Biến đổi lượng giác

Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 2

Lượng giác

Quế võ, tháng 1 năm 2009

1


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

Biến đổi lượng giác là một nội dung cơ bản và quan trọng trong quá trình học tập
lượng giác. Thành thạo các phép biến đổi lượng giác là một hành trang rất tốt tạo cho các
bạn sự tự tin và linh hoạt khi học tập về các phần khác của chương trình lượng giác, nếu
các bạn thấy được tinh thần và phương pháp của lượng giác được vận dụng như thế nào
trong các bài toán thì các bạn sẽ thấy được toàn bộ nét đặc trưng và vẻ đẹp của lượng giác.
Để giúp các bạn có một bộ tài liệu tương đối đầy đủ để học về lượng giác,chúng tôi
đã tập hợp các tài liệu để biên soạn chuyên đề này.Chúng tôi đã tham khảo và biên tập một
hệ thống các bài tập khá đa dạng và phong phú.Các bài tập được biên soạn theo 2 hướng
Một số bài tập chúng tôi cung cấp luôn lời giải. Tất nhiên các lời giải đưa ra không phải
bao giờ cũng là cách giải duy nhất và hay nhất. Đối với các bài này thì các bạn cần suy
nghĩ theo các hướng mở sau:
•
•

•
•
•

Giải thích được các phép biến đổi và lập luận trong lời giải
Tìm một lời giải khác nếu có thể
Lí giải xem tại sao lại giải như vậy
Tìm cách vận dụng bài toán
Nêu các bài tập tương tự.

Một số bài tập chúng tôi không cung cấp lời giải.Những bài tập này thuộc dạng cơ
bản, dễ hoặc tương tự, đề nghị các bạn suy nghĩ và tự giải quyết.
Chú ý: Đối với các bài toán có phần hướng dẫn đi kèm,các hướng dẫn đó có tính chất giúp
các bạn phát hiện ra vấn đề chứ không phải là cách trình bày.

2


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

A. TÓM TẮTGIÁO KHOA
I. Đơn vị đo góc và cung:
1. Độ:

Goùc 10 = 1 goùc beït
180

2. Radian: (rad)

.

180 o
x

O

y

1800 = π rad

3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
00
0

Độ
Radian

300

450

π
6

π
4

600

900

π
3

π
2

1200
2π
3

1350
3π
4

1500

1800
π

5π
6

II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Định nghĩa:
y

(điểm ngọn)

+

B

x

(Ox, Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z)

+

α

O

(tia gốc)

t

M

α

t
O

2π

y

(tia ngọn)

α

3600

x

A (điểm gốc)

AB = α + k 2π

2. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:

A

→

B

→

C

→

D

→

A, C

→

B, D

→

y

2kπ
π + 2kπ
2
π + 2kπ
- π + 2kπ
2
kπ
π + kπ
2

B

C

x

A

O

D

3

+

−


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2
y
t
u
B
1
+

III. Định nghĩa hàm số lượng giác:
u'

1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y'Oy : trục sin ( trục tung )
• t'At : trục tang
• u'Bu : trục cotang

x'

−1
C

R =1
O

1
A
−

−1 D
y'

x

t'

2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:
a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α .
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Ta định nghĩa: y
t
t

Trục sin

Trục cotang

U

B

u'

M

Q
t
x'

α

O

Trục cosin

P

+

T
α

x

t'

−

Trục tang

b. Các tính chất :
• Với mọi α ta có :

−1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1
−1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1

π
+ kπ
2
cotgα xaùc ñònh ∀α ≠ kπ

• tgα xaùc ñònh ∀α ≠
•
c. Tính tuần hoàn
sin(α + k 2π )
cos(α + k 2π )
tg(α + kπ )
cot g(α + kπ )

= sin α
= cosα
= tgα
= cot gα

cos α = OP
sin α = OQ

A

−1
y'

u

(k ∈ Z )

4

tgα

= AT

cot gα = BU


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
y

t
3

- 3

- 3 /3

-1

u'

B
1

2π/3

π

u
π/4

2 /2

5π/6

π/6

1/2

- 3 /2 - 2 /2 -1/2

2 /2

3 /2

-π/6

-1

y'

sin α

0

cos α

1

tg α

0

cotg α

kx
đ

π
6
1
2
3
2

3
3
3

π
4
2
2
2
2

t'

900 1200
600
π
3
3
2
1
2

π
2

1

3

1

3
3

kx
đ
0

1
0

- 3

1350

1500

2π
3
3
2
1
−
2

3π
4
2
2
2

−
2

5π
6
1
2

π

2π

0

0

-1

1

− 3

-1

0

0

3
3

-1

3
2
3
−
3
− 3

kxđ

kxđ

−

5

-1

-π/3

-π/2

300 450

−

- 3 /3

-π/4

- 3 /2

0

x

O

- 2 /2

Hslg

+

1 A (Ñieåm goác)

-1/2

00

3 /3

1/2

-1

Góc

3

1

π/3

3 /2

3π/4

x'

3 /3

π/2

−

1800 3600


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1. Cung đối nhau

: α vaø -α

2. Cung bù nhau

: α vaø π -α

3. Cung phụ nhau

: α vaø

4. Cung hơn kém

(tổng bằng 0)

π
−α
2

( tổng bằng π )

(Vd:

π
)
2

(Vd:

( tổng bằng

π

π
: α vaø + α
2
2

5. Cung hơn kém π : α vaø π + α
1. Cung đối nhau:
cos(−α ) = cosα
sin(−α ) = − sin α
tg(−α ) = −tgα
cot g(−α ) = − cot gα

