Khoá luận tốt nghiệp phương pháp rút về đơn vị giải toán có lời văn ở tiểu học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA GIÁO DỤC
TlỂu HỌC
===%p|ũũj QR===

TRẦN THỊ NGỌC

PHƯƠNG PHÁP RÚT VÈ ĐƠN VỊ GIẢI
TOÁN CÓ LỜI VĂN Ở TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

•

• • •

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán ở Tiếu học

Người hưó’ng dẫn khoa
học TS. NGUYỄN VĂN
HÀO

HÀ NỘI - 2015

Dưới sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo TS.Nguyễn Văn Hào, tôi đã từng
bước tiến hành và hoàn thành khóa luận với đề tài “Phương pháp rút về đơn vị
giải toán có lời văn ở Tiếu học”. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt
tình của thầy.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy, cô giáo trong khoa
Giáo dục Tiểu học; các thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 12 thảng 5 năm 2015 Sinh viên
Đe tài khóa luận: “Phương pháp rút về đơn vị giải toán có lời văn ở Tiếu học” được tôi
thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào. Tôi xin cam đoan đây là công trình
LỜI CAM ĐOAN
nghiên cún của riêng tôi. Các số liệu, căn cứ, kết quả nêu trong khóa luận là trung thực.
Đe tài chưa được công bố trong bất kì một công trình khoa học nào khác.

Hà Nội, ngày 12 thảng 5 năm 2015 Sinh viên

Trần Thị Ngọc


MỤC LỤC

KẾT LUẬN.................................................................................................... 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................34


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giáo dục trẻ em luôn là một nhiệm vụ vô cùng quan trọng mà cả xã hội
đã và đang quan tâm, bởi “ Trẻ em là chủ nhân tương lai của đất nước”. Nhất
là trong giai đoạn hiện nay, đất nước ta đang bước vào thời kì công nghiệp
hóa- hiện đại hóa đất nước thì nền giáo dục đào tạo lại ngày càng được chú
trọng. Vì hơn hết, giáo dục đào tạo có nhiệm vụ ra nguồn nhân lực có sức
khỏe, kiến thức để phục vụ nước nhà. Mà nguồn nhân lực đó chính là con
người. Nghị quyết Đại hội Đảng VI của Đảng cộng sản Việt Nam đã chỉ rõ: “

Con người vừa là mục tiêu, vừa là động lực của sự phát triển kinh tế- xã hội”.
Trong những năm gần đây, sự nghiệp giáo dục đào tạo ở Việt Nam nói chung
và việc giảng dạy ở Tiểu học nói riêng đã được đặc biệt quan tâm. Bởi vì, bậc
học Tiểu học là bậc học nền móng cho việc hình thành nhân cách ở học sinh,
trên cơ sở cung cấp nhũng kiến thức ban đầu về hoạt động nhận thức và hoạt
động thực tiễn.
Ớ Tiếu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có vị trí rất quan trọng.
Các kiến thức, kĩ năng của môn Toán không chỉ có nhiều úng dụng trong thực
tế mà nó còn là cơ sở để học tập các môn học khác và là cơ sở để học tiếp
chương trình môn Toán ở các bậc học cao hơn.
Trong chương trình môn Toán, giáo viên cần đặc biệt chú ý đến kĩ năng
giải toán có lời văn cho học sinh. Vì mỗi bài toán có lời văn là một tình huống
học tập, một tình huống trong thực tế. Tuy nhiên, thực tế cho thấy học sinh vẫn
còn gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải toán đặc biệt là giải toán liên quan
đến rút về đơn vị. Học sinh vẫn còn giải toán theo cách rập khuôn, máy móc
mà chưa phân tích đế hiếu sâu bài toán. Chưa nắm được phương pháp giải một
cách có hệ thống, có khoa học dẫn đến kết quả học tập chưa cao.

4


Việc giúp học sinh nắm vững bản chất của phương pháp giải, tìm hiểu rõ
mối quan hệ giữa các đại lượng có trong bài toán giúp học sinh giải bài toán dễ
dàng hơn. Từ đó, phát triển tư duy cho các em, giúp các em không chỉ học tốt
môn Toán mà còn học tốt hơn các môn học khác.
Từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: “ Phương pháp rút về đơn vị giải
toán có lời văn ở Tiêu học”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đe tài nghiên cún nhằm tìm ra phương pháp dạy học có hiệu quả và
nhũng dạng bài toán giải bằng phương pháp rút về đơn vị. Từ đó, giúp các em

vận dụng linh hoạt, sáng tạo trong việc giải toán có lời văn, đồng thời góp
phần nâng cao chất lượng giáo dục.
3. Đối tượng nghiên cứu
Một số bài toán có lời văn giải bằng phương pháp rút về đon vị ở Tiểu
học
4. Phạm vi nghiên cứu
Ba dạng toán có lời văn cơ bản ở Tiểu học: Dạng toán về tỉ lệ thuận,
dạng toán về tỉ lệ nghịch và dạng toán về tỉ lệ kép.
5. Nhiệm yụ nghiên cún
-

Tìm hiểu phương pháp rút về đơn vị trong giải toán ở Tiếu học.

