on thi lop 10: Ung dung GTNN GTLN vao bai toan rut gon

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN

Chuyên đề:

Một số phơng pháp tìm gtln - gtnn
I. Phơng pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách đa về
dạng Ax 0 hoặc Ax 0
a, Cơ sở lý luận
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất .
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất .
- Từ đó ta có kết luận : Nếu M = Ax / Ax 0 thì GTNN của Ax = 0
Nếu M = Ax / Ax 0 thì GT LN của Ax = 0
b, Các ví dụ .
Ví dụ 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Ax = 2x2 8x +1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải : Ta có Ax = 2x2 8x +1 = 2( x- 2 )2 7 Ta có với mọi x thì
(x- 2 )2 0 Nên ta có 2( x- 2 )2 7 -7 .
Vậy Ax đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Mx = - 5x2 4x + 1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải: Ta có Mx = - 5x2 4x + 1 = -5 ( x +
Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x +
Ta có GTLN của Mx =

2 2 9
) +
5
5

2 2
9
2
) 0 . Vậy Mx (dấu = xảy ra khi x = - .
5
5
5

9
2
với x = - .
5
5

II . Phơng pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đa
Ax
Ax
0 hoặc 2 0
2
k
k

về dạng

Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
Ax = x + 15 x + 16

Vói x là các số thực dơng .

3x

2
Lời giải: Ta có Ax = x + 15 x + 16

2
= ( x 4) + 23

3x

Vậy GTNN của Ax =

3x

3

2
23
với mọi x >0 thì ( x 4) + 23
.

3x

3

3

23
với x= 4.

3

Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
Mx= 3x 2 + 6 x + 10

với x thuộc tập hợp số thực.

x + 2x + 3
2
1
Lời giải:Ta có Mx= 3x 2 + 6 x + 10 = 3 +
( x + 1) 2 + 2
x + 2x + 3

Mx = 3 +

. Vì

1
1
nên ta có

( x + 1) 2 + 2 2

1
3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = 0 hay x= -1
( x + 1) 2 + 2

Ví dụ 5:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
GV: Trần Công Tiến

1

/>

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN
xy 2 + y 2 ( y 2 x) + 1
Fx,y = 2 4
với x, y là các số thực.
x y + 2y4 + x2 + 2
xy 2 + y 2 ( y 2 x) + 1
y4 +1
Lời giải:Ta có Fx,y = 2 4
= 4
vì y4 +1 0 với mọi giá trị của x
x y + 2y4 + x2 + 2
( y + 1)( x 2 + 2)
1
nên ta chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta đợc : Fx,y = 2
vì x2 0 với mọi x nên x2 + 2 2
x +2
1
1
với mọi x ,và do đó ta có Fx,y = 2

2
x +2

1
Vậy Fx,y dật GTLN =
với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý.
2

III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.
1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dơng a,b, c ta có:
a + b 2 ab đạt đợc dấu = khi a=b .
a + b+ c 3 abc đạt đợc dấu = khi a=b = c .
2. Các ví dụ :
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
Ax = 8 x + 2 với x > 0.

x

2
2
2
Lời giải:Ta có Ax = 8 x + 2 = 8x + . Ta thấy 8x và là hai đại lợng lấy giá trị dơng áp

x

x

x

2
ta có:
x

2
2
1
8x + 2 8 x. 2 = 2 16 = 8 dấu = xẩy ra khi 8x = = > x = .
x
x
2
x
1
Vậy GTNN Ax = 8 với x = .
2

dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng là 8x và

Ví dụ 7 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp các số thực dơng .
Lời giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi ta có
Bx = 16x3 - x6 = x3(16- x3) . Ta có x3 > 0 , còn 16 x3 > 0 khi 16 > x3 hay x < 3 16 (*)
ta thấy x3 và 16 x3 là hai đại lợng dơng . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x3
và 16- x3 ta có 2 x 3 (16 x 3 ) x 3 + 16 x 3 = 16 suy ra x3( 16 x3) 64 dấu = xẩy ra khi
x3 = 16- x3 => x = 2 (Thoả mãn *). GTLN của Bx = 64 , với x=2.
IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ :
Ví dụ 8 :
Với giá trị nào của x thì biểu thức
4
3
2
Px = 4 x + 16 x 2+ 56 x + 80 x + 356

đạt giá trị nhỏ nhất.

x + 2x + 5
4 x 4 + 16 x 3 + 56 x 2 + 80 x + 356
Lời giải: Ta có : Px =
x 2 + 2x + 5

= 4x2 + 8x+ 20 +

256
x + 2x + 5
2

Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > 0 (*) nên Px luôn xác định với mọi x ta đặt