π
π
& − ,…)
6
6
π 5π
&
,…)
6
6
π π
& ,…)
6 3

(Vd:

π 2π
&

,…)
6
3

(Vd:

π 7π
&
,…)
6
6

2. Cung bù nhau :

Đối cos

Bù sin

3. Cung phụ nhau :
π
cos( − α ) = sin α
2
π
sin( − α ) = cosα
2
π
tg( − α ) = cotgα
2
π
cot g( − α ) = t gα

2

(Vd:

cos(π − α ) = − cosα
sin(π − α ) = sin α
tg(π − α ) = −tgα
cot g(π − α ) = − cot gα

4. Cung hơn kém

Phụ chéo

π
2
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém

5. Cung hơn kém π :
6

π
2

π
cos( + α ) = − sin α
2
π
sin( + α ) = cosα

2
π
tg( + α ) = −cotgα
2
π
cot g( + α ) = − t gα
2


Các bài toán biến đổi lượng giác
cos(π + α ) = − cosα
sin(π + α ) = − sin α
tg(π + α ) = tgα
cot g(π + α ) = cot gα

Trường THPT Quế Võ số 2

Hơn kém π
tang , cotang

VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:

1
cos2α
1
1 + cotg2α =
sin 2 α
tgα . cotgα = 1

cos2α + sin 2 α = 1
sinα
tgα =
cosα
cosα
cotgα =
sinα

1 + tg2α =

2. Công thức cộng :
cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β
cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β
sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cos α
sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cosα
tgα +tgβ
tg(α +β ) =
1 − tgα .tg β
tgα − tgβ
tg(α − β ) =
1 + tgα .tg β

3. Công thức nhân đôi:
cos 2α = cos2 α − sin 2 α
= 2 cos2 α − 1
= 1 − 2sin 2 α
= cos4 α − sin 4 α
sin 2α = 2sin α .cos α
2tgα
tg2α =

1 − tg2α

4 Công thức nhân ba:
cos 3 α =
7

cos 3α + 3 cos α
4


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2
cos 3α = 4 cos α − 3cos α
3

sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α

5. Công thức hạ bậc:
cos 2 α =

1 + cos 2α
1 − cos 2α
; sin 2 α =
;
2
2

6.Công thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tg
sin α =

α
2

2t
1− t2
2t
;
cos
α
=
; tgα =
2
2
1+ t
1+ t
1+ t2

7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
1
[ cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
1
sin α .cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
cos α .cos β =

8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
α+β
α −β
.cos
2
2
α+β
α −β
cos α − cos β = −2sin
.sin
2
2
α+β
α−β
sin α + sin β = 2sin
.cos
2
2
α+β
α −β
sin α − sin β = 2 cos
.sin
2
2
sin(α + β )
tgα + tgβ =
cosα cos β
sin(α − β )
tgα − tg β =
cosα cos β

cos α + cos β = 2 cos

9. Các công thức thường dùng khác:
8

sin 3 α =

3 sin α − sin 3α
4

tg 2α =

1 − cos 2α
1 + cos 2α


Các bài toán biến đổi lượng giác

π
π
cos α + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + )
4
4
π
π
cos α − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − )
4
4

Trường THPT Quế Võ số 2

3 + cos 4α
cos 4 α + sin 4 α =
4
5 + 3 cos 4α
cos 6 α + sin 6 α =
8

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Phần 1

Đẳng thức lượng giác không điều kiện

1: Đẳng thức với biến
Trong phần này ta xét các đẳng thức lượng giác mà các biến không bị ràng buộc bởi điều
kiện nào.Khi chứng minh các đẳng thức không có điều kiện kèm theo này,chúng ta thường
vận dụng các công thức lượng giác, các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.Tuy nhiên do số
luợng các công thức lượng giác khá nhiều nên các bạn có thể gặp khó khăn trong việc lựa
chọn công thức nào cho hợp lí.Vì vậy một yêu cầu đặc biệt quan trong là khi thực hiện các
phép biến đổi là các bạn cần phảp có một định hướng rõ ràng để tránh việc lúng túng khi
lựa chon công thức
Các bài toán chứng minh đẳng thức
Khi gặp các bài toán dạng này chúng ta có thuận lợi là kết quả đã có trong đề bài.Từ đó
dẫn đến các hướng để giải quyết:
• Hướng 1: Biến đổi vế trái sao cho bằng vế phải.Thông thường ta dựa vào chính vế
phải,từ về trái ta tìm cách phân tích,tách.ghép,biến đổi... làm xuất hiện các biểu thức trong
vế phải
Bài 1:
sin x − sin y
x+y
= −cotg(

)
Chứng minh rằng
cos x − cos y
2
Hướng dẫn:
x+y
cos 
÷
x+y
2 

Bởi vì cotg 
.Nên ta biến đổi vế trái sao cho tử thức và mẫu thức xuất
÷=
 2  sin  x + y 

÷
 2 
x+y
x+y
hiện cos 
÷,sin 
÷.
 2 
 2 
Khi đó ta có:
x+y
x−y
2cos
sin

sin x − sin y
2
2 = −cotg x + y
=
cos x − cos y −2sin x + y sin x − y
2
2
2
9


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

• Hướng 2:Biến đổi vế phải sao cho bằng vế trái.Ta xuất phát từ VP tìm cách làm xuất
hiện các biểu thức trong vế trái.Các bạn có thể lấy ngay ví dụ một để thực hiện theo hướng
này hoặc theo dõi ví dụ sau:
Bài 2:
cos x + sin x
cos2x
=
Chứng minh rằng:
cos x − sin x 1 − sin 2x
Hướng dẫn:
cos2x
cos 2 x − sin 2 x
( cos x + sin x ) ( cos x − sin x ) = cos x + sin x
=
=