-

Nghiên cún các bài toán có lời văn có thể giải bằng phương pháp rút về
đơn vị ở Tiểu học

6. Phương pháp nghiên cứu
-

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

-

Phương pháp phân tích

-

Phương pháp xử lí thông tin

5


CHƯƠNG 1 Cơ SỞ LÍ LUẬN
1.1.

Tống quan về dạy học giải toán có lời văn ở Tiếu học

1.1.1.

Mục tiêu của dạy học giải toán có lời văn ở Tiếu học

- Giúp học sinh luyện tập, củng cố, vận dụng các kiến thức toán học, các
kĩ năng tính toán, kĩ năng thực hành vào thực tiễn.
- Phát triển năng lực tư duy, rèn phương pháp và thao tác phân tích - tổng
hợp, so sánh, suy luận, qua đó nâng cao năng lực hoạt động trí tuệ cho
học sinh.
- Rèn cho học sinh kĩ năng đặt tính, đặt lời giải cho bài toán có lời văn và
phong cách làm việc khoa học, học tập linh hoạt, sáng tạo.
1.1.2.

Yêu cầu cơ bản về giải toán có lời văn

ởlởp 3,4,5 Lóp 3:
- Biết giải và trình bày bài giải có đến 2 phép tính.
- Biết giải và trình bày bài giải một số dạng bài như: tìm một trong các
phần bằng nhau của một số bài toán liên quan đến rút về đơn vị.

Lớp 4, 5:

- Biết giải và trình bày bài giải các bài toán có đến 3 phép tính (hoặc 4
phép tính đơn giản), trong đó có các bài toán liên quan đến:
+ Tìm đại lượng chưa biết của một số bài toán liên quan đến rút về đơn vị
hoặc tỉ số.
+ Tìm số trung bình cộng của nhiều số.
+ Tìm 2 số khi biết tổng hoặc hiệu và tỉ số của 2 số đó.
+ Tính chu vi và diện tích của một số hình đã học.
+ Tính quãng đường, vận tốc, thời gian trong chuyển động đều.
+ Tìm tỉ số phần trăm của 2 số.

6


1.1.3,

Quy trình chung hướng dẫn học sình giải một bài toán có lời

vãn
Trong học toán,học sinh không phải chỉ cần nắm chắc kiến thức là có thể
làm toán tốt, nhanh, chính xác. Giải toán là một hoạt động trí tuệ khó khăn và
phức tạp. Việc hình thành kĩ năng giải toán khó hơn nhiều so với kĩ xảo tính vì
các bài toán là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ toán học.
Giải toán không phải chỉ nhớ mẫu rồi áp dụng mà đòi hỏi học sinh phải nắm
chắc khái niệm, quan hệ toán học, nắm chắc ý nghĩa các phép tính, đòi hỏi khả
năng bộc lộ suy nghĩ của học sinh, đòi hỏi học sinh phải biết làm tính thông
thạo.
Đe giúp hoạt động trên có hiệu quả, cần giúp các em nắm được một số
bước chung để giải một bài toán nói chung và một bài toán có lời văn nói
riêng.Tùy theo mục đích nghiên cứu mà người ta đưa ra các quy trình giải toán
khác nhau.Trong đề tài này, tôi đưa ra các bước giải toán theo G.Polya. Ồng đã

nêu ra sơ đồ gồm 4 bước như sau:
- Tìm hiểu nôi dung bài toán
- Tìm tòi, lập kế hoạch giải toán
- Thực hiện cách giải bài toán
- Kiểm tra và khai thác bài toán
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Đọc kĩ đầu bài, xác định cái đã cho, cái phải tìm. Sau đó thiết lập mối
quan hệ giữa các dữ kiện đã cho và tóm tắt bài toán bằng lời, bằng kí hiệu ngắn
gọn hoặc minh họa bằng sơ đồ đoạn thắng.
Bước 2: Tìm tòi, lập kế hoạch giải toán
Hoạt động tìm tòi, lập kế hoạch giải toángắn liền với việc
dữ liệu, điều kiện, yếu tố phải tìm của bài toán

phân tích các

nhằm xác lập mớiquan hệ

giữa chúng và tìm được phép tính số học phù họp. (Cần thực hiện phép tính

7


gì? Mối quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán có thể

chobiết được gì? Phép

tính đó có giúp trả lời câu hỏi của bài toán không?).
Bước 3: Thực hiện cách giải bài toán
Hoạt động này bao gồm việc thực hiện các phép

tínhđã được nêu trong

bước lập kế hoạch giải và trình bày lời giải. Trong đó, các thành phần phép
tính hoặc số liệu đã cho, số liệu đã biết hoặc số liệu là kết quả của phép tính
trước đó.
Bước 4: Kiểm tra và khai thác bàỉ toán
Đây là bước bắt buộc trong quá trình giải toán. Thực hiện bước này nhằm
mục đích:
Kiểm tra, rà soát lại công việc giải toán.
Kiểm tra kết quả vừa tìm được và đối chiếu với các dữ kiện của bài toán
xem có chính xác không.
Tìm kiếm cách giải khác.
Đối với học sinh Tiếu học nói chung, mục đích cơ bản của việc kiểm tra
lời giải, đánh giá cách giải là rèn luyện cho các em thói quen kiểm tra, rà soát
lại các công việc mình đã làm. Với học sinh khá, giỏi nói riêng, việc thực hiện
bước 4 này nhằm rèn luyện thói quen tìm cách giải khác cho một số bài toán và
so sánh cách giải, kích tư duy, sự sáng tạo và húng thú trong việc đi sâu phân
tích, nắm chắc cách giải và tìm ra cách giải hay nhất của bài toán. Vì vậy bước
4 này tuy không trình bày cụ thể trong lời giải bài toán nhưng nó có ý nghĩa rất
quan trọng và là bước không thế thiếu trong khi giải bất kì một bài toán nào.
1.2.