GV: Trần Công Tiến

2

/>

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN
256
256
y = x2 + 2x + + 5 , ta có Px = 4y +
với y > 0 , ta thấy 4y và
là hai đại lợng luôn
y
y
256

dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 4y và
ta có :
y
256
256
256
4y +
=> y = 8 hoặc y = -8
2 4 y.
= 2.2.16 = 64 . Dấu = xẩy ra khi 4y =
y
y
y

từ đó tính đợc x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của Px = 64.
Ví dụ 9 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Qx = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực.
Lời giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x 2x2 + 2 = -y +6 . Vậy Qx = y ( 6- 2y).
Ta có 2Qx = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3
Vậy 2y và 6-2y là hai số dơng .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 2y và 6-2y ta
có : 2y + 6-2y 2 2 y (6 2 y ) => 3 2 y (6 2 y ) => 9 2 Qx dấu = xẩy ra khi
2y = 6- 2y => y = 1,5

thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+ 2 hoặc x= 1 - 2 .Vậy
2

2

GTLN của Qx = 4,5 với x = 1+ 2 hoặc x= 1 - 2 .

2

2

Ví dụ 10 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Hx = (8 + x2 + x )(20 x2 x) với x là các số thực tuỳ ý .
Lời giải: Ta có : * 8+ x2 + x =( x+

1 2 31
) + >0 với mọi giá trị của x
2
4

*20 x2 x > 0 khi -5 < x < 4 .
Nh vậy Hx = (8 + x2 + x )(20 x2 x) >0 khi -5 < x <4 . Từ đó suy ra Hx có giá trị lớn
nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4).
Với -5 hai đại lợng dơng 8+ x2 + x và 20 x2 x ta có :
(8+ x2 + x )+( 20 x2 x) 2 (8 + x 2 + x)(20 x 2 x)
14 (8 + x 2 + x)(20 x 2 x) => 196 (8 + x2 + x )(20 x2 x) .Dấu = xẩy ra
khi 8+ x2 + x =20 x2 x => x= 2 hoặc x= -3.
Hay Hx 196 .Vậy GTLN của Hx = 196 ,với x=2 hoặc x = -3.
V. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa nhiều đại lợng .
Ví dụ 11 :
Tìm giá trị của m, p sao cho A = m2 4mp + 5p2 + 10m 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất .
Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Lời giải:
Ta có A = m2 4mp + 5p2 + 10m 22p + 28 = ( m 2p)2 + ( p 1)2+27 + 10(m
2p)

Đặt X = m-2p ta có A = X2 + 10 X +( p-1)2 + 27 = (X+5) 2 + (p-1)2+ 2 .
Ta thấy (X+5) 2 0 ; (p-1)2 0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0.
Giải hệ điều kiện trên ta đợc p= 1 , m= -3 .Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3
Ví dụ 12 :
Tìm giá trị của x, y sao cho F = x2 + 26y2 10xy +14x 76y + 59. đạt giá trị nhỏ nhất .
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải:
Ta có F = x2 + 26y2 10xy +14x 76y + 59 = ( x-5y)2+ (y-3)2 +14(x-5y)+50.
Đặt ẩn phụ : Z = x-5y ta có F = (Z+7)2 + (y- 3)2 +1 1.
GV: Trần Công Tiến

3

/>

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN

Dấu = xẩy ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta đợc x=8 y= 3 .Vậy GTNN của
F = 1 với x=8, y=3 .
Ví dụ 13 :
Tìm giá trị của x, y,z sao cho P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz 24yz +36xy +5. Đạt giá trị
nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải:
Ta có P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz 24yz +36xy +5 = ( 9x2+ 36xy + 36y2) + (18y2- 24yz
+8z2) + (8x2 16xz + 8z2) + 2x2 + 5 hay
P = 9(x+2y)2 + 2(3y 2z)2 + 8(x- z )2 + 2x2 + 5 .Ta thấy (x+2y)2 0 ;
(3y 2z)2 0; (x- z )2 0; 2x2 0 với mọi giá trị của x, y, z .
Vậy GTNN của P = 5 đạt đợc khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0 . Giải hệ phơng
trình trên ta đợc x= y =z = 0 .
VI. Tìm GTLN,GTNN bằng phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Buanhiacôpski.

*Bất đẳng thức Buanhiacôpski.
( a1b1 + a2b2 + .........anbn)2 (a12 + a22 +......+an2)(b12 + b22.......bn2)
a
a1 a 2
=
= ...... = n
b1 b2
bn

Dấu bằng xẩy ra khi

*Các ví dụ :
Ví dụ 14 : Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất .
P = x2 + y2 +z2. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995.
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 1, 1, 1 và x, y, z ta có :
(x.1 + y.1 + z.1)2 (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2)
Hay : ( x + y +z )2 3.(x2 + y2 + z2 ) . Từ đó ta có :
2
2
P = x2 + y2 + z2 ( x + y + z ) = 1995 ( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995).