1 − sin 2x cos 2 x + sin 2 x − 2sinxcosx
cos x − sin x
( cos x − sin x ) 2
Nhận xét:
Cũng có thể nhân cả tử và mẫu của VT với ( cos x − sin x ) để làm theo hướng thứ
nhất.Nhưng thông thường thì việc tách ra bao giờ cũng dễ hơn việc thêm vào.
• Hướng thứ 3: biến đổi cả vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức trung gian.
Bài 3: Chứng minh rằng:
n

 tgα + cosα 
tg nα + cos nα
(n ∈ Z+ )
 1 + cotgα .cosα ÷ =
n
n
1 + cotg α .cos α


n



n 
 tgα + cosα 
tgα + cosα ÷
n
=
Ta có 
÷ = ( tgα )

÷
 1 + cotgα .cosα   1 + 1 .cosα ÷

÷
tgα


tg nα + cos nα
tg nα + cos nα
n
=
= ( tgα )
n
n
1 + cotg α .cos α 1 + 1 .cos nα
( tgα ) n
Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.
sin 4 x + cos 4 x − 1 2
=
Bài 4: chứng minh: 6
sin x + cos 6 x − 1 3

Hướng dẫn:

Ta có sin a + cos a − 1 = 1 − 2sin acos a − 1 = −2sin 2 acos 2 a
4

4

2

2

sin 6 a + cos 6 a − 1 = (sin 2 a + cos 2 a)3 − 3sin 2 acos 2 a(sin 2 a + cos 2 a) − 1
= −3sin 2 acos 2 a
sin 4 x + cos 4 x − 1 −2sin 2 acos 2 a 2
=
=
Do đó 6
sin x + cos 6 x − 1 −3sin 2 acos 2 a 3

Bài 5: Chứng minh rằng: 8 + 4tan

π
π
π
π
+ 2tan + tan = cot (*)
8
16
32
32
10

(1)

(2)


Các bài toán biến đổi lượng giác

π
π
π
π
− tan − 2tan − 4tan
32
32
16
8
2
2
cosa sin a cos a-sin a 2cos2a
−
=
=
= 2cot2a
Mà cota-tana=
sina cosa
sinacosa
sin2a
Do đó:
π
π 
π
π

⇔ cot − tan  − 2tan − 4tan = 8
32 
16

8
 32
π
π
π

(*) ⇔  2cot − 2tan  − 4tan = 8
16
16 
8

π
π
⇔ 4cot − 4tan = 8
8
8
π
⇔ 8cot = 8 (hiển nhiên đúng).
4

Trường THPT Quế Võ số 2

Ta có: (*) ⇔ 8 = cot

Bài 6: Chứng minh:
 2π

 2π
 3
a/cos 2 x+cos 2 

− x ÷+ cos 2 
+ x ÷=
 3

 3
 2
1
1
1
1
b/
+
+
+
= cotx - cot16x
sin2x sin4x sin8x sin16x
 2π

 2π

cos 2 x+cos 2 
− x ÷+ cos 2 
+ x÷
 3

 3

1
1
4π


= (1 + cos2x) + 1 + cos  2x+
2
2
3


 1 
 4π

+
1
+
cos
2x
÷

÷

 2 
 3

3 1
4π 

 4π

= +  cos2x + cos  2x+
- 2x ÷
÷+ cos 

2 2
3 

 3

a/ Ta có:
3 1
4π 
= +  cos2x + 2cos2xcos 
2 2
3 
=

3 1
 -1  
+  cos2x + 2cos2x  ÷
2 2
 2 

=

3
2

cosa cosb sin bcosa-sinacosb sin(b − a )
−
=
=
sina sinb
sin asinb

sin asinb
sin(2 x − x)
1
=
(1)
Do đó: cot x − cot 2 x =
sinxsin2x sin 2 x
b/ Ta có: cota - cotb =

11


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

sin(4 x − 2 x)
1
=
(2)
sin 2 x sin 4 x sin 4 x
sin(8 x − 4 x)
1
cot 4 x − cot 8 x =
=
(3)
sin 4 x sin8 x sin8 x
sin(16 x − 8 x)
1
cot 8 x − cot16 x =

=
(4)
sin16 x sin8 x sin16 x
Lấy (1) + (20 + (3) + (4) ta được:
1
1
1
1
cotx - cot16x =
+
+
+
sin2x sin 4 x sin8 x sin16 x
cot 2 x − cot 4 x =

Bài 7: Chứng minh:

a/ Ta có:

b/ Ta có:

c/ Ta có:

1
a / sin 4 x + cos 4 x = (3 + cos4x)
4
1
b / sin 6 x + cos 6 x= (5 + 3cos4x)
8
1

c / sin 8 x + cos8 x = (35 + 28cos4x+cos8x)
64
4
4
sin x + cos x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2xcos2x
2
= 1 − sin 2 2 x
4
1
= 1 − (1 − cos4x)
4
3 1
= + cos4x
4 4
6
6
sin x + cos x = (sin2x + cos2x)(sin4x – sin2xcos2x + cos4x)
1
= (sin 4 x + cos 4 x) − sin 2 2 x
4
3 1
 1
=  + cos4x ÷− ( 1 − cos4x ) (do kết quả câu a)
4 4
 8
3
5
= cos4x+
8
8

8
8
4
sin x + cos x = (sin x + cos 4 x) 2 − 2sin 4 xcos 4 x
1
2
= (3 + cos4x) 2 − sin 4 2 x
16
16
1
1 1