Hệ thống các phương pháp giải toán thường dùng ỏ’ Tiếu

học
Có rất nhiều quan điểm khác nhau về số lượng các phương pháp giải toán
ở Tiểu học. Trong phạm vi đề tài, tôi theo quan điểm của tác giả Trần Diên
Hiển. Trong cuốn Thực hành giải toán ở Tiểu học, ông đã đưa ra 16 phương

8

pháp giải toán điển hình ở Tiểu học. Cụ thể gồm các phương pháp sau:
1. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng.
2. Phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số.
3. Phương pháp chia tỉ lệ.
4. Phương pháp thử chọn.
5. Phương pháp khử.
6. Phương pháp giả thiết tạm.
7. Phương pháp thay thế.
8. Phương pháp ứng dụng nguyên lí Đi-Rích-Lê.
9. Phương pháp diện tích và các bài toán có nội dung hình học.
10. Phương pháp tính ngược từ cuối.
11. Phương pháp ứng dụng sơ đồ.
12. Phương pháp dùng chữ thay số.
13. Phương pháp lập bảng.
14. Phương pháp biểu đồ Ven.
15. Phương pháp suy luận đơn giản.
16. Phương pháp lựa chọn tình huống.
Trong đó, có phương pháp rút về đơn vị được dạy cho học sinh tù’ lớp 3.
1.3.

Phưoiig pháp rút về đơn vị

1.3.1.Vị trí, vai trò của phương pháp rút về đơn vị đối với việc giải toán
Trong chương trình toán Tiếu học, ở lớp 3,

học sinh đã bướcđầu được

làm quen với các bài toán tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch, sau đó

được nâng cao

dần
ở lớp 4, 5. Đen lóp 5, học sinh được làm quen với các bài toán tỉ lệ kép. Đây là
dạng toán tương đối khó ở Tiểu học. Đe giải tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh
phải phân tích chính xác và tìm được phương pháp giải phù họp.
Phương pháp rút về đon vị là phương pháp giải toán điển hình được sử

9


dụng để giải các bài toán tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch, tỉ lệ kép.
Trong bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch thường xuất hiện
2 đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch.
Trong 2 đại lượng biến thiên đó, người ta cho biết 2 giá trị của một đại
lượng rồi yêu cầu tìm giá trị còn lại của đại lượng chưa biết.
1.3.2.

Nội dung giảng dạy bài toán liên quan đến rút về đơn vị ở lớp 3

Trong môn toán ở lớp 3, dạng toán có liên quan đến rút về đơn vị được
dạy cho học sinh ở 2 tiết bài mới. Ngoài ra, có 4 tiết luyện tập được đưa vào để
củng cố và khắc sâu thêm kiến thức, giúp các em giải tốt các bài toán ở dạng
này.
Cụ thể:
Bài mới
Tiết 119 trang 128
Tiết 152 trang 166 Một số
tiết luyện tập

Tiết 120 trang 129 Tiết 121 trang 130 Tiết 154 trang 167 Tiết
155 trang 168 Nhìn chung, các bài toán về loại toán liên quan đến rút về đơn vị
được trình bày trong chương trình rất hợp lí, khoa học. Mỗi bài học luôn bao
gồm phần dạy kiến thức mới, phần bài tập áp dụng và phần luyện tập củng cố,
khắc sâu kiến thức.
1.3.3.

Các bước giải một bài toán bằng phương pháp rút về đơn vị

Bước 1: Hướng dẫn học sinh đọc và tóm tắt bằng lời.
Bước 2: Lập kế hoạch giải
Có 2 kiểu giải bài toán rút về đon vị như sau:
Kiểu 1:
Bước 1 : Rút về đơn vị
Tìm giá trị 1 đơn vị của đại lượng thứ nhất ứng với bao nhiêu đơn vị của

1
0


đại lượng thứ 2. Trong bước này, ta lấy giá trị đã biết của đại lượng thứ 2 chia
cho giá trị 1 của đại lượng thứ nhất.
Bước 2: Tìm giá trị chưa biết của đại lượng thử 2 Ta lấy giá trị 1 đơn
vị của đại lượng thứ nhất vừa tìm được nhân với giá trị 2 của đại lượng thứ
nhất.
Vídul.
Mua 5 mét vải hết 80 000 đồng. Hỏi mua 7 mét vải loại đó thì hết
bao nhiêu tiền?
Phân tích/Trong bài toán này ta có:
Đại lượng thứ nhất là mét, đại lượng thứ hai là đồng Hai giá trị đã biết của

đại lượng thứ nhất là: 5, 7 Một giá trị đã biết của đại lượng thứ hai là: 80 000
Giá trị phải tìm của đại lượng thứ nhất là: So tiền dùng để mua 7 mét vải cùng
loại

Lời giải Số tiền mua 1 mét vải là:
80 000:5 = 16 000 (đồng)
Số tiền mua 7 mét vải cùng loại đó là 1 6 0 0 0 x 7 = 112 000 (đồng)
Đáp số: 112 000 đồng
Kiểu 2:
Bước 1: Rút về đơn vị
Tìm giá trị 1 đơn vị của đại lượng thứ hai ứng với bao nhiêu đơn vị của
đại lượng thứ nhất. Trong bước này, ta lấy giá trị 1 của đại lượng thứ nhất chia
cho giá trị đã biết của đại lượng thứ hai.
Bước 2: Tìm giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai Ta lấy giá trị 2 của
đại lượng thứ nhất chia cho giá trị 1 đơn vị của đại lượng thứ hai (vừa tìm
được ở bước 1).

