Phương pháp giải toán tích phân 12_Ôn thi ĐH

Haûi

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

12&ÔN THI ĐẠI HỌC
TÍCH PHÂN


TÍCH PHÂN
NGUYÊN HÀM
DẠNG I- TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG Đ.N:
2
2
Ta
có:
(x
)’=2x=>x
là 1 nguyên hàm của 2x
PP :
Ngoài ra: 2x cũng có nguyên hàm là x2+1;x2-2;…
1)Nếu [F(x)]’ = f(x) thì F là 1 nguyên hàm của f(x) .
2)Các nguyên hàm của f(x) có dạng : F(x) + C
Kí hiệu : ∫f(x)dx = F(x) + C
3)Tính chất :
a) ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx
b) ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx .


(x2)’=2x=>nguyên hàm của 2x là x2
(x2+c)’=2x=>nguyên hàm của 2x là x2+c;
Ký hiệu: ∫2xdx=x2+c

Neu ∫ f(x)dx=F(x)+c; thi:
1
∫ f(ax+b)dx= a F(ax+b)+c;a ≠ 0


Bài 1 : Tính nguyên hàm của
4
3
2
x
x
3
2 x
A = ∫(8x
– 5)dx
=8
-3 -3x
+2+ 2x-5x+c
4
3
2

=2x4 – x3 + x2 – 5x + C

-2
-1
x
x

-1 1
1 1
-3
-2
B= ∫ ( 3 + 2 )dx
= (x +x )dx=
+
+c= 2 - +c
x x
-2 -1
2x x
x 3 - 3x 2 + 2
2
x2
2
C = ∫(
)dx = ∫ (x-3+ 2 )dx= -3x- +c
2
x
22
x
x

∫

2
x
x 2 -5x+6
)dx= -4x+2ln|x-1|+c
D= ∫ (

)dx = ∫ (x-4+
x-1
2
x-1
1/2
5/2
1-x 2
x
x
2x 2 x
-1/2
3/2
E= ∫ (
)dx = ∫ (x -x )dx=
+c =2 x+c
2
x
5
1/2 5/2
x -3
F= ∫ (
)dx
2x+1


2
1 1 11 1
x 2 -3
x
]dx = - x − 11 1 ln|2x+1|+c

F= ∫ (
)dx = ∫ [ x- 2 4 4 (2x+1)
2x+1
4 4 4 2

Bài 2: tinh
a)∫ex(3 – 2e-x)dx
= ∫(3ex -2)dx=(3ex- 2x)+c
b) ∫(24x.3x)dx
x
48
+c
= ∫(243)xdx = ∫48xdx = =
x
x
c)∫ (12cos -9cos )dx
3
3
3

ln48

= 3∫[4cos3(x/3)- 3cos(x/3)]dx=3∫cos3(x/3)dx
=3∫cosxdx= 3sinx + c
d) ∫tg2xdx


d) ∫tg2xdx
1
= tgx – x + c

=∫ (
-1)dx
2
cos x
2 x
e)∫ (4sin +sinx)dx
2
= ∫[2(1 –cosx)+ sinx]dx= ∫sinx -2cosx+2)dx
=2x – 2sinx- cosx+ c

1
f)∫ 2
dx
2
sin xcos x
sin 2 x+cos 2 x
1
1
=∫
dx= ∫ ( 2 +
)dx
2
2
2
sin xcos x
cos x sin x
=tanx-cotx+c


Bài 3)Tìm nguyên hàm F(x) biết f(x)=sinx.cos2x và F(π/4)

Ta có : f= (sin3x – sinx)/2

1
1  -cos3x

=>F(x)= ∫ (sin3x-sinx)dx= 
+ cos x ÷+c
2
2 3

F(π/4)=0-cos(3π/4)/6+ cos(π/4)/2+c=0
c=

-cos3x cosx 2
=>F(x)=
+
6
2
3



Bài 4: Tìm nguyên hàm
2
2
9x
dx
9x ⇒ F=
a)f=
1-x 3

1-x 3

∫

Đặt t =

⇒ −6dt=

1-x ⇒ dt=
3

9x 2
1-x 3

(1-x 3 )'dx
2 1-x 3

dx

⇒ F= ∫ (-6)dt=-6t+c=-6 1-x 3 +c
1
b)f(x)=
5x+4

=

-3x 2
2 1-x 3

dx

1
b)f(x)=
5x+4

⇒ F(x)= ∫

dx
5x+4

2tdt
Đặt t = 5x+4 ⇒ t =5x+4dt=>2tdt=5dx=>dx=
5
2tdt 2
2
2
=>F= ∫
= ∫ dt= t+c=
5x+4+c
5t
5
5
5
4
2
4
2
c)f(x)=x 1-x ⇒ F(x)= ∫ x 1-x dx
2