= (9 + 6cos4x+cos 2 4 x) −  (1 − cos4x) 
16
8 2

12

2


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

9 3
1
1
+ cos4x +
(1 + cos8x) − (1 − 2cos4x+cos 2 4 x)

16 8
32
32
9 3
1
1
1
= + cos4x +
cos8x+ cos4x (1+cos8x)
16 8
32
16
64
35 7
1
=
+ cos4x+ cos8x
64 16
64
=

Bài 8: Chứng minh: sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = cos32x
Cách 1:
sin3x.sin3x + cos3x.cos3x =
= (3sinx − 4sin 3 )sin 3 x + (4cos 3 x − 3cosx)cos 3 x
= 3sin 4 x − 4sin 6 x + 4cos 6 x − 3cos 4 x
= 3(sin 4 x − cos 4 x) − 4(sin 6 x − cos 6 x)
= 3(sin 2 x − cos 2 x)(sin 2 x + cos 2 x) − 4(sin 2 x − cos 2 x)(sin 4 x + sin 2 xcos 2 x + cos 4 x)
Cách

= −3cos2x + 4cos2x(1-sin 2 xcos 2 x)
1
=-3cos2x + 4cos2x(1 − sin 2 2 x)
4
2
= cos2x(-3 + 4 - sin 2x)
=cos2x(1 - sin 2 2x) = cos 3 2 x
Cách 2:
sin3x.sin3x + cos3x.cos3x =
 3sinx - sin3x 
 3cosx + cos3x 
= sin 3 x 
÷+ cos3x 
÷
4
4




3
1
= (sin 3x sinx+cos3xcosx) + (cos 3 3 x − sin 3 3 x)
4
4
3
1
= cos(3x - x)+ cos6x
4
4

1
= (3cos2x + cos3.2x)
4
= cos3 2 x
1 + cos a
(1 − cos a) 2 cos 2b − sin 2 c
(1 −
)+
− cot 2 b cot 2 c = cot a − 1
Bài 9: Chứng minh
2
2
2
2sin a
sin a
sin b sin c

HD
Ta có
13


Các bài toán biến đổi lượng giác
cos 2b − sin 2 c
cot 2 b
1
2
2
−
cot

b
.cot
c
=
− 2 − cot 2 b.cot 2 c
2
2
2
sin c sin b
* sin b.sin c
2
2
2
= cot b(1 + cot c) − (1 + cot b) − cot 2 b.cot 2 c = −1 (1)

Trường THPT Quế Võ số 2

*
1 + cos a
(1 − cos a) 2 1 + cos a
(1 − cos a) 2
(1 −
)
=
(1
−
)
2sin a
sin 2 a
2sin a

1 − cos 2 a
1 + cos a
1 − cos a 1 + cos a 2 cos a
=
(1 −
)=
= cot a (2)
2sin a
1 + cos a
2sin a 1 + cos a

Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh.
Các bạn làm thêm một số bài sau:
Bài 10
Chứng minh rằng:
π
 π
 1
a.sinxsin  − x ÷sin  + x ÷ = sin 3x
3
 3
 4
π

π
 1
b.cosxcos  − x ÷cos  + x ÷ = cos3x
3

3

 4

π
π
+ α ).tg( − α ) = tg3α
3
3
Bài 11
Chứng minh các đẳng thức sau:
α
3α
cot g 2 − cot g 2
2
2 = 8cos2 α .cosα
a.
3α
2
1 + cot g 2
2
2
tg a − tg 2 2a
tga.tg3a
=
b.
1 − tg 2a.tg 2 2a
Bài 12
Chứng minh rằng với mọi x ta có:
63 15
5
+ cos4x +

cos8x
d. sin10 x + cos10x =
128 32
128
15
1
e. cos6 x − sin 6 x = cos2x + cos6x
16
16
7
1
f. cos8x − sin8 x = cos2x + cos6x
8
8
c. tgα .tg(

Các bài toán rút gọn biểu thức
Việc rút gọn biểu thức lượng giác khó hơn bài toán chứng minh vì không biết trước kết
quả của quá trình biến đổi.Thường thì kết quả phải ở dạng đơn giản nhất mới được chấp
nhận.Với loại toán này ta bắt buộc phải biến đổi từ biểu thức trong đề bài,nhưng cũng nên
14


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

để ý một chút về dạng của biểu thức để việc định hướng trở nên đơn giản hơn.Chẳng
hạn,dạng phân thức thì tìm cách làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để giản
ước,dạng căn thức thì tìm cách đưa về dạng bình phương của một biểu thức.

1 + cos x
(1 − cos x) 2
= 1+
s inx
sin 2 x
1 π
Tính giá trị của A nếu cos x = − , < x < π
2 2

Bài 1: Rút gọn biểu thức A=

HD
1 + cos x sin x + 1 − 2 cos x + cos x
(
)
s inx
sin 2 x
1 + cos x 2(1 − cos x)
=
s inx
sin 2 x
2(1 − cos 2 x) 2sin 2 x
2
=
=
3
3
sin x
sin x s inx
1 π

1 3
3
Với cos x = − , < x < π có sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 − = ⇒ s inx =
(do sinx > 0)
2 2
4 4
2
2
4 4 3
=
=
Do đó A =
s inx
3
3
A=

2

2

Bài 2:

Rút gọn biểu thức sau:
sin2a + sin5a -sin3a
A=
1+ cosa - 2sin 2 2a

Bài 3:

Rút gọn biểu thức sau:
a. A = sin3xsin 3 x + cos3x cos3 x
1 + cos x  (1 − cos x)2 
B
=
1 +
÷
b.
sin x 
sin 2 x ÷

c. C = sin3xcos3x + cos3xsin 3 x
d. D = cos3x.cos3x − sin3xsin 3 x
π
e. E = cos(x + ) sin 2 x(1 + cotgx) + cos 2x(1 + tgx)
4
π
4sin(4x − )
2
f. F =
3π
3π
2
cotg (2x − ) − tg 2 (2x + )
2
2
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến:

π
(x ≠ k )

2

Dạng bài tập này cũng không biết trước kết quả cuối cùng nhưng ta hoàn toàn có thể
kiểm tra được kết quả đó như thế nào thông qua một suy luận đơn giản là:Vì biểu thức
15


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

không phụ thuộc vào biến nên với mọi giá trị của biến biểu thức không thay đổi,do đó ta
chỉ cần thay một giá trị bất kì của biến sẽ kiểm tra được kết quả của biểu thức:
Bài 1: Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:
π
π
2π
2π
a. A = cos2 ( − x) + cos 2 ( + x) + cos 2 ( − x) + cos 2 ( + x) − 2sin 2 x
3
3
3
3
2π
2π
b. B = cos2x + cos 2 ( − x) + cos 2 ( + x)
3
3
2π
2π

c. C = sin 2 x + sin 2 ( − x) + sin 2 ( + x)
3
3
Hướng dẫn:

π
π
2π
2π
a/ A = cos2 ( − x) + cos 2 ( + x) + cos 2 ( − x) + cos 2 ( + x) − 2sin 2 x
3
3
3
3

 2π

 2π

 4π

 4π

⇔ 2A=1+cos 
− 2 x ÷+ 1+cos 
+ 2 x ÷1+cos 
− 2 x ÷1+cos 
+ 2 x ÷− 2 ( 1-cos2x )
 3


 3

 3

 3

  2π

 2π
    4π

 4π

⇔ 2A=2+ cos 
− 2 x ÷+cos 
+ 2 x ÷ + cos 
− 2 x ÷+cos 
+ 2 x ÷ +2cos2x

 3
   3

 3

  3
4π
4π
⇔ 2A=2+2cos2xcos
+ 2cos2xcos
+ 2cos2x

3
3
⇔ A=1-cos2x-cos2x+2cos2x
⇔ A=1

Nhận xét:
• Có thể kiểm tra kết quả,bằng cách thay một giá trị bất kì của x vào biểu thức ban đầu
Với x = 0 ⇒ A = cos 2

π
π
2π
2π
+ cos 2 + cos 2
+ cos 2
=1
3
3
3
3

• Việc sử dụng công thức hạ bậc để có thể thực hiện các phép biến đổi dễ dàng hơn.
• Nguyên tắc chung để chứng minh một tổng không phụ thuộc vào biến là ta biến đổi về
cùng một hàm số lượng giác(để các giá trị đó giản ước hết).Trong phép biến đổi ở trên
ta đã tìm cách ghép các biểu thức rồi sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích đưa
tất cả các hàm số lượng giác về một hàm số cos2x.Các bạn cũng có thể tách ghép theo
một cách khác,miễn là đưa tất cả về cùng một hàm số lượng giác là được.

Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:
a) A = 2cos 4 x − sin 4 x + sin 2 xcos 2 x + 3sin 2 x

b) B =

2
c otx + 1
+
t anx − 1 c otx − 1

16


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

HD
a) Ta có:
A = 2cos 4 x − sin 4 x + sin 2 xcos 2 x + 3sin 2 x
= 2cos 4 x − (1 − cos 2 x) 2 + (1 − cos 2 x)cos 2 x + 3(1 − cos 2 x)
= 2cos 4 x − (1 − 2cos 2 x + cos 4 x) + cos 2 x − cos 4 x + 3 − 3cos 2 x
=2
b) Với điều kiện sin x.cos x ≠ 0, tan x ≠ 1

Ta có:
2
c otx + 1
+
t anx − 1 c otx − 1
1
+1
2

2
tanx + 1
=
+ t anx
=
+
1
t anx − 1
− 1 t anx − 1 cotx − 1
t anx
2 − (1 − t anx) 1 − t anx
=
=
= −1
1 − t anx
t anx-1

B=

Bài 3:

Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a. A = cos2 (x − a) + cos 2x − 2cosa cos xcos(a − x)
b. B = cos2 (x − a) + sin 2 (x − b) − 2cos(x − a)sin(x − b)sin(a − b)
Bài 4: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau là một hằng số:
x
3x
cotg 2 − cotg 2
2
2

a. A =
3x
2x
cos .cos x(1 + cotg 2 )
2
2
4
2
4
b. B = sin x(1 + sin x) + cos x(1 + cos 2x) + 5sin 2 xcos 2x
c. C = sin8 x + cos8x + 6sin 4 xcos4 x + 2sin 2 xcos 2x + 1
d. D = 3(sin8 x − cos8x) − 4(sin 6 x − cos6x) + 6sin 4 x

Tìm điều kiện của tham số để biểu thức không phụ thuộc vào biến
Biến đổi f(x, m) về dạng f(x, m) = A(m).B(x) + C(m) và lập luận A(m)=0.
Bài 1 Tìm m sao cho:
17