1
1


Ví du 2.
Một trường Tiếu học tố chức cho học sinh đi du lịch. Đợt thứ nhất,
cân 3 xe ô tô đế chở 120 học sinh. Hỏi đợt 2 muốn chở 160 học sinh thì cần
dùng mấy xe ỏ tỏ như thế?
Phân tích: Trong bài toán này ta có:
Đại lượng thứ nhất: học sinh, đại lượng thứ hai: xe ố tô
2 giá trị đã biết của đại lượng thứ nhất: 120, 160
1 giá trị đã biết của đại lượng thứ hai: 3
Giá trị phải tìm của đại lượng thứ hai: số xe ô tô dùng để chở 160 học

sinh
Lời giải
Một xe ô tô chở được số học sinh là:
120 : 3 = 40 (học sinh)
Số xe ô tô cần dùng để chở 160 học sinh là:
1 6 0 : 4 0 = 4 ( 0 tô)
Đáp số: 4 ô tô
Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải
Bước 4: Kiểm tra lời giải, đánh giá cách giải
1.3.4.

Ỷ nghĩa của phương pháp rút về đơn vị đối với việc giải toán

- Học sinh nắm chắc được kiến thức và phương pháp giải toán, nắm được
quy trình giải toán ngay trên lớp và nhớ được lâu.
- Học sinh có được cách nhìn tổng quát khi phân tích dữ kiện của bài toán
về tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và tỉ lệ kép.
- Phát huy tính tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh giúp học sinh, kích
thích học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau.
Đặc biệt trong phân tích các bài toán về tỉ lệ kép, sẽ
rèn luyện cho học sinh các thao tác phân tích, tổng

1
2


họp, so sánh, suy luận, khái quát, giúp học sinh rèn kĩ
năng giải toán tốt hơn.

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP

RÚT VÈ ĐƠN VỊ GIẢI TOÁN CÓ LỜI VĂN Ở TIỂU HỌC
2.1. Giải bài toán về tỉ lệ thuận
Đe nắm chắc kỹ năng giải toán và giải tốt các dạng toán này, học sinh
phải nắm chắc bản chất mối quan hệ giữa các đại lượng đã cho trong bài toán,
đó là quan hệ theo tương quan tỉ lệ thuận: Nghĩa là khi giá trị của đại lượng
này tăng lên (hoặc giảm xuống) bao nhiêu lần thì giá trị của địa lượng kia cũng
tăng lên (hoặc giảm xuống) bấy nhiêu lần.
Ví du 3:
Có 72 kg gạo đựng đều trong 8 bao. Hỏi 54 kg gạo đựng đều trong bao
nhiêu bao?
Phân tích:
Đe giải được bài toán này, trước tiên giáo viên cần hướng dẫn cho học
sinh nhận biết số ki-lô-gam gạo và số bao đựng gạo có mối quan hệ tỉ lệ thuận
với nhau: Tức là, khi số ki-lô-gam tăng lên (hoặc giảm xuống) thì số bao đựng
gạo cũng tăng lên (hoặc giảm xuống).
Bên cạnh việc hướng dẫn học sinh nhận ra mối quan hệ giữa các đại
lượng đó, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán để có hướng giải
một cách dễ dàng.
Tóm tắt:
72kg đựng trong: 8 bao
54kg đựng trong: ? bao
Nhìn vào tóm tắt này, học sinh sẽ nhận thấy ngay số bao gạo tìm được sẽ
nhỏ hơn 8 bao (vì 54kg nhỏ hơn 72 kg). Do đó, khi giải ra kết quả của bài toán,
chưa cần thừ lại, học sinh cũng có thể biết được kết quả lớn hơn (hoặc bằng 8)

1
3


thì mình đã giải sai bài toán.

Sau khi học sinh đã tóm tắt chính xác, giáo viên hướng dẫn học sinh giải
bằng cách đưa ra câu hỏi gợi ý:
Muốn biết 54 kg gạo đựng trong bao nhiêu bao thì trước hết ta phải tính
được cái gì? (1 bao đựng được bao nhiêu kg gạo). Thực hiện được phép tính
này trong bài toán đơn:
8 bao đựng được: 72 kg gạo
1 bao đựng được :.....km ? (M kg) (1)
Để tính được số bao gạo cần dùng để đựng hết 54kg gạo thì ta phải làm
thế nào? (lấy 54 chia cho số kg gạo đựng trong 1 bao). Phép tính này tương
đương với việc tìm kết quả của phép tính trong bài toán đơn:
Chứa M kg gạo trong: 1 bao
Chứa 54kg gạo trong: .. .bao? (2)
Trả lời tốt các câu hỏi trên, học sinh sẽ giải được bài toán như sau:
Lòi giải
Một bao đựng được số ki-lô-gam gạo là:
72 : 8 = 9 (bao)
54 ki-lô-gam gạo đựng trong số bao là:
54 : 9 = 6 (bao)
Đáp số: 6 bao
Kết luận:
Như vậy, với việc hướng dẫn học sinh giải bài toán này, giáo viên đã rèn
cho học sinh các kỹ năng về tóm tắt bài toán; kỹ năng thiết lập mối quan hệ
giữa các dữ kiện của bài toán; kỹ năng phân tích bài toán họp thành các bài
toán đơn và định hướng cách giải cho các bài toán đơn đó. Ket quả của bài
toán (1) chính là dữ kiện của bài toán (2).
Ớ ví dụ này, khi tìm giá trị còn lại của đại lượng