3

Vậy GTNN của P = 1995

2

3

3

dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z =

1995 .Ta có x= y =z =665.
Ví dụ 14 :
Cho biểu thức Q = 2 x + 4 y + 5.z . Trong đó x,y,z là các đại lợng thoả mãn điều kiện
x2 + y2 + z2 = 169.Tìm GTLN của Q.
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 2, 4, 5 và x, y, z ta có :
(2x + 4y + 5 z)2 { 22 + 42 + ( 5 )2}( x2 + y2 + z2) .
Hay Q2 { 22 + 42 + ( 5 )2}( x2 + y2 + z2) vì x2 + y2 + z2 = 169 nên Q2 25.169.
Vậy GTLN của Q= 65 , dấu = xẩy ra khi
26 26 .
;
5
5

y= 52 ; 52 .
5

5

x y
z
= =
và x2 + y2 + z2 = 169 từ đó tìm đợc x =
2 4
5

z = 13 5 ; 13 5
5

VII. Các bài tập áp dụng :

5

3
. Tìm GTLN của Q.
4x 4x + 5
2x + 1
Bài 2: Biểu thức : P = 2
có giá trị lớn nhất không ?
x +2

Bài 1: Cho biểu thức : Q =

2

Hãy chứng tỏ khẳng định của mình.

GV: Trần Công Tiến

4

/>

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN
2
Bài 3: Cho biểu thức : A = x2 + x + 1 . Với x -1 , x >0 .Hãy tìm GTNN của A.

x + 2x + 1
2
Bài 4: Cho biểu thức : B= x 2 6 x + 14 . Tìm GTLN của B.
x 6 x + 12
2
Bài 5: Cho biểu thức: F = x + 15 x + 16 . Với x >0. Hãy tìm GTNN của F.
3x
2
Bài 6: Cho biểu thức: A = x 4 . Hãy tìm GTLN của A.
1+ x
( x + 2)( x + 8)
Bài 7: Cho biểu thức: Y =
. Với x > 0 . Hãy tìm GTNN của Y.
x
3
2
Bài 8: Cho biểu thức: Y = x + 2 x 2 x 1 . Tìm GTNN cua Y.
x 1

VIII. Hớng dẫn giải và đáp số :

3
3
3
. Vậy GTLN của Q =
, với x= 0,5.
2
(2 x 1) + 4 4
4
2

2
Bài 2: Ta có P = 1 - ( x2 1) . Vì ( x2 1) 0 với mọi x nên P 1. Vậy GTLN của P= 1
x +2
x +2

Bài 1:Ta có : Q =

khi x=1.

1
1
Bài 3:Ta có : A= 1 . Để A đạt giá trị nhỏ nhất khi
đạt GTLN muốn vậy
1
1
x+ +2
x+ +2
x
x
1
1
x+ + 2 phải đạt GTNN. Mà x> 0 nên > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x
x
x
1
1
và ta có : x + 2 x. 1 = 2
.Dấu = xẩy ra khi
x
x

x
1
x = => x= 1; x = -1 (Loại ).
x
1 3
Vậy GTNN của A = 1 - = , với x= 1.
4 4
2
2
2
Bài 4: Ta có : B= x 2 6 x + 14 = 1+
. Ta thấy B có GTLN thì
phải
2
( x 3) + 3
( x 3) 2 + 3
x 6 x + 12

đạt giá trị lớn nhất , và do đó (x-3)2 + 3 phải đạt giá trị nhỏ nhất .
Ta có (x- 3)2 + 3 3 với mọi x . Vậy GTLN của B =

5
, với x = 3.
3

2
x 16
Bài 5: Ta có F = x + 15 x + 16 . Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F = + + 5 vì x > 0

3

3x
x
16
x
16
8
x 16
Nên > 0;
> 0 . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : +
= ; Dấu = xẩy
2
3
3x
3
3x
3
3 3x
8
23
ra khi x = 4. Vậy GTNN của F = 5 + =
; với x = 4.
3
3
3x

GV: Trần Công Tiến

5

/>

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN
1
1
x2
Bài 6: Ta có : A =
với x 0 thì A = 1
+ x2 nhỏ nhất , ta
2 . A đạt GTLN khi
2
4
+
x
x
1+ x
x2
1
thấy x2 và 2 là hai số dơng nên theo bất đẳng thức Côsi ta có:
x
1
x2 + 2 2 x 2 . 12 = 2 . Dấu = xẩy ra khi x4 = 1 => x= 1; x = -1.
x
x
1
Vậy GTLN của A = , với x= 1; x = -1.
2
( x + 2)( x + 8)
16
Bài 7: Ta có : Y =

. Với x > 0 Y = x +
+ 10 2 x. 16 + 10 = 18
x
x
x
16
( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x và
). Dấu = xẩy ra khi x = 4.
x

Vậy GTNN của Y = 18; với x = 4 .

3
2
3
5
5
Bài 8: Ta có : Y = x + 2 x 2 x 1 ( với x 1) Y = ( x + )2 - .

x 1

Dấu = xẩy ra khi x = 5
4

2

4

3
.

2

Vậy GTNN của Y = - ; với x = -

GV: Trần Công Tiến

4

3
.
2

6

/>