Một số bài toán liên quan đến hàm số B2/B1

ax 2 + bx + c
Chuyên đề: Các bài toán liên quan đến hàm số y =
(1)
a, x + b,
I/ tính đơn điệu
Ví dụ 1. Tìm các giá trị của m để h/s y =

x 2 + mx − 1
đồng biến trên từng khoảng
x −1

xác định.

Giải:
+/ TXĐ: D = R \ {1}
+/ Ta có y ' =

x 2 − 2x + 1 − m

( x − 1)

2

.

+/ YCBT ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ≠ 1 ⇔ g(x) = x 2 − 2x + 1 − m ≥ 0 ∀x ≠ 1
+/ #’= m ≤ 0 => g(x) > 0 ∀x ≠ 1 => h/s đã cho đ/b trên từng khoảng xác định.
+/ Nếu #’=m >0 => g(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < 1< x2. Khi đó hàm
số sẽ nghịch biến trên các khoảng (x1; 1) và (1; x2) => không thỏa mãn YCBT.
+/ Vậy các giá trị m phải tìm là m ≤ 0 .

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hàm số y =

mx 2 + 6x − 2
nghịch biến trên
x+2

(1,+∞ )
Giải.
+/ TXĐ: D = R \ {−2} .
+/ Ta có y ' =

mx 2 + 4mx + 14

( x + 2)

2

.

+/ Do h/s đã cho liên tục tại x = 1nên h/s nghịch biến trên (1,+∞ ) khi và chỉ khi nó
nghịch biến trên [1;+∞ ) ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ≥ 1 ⇔ mx 2 + 4mx + 14 ≤ 0 ∀x ≥ 1

⇔ m ( x 2 + 4x ) ≤ −14 ∀x ≥ 1 ⇔ u ( x ) =

−14
≥ m ∀x ≥ 1 ⇔ min u ( x ) ≥ 1
x + 4x
[1;+∞ )
2

1


+/ Ta có u ' ( x ) =

14 ( 2x + 4 )

(x

2

min u ( x ) = u (1) = −
[1;+∞ )

+ 4x )

2

≥ 0 ∀x ≥ 1 ⇒ u(x) đồng biến trên [1;+∞ ) , do đó

14
.
5

+/ Vậy các giá trị phải tìm là m ≤ −

14
.
5

Bài tập đề nghị.
Tìm các giá trị của m để hàm số:
1/ y =

−2x 2 − 3x + m
nghịch biến trên từng khoảng xác định;
2x + 1

2x 2 − 3x + m
đồng biến trên ( 3,+∞ ) ;
2/ y =
x −1
mx 2 − (m + 1)x − 3
đồng biến trên [ 4;+∞ ) ;
3/ y =
x
4/

m + 1) x 2 − 2mx + m + 1
(
y=
(C
m−x

m)

nghịch biến trên từng khoảng xác định của

nó.

Ii/ Cực trị.
x 2 + 2m 2 x + m 2
Vớ dụ 1. Tìm các giá trị của m để h/s y =
có cực trị.
x +1

Giải :
+/ TXĐ D = R \ {−1}
1 − m2
x 2 + 2x + m 2
+/ Ta cú y = x + 2m − 1 +
t ừ đó y ' =
2
x +1
( x + 1)
2

+/ Hàm số cú cực trị khi và chỉ khi PT y’ = 0 cú hai nghiệm phõn biệt hay PT
g(x) = x 2 + 2x + m 2 = 0 cú hai nghiệm phõn biệt khỏc (-1)

1 − m 2 > 0
∆ ' > 0
⇔
⇔ 2
⇔ −1 < m < 1
g
−
1
≠
0

(
)
m
−
1
≠
0




2


+/ Vậy với -1 < m < 1 thỡ h/s đó cho cú cực trị.
x 2 + 2mx − m
Vớ dụ 2. Tỡm cỏc giỏ trị của m để h/s y =
cú cực đại, cực tiểu. Khi đó
x+m
tìm m để hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy.