1
4

thứ 2 ta đã sử dụng


phép toán chia. Tuy nhiên, có những bài toán bước này ta sử dụng phép tính
nhân như ở ví dụ 4 sau:
Ví du 4:
Một người đi mua 7 gói kẹo hết 28000 đong. Hỏi người đó mua
40 gói kẹo cùng loại thì hết bao nhiêu tiền?
Tóm tắt:
Mua 7 gói kẹo hết: 28000 đồng
Mua 40 gói kẹo hết:..........đồng?
Phân tích:
Bài toán này có thế phân tích thành 2 bài toán đơn như sau:
Mua7 gói kẹo hết: 28000 đồng
Mua 1 gói kẹo hết:.........đồng (A đồng) (1)
Và:
Mua 1 gói kẹo hết: A đồng Mua 40
gói kẹo hết: .. .đồng? (2)
Thực hiện phép tính trong bài toán đơn (1) tương ứng với bước rút về đon
vị của bài toán họp: Tính giá tiền của 1 gói kẹo.
Bước tìm giá trị chưa biết của đại lượng thứ 2 (số tiền) tương ứng phép
tính trong bài toán đơn số (2): Lấy giá tiền của 1 gói kẹo nhân với 40 gói.
Lời giải
Giá tiền của 1 gói kẹo là:
28.0

: 7 = 4.000 (đồng)
Mua 40 gói kẹo hết số tiền là:

4.0 X 40 = 160.000 (đồng)

Đáp số: 160.000 đồng.
Nhận xét:
Qua ví dụ 3 và 4 ta thấy, cùng sử dụng phương pháp rút về đơn vị để giải

1
5


bài toán nhưng trong bước tìm giá trị còn lại của đại lượng thứ 2, có thể làm
phép tính nhân (ở ví dụ 4) hoặc phép tính chia (ở ví dụ 3) tùy thuộc vào dữ
kiện đã cho và yêu cầu của bài toán.
Việc hướng dẫn cho học sinh cách phân biệt như trên sẽ rèn cho học sinh
kĩ năng phân tích, nắm chắc ý nghĩa của các số liệu, giúp học sinh không chỉ
giải tốt các bài toán về tỉ lệ thuận mà còn giải tốt các bài toán có lời văn nói
chung.
Ví du 5:
Một đơn vị bộ đội chuân bị được 5 tạ gạo đê ăn trong 15 ngày. Sau
khi ăn hết 3 tạ thì đơn vị mua bo sung 8 tạ nữa. Hỏi đơn vị đó ăn trong bao
nhiêu ngày thì hết toàn bộ số gạo đó? Biết rằng số gạo của môi người ăn
trong 1 ngày là như nhau.
Phân tích:
Trong bài toán có lời văn, nếu bước tóm tắt thực hiện tốt, học sinh sẽ nhìn
thấy lời giải một cách tường minh.
Tuy nhiên không phải tất cả các bài toán có lời văn đều có thể tóm tắt
ngắn gọn được bằng lời (hoặc bằng sơ đồ đoạn thẳng). Do đó, khi gặp bài toán
không thể tóm tắt được học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích và đưa
ra cách giải. Khi đọc bài toán, đa phần học sinh đều lúng túng vì không biết
cách phân tích, diễn giải để đưa bài toán về dạng ngắn gọn và quen thuộc. Chỉ
có một số học sinh khá, giỏi là có thể giải được bài toán này.
Nếu học sinh biết cách lập luận: Sau khi ăn hết 3 tạ gạo thì số gạo còn lại

là 2 tạ; với số gạo 8 tạ mua bổ sung thêm thì tổng số gạo của đơn vị lúc này là
10 tạ. Từ đó, học sinh có thế đưa ra bài toán về bài toán phụ ngắn gọn như sau:
5 tạ thì ăn trong: 15 ngày 10 tạ thì
ăn trong: ... ngày?
Nhìn vào bài toán phụ đó học sinh có thể phát hiện ra phương pháp giải

1
6


và tìm được lời giải.
Qua phân tích và hướng dẫn học sinh giải bài toán này, giáo viên đã rèn
cho học sinh kĩ năng phân tích bài toán, kĩ năng suy luận và tư duy toán học để
tìm cách diễn đạt bài toán dưới dạng ngắn gọn, dễ hiểu nhất.
Nắm chắc các kĩ năng này học sinh dễ dàng giải được bài toán như sau:
Lời giải
Thời gian để đơn vị đó ăn hết 1 tạ gạo là :
1 5 : 5 = 3 (ngày)
Số gạo đơn vị hiện có là:
(5 - 3) + 8 = 10 (tạ)
Thời gian để đơn vị ăn hết số gạo hiện có là:
3 X 10 = 30 (ngày)