4

2

Đặt t= 1-x
=>t4=1 –x2=>4t3dt = -2xdx
=>xdx = -2t3dt

F=∫t.(-2t3dt)=-2∫t4dt =-2t5/5+c
d)f(x)=

1
x (1 + x ) 2

2 4
⇒ F(x)=- ( 1-x 2 )5 +c
5


1
d)f(x)=
x (1 + x ) 2

⇒ F(x)= ∫

dx
2
x (1+ x )

dx
Đặt t = 1+ x =>dt=
2 x
-2
+c
F=∫2dt/t = -2/t +c ⇒ F(x)=
1+ x
2

Bài 5: Tính ∫x(x-1)7dx=A
Đặt t = x – 1x = t+1=> dt = dx
A=∫(t+1)t7dt= ∫(t8+t7)dt


Bài 6: Tìm nguyên hàm
a)f=xsin(x/2)
du = dx
Đặt u = x
=>
v = -2cos(x/2)
dv = sin(x/2)dx
F(x)=uv - ∫vdu = -2xcos(x/2) + 2∫cos(x/2)dx
=-2xcos(x/2) + 4sin(x/2) + c
b)f=x2cosx
du = 2xdx
2
=>
Đặt u = x
v = sinx
dv = cosxdx

F(x)=x2sinx - 2∫xsinxdx


b)f=x2cosx
du = 2xdx
=>
v = sinx

Đặt u = x
dv = cosxdx
F=x2sinx – 2∫xsinxdx
2

Đặt u = x
dv = sinxdx

du = 2dx
=>
v = -cosx

F=x2sinx– 2∫xsinxdx= x2sinx– 2(-xcosx+2∫cosxdx)
=x2sinx – 2(-xcosx+2sinx)+c
c)f=x3ln(2x)


c)f=x3ln(2x)
Đặt u = ln(2x) => du = (2/x)dx
4
3
v

=
x
/4
dv = x dx
F=(x4/4)ln(2x)– ∫(x3/2)dx = (x4/4) ln(2x) – x4/8 + c
d)f(x)=3x 7-3x 2
2
7-3x
=>t2= 7 - 3x2=>2tdt= -6xdx
Đặt t =

=>3xdx=-tdt
F=∫(-t2)dt= -t3/3 + c

( 7-3x 2 )3
F(x)= −
+c
3


TÍCH PHÂN
DẠNG 1 :TÍCH PHÂN BẰNG Đ.N VÀ TÍNH CHẤT
PP:
b

1) ∫ f(x)dx=F(b)-F(a)

; F là 1 ng. hàm of f(x)
a
2)Các tính chất tích phân như TP bất định

b

a

a

b

3) ∫ f(x)dx=- ∫ f(x)dx
b

c

c

a

b

a

4) ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx

5)Lập bảng dấu phá trị tuyệt đối
đối với hs chứa trị tuyệt đối


Bài
8:Tính
1

a)∫ x 3 (x 4 -1)dx
10

8
4
8
4
x
x
1
1
0
0
1
7
3
1
= ∫ (x -x )dx=( - )|0 =( - )-( - )=8 4
8 4
8 4
8
0

2

1 1
b)∫ ( 3 + 2 )dx
x x
1
2

-2
x
1 2
-3
-2
= ∫ (x +x )dx =(
- )|1 =( 1 2 - 1 )|12 =- 1 - 1 -(- 1 -1)
-2 x
-2x x
8 2 2
11
c)∫ ( 3 x-5 x )dx
10