Giải:
+/ TXĐ: D = R \ {−m}
m + m2
x 2 + 2mx − m
t ừ đó y ' =
+/ Ta cú y = x + m −
2
x+m
( x + m)

+/ Hàm số cú cực trị khi và chỉ khi PT y’ = 0 cú hai nghiệm phõn biệt hay PT
g(x) = x 2 + 2mx − m = 0 cú hai nghiệm phõn biệt khỏc (-m)
m 2 + m > 0
∆ ' > 0
m > 0
⇔
⇔ 2
⇔
.
 m < −1
g ( −m ) ≠ 0 − m − m ≠ 0
+/ Vậy với m > 0 hoặc m < -1 thỡ h/s đó cho cú cực đại, cực tiểu.
+/ Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm cực trị, khi đó x1, x2 là hai nghiệm của PT g(x) = 0.
+/ Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy khi và chỉ khi x1.x2 < 0 hay –m < 0 hay
m > 0.
+/ Vậy với m > 0 thì h/s đã cho có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục Oy

Ví dụ 3. Cho h/s y =

x 2 − mx + m
. CMR với mọi m, h/s luôn có CĐ, CT và khoảng
x −1

cách giữa hai điểm CĐ, CT là không đổi.

Giải:
+/ TXĐ: D = R \ {−1}
+/ Ta có y ' =

x 2 − 2x

( x − 1)

2

, PT y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x = 0, x = 2. thì

+/ y(0) = -m, y(2) = 4 – m, h/s có hai điểm cực trị là (0; -m), (2; 4 – m).
+/ Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là d = 2 5

+/ Vậy với mọi m, h/s luôn có CĐ, CT và khoảng cách giữa hai điểm CĐ, CT là
không đổi.

3


Ví dụ 4. CMR: nếu h/s y =

 y ' ( x 0 ) = 0
u ( x 0 ) u '( x 0 )
u(x)
có 
thì y ( x 0 ) =
=
..
v(x)
v ( x 0 ) v' ( x 0 )
 v' ( x 0 ) ≠ 0

Giải:

+/ Ta có 0 = y ' ( x 0 ) =
⇒ y(x 0 ) =

u '(x 0 )v(x 0 ) − u(x 0 )v '(x 0 )
2

[ v(x 0 )]

⇒ u '(x 0 )v(x 0 ) − u(x 0 )v '(x 0 ) = 0

u ( x 0 ) u '( x 0 )
=
(đpcm).
v ( x 0 ) v '( x 0 )

Ví dụ 5. Cho h/s y =

x 2 − 2x + m + 2
(Cm ) .
x + m −1

1/ Tìm m để h/s có cực trị.
2/ Viết PT đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (Cm).

Giải:
1/ TXĐ: D = R \ {1 − m}
+/ Ta có y ' =

x 2 + 2(m − 1)x − 3m

( x + m − 1)

2

+/ Hàm số có cực trị khi và chỉ khi PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay PT
g ( x ) = x 2 + 2 ( m − 1) x − 3m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác (1- m)

∆ ' = m 2 + m + 1 > 0
⇔
⇔ ∀m ∈ R .
g(1 − m) ≠ 0
+/ áp dụng VD4
+/ G/s PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2, khi đó h/s đã cho đạt cực trị tại x1, x2.
+/ Đặt u(x) = x2 – 2x + m+2 => u’(x) = 2x -2
v(x) = x + m -1 => v’(x) = 1
+/ Do y’(x1) = y’(x2) = 0 nên
y1 = y ( x1 ) =

u ' ( x1 )
u '( x 2 )
= 2x1 − 2, y 2 = y ( x 2 ) =
= 2x 2 − 2
v ' ( x1 )
v '( x 2 )

+/ Vậy PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là y = 2x -2.