Đáp số: 30 ngày
Phân tích 2:
Ngoài cách hướng dẫn học sinh phân tích và giải như trên, giáo viên cũng
có thể hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải khác của bài toán bằng phương
pháp rút về đơn vị.
Khi đã tính được số ngày đơn vị ăn hết 1 tạ gạo, học sinh sẽ tính được số
ngày để đơn vị ăn hết số gạo còn lại (2 tạ) và số ngày để ăn hết 8 tạ mua bổ

sung, từ đó sẽ tính đước số ngày để ăn hết toàn bộ số gạo. Đẻ giúp học sinh
giải được theo cách này giáo viên có thế đưa ra một số câu hỏi gợi ý:
+ 1 tạ gạo đơn vị đó sẽ ăn được trong bao nhiêu ngày? (3 ngày)
+ Thời gian để ăn hết số gạo còn lại trong bao nhiêu ngày? (6 ngày)
+ Đơn vị sẽ ăn hết số gạo mua bổ sung trong mấy ngày? ( 24 ngày)
+ Muốn biết đơn vị đó ăn hết toàn bộ số gạo trong bao nhiêu ngày ta phải
làm thế nào? (lấy số ngày đơn vị ăn hết số gạo còn lại cộng với số ngày ăn hết
số gạo bổ sung).

1
7


Từ đó học sinh sẽ đưa ra cách giải của bài toán như sau:
Cách 2:
Lời gải
Thời gian để đơn vị ăn hết 1 tạ gạo là:
15 : 5 = 3 (ngày)
Thời gian để đơn vị ăn hết số gạo còn lại là:
3

X(

5 - 3 ) = 6 (ngày)
Thời gian để đơn vị ăn hết số gạo bổ sung là:
3x8 = 24 (ngày)

Đơn vị ăn hết toàn bộ số gạo đó số ngày là:
6 + 24 =30 (ngày)
Đáp số: 30 ngày

Nhận xét:
Giải bài toán theo cách này sẽ kích thích tư duy học sinh phát triển, giúp
học sinh tìm ra nhiều cách giải khác nhau khi giải bài toán theo phương pháp
rút về đơn vị. Qua đó rèn cho học sinh kĩ năng giải bài toán có lời văn bằng
nhiều cách khác nhau trong cùng 1 phương pháp giải.
2.2.

Giải bài toán về tỉ lệ nghịch

Neu như mối quan hệ các dữ liệu trong bài toán tỉ lệ thuận là giá trị của 2
đại lượng cùng tăng hoặc cùng giảm thì mối quan hệ các dữ kiện trong bài tỉ lệ
nghịch lại hoàn toàn ngược lại: nếu giá trị của đại lượng này tăng lên (hoặc
giảm xuống) bao nhiêu lần thì giá trị của đại lượng kia lại giảm xuống (hoặc
tăng lên) bấy nhiêu lần.
Trong khi đó tư duy của học sinh Tiểu học lại thiên về chiều thuận, nghĩa
là: đã tăng thì cùng tăng hoặc đã giảm thì cùng giảm. Vì thế với các em, việc
giải các bài toán về tỉ lệ thuận thường dễ dàng hơn so với bài toán về tỉ lệ
nghịch.

1
8


Thực tế cho thấy khi gặp những bài toán về tỉ lệ nghịch có rất nhiều học
sinh giải sai. Do đó, khi hướng dẫn học sinh giải các bài tập về dạng này giáo
viên cần lưu ý: Phải hướng dẫn cụ thể, tỉ mỉ để học sinh hiểu và nắm chắc kĩ
năng phân tích, kĩ năng giải toán.
Ví du 6:
10 người làm xong một công việc phải hết 7 ngày. Nay muốn làm
xong công việc đó trong 5 ngày thì cần bao nhiêu người? Biết rằng mức làm

của môi người trong một ngày là như nhau.
Tóm tắt:
Làm 7 ngày cần: 10 người.
Làm 5 ngày cần: ... người ?
Phân tích:
Với bài toán này, để học sinh hiểu và nắm chắc bản chất mối quan hệ
giữa các đại lượng trong bài toán, giáo viên thường phải giảng giải gắn với suy
luận thực tiễn: cùng một công việc, nếu càng đông người thì làm càng nhanh.
Do đó, thời gian hoàn thành công việc càng sớm. Như vậy, quan hệ giữa số
người tham gia làm việc và số ngày hoàn thành công việc là 2 đại lượng biến
thiên theo tương quan tỉ lệ nghịch. Neu số người làm việc càng đông thì số
ngày hoàn thành công việc càng ít.
Dù hiểu được bản chất của bài toán là như thế nhưng khi bắt tay vào lập
kế hoạch giải và tiến hành giải bài toán này, đa số học sinh gặp lúng túng và
gặp khó khăn khi lựa chọn phương pháp giải. Neu giải theo phương pháp rút
về đon vị thì rất nhiều học sinh nhầm lẫn với bước rút về đon vị trong dạng
toán tỉ lệ thuận và tiến hành thực hiện phép chia theo kiểu 10 : 7 để tìm xem 1
ngày cần mấy người làm. Vì thế không tìm ra hướng giải của bài toán.
Bài toán này chỉ giải được theo phương pháp rút về đon vị và trong bước

