hướng dần học sinh giải phương trình vô tỉ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
I.

Lý do chọn đề tài:

Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài góp phần vào công
nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước là nhiệm vụ mà Đảng và nhà nước giao cho
ngành giáo dục. Trường THCS Văn Lang đã được UBND thành phố Việt Trì Phòng GD&ĐT Việt Trì giao nhiệm vụ là nơi đổi mới phương pháp giảng dạy,
phát hiện bồi dưỡng học sinh giỏi cho thành phố. Trong những năm qua nhà
trường luôn quan tâm đến công tác phát hiện bồi dưỡng học sinh giỏi là một
giáo viên được giao công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 9 năm học 2010
- 2011 tôi thấy dạng toán hay gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào chuyên
hùng vương là dạng toán '' Giải phương trình vô tỷ'' Khi mới gặp dạng toán
này học sinh thường lúng túng là do chưa nắm vững các phương pháp để giải
chúng, nguyên nhân trong chương trình học những dạng phương trình đưa ra chỉ
là những kiến thức cơ bản mà thể loại phương trình vô tỷ lại vô cùng phong phú
đa dạng chính vì vậy mà tôi mạnh dạn viết đề tài này giúp học sinh nắm vững
các phương pháp giải phương trình vô tỷ là tài liệu để đồng nghiệp tham khảo
nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng
Toàn bộ chương I đại số 9 không có tiết học về phương trình vô tỷ mà chỉ
có dạng bài giải phương trình vô tỷ do vậy học sinh ít được va chạm nên khi gặp
phải sẽ gặp rất nhiều khó khăn từ những nguyên nhân trên nên tôi viết đề tài này
nhằm phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của mình là tài liệu để đồng
nghiệp và học sinh tham khảo nghiên cứu.
II. Mục đích nghiên cứu:
Giúp giáo viên và học sinh thấy được tầm quan trọng của việc phải tìm ra
cách nhận dạng từng loại phương trình vô tỷ và cách giải từng dạng phương
trình vô tỷ đó. Từ đó nắm được cách học cách dạy chuyên đề này khi bồi dưỡng

học sinh giỏi cũng như việc giảng dạy trên lớp.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
1. Nhiệm vụ chung:
Nghiên cứu tình hình học tập của học sinh về phần phương trình vô tỷ,
các kiến thức mà học sinh nắm được về phần này từ đó xây dựng nội dung
chuyên đề để bồi dưỡng

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

1TRƯỜNG THCS VĂN LANG


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''
2. Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, tổng hợp xây dựng phương
pháp giải cho từng dạng cách nhận dạng từng dạng phương trình.
IV. Đối tượng nghiên cứu:
Khách thể nghiên cứu: Học sinh THCS Văn Lang
Đối tượng nghiên cứu: Các dạng toán về phương trình vô tỷ
V. Phương pháp nghiên cứu:
1.Phương Pháp khảo sát, phỏng vấn:
Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã tiến hành khảo sát, phỏng vấn đối với
giáo viên và học sinh. Mục đích của việc khảo sát và phỏng vấn để nắm tình
hình dạy và học: Giải phương trình vô tỷ từ đó thấy được những khó khăn,
những vướng mắc của học sinh từ đó mà nghiên cứu đề tài.
2.Phương pháp thực nghiệm
Để xác định mức độ phù hợp về nội dung kiến thức của đề tài, tôi đã tiến
hành kiểm tra thực nghiệm đối với học sinh. Thông qua đó nhằm đánh giá nội
dung và mức độ kiến thức có đảm bảo sự hợp lý, phù hợp đối với học sinh hay
không? Ngoài ra, tôi còn trao đổi với một số đồng nghiệp dạy toán về nội dung

đề tài từ đó phân tích để điều chỉnh nội dung cho phù hợp
3.Phương pháp sưu tầm tài liệu
Căn cứ đề cương của Đề tài đã xây dựng, tôi đã tiến hành việc nghiên
cứu, sưu tầm các tài liệu có liên quan để phát hiện, thu thập, lựa chọn và
phân loại về nội dung và sắp xếp theo từng chủ đề, từng chương trong Đề
tài . Trên cơ sở đó giúp giáo viên và học sinh có thêm kiến thức về “Phương
pháp giải phương trình vô tỷ”.
Các nội dung về lý thuyết được giới thiệu trong Đề tài đều có cơ sở khoa
học: các nội dung được trích dẫn từ các cuốn sách toán, các tài liệu có liên
quan đã được công bố công khai và được giới chuyên môn thừa nhận (hoặc
được các tác giả chứng minh đảm bảo tính khoa học bộ môn). Các ví dụ
minh hoạ và bài tập được sưu tầm từ sách giáo khoa, từ các tài liệu tham
khảo được sắp xếp theo từng dạng.