4

Ví dụ 6. Tìm các giá trị của m để h/s y =

− x 2 + 3x + m
có CĐ, CT thoả mãn
x−4

yCD − yCT = 4 .
Giải:
+/ TXĐ: D = R \ {4}
+/ Ta có y ' =

− x 2 + 8x − m − 12

( x − 4)

2

+/ Hàm số có cực trị khi và chỉ khi PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay PT
g ( x ) = − x 2 + 8x − m − 12 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 4
∆ ' = 4 − m > 0
⇔
⇔m<4
g(m − 4) = m − 4 ≠ 0
+/ áp dụng VD4
+/ G/s PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2, khi đó h/s đã cho đạt cực trị tại x1, x2.
+/ Đặt u(x) = -x2 + 3x + m => u’(x) = -2x + 3
v(x) = x - 4 => v’(x) = 1
+/ Do y’(x1) = y’(x2) = 0 nên
y1 = y ( x1 ) =

u ' ( x1 )
u '( x 2 )
= −2x1 + 3, y 2 = y ( x 2 ) =
= −2x 2 + 3
v ' ( x1 )
v' ( x 2 )
2

+/ Ta có y CD − y CT = 4 ⇔ 2 x1 − x 2 = 4 ⇔ x1 − x 2 = 2 ⇔ x1 − x 2 = 4
2

⇔ ( x1 + x 2 ) − 4x1x 2 = 4 ⇔ 82 − 4 ( m − 12 ) = 4 ⇔ 16 − 4m = 4 ⇔ m = 3 thoả mãn đk
m < 4.
+/ Vậy với m = 3 thì h/s đã cho có CĐ, CT thoả mãn y CD − y CT = 4 .

Bài tập đề nghị
Bài 1. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau có cực trị:
x 2 + ( m + 2) x − m
1/ y =
x +1
2/ y =

mx 2 + ( m + 1) x + 1
mx + 2

5


3/ y =

(

)

2m 2 x 2 + 2 − m 2 ( mx + 1)
mx + 1

− x 2 + mx − m 2
Bài 2. Cho hàm số y =
( Cm )
x−m
1/ Tìm các giá trị của m để hàm sau có CĐ, CT;
2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của (Cm).
2x 2 − 3x + m
Bài 3. Tìm các giá trị của m để h/s y =
có CĐ, CT và | yCĐ - yCT | > 8.
x−m

Bài 4. Tìm các giá trị của m để h/s y =

( m − 1) x 2 + x + 2
( m + 1)x + 2

có CĐ, CT và

(yCĐ - yCT )(m+1) + 8 = 0.

Bài 5. Tìm các giá trị của m để h/s y =

x 2 + 2mx + 2

có CĐ, CT và khoảng cách từ
x +1

hai điểm đó đến đường thẳng x + y +2 =0 là bằng nhau.
x2 + x + m
Bài 6. Tìm các giá trị của m để h/s y =
có CĐ, CT và hai điểm CĐ, CT
x +1
nằm về hai phía trục Oy.
mx 2 + 3mx + 2m + 1
Bài 7. Tìm các giá trị của m để h/s y =
có CĐ, CT và hai điểm
x −1
CĐ, CT nằm về hai phía trục Ox.

III. Tiếp tuyến.
x 2 − 3x + 4
Ví dụ 1 . Cho h/s y =
(C) và điểm M bất kỳ thuộc (C) .
2x − 2
Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận tại A
và B.
1/ CMR: M là trung điểm AB;
2/ CMR: Tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là không đổi;
3/ CMR: Diện tích tam giác IAB không đổi.