1
9


rút về đơn vị ta lại làm phép tính nhân.
Ớ đây, định mức công việc của 1 người trong 1 ngày là đại lượng không
đổi. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thực hiện bước rút về đơn vị theo 2
cách:
+ Rút về đơn vị theo 1 người: Theo bài ra 10 người làm xong công việc
trong 7 ngày. Neu 1 người làm thì số người đã giảm đi 10 lần, do đó số ngày sẽ

tăng lên 7 lần và bằng:
10 X 7 = 70 (ngày)
+ Rút về đơn vị theo 1 ngày: 10 người làm xong công việc trong 7 ngày.
Nếu làm xong trong 1 ngày thì số ngày đã giảm đi 7 lần, do đó số người phải
tăng lên 7 lần và bằng:
7

X 10

=70 (người)

Neu làm trong 5 ngày thì số ngày đã tăng lên 5 lần, do đó số người đã
giảm đi 5 lần và bằng:
70 : 5 = 14 (ngày)
Từ sự phân tích và hướng dẫn như trên, học sinh sẽ đưa ra cách giải:
Cách 1:
Lòi giải
Một người thì làm xong công việc đó trong số ngày là:
7

X 10

= 70 ( n g à y ) (1)
Muốn làm xong công việc trong 5 ngày thì cần số người là:
70 : 5 = 14 (người)
Đáp số: 14 người

Cách 2:

2

0


Lời giải
Đe làm xong công việc trong 1 ngày cần số người là:
1 0 x 7 =70 (người) (1)
Đe làm xong công việc trong 5 ngày cần số người là:
70 : 5 =14 (người)
Đáp số: 14 người
Đưa ra được lời giải chính xác như trên chứng tỏ học sinh đã nắm chắc kĩ
năng thực hiện phép tính và kĩ năng đặt lời giải trong phép tính rút về đơn vị
(với cách đặt lời giải khác nhau ,ta sẽ tìm được đon vị khác nhau trong phép
tính như ở bước 1 của cách 1 và bước 1 cải cách 2). Điều này sẽ rèn cho học
sinh sự linh hoạt trong cách đặt lời giải cho bài toán.
Ví dụ 7:
Một bếp ăn tập thế chuấn bị đủ gạo cho 150 sinh viên ăn trong 10 ngày,
sau 4 ngày có 30 sinh viên đến thêm. Hỏi số gạo còn lại đủ đế sinh viên ăn
trong bao nhiêu ngày? (Biết rang khau phần ăn của môi sinh viên trong 1
ngày là như nhau).
Hướng dẫn:
Khó khăn lớn và thường gặp nhất đối với học sinh khi gặp các bài toán về
dạng này là không tóm tắt được nên không tìm được cách giải.
Đe hướng dẫn học sinh giải được bài toán này, giáo viên cần gợi ý cho
học sinh biến đổi các dữ kiện để có thể đưa về bài toán phụ đơn giản hơn: Sau
khi ăn được 4 ngày thì số gạo còn lại đủ cho 150 sinh viên ăn trong 6 ngày.
Nhưng thực tế có 30 sinh viên chuyển đến nên tổng số sinh viên lên tới 180
người. Ta có thể tóm tắt bài toán như sau:
150 sinh viên ăn trong: 6 ngày
180 sinh viên ăn trong: ... ngày?
Giải được bài toán phụ dưới dạng quen thuộc này học sinh sẽ có được

2
1


đáp số của bài toán ban đầu.
Giải bài toán bằng cách rút về đơn vị theo ngày ăn hết số gạo còn lại của
1 sinh viên ta có thể có lời giải bài toán như sau:
Lời giải
Sau 4 ngày, số gạo còn lại đủ cho 150 sinh viên ăn trong số ngày là:
1 0 - 4 = 6 (ngày)
Tổng số sinh viên hiện có là:
150 + 30 = 180 (sinh viên)
1 sinh viên ăn hết số gạo còn lại trong số ngày là:
6 X 150 = 900 (ngày)
180 sinh viên ăn hết số gạo còn lại trong số ngày là:
900: 180 = 5 (ngày)
Đáp số : 5 ngày
Ví dụ 8:
Người thứ nhất hoàn thành công việc trong 3 ngày. Người thứ hai hoàn
thành công việc đó trong 6 ngày.Hỏi cả hai người cùng làm công việc đó thì
trong bao lãu sẽ hoàn thành?
Giáo viên hướng dẫn học sinh tóm tắt bài toán
Người thứ nhất làm xong công việc : 3
ngày Người thứ hai làm xong công việc: 6
ngày Cả hai người làm xong công việc : ...
ngày ?
Giáo viên gợi ý cho học sinh xác định bước rút về đơn vị:
Muốn tìm được cả hai người trong mấy ngày xong công việc, trước hết ta
phải tính được 1 ngày 2 người làm được mấy phần công việc. Nghĩa là phải

tính được ngày thứ nhất 1 người làm được mấy phần công việc, người thứ 2

2
2


làm được mấy phần công việc. Ở đây ta coi toàn bộ công việc bằng 1.
+ Người thứ nhất làm trong 3 ngày xong công việc . Vậy 1 ngày người đó
làm được mấy phần công việc ?(l/3 công việc)
+1 ngày người thứ hai làm được mấy phần công việc (1/6 công việc)
+Hãy nêu cách giải bài toán.
Lời giải
Một ngày người thứ nhất làm được số phần công việc là:
1:3 = 1 / 3 (công việc)
Một ngày người thứ hai làm được số phần công việc là:
1 : 6 =1/6 (công việc)
Một ngày cả 2 người làm được số phần công việc là:
1/3 + 1/6 = 3/6 = 1 / 2 (công việc)
Cả hai người thì làm xong công việc số ngày là:
1 : 1/2 = 2 (ngày)
Đáp số: 2 ngày
2.3.