Các bài toán biến đổi lượng giác
6

6

Trường THPT Quế Võ số 2
4

4

2

f(x) = sin x + cos x + m(sin x + cos x) + (m +1)sin 2x
không phụ thuộc vào x
Hướng dẫn:
Sử dụng kết quả câu a và b của bài 1.5 ta có:
3
 1

f(x) = 1- sin 2 2x + m 1- sin 2 2x ÷+ (m +1)sin 2 2x
4
 2

m 3

⇔ f(x) =  m +1- − ÷sin 2 2x + ( m +1)
2 4

m 1
⇔ f (x) =  + ÷sin 2 2x + (m + 1)
 2 4
m

1

1

f(x) không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi  + ÷ = 0 ⇔ m = 2
 2 4
Các bài tập còn lại làm tương tự
Bài 2

Tìm m sao cho các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a. f (x) = cos x + cos(x + 2m) + cos(x + 4m) + cos(x + 6m)
x
b. f (x) = m(2m sin x − 1) − 4(m 2 − 1)sinx.sin 2 + 2(m + 1)cos 2 x − 2sin x
2
Bài 3
Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a. f (x) = m(sin 8 x + cos8 x) + (2m − 1)(cos 4 x − sin 4 x) + cos2x + 4
b. f (x) = cos2x − m sin 2 x + 3cos 2 x + 1
c. f (x) = sin x + sin(x + m) + sin(x + 2m) + sin(x + 3m) + sin(x + 4m)
Bài 4
Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a. f (x) = m(sin 8 x − cos8 x) − 4(2sin 6 x − cos 6 x) − n sin 4 x
1
b. f (x) = m(sin 6 x + cos 6 x) − n(sin 4 x + cos 4 x) + sin 2 2x
2
Dạng kết quả được chỉ ra trong đề bài:
Phần này khá đơn giản,đề nghị các bạn tự giải quyết
Bài 1
Biến đổi biểu thức sau thành tích
a. A = sin a + sin b + sin(a + b)
d. D = cos x + cos y + sin(x + y)
b. B = sin(a − b) + sin(b − c) + sin(c − a)
e. E = sin x + sin 2x + sin 3x
c. C = 1 + sinx + cos x
f. F = cos x + cos 2x + cos3x
Bài 2 Chứng minh rằng A = 2(1 + sinx)(1 + cos x) là một bình phưong hoàn toàn
(Chứng minh A có dạng (a sin x + bcos x + c) 2 )
2. Đẳng thức với số cụ thể. Tính giá trị biểu thức

18


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

Trong phần trước chúng ta chỉ xét những biểu thức chứa biến và các dạng bài tập của
nó.Phần này sẽ tiếp tục tìm hiểu về các biểu thức của các số cụ thể,sẽ có nhiều khó khăn
hơn.
A.Tính trực tiếp giá trị của biểu thức nhờ vận dụng các công thức biến đổi phù hợp
Trong phần này các bạn cần biến đổi, ghép cặp hợp lí nhằm tạo ra các tính chất đặc biệt. Để
làm được điều đó các bạn phải căn cứ vào các góc trong đề bài và xét mối quan hệ giữa các
góc ấy.
Bài 1
Tính tổng đơn giản nhờ ghép cặp triệt tiêu
π
2π
3π
4π
+ cos
+ cos
a. A = cos + cos
5
5
5
5
Hướng dẫn:
Nhận thấy giữa các góc

π 2π 3π 4π
 π 4π
,
, ,
,các cặp  ,
5 5 5 5
5 5

  2π 3π 
, ÷ có tổng bằng π .Nên ta biến
÷, 
  5 5 

đổi A như sau:
π
4π  
2π
3π 

A =  cos + cos
+ cos ÷
÷+  cos
5
5  
5
5 

π
3π
π

π
= 2cos cos
+ 2cos cos = 0
2
10
2
10
Bài 2: Chứng minh A = sin 4

π
3π
5π
7π 3
+ sin 4
+ sin 4
+ sin 4
=
16
16
16
16 2

Hướng dẫn:
Ta có

7π
π
= cos
16
16

5π
3π
sin
= cos
16
16
sin

1
2

Mặt khác sin 4 α + cos4α = 1 − sin 2 2α
Do đó

19


Các bài toán biến đổi lượng giác
π
7π
3π
5π
A = sin 4 + sin 4
+ sin 4
+ sin 4
16
16
16
16
π

π
3π
3π
= (sin 4 + cos 4 ) + (sin 4
+ cos 4 )
16
16
16
16
1
π
1
3π
= (1 − sin 2 ) + (1 − sin 2 )
2
8
2
8
1
π
3π
= 2 − (sin 2 + sin 2 )
2
8
8
1
π
π
3π
π

= 2 − (sin 2 + cos 2 ) ( do sin
= cos )
2
8
8
8
8
1 3
= 2− =
2 2

Trường THPT Quế Võ số 2

B.Tính tổng, tích các biểu thức có quy luật bằng cách nhân thêm một lượng phù hợp
Thông thường đó là tổng hoặc tích của một hàm số lượng giác của các góc mà 2 góc liên
π 3π 5π
2π
tiếp cách nhau một khoảng không đổi(chẳng hạn , ,
cách nhau
)hoặc tỉ lệ với
7 7 7
7
nhau theo một tỉ số nhất định.Biểu thức cần nhân thêm ở đây thường là tạo ra các số hạng
giống nhau,nhưng trái dấu để giản ước hết.
Bài 1: Chứng minh 16sin100.sin 300.sin 500.sin 70 0 = 1
Hướng dẫn:
Ta có
Acos100
1
A=