Giải:
1
1/ Dễ thấy (C) có hai tiệm cận: TCĐ x = 1, TCX y = x − 1 tù đó
2

6

 −1 
I 1; 
 2 


+/ Gọi M(xM; yM) , Đặt xM = m => y M =
+/ Ta có y ' =

m
1
−1+
2
m −1

1
1
1
1
−
⇒ y'(m) = −
2
2 ( x − 1)
2 ( m − 1)2

+/ PTTT của (C) tại M là (d): y= y(m) (x-m) + y(m)
=>

1

(d ) : y = 

 2

−


m
1
 x − m) + −1 +
2 (
2
m −1
( m − 1) 
1

2
1

− 
+/ Từ đó A = ( d ) ∩ TCD ⇒ A 1;
 m −1 2 
3

B = ( d ) ∩ TCX ⇒ B  2m − 1; m − 
2

+/ Do A, M, B thẳng hàng và

xA + xB
= m = x M nên M là trung điểm AB.
2

2/ Ta có khoảng cách từ M đến TCĐ là d1 = | m – 1 |, khoảng cách từ M đến TCX là
d2 =

2
5 m −1

+/ d1.d 2 =

2
(đpcm)
5

1
1 2
3/ Kẻ BH ⊥ AI ⇒ dt ( ∆ABC ) = BH.AI = .
. 2 ( m − 1) = 2 (đvdt) Từ đó ta có
2
2 m −1

điều phải chứng minh..
2x 2 − 7x + 7
Ví dụ 2 . Cho h/s y =
(C). Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song
x−2
với đường thẳng y = x + 4.

Giải:
+/ Ta có y ' = 2 −

1
( x + 2)

+/ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm PT

7


2−

x = 1
1
=1⇔ 
( x + 2)
x = 3

+/ Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 có PT y= (x-1) – 2 = x – 3
+/ Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 3 có PT y= (x-3) + 4 = x + 1

Ví dụ 3. Cho h/s y =

x 2 + 3x + a
(Ca). Tìm a để (Ca) có tiếp tuyến vuông góc với
x +1

đường phân giác góc thứ nhất của hệ truc tọa độ. Khi đó CMR h/s cũng có CĐ, CT.
Giải:

+/ Ta có y ' =

x 2 + 2x + 3 − a

( x + 1)

2

+/ Đồ thị có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x
khi và chỉ khi PT

x 2 + 2x + 3 − a

( x + 1)

2

2

= −1 có nghiệm ⇔ 2 ( x + 1) = a − 2 có nghiệm x

khác (-1) ⇔ a − 2 > 0 ⇔ a > 2 .
+/ Với a > 2 thì PT x2 + 2x +3 – a = 0 có hai nghiệm phân biệt khác (-1) hay PT y’ =
0 có hai nghiệm phân biệt.
+/ Vậy hàm số đã cho có CĐ, CT.

Ví dụ 4
x2 + x − 1
Cho hàm số y =
x+2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến của đó vuông góc với
tiệm cận xiên của (C).

Giải:
+/ Tiệm cận xiên của đồ thị (C) có phương trình y = x -1, nên tiếp tuyến vuông góc
với tiệm cận xiên có hệ số góc là k = -1.
+/ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình : y’ = 1
⇔1−

1

( x + 2)

2

= − 1 ⇔ x = −2 ±

2
2

8


+/ Với x = −2 +

2
3 2
⇒y=
− 3 Phương trình tiếp tuyến là
2

2

( d1 ) : y = − x + 2

2 −5

+/ Với x = −2 −

2
3 2
⇒y=−
− 3 Phương trình tiếp tuyến là
2
2

( d1 ) : y = − x − 2

2 −5

Ví dụ 5. Cho hàm số y =

x 2 + 4x + 1
x

Qua điểm A(1; 0) viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị.