PHẦN II. NỘI DUNG
A. THỰC TRẠNG
Qua việc giảng dạy trên lớp và bồi dưỡng học sinh giỏi, qua phỏng vấn trao
đổi với các em học sinh và đồng nghiệp tôi thấy ở các em còn băn khoăn

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

2TRƯỜNG THCS VĂN LANG


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''
nhiều về phương pháp giải phương trình vô tỷ. Qua thực tế kiểm tra đội
tuyển toán 9 năm học 2009 - 2010 tôi thu được kết quả như sau:
Đề kiểm tra đội tuyển toán 9:
Câu 1: Giải phương trình sau

1). ( x 2 − 2011x + 2010) x − 5 = 0
2).

x2 − 2 x + 1 + x2 − 6 x + 9 = 1

3). x + y + z + 8 = 2 x − 1 + 4 y − 2 + 6 z − 3
4). 2( x 2 + 2) = 5 x3 + 1

Phần lớn các em giải được phương trình 2,3 một vài em còn kết luận x = 1 là
nghiệm phương trình 1) các em không giải được phương trình 4). Nguyên
nhân là do các em chưa biết đầy đủ phương pháp giải phương trình vô tỷ,
chưa nắm được những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỷ từ
thực trạng đó thôi thúc tôi nghiên cứu và viết sáng kiến và đề tài này.
B.CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA: Cần khắc sâu cho học sinh
phép nâng lên lũy thừa mũ chẵn cả hai vế của phương trình chỉ là phép biến
đổi tương đương khi hai vế đều không âm
Dạng 1.

 g ( x) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
2
 f ( x) = g ( x )
x +1 = x −1

Bài 1: Giải phương

x −1 ≥ 0
x ≥ 1
x ≥ 1

⇔
⇔
⇔

 2
2
2
 x + 1 = ( x − 1)
 x + 1 = x + 2 x + 1  x − 3x = 0
x ≥ 1

⇔  x = 0 ⇔ x = 3
 x = 3


Vậy phương trình có nghiệm là x= 3
*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình sau
Dạng 2
f ( x ) + g ( x ) = k ( x ) + h( x )
 f ( x) ≥ 0
 g ( x) ≥ 0

ĐK : 
k ( x) ≥ 0
 h( x ) ≥ 0

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

3TRƯỜNG THCS VĂN LANG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''
Phương pháp giải bình phương hai vế
Bài 2: Giải phương trình
x+3 = 5− x−2
x + 3 ≥ 0
 x ≥ −3
ĐK : 
⇔
⇔ x≥2
x − 2 ≥ 0
x ≥ 2
⇔ x+3 + x−2 = 5
⇔ x + 3 + x − 2 + 2 ( x + 3)( x − 2) = 25
⇔ 2 x 2 + x − 6 = 24 − 2 x
12 − x ≥ 0
⇔ 2
2
 x + x − 6 = 144 − 24 x + x
 x ≤ 12
 x ≤ 12
⇔
⇔
⇔ x=6
25 x = 150
x = 6

( Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 6

Cần lưu ý đặc biệt việc đặt điều kiện để các căn thức thức xác định trong bài
toán giải phương loại này vì nếu không có thể kết luận sai nghiệm của
phương trình, khi giải phương trình loại này có thể biến đổi không tương
đương nhưng khi tim x song cần nhắc nhở yêu cầu học sinh thử lại.
*Bài tập cùng dạng:
Giải các phương trình sau
1. x + 1 = 12 − x + x − 7
2. x − 1 + x − 4 = x + 4
3. x + x + 9 = x + 1 + x + 4

2.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
2.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình một ẩn
Dạng 1: Đưa về phương trình bậc 2: ( Chú ý lượng ẩn trong và ngoài dấu
căn và ngoài căn bằng nhau đây chính là mấu chốt giúp học sinh nhận được
dạng phương này)
Bài 1: Giải phương trình
5 x 2 + 5 x + 28 = x 2 + 5 x + 4