=
(16sin100.cos100 ) sin 300.sin 500.sin 700
0
0
cos10
cos10
1
1
=
(8sin 200 )( ).cos400 cos200
0
cos10
2
1
1
=
(4sin 200.cos200 )cos400 =
(2sin 400 )cos40 0
0
0
cos10
cos10
0
1
cos10
=
sin 800 =
=1
0
cos10

cos100

20


Các bài toán biến đổi lượng giác
0

Trường THPT Quế Võ số 2
0

0

0

Bài 2: Chứng minh 16sin10 sin30 sin50 sin70 = 1
Acos100
1
=
(sin100 cos100 )sin300sin500sin700
Ta có A =
0
0
cos10
cos10
1
1
⇔ A=
(8sin200 )( )cos400cos200
2

cos100
1
⇔ A=
(4sin 200 cos200 ).cos400
0
cos10
1
⇔ A=
(2sin400 )cos400
cos100
1
cos100
0
⇔ A=
sin80 =
=1
0
0
cos10
cos10
Bài 3
Tính các tổng sau:
π
3π
5π
a.
A = cos + cos
+ cos
7
7

7
2π
4π
6π
8π
b.
B = cos
+ cos
+ cos
+ cos
5
5
5
5
π
3
π
5
π
7π
c.
C = sin 4 + sin 4
+ sin 4
+ sin 4
16
16
16
16
π
3π

5π
7π
d.
D = cos6 + cos6
+ cos6
+ cos 6
16
16
16
16
π
13π
23π
π
e.
E = sin + sin
+ sin
+ sin
5
5
5
6
π
5π
7π
f.
F = cos + cos
+ cos
9
9

9
Hướng dẫn:

π
ta được:
7
π
π
π
3π
π
5π
π
2sin A = 2cos sin + 2cos sin + 2cos sin
7
7
7
7
7
7
7
2π  4π
2π   6π
4π 
= sin
+  sin
− sin
− sin
÷+  sin
÷

7 
7
7  
7
7 
6π
π
= sin
= sin
7
7
π
1
Chia cả 2 vế cho sin thu được A =
7
2
a.Nhân cả 2 vế với 2sin

21


Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

Nhận xét
•Đối với biểu thức là một tổng,thường tạo ra hiệu của 2 hàm sin hoặc 2 hàm cosin để giản
ước dần các số hạng giống nhau.
•Nếu các số hạng có dạng lũy thừa thì nên hạ bậc để dễ biến đổi
Bài 4

Tính các tổng sau:
b.B = sin10° sin 50° sin 70°
π
2π
3π
4π
5π
6π
7π
c.C = cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15
15
15
15
15
15
15
0
0
0
0
d.D = sin 5 .sin15 .sin 25 ...sin85
Hướng dẫn:
b/Ta có: B = sin10° sin 50° sin 70° = cos80°cos40°cos20°
Nhân 2 vế của B với 8sin 20° ta được:
8sin20°.B=8cos80°cos40°cos20°.sin 20°
= 4cos80°cos40° sin 40°
= 2cos80° sin80° = sin160° = sin 20°
1
8

Từ đó suy ra B = .
D = sin 50.sin150.sin 250...sin850
= ( sin 5° sin85° ) ... ( sin 35° sin 55° ) sin 45°
=

2

cos80°cos60°cos40°cos20°
25
2 cos80°cos40°cos20° sin 20°
2 sin160°
2
= 6
= 9
= 9
sin 20°
2
2 sin 20° 2

Nhận xét:
•Đối với các biểu thức dạng tích ta thường đưa về dạng tích các hàm số lượng giác của
các góc,mà góc sau gấp đôi(hoặc bằng một nửa) góc trước.
•Sử dụng công thức góc nhân đôi.
Bài 5
Chứng minh rằng
8π
12π
18π 1
π

7
π
cos
+ cos
+ cos
= cos +
sin
35
35
35 2
5
2
5
Bài 6
Chứng minh rằng
1
1
1
+
+
=8
2 2π
2 4π
2 6π
sin
sin
sin
7
7
7

0
Bài 7
Tính giá trị: A = tg110 + cotg200
Bài 8
Chứng minh
a. tg200 + tg400 + 3tg200 tg400 = 3
π
2π
3π 1
π
3π
5π 1 

+ cos
= ⇔  cos + cos
+ cos
= ÷
b. cos − cos
7
7
7 2 
7
7
7 2
22


Các bài toán biến đổi lượng giác

Bài 9

Trường THPT Quế Võ số 2

Chứng minh rằng:

a.

8cos200
tg30 + tg40 + tg50 + tg60 =
3

b.

sin 47 0 + sin 610 − cos790 − cos650 = cos7 0 f .

c.

cos200 + 2sin 2 550 = 1 + 2 sin 650

0

0

0

0

g.

d.

tg90 − tg27 0 − tg630 + tg810 = 4
Bài 10
Chứng minh rằng:
0
a.
tg20 .tg400.tg600.tg800 = 3
b.
Bài 11

e.

h.

tg10.tg190.tg210.tg390.tg410.tg590.tg610.tg790.tg810 =
Tính tổng:

A = tg 2

π
3π
5π
+ tg 2
+ tg 2
12
12
12

π
2π 1
− cos

=
5
5 2
sin 90 sin120
=
sin 480 sin 810
1
− 2sin 700 = 1
0
2sin10
sin 330 + cos630 = cos30
cos

( 5 + 1)(4 − 10 + 2 5 )
4

C. Hệ thức Viet và ứng dụng để tính giá trị của một biểu thức
Chúng ta đã quá quen thuộc với định lí Viet cũng như ứng dụng của nó trong các bài
toán về phương trình bậc 2,hay các bài về biểu thức nghiệm đối xứng.Trong phần này các
bạn sẽ tiếp tục thấy được vẻ đẹp và tính ứng dụng rộng rãi của nó trong các bài tính giá trị
của một biểu thức lượng giác.
Bài 1