Giải:
+/ Đường thẳng này sẽ là tiếp tuyến

hệ phương trình sau có nghiệm:

1

 x + x + 4 = k ( x − 1) (1)
(H) 
1 − 1 = k
(2)
 x 2
+/ Ta có:

(1) ⇔

1
= kx − x − 4 − k
x

( 2) ⇔ −

1
= kx − x
x

+/ Lấy (1) trừ (2) ta suy ra:
1
k+4
=−
x
2
k+4
1

(3)
 x = − 2
⇒ (H) ⇔ 
1 − 1 = k (2)
 x 2
+/ (H) sẽ có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm thỏa mãn (2)

k + 4 ≠ 0
k ≠ 4

⇔  ( k + 4 )2
⇔ 2
⇔ k = −6 ± 2 6
=k
k + 12k + 12 = 0
1 −

4

9


+/ Vậy có 2 tiếp tuyến qua A(1;0)

(

)

(

)

PT hai tiếp tuyến đó là y = −6 + 2 6 ( x − 1) và y = −6 − 2 6 ( x − 1)
x 2 + 2x + 1
Ví dụ 6. Cho hàm số y =
(1)
x −1
Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ được đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc
với nhau.

Giải:
+/ Xét M(0;m) ∈ Oy . Đường thẳng qua M có phương trình dạng y = kx + m .


x 02 + 2x 0 + 1 
+/ Tiếp tuyến với đồ thị tại  x 0 ; y 0 =
 có phương trình
x0 − 1 

y=

x 02 − 2x 0 − 3

( x 0 − 1)

2

( x − x0 ) +

x 02 − 2x 0 + 1

.
x0 − 1

+/ Đường thẳng y = kx + m sẽ là một tiếp tuyến ( qua M(0; m) ) khi và chỉ khi
phương trình
m=

− x ( x 2 − 2x − 3)

( x − 1)

2

+

x 2 + 2x + 1
x −1

hay (m -3)x2 – (2m+2)x +m + 1= 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho
x12 − 2x1 − 3 x 22 − 2x 2 − 3
.
= −1 (2)
2
2
( x1 − 1)
( x 2 − 1)
+/

m ≠ 3 m > −1
(1) có nghiệm ⇔ 

⇔
(3)
∆ > 0
m ≠ 3

+/


4
Điều kiện (2) 1 −
 ( x − 1)2
1


(x x − (x
1

2

2

1

(



4
= −1
1 −


 ( x − 1)2 
2



)

2

+ x 2 ) + 1) − 2 ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 − 2 ( x1 + x 2 ) + 2 + 8 = 0

Theo định lí Viet ta có : x1 + x 2 =

2 ( m + 1)
m−3

( 2 ) ⇔ m 2 − 8m + 1 = 0

10

; x1 x 2 =

m +1
nên
m−3


⇔ m = 4 ± 15 ( thỏa mãn (3)).
+/

(

)

Vậy các điểm cần tìm trên Oy là M 0;4 ± 15 .

Bài tập đề nghị.
Bài 1. Cho h/s y =

x 2 + 2x + 2
(C )
x +1

Gọi I là tâm đối xứng của (C) và M là một điểm tùy ý trên (C).
Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B. CMR: M là trung điểm
AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí M trên (C).

Bài 2. Cho (C): y = x + 1 +

1
. Tìm điểm M trên (C) có xM > 1 sao cho tiếp tuyến
x −1

tại M tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ nhất.
x2 − x − 1
Bài 3. Viết PTTT của (C): y =
biết tiếp tuyến song song với đường y = -x.
x +1

Bài 4. Viết PTTT của (C): y =
y=

2x 2 − 3x − 1
biết tiếp tuyến vuông góc với đường
4x + 3

−1
x + 2.
3

Bài 5. Cho đồ thị (C) y =

x 2 − 5x − 3
. CMR trên (C) luôn tồn tại vô số các cặp điểm
x+2

để tiếp tuyến tại đó song song với nhau đồng thời tập hợp các đường thẳng nối các
cặp tiếp điểm đồng quy tại một điểm cố định.

Bài 6. Viết PTTT của (C) y =

x 2 + 2x + 2
biết tiếp tuyến qua A( 1; 0).
x +1

−x2 + x + 1
Bài 7. Viết PTTT của (C) y =
biết tiếp tuyến qua A( 0;5/4).
x +1

Bài 8.Viết PTTT kẻ từ O(0;0) đến (C) y =

x 2 − 3x + 6
. Tìm tọa độ các tiếp điểm.
x −1

x 2 − 3x + 2
Bài 9. Cho (C) y =
. Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm kẻ được hai
x
TT vuông góc với nhau đến (C).

