2 -2AB + B 2 >0,

A 2 + 2AB + B 2 > 4AB , Tính chất bất đẳng thức: A >

\/A,B > 0

\/A,B> 0
A + B>2\[ÃB, \/A,B> 0

2

A +2AB + B 2
>4AB , \/A,B>0

VA,B > 0

B nên A + C > B + c
Tính chât: Nêu A,B không
âm và A > B thì

■ỊÃ>4B

A

A+B> 2^00,

(.A-B) 2 = A 2 -2AB + B 2

> 2*JÃB,\/A >0,B>0 2

Tính chât bât đăng thức Nếu
A>B và c>0 thì A.C > B.c


+ Thứ tư: Cần hình thành ở học sinh
những tri thức phương pháp về chiến lược
giải toán chứng minh (có tính chất tìm đoán)
theo con đường tập luyện những hoạt động
ăn khớp với tri thức này.
VD11: Rèn luyện khả năng chứng
minh hình học
Chiến lược cần kết tinh lại ở học sinh
như một bộ phận kinh nghiệm mà họ thu
được trong quá trình giải toán, sự kết tinh
không nên để diễn ra một cách tự phát mà
cần có những biện pháp thực hiện có mục
đích, có ý thức của giáo viên. Cần tập luyện
dần để học sinh nắm được các kiến thức
trong quá trình dạy học chứng minh định lí
thông qua các câu hỏi.

GV có thể hỏi một cách có dụng ý
những chỉ dẫn bằng các câu hỏi:
Hãy vẽ một hình theo dự kiện của bài
toán. Những khả năng nào có thể xảy ra.
Giả thiết nói gì? Giả thiết còn có thể
biến đổi như thế nào?
Từ giả thiết suy ra được điều gì?
Những định lí nào có thể giống hoặc gần
giống với giả thiết?
Ket luận nói gì? Điều đó còn có thể
phát biểu như thế nào?
Đã có bài toán nào tương tự hay chưa?


Có cần kẻ thêm đường phụ hay
không?
- Phân bậc hoạt động chúng minh
theo 3 mức độ dựa vào tính độc lập của hoạt
động của học sinh.
+ Hiểu chứng minh.
+ Trình bày lại được chứng minh.
+ Độc lập tiến hành chứng minh.
Sự phân bậc hoạt động có thể được
dùng để dạy học phân hóa nội tại (tức là dạy
học phân hóa trong nội bộ một lóp học
thống nhất) theo cách cho những học sinh
thuộc những loại trình độ khác nhau đồng
thời thực hiện những hoạt động đó cùng một
nội dung nhưng trải qua hoặc ở mức độ yêu
cầu khác khác nhau.

VD12: Phân bậc hoạt động một bài
toán quỹ tích dựa vào tính độc lập của hoạt
động của học sinh.
Bậc 1: Các điểm có tính chất A thuộc
hình nào? (Học sinh giải có sự gợi ý của
giáo viên.)
Bậc 2: Các điểm có tính chất A thuộc
hình nào? (Học sinh giải độc lập.)


Bậc 3: Tính quỹ tích các điểm có tính
chất A ? (Học sinh giải độc lập.)
1.3.4.

Vận dụng định lí

Vận dụng định lí vừa tìm ra để giải
quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi động
cơ.
1.3.5.

Củng cố định lí

Là một quá trình lâu dài có thể trải
qua nhiều giai đoạn và cấp độ tri thức khác
nhau. Ngay cả khi định lí vừa được trình
bày ta cũng cần tiến hành củng cố bước đầu
định lí bằng một số hoạt động như: Nhận
dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngũ’, khái
quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa

những định lí.
Nhận dạng và thể hiện định lí: Đây là
hai hoạt động theo chiều trái ngược nhau có
tác dụng củng cố định lí, tạo tiền đề cho
việc vận dụng định lí.
+ Nhận dạng: Xem xét xem một tình
huống cho trước có ăn khớp với định lí đó
hay không?
VD1: Nhận dạng định lí “Nếu một

mặt phang chứa một đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng
đó vuông góc với nhau.
B


Cho hình chóp S.ABCD với đường cao SH ,
kí hiệu SK là một đường cao của tam giác
ASAB.

a)

Phải chăng mặt phẳng (SAH )

vuông góc với mặt phang (ABCD ).
b) Phải chăng mặt phang (SAK )
vuông góc với mặt phẳng (ABCD ).
+ Thể hiện: Tạo ra một tình huống
phù họp với nội dung định lí đã cho.

VD2: Thể hiện định lí “Nếu mặt
phang (P ) chứa hai đường thắng a và b cắt
nhau và cùng song song với mp (Q ) thì (P)//
(Q).”
Cho hình chóp S.ABCD mà đáy ABCD là
một hình thang (AB//CD ) .
Hãy dựng mặt phẳng chứa đường thẳng AB
và song song với với (SCD ).
-

Hoạt động ngôn ngữ: Có tác dụng

củng cố định lí, góp phần phát triển ngôn
ngữ cho học sinh.
+ Phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của
mình và biết cách phát biểu, diễn đạt định lí
dưới dạng ngôn ngữ khác nhau như: Dạng
công thức, dạng mệnh đề có liên từ “nếuthì” nhằm phát triến năng lực diễn đạt, cũng
như ngôn ngữ toán học cho học sinh.
+ Phân tích định lí: Phân tích làm rõ
đặc trung quan trọng, nêu bật ý nghĩa quan
trọng chứa đựng trong định lí một cách
tường minh hay ẩn tàng, làm rõ giả thiết kết
luận, trình bày định lí dưới dạng hình vẽ
minh họa.
VD3: Định lí cosin
Phát biểu bằng lời định lí cosin: Trong
một

tam
giác

B