Chứng minh rằng:
π
5π
7π 1
a.cos cos cos
=
9

9
9 8
π
5π
5π
7π
7π
π
3
b.cos cos
+ cos cos
+ cos
cos = −
9
9
9
9
9
9
4
3
c.sin 20° sin 40° sin80° =
8
1
1
1
d.
+
+
=8

2 2π
2 4π
2 6π
sin
sin
sin
7
7
7
Hướng dẫn:
π 5π 7π
1
a.Nhận thấy , ,
là nghiệm của phương trình cos3x= ,suy ra
2
9 9 9
π
5π
7π
1
cos ,cos ,cos
là nghiệm của phương trình 4t 3 − 3t − = 0
2
9
9
9
Áp dụng định lí Viet ta được điều phải chứng minh:
23

Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

2π 4π 6π
, ,
là nghiệm của phương trình sin 2 4 x = sin 2 3x (*)
7 7 7
2
Đặt t = sin x ,và đưa phương trình(*) về dạng 64t 3 − 112t 2 + 56t − 7 = 0 (**)
Theo nhận xét trên thì phương trình(**) có 3 nghiệm là:
2π
4π
6π
t1 = sin 2
, t 2 = sin 2
, t 3 = sin 2
7
7
7
56
t t +t t +t t
1
1
1
+
+
= 1 2 2 3 3 1 = 64 = 8
Do đó:
2π

4π
6π
7
t1t 2 t 3
sin 2
sin 2
sin 2
7
7
7
64
d.Nhận thấy:

2π 3
4π 3
8π 3 5 − 3 3 7
+ cos
+ cos
=
7
7
7
2

Bài 2

Chứng minh rằng:

Bài 3

Tính giá trị của biểu thức
π
9π
9π
17π
17π
π
P = cos .cos
+ cos .cos
+ cos
.cos
12
12
12
12
12
12
2
0
2
0
2
0
a/Chứng minh rằng tg 20 , tg 40 , tg 80 là nghiệm của phương trình

Bài 4

3

cos

x 3 − 33x 2 + 27x − 3 = 0

b/Tính tổng sau: A = tg 6 200 + tg 6 400 + tg 6 800
1
1
1
+
+
c/Đặt M =
Chứgn minh rằng:
2
2
cos 20° cos 60° cos 2 80°
36 + 2 2 D.Tính tổng và tích hữu hạn
Các bài toán tính tổng và tích hữu hạn thường có tính quy luật điều quan trọng nhất là ta phải
tìm ra quy luật ấy.Trong các bài dưới đây,có một số câu được coi như gợi ý để làm các câu tiếp
theo.Một số bài toán đề bài cho dưới dạng chứng minh,nó trở thành một mệnh đề phụ thuộc số
tự nhiên,sẽ rất thuận lợi trong việc sử dụng phương pháp quy nạp.
1
x
= cot g − cot gx
Bài 1
a. Chứng minh:
s inx
2
1
1
1

+
+ ...
(2 n −1α ≠ kπ )
b. Rút gọn: S =
n −1
sinα sin 2α
sin 2 α
α
α
3α
+ 3sin 3 2 + ... + 3n −1 sin 3 n
Bài 2
Cho Sn = sin
3
3
3
1
a. Chứng minh sin 3 x = (3sin x − sin 3x)
4
b. Tính tổng Sn
α
α
3α
+ 3cos3 2 + ... + 3n −1 cos3 n
c. Tương tự tính P = cos
3
3
3
24

Các bài toán biến đổi lượng giác

Trường THPT Quế Võ số 2

Bài 3
a. Chứng minh tg 2 x.tg2x = tg2x − 2tgx
α
α
2α
2 α
n −1 2 α
b. áp dụng tính Sn = tg tgα + 2tg 2 tg + ... + 2 tg n tg n −1
2
2
2
2
2
Bài 4
Tính S = cosα + cos3α + ... + cos(2n − 1)α (α ≠ kπ )
Bài 5
sin 2x
a. Chứng minh cos x =
2sinx
α
α
α
b. Tính Sn = cos .cos 2 ...cos n
2
2

2
Bài 6 Tính các tổng sau:
π
3π
5π
17π
+ cos
+ ... + cos
a. A = cos + cos
19
19
19
19
2π
4π
6π
20π
+ cos
+ cos
+ ... + cos
b. B = cos
21
21
21
21
π
2π
3π
(n − 1)π
+ sin

+ ... + sin
c. C = sin + sin
n
n
n
n
π
3π
5π
(2n − 1)π
+ cos
+ ... + cos
d. D = cos + cos
n
n
n
n
Bài 7
Rút gọn:
1
1
1
a. A =
+
+ ... +
α
α
α
4cos 2
42 cos 2 2

4n cos 2 n
2
2
2
1
1
1
b. B =
+
+ ... +
cos x.cos2x cos 2x.cos3x
cos nx.cos(n + 1)x
Bài 8
Chứng minh:
a
a
a
a
a
sin a
a. A = cos .cos .cos .cos .cos =
(a ≠ 32kπ )
2
4
8
16
32 32sin a
32
n −1
1 

1  
1

 tg2 x
b. B = 1 +
=
÷1 +
÷... 1 +
n −1 ÷
x
 cosx  cos2x   cos2 x 
tg
2
n
2cos2 x + 1
c. (2cosx − 1)(2cos2x − 1)...(2cos2 n −1 x − 1) =
2cosx + 1
a
b 
a
b  
a
b 
cos a − cos b

d.  cos + cos ÷ cos 2 + cos 2 ÷...  cos n + cos n ÷ =
a
b 
2
2 


2
2  
2
2 

2n  cos n − cos n ÷
2
2 

25