IV/ tiệm cận
11


Tham khảo BT 1.37(a, b, c), 1.41, 1.42(b) SBT GT 12 NC tr.17 – 18.
−x 2 + x + a
Ví dụ 1. Tìm a để (Ca): y =
có tiệm cận xiên đi qua A(2;0).
x+a

Giải:
a2
x+a

+/ Ta có y = f ( x ) = − x + 1 + a −

+/ Với a ≠ 0 ⇒ lim f ( x ) − ( − x + 1 + a )  = 0, lim f ( x ) − ( − x + 1 + a )  = 0

x →+∞
x →−∞
+/ Vậy với a ≠ 0 thì (Ca) có tiệm cận xiên là đường thẳng (d): y = -x + 1 + a
+/ Đường thẳng (d) đI qua A(2; 0) khi và chỉ khi a = 1.
+/ Do đó a = 1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Cho (Cm): y =

x 2 + mx − 1
. Tìm m để tiệm cậ xiên của (Cm) tạo với hai trục
x −1

tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.

Giải:
+/ Ta có y = f ( x ) = x + 1 + m +

m
x −1

+/ Lập luận như VD1, với m ≠ 0 (Cm) có tiệm cận xiên là (d): y = x + 1 + m.
+/ Gọi A = d ∩ Oy, B = d ∩ Ox , khi đó A(0; m+1), B(-m-1; 0)
1
1
2
+/ Khi đó dt( ∆OAB) = OA.OB = ( m + 1) , nên (m + 1)2 = 16, từ đó ta được m =3
2
2
và m = -5.
+/ Vậy m = 3, m= -5 là các giá trị phải tìm.

Bài tập đề nghị.
ax 2 + ( 2a − 1) x + a + 3
, (a ≠ −1, a ≠ 0) . CMR tiệm cận xiên của
Bài 1. Cho (Ca) y =
x−2
(Ca) luôn đI qua một điểm cố định.
2x 2 + mx − 2
Bài 2. Cho (Cm) y =
. Tìm m để TCX của (Cm) tạo với hai trục một tam
x −1
giác có diện tích bằng 4 .

12


Bài 3. Cho (C) y =

2x 2 + 3x + 2
x −1

1/ Lấy M tùy ý trên (C). CMR tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là
hằng số.
2/ Tìm N trên (C) để tổng các khoảng cách từ N đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.

v/ Một số bài toán khác.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x +

4
(C)

x

1/ Chứng minh đường thẳng (d): y = 3x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B.
2/ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng (∆):
y = 2x + 3.

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) :
x2 + 4
= 3x + 2 ⇔ 2x 2 + mx − 4 = 0 (1)
x
Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 0 nên (d) luôn cắt (C) ở 2 điểm
phân biệt A, B.
Hoành độ A, B chính là 2 nghiệm của phương trình (1) , nên do định lí Viet :
x1 =

xA + xB
m
m
= − , y1 = 3x1 + m =
2
4
4

Vậy I ∈ ∆ ⇔ y1 = 2x1 + 3 ⇔

m
 m
= 2 −  + 3 ⇔ m = 4
4

 4

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x + 2 +

1
(C)
x+2

Tìm giá trị của m sao cho đường thẳng y = mcắt đồ thị của hàm số tại hai điểm, sao
cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng

.