4/3
3/2
x
x
= ∫ (x1/3 -5x1/2 )dx =(
-5
)|10
4/3 3/2
0
3

=(

3x x 10x x 1
)|0

4
3

1

d)∫ (1-2x)3dx
0


1

d)∫ (1-2x) dx = 1 (1-2x)
3

-2

0

2

4

4 1

=0
0

2

x 2 +4x

x2
1
11
2
e)∫ (
)dx= ∫ (x+4)dx=( +4x)|1 =(2+8)-( +4)=
x
2
2
2
1
1
π/4

π/4

1
1 1-cos2x
2
1-sin x
=
(
-sin
x)dx=(
(
)dx=
f) ∫ (
)dx
=
F

2
2
∫
∫
2
sin x
sin x
2
sin
x
π/6
π/6
π/6
π/4
3π
x sin2x
=
3(-cotx- +
)
4 24
2
4
π/4

4

π /3

π/6

2
2
π/3
(sin
x+cos
x)dx
1
1
dx
π/3
=
=
(
+
)dx=(tgx-cotx)|
g) ∫
2
2
∫
π/6 =
2
2
2
2
∫
sin xcos x π /6 sin xcos x π/6 cos x sin x
π/6
π/3

π/4

π/4

h) ∫ 4sin5xsin3xdx = ∫ 2(cos2x -cos8x)dx
0

0

π/4

1


=  sin2x- sin8x ÷ = 1
4

0


Bài 9:
3

a) ∫ |x -1|dx=A
2

-3

-1

1

3

-3

-1

1

x

-∞ -1 1 +∞

x2 -1

+ 0 -0+

A= ∫ (x 2 -1)dx- ∫ (x 2 -1)dx+ ∫ (x 2 -1)dx
2

b) ∫ |x 2 +2x-3|dx=B
-3 1

2

B= ∫ (-x -2x+3)dx+ ∫ (x +2x-3)dx
2

2

2

-3

1

c) ∫ 2+|x|dx=C

-∞ -3

x2+2x-3

+

0

2

-2

0

C= ∫ 2-xdx+ ∫ 2+xdx

-2
π

d)∫ 2+2cos2xdx=D
0 π

x

π/2

π

1 +∞

0 -0+
1

e)∫ x 2 (1+3x 3 )3 =E
0

π

D= ∫ 2(1+cos2x)dx = ∫ 2.2cos 2 xdx
π

0

0

π/2
=2∫ |cosx|dx=2( ∫ cosxdx- ∫ cosxdx )=2(sinx|0π/2
-sinx|π )=2[1-(0-1)]=4
0

0π/2

DẠNG II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
+)Đặt biến mới t= ϕ(x) .Hoặc x= g(t) ⇒dx=g’(t)dt
+)Đổi cận
β
b
+)Áp dụng công thức: ∫ f(x)dx= ∫ f [ g(t)] .g'(t)dt
aα

Đổi cận

x

a

t

t1

b
t2





Bài 10: Tính tich phân
1

5x

a)∫ 2
dx=A
2
(x +4)
0

Dang: A= ∫ u'f(u)dx;dat t=u(x)

Đặt t = x2+4=>dt=(x2+4)’dx= 2xdx
Đổi cận
=>xdx= dt/2

x

0

1

t=x2+4

4

5

5

5dt 5 5 1
A= ∫ 2 =- |4 =
2t
2t

8
4
3

4x

b) ∫

2

x +1

0

dx=B

2

Đặt t= x +1=>dt=
2

B= ∫ 4dt=4t|12 =4
1

2

(x +1)'dx
2 x 2 +1

=

x

0

x 2 +1 t

1

xdx
π/6

3

2

c) ∫ (1-cos3x)sin3xdx=C
0


Bài 10:
π /6

c) ∫ (1-cos3x)sin3xdx=C
0

Đặt t = 1–cos3x=>dt = 3sin3xdx
1
tdt t 2 1 1
Đổi cận

C= ∫
= |0 =
3 6
6
0
1

d)∫ t 5 +2t (2+5t 4 )dt=D
0

x

0

π/6

t

0

1

t

0

1

u

0

5
2
5
4
Đặt u= t +2t ⇔ u =t +2t ⇒ 2udu=(2+5t )dt
3

3
2u
D= ∫ 2u 2du=
|0 3 =2 3
3
0

3

e) ∫
0

x 3dx
x 2 +1

=E

3