Giải các bài toán về tỉ lệ kép
Toán về tỉ lệ kép là dạng toán tổng hợp kiến thức của hai hay nhiều

bài toán tỉ lệ thuận đon hoặc tỉ lệ nghịch đơn hoặc cả bài toán tỉ lệ thuận đơn và
tỉ lệ nghịch đơn trong cùng một bài toán. Dạng toán này thường có yêu cầu cao
nên thường dành cho bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
Đe giải được bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vũng kiến thức cũng

như cách giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch, nắm chắc
các bước giải theo phương pháp rút về đơn vị.
+ Với các bài toán tỉ lệ thuận đơn hoặc tỉ lệ nghịch đơn như các bài tập và
ví dụ nêu trên thì chỉ có 3 đại lượng (trong đó có một đại lượng không đổi), vì
thế việc xác định mối quan hệ giữa 2 đại lượng còn lại sẽ dễ dàng hơn.
+ Với các bài toán tỉ lệ kép thường có từ 4 đại lượng trở lên, do vậy việc

2
3


phân tích và thiết lập mối quan hệ giữa từng cặp đại lượng một cách chính xác
sẽ khó khăn đối với học sinh.
Khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán dạng tỉ lệ kép, giáo viên tập
trung vào rèn cho học sinh kĩ năng phân tích các dữ kiện đã cho để tìm cách
đưa bài toán đó thành nhiều bài toán tỉ lệ thuận đơn hoặc tỉ lệ nghịch đơn bằng
cách tạm giả thiết một trong hai đại lượng biến thiên (của từng cặp đại lượng)
không thay đổi; hình thành cho các em kĩ năng diễn đạt bài toán từ phức tạp trở
về dạng đơn giản, dễ hiểu hơn.
Việc phân tích được bài toán ban đầu thành các bài toán tỉ lệ đon là bước
quyết định để học sinh giải được các bài toán thuộc dạng tỉ lệ kép.
Thông qua việc giải được các bài toán tỉ lệ kép kĩ năng giải các bài toán
tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch cho học sinh được luyện tập, củng cố một cách nhuần
nhuyễn, tiến tới hình thành kĩ xảo giải toán về tỉ lệ. Đồng thời phát triển và
nâng cao kĩ năng diễn đạt, tư duy toán học cho học sinh, từ đó nâng cao kĩ
năng giải toán.
Ví dụ 9:
Neu 5 người đào trong 5 ngày thì được 50mét mương. Hỏi 8
người làm trong 4 ngày thì đào được bao nhiêu mét mương? Biết rang năng
suất làm việc của môi người trong 1 ngày là như nhau.

Hưởng dẫn giải:
Giáo viên đưa ra các câu hỏi và gợi ý để học sinh suy nghĩ và trả lời tìm
ra hướng giải.
+ Số ngày làm việc và số m mương đào được biến thiên theo tương quan
nào? (tương quan tỉ lệ thuận)
+ Số người làm việc và số mét mương đào được biến thiên theo tương
quan nào? (tương quan tỉ lệ thuận)
+ Ta có thể phân tích bài toán trên thành những bài toán tỉ lệ đơn nào?

2
4


5 người làm 5 ngày thì đào được: 50 mét mương 8
người làm 5 ngày thì đào được: .. .mét mương? (A)
Và
8 người làm 5 ngày thì đào được: A mét mương
8 người làm 4 ngày thì đào được: .. .mét mương?
Hoặc:
5 người làm 5 ngày thì đào được: 50mét mương 5
người làm 4 ngày thì đào được: mét mương? (B mét)
Và
5 người làm 4 ngày thì đào được: B mét mương
8 người làm 4 ngày thì đào được: .. .mét mương?
Cách 1:
Lời giải
1 người làm 5 ngày thì đào được số mét mương là: 50 : 5 = 10 (m)
8 người làm 5 ngày thì đào được số mét mương là: 8 X 10 = 80 (m)
8 người làm 1 ngày thì đào được số mét mương là: 80 : 5 = 16 (m)
8 người làm 4 ngày thì đào được số mét mương là: 1 6 x 4 = 6 4 (m)

Đáp số: 64 mét mương
Cách 2:
Lòi giải:
5 người đào 1 ngày được số mét mương là:
50 : 5 = 10 (m)
5 người đào 4 ngày được số mét mương là: 1 0 x 4 = 40 (m)
1 người đào 4 ngày được số mét mương là:
40 : 5 = 8 (m)
8 người đào 4 ngày được số mét mương là:
8x8 = 64 (m)
Đáp số: 64 mét mương

2
5