Giải:
+/ Điều kiện cần và đủ để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt là PT
x+2+

1
= m có hai nghiệm phân biệt .
x+2

⇔ g ( x ) = x 2 + ( 4 − m ) x + 5 − 2m = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt với x ≠ −2

13


∆ > 0
 m < −2
⇔
⇔ m2 − 4 ≠ 0 ⇔ 

m > 2
 g ( −2 ) ≠ 0
+/ Với m < -2 hoặc m > 2 khi đó đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt .
Giả sử M1(x1; y1), M2(x2; y2)
+/ Khi đó theo bài ra ta có :
2

( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 )
2
⇔ ( x 2 + x1 ) − 4x1 x 2 = 12
M1M 2 =

2

2

2

2

= 12 ⇔ ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) = 12 ⇔ ( x 2 − x1 ) = 12

+/ Do x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) nên theo Viet :
x1 + x2 = m – 4, x1x2 = 5 – 2m
Từ đó ta có m = -4 hặc m = 4.
x2 + x − 1
Ví dụ 3. Cho hàm số y =
x −1
Tìm m để đường thẳng (d): y = mx - 2m + 2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm thuộc hai
nhánh của đồ thị (C).

Giải:
+/ Tập xác định : D=R\{1}
+/ Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm phương trình:
x2 + x − 1
= mx − 2m + 2 (1) ví i x ≠ 1, (1) ⇔ ( m − 1) x 2 + (1 − 3m ) x + 2m − 1 = 0 (2)
x −1
+/ Vì 2 nhánh của đồ thị nằm 2 bên đường thẳng x=1
YCBT ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1< 1
m − 1 ≠ 0

⇔ ∆ > 0
giảI hệ đk này ta được m > 1.
(x − 1)(x − 1) < 0
 1
2
Vậy với m>1 thì đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C).

x2 + x + 2
Ví dụ 4. Tìm m để trên (C) y =
có hai điểm đối xứng với nhau qua
x −1
I(0;5/2)

Giải:
+/ Xét đường thẳng qua I(0; 5/2) là (d): y = kx + 5/2.
14

+/ PT hoành độ giao điểm của (d) và (C) là:

x2 + x + 2
5
5
9

= kx + ⇔ g ( x ) = ( k − 1) x 2 −  k −  x − = 0, x ≠ 1
x −1
2
2
2

+/ Giả sử A(x1;y1), B(x2;y2) đối xứng nhau qua I và cùng thuộc (C), khi đó x1, x2 là

3
2 =0⇔ k = 3.
nghiệm PT g(x) = 0 và x1 + x2 = 0. Từ đó
k −1
2
k−

 x = −3 ⇒ y1 = −2
x2 9
+/ Với k = 3/2 thì g ( x ) =
− =0⇔ 1
2 2
 x 2 = 3 ⇒ y2 = 7
+/ Vậy A(-3;-2), B(3;7) là các điểm phảI tìm.

Bài tập đề nghị.
Bài 1. Cho (C) y = − x + 3 +

3
và đường thẳng (d): y = 2x + m.
x −1

1/ CMR (d) luôn cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt;
2/ Gọi x1, x2 là hoành độ của A, B. Tìm m để (x1- x2)2 nhỏ nhất.

x2 + 3
Bài 2. Viết PT đường thẳng (d) qua M(2; 2/5) sao cho (d) cắt (C): y =
tại hai
x +1
điểm A, B phân biệt và M là trung điểm A, B.

x 2 + 4x + 1
Bài 3. Tìm m để (dm): y = mx + 2 – m cắt (C) y =
tại hai điểm phân biệt
x+2
thuộc cùng một nhánh của (C).

3x 2 − 2x − 7
Bài 4. Tìm trên (C): y =
các điểm đối xứng nhau qua I(1;3).
x −5
x2
Bài 5.Tìm hai điểm A, B trên (C): y =
đối xứng nhau qua đường thẳng y = x–1.
x −1

VI/ Bài tập tổng hợp

x 2 − 3x + m
Bài 1. Cho hàm số: y =
x−2
1/. Xác định m để hàm số có cực trị. Tìm tập hợp các điểm cực đại, cực tiểu.

15


2/. Khảo sát và vẽ với m=3.
3/ Viết PT tiếp tuyến của đồ thị đi qua A(1;0).

x 2 − 2mx + m + 2
Bài 2. Cho hàm số: y =
(Cm)
x−m
1/. Với giá trị nào của m hàm số đồng biến với mọi x>1.
2/. Khảo sát với m=1.

x 2 − 2 | x | +3
3/. Tùy thuộc vào a biện luận số nghiệm phương trình
=a
| x | −1
x 2 + mx − 2m + 4
Bài 3. Cho hàm số: y =
x+2
1/. Tìm điểm cố định đồ thị hàm số đi qua với mọi m.
2/. Xác định m để hàm số có CĐ, CT. Tìm quỹ tích CĐ.
3/. Khảo sát và vẽ đồ thị với m=-1

x2 − x − 1
Bài 4. Cho hàm số: y =
x +1
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm m để đường thẳng (dm) y=mx-1 cắt đồ thị tại điểm phân biệt nằm về cùng một
nhánh của đồ thị.
3/. Gọi M, N là hai giao điểm của đồ thị hàm số với (dm). Tìm tập hợp trung điểm I
của MN.

x 2 − 2x + m + 2
Bài 5. Cho hàm số: y =
x + m−1
1/. Khảo sát với m=-1
2/. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A(6;4)
3/. Tìm m để hàm số có CĐ, CT. Viết phương trnh đường thẳng qua CĐ, CT.

Bài 6. Cho hàm số: y = x + 3 − m +

1
x+m

1/. CMR hàm số có cực trị với mọi m.
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C2) với m=2.
3/. Tìm a để y = a( x + 1) + 1 cắt (C2) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu.

16


Bài 7. Cho hàm số: y =

x 2 + 2x − 1
x −1

1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Viết phương trình tiếp tuyến của đò thị hàm số sao cho các tiếp tuyến vuông góc
với tiệm cận xiên. CMR tiếp điểm là trung điểm của đoạn chắn bởi 2 tiệm cận với
tiếp tuyến.
3/. Viết phương trình tiếp tuyến qua A(3; -2).

x 2 + 2x + 2
Bài 8. Cho hàm số: y =
x +1
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm trên đồ thị hàm số những điểm mà khoảng cách đến trục hoàng bằng 2 lần
khoảng cách đến trục tung.

x2
Bài 9. Cho hàm số: y =
(C)
x −1
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm những điểm trên Oxy mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến
vuông góc với nhau.

mx 2 + x + m
Bài 10. Cho hàm số: y =
mx + 1
1/. Tìm m để hàm số đồng biến /(0;+∞)
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1 (C).

3/. Tìm số tiếp tuyến có thể của (C) đi qua mỗi điểm thuộc (C).

Bài 11. Cho hàm số: y =

−x 2 + mx + m
−mx + m

1/. Tìm điểm cố định đồ thị đị qua với mọi m.
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=1.




3/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua A  0;

5

4

Sự tiếp xúc của hai đường cong.

17


+/ Theo SGK GiảI tích 12 NC: hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi

f ( x ) = g ( x )
có nghiệm và nghiệm của hệ là hoành độ tiếp
f
'

x
g
'
x
=
( )
 ( )

và chỉ khi hệ PT 

điểm của hai đường cong đó.
+/ Tham khảo BT 1.62, 1.63, 1.64, 1.83, 1.87 sách BT GT 12NC .
+/ Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm m để (C1): y = x4-6x3 + 12x2 -14x + 2m2 + m và
(C2): y = 2x3 – 10x2 +10x + 1 tiếp xúc nhau.

x2 − x + 1
Bài 2. Tìm m để (C): y =
và (P): y = x2 + m tiếp xúc nhau.
x −1
Bài 3. Tìm m để (C1): y = 3x(3x- m + 2) + m2 – 3m và (C2): y = g(x) = 3x+1 tiếp xúc
nhau.

18