Đặt x 2 + 5 x + 28 = t (t ≥ 0) ⇒ x 2 + 5 x + 4 = t 2 − 24

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

4TRƯỜNG THCS VĂN LANG


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''
5t = t 2 − 24
⇔ t 2 − 5t − 24 = 0
t = 8

⇔
⇔t =8
 t = −3
Khi t = 8 ⇔ x 2 + 5 x + 28 = 8

Ta được

⇔ x 2 + 5 x + 28 = 64
⇔ x 2 + 5 x − 36 = 0
x = 4
⇔ 
 x = −9

Vậy phương trình có nghiệm x = 4; x = -9
*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình sau
1. 3x 2 + 21x + 18 + 2 x 2 + 7 x + 7 = 2
2. 2 2 x 2 − 3 x + 2 = 2 x 2 − 3( x + 2)

Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc cao
Bài 1. Giải phương trình:
13 x 4 − 19 x 2 − 21 + (6 x 2 + 28) x 2 − 1 = 0

Đặt x 2 − 1 = t (t ≥ 0) ta được
13(t2 +1)2 -19(t2 +1) -21 +[ 6(t2+1) +28] t =0
↔ 13t4 +6t3 +7t2 +34t - 27 = 0
↔ (t2 +t -1)(13t2 -7t +27) = 0 ( Bằng phương pháp hệ số bất định)
 −1 + 5
t =
2
⇔

 −1 − 5
〈0
t =

2
⇔ x2 − 1 =
⇔ x2 =

5 −1
2

5− 5
2

⇔ x=±

5− 5
2

Vậy phương trình có nghiệm x = ±

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

5− 5
2

5TRƯỜNG THCS VĂN LANG


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN

HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''
*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình
1. ( x − 1 + 1)3 + 2 x − 1 = 2 − x
2. 18 x 2 − 18 x x − 17 x − 8 x − 2 = 0
3. x 3 − 3 x 2 + 3 x − 16 3 x − 9 = 0
4. 19 + 10 x 4 − 14 x 2 = (5 x 2 − 38) x 2 − 2

Dạng3: Phương trình dạng
a f ( x) + b g ( x) = c Trong đó f(x).g(x) = k
Cách giải:

f ( x) = t (t ≥ 0) ⇒ g ( x) =

1
b k
ta được: at +
= c Đây là phương
t
t

trình bậc hai mà ta biết cách giải
Bài 1: Giải phương trình
2x
1 1
2x x +1
+
+
= 2 Vì
.
= 1 nên đặt :

1+ x
2 2x
1+ x 2x
2x
1+ x 1
= t (t ≥ 0)thi #
=
1+ x
2x
t
1
t+ =2
t
⇔ t 2 − 2t + 1 = 0

Ta được

⇔ t =1⇔

2x
2x
=1⇔
=1
1+ x
1+ x

⇔ x =1

Vậy phương trình có nghiệm x =1
*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình sau

1. (2 + 3 ) x + (2 − 3) x = 4
2.( x 2 + 1 − x)5 + ( x 2 + 1 + x)5 = 123
3. 2

3x − 1
x
=
+1
x
3x − 1

Dạng 4. f ( x) + g ( x) = c f ( x).g ( x) Đối phương trình loại này ta đặt như sau
f ( x) + g ( x ) = t (t ≥ 0)
Đặt:
Bài 1. Giải phương trình
3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = 3 ĐK: −3 ≤ x ≤ 6

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

6TRƯỜNG THCS VĂN LANG


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''
3 + x + 6 − x = t (t ≥ 0) ⇔ 3 + x + 6 − x + 2 (3 + x)(6 − x) = t 2

Đặt:

⇔ (3 + x )(6 − x) =

t2 − 9
2

t2 − 9
=3
2
⇔ t 2 + 2t − 15 = 0

t+

Ta được : ⇔ t = 3 ⇔ t = 3 Vi #t ≥ 0
 t = −5

 x = −3
⇔ (3 + x )(6 − x) = 0 ⇔ (3 + x)(6 − x) = 0 ⇔ 
x = 6

( Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm x = -3; x = 6
*Bài tập cùng dạng: Giải phương trình sau
1.

2 − x + 2 + x + 4 − x2 = 2

2.

x + 1 + x − 2 + 2 x 2 − x − 2 = 13 − 2 x

3. 3 + 2 x − x 2 = 3( x + 1 − x )
4.

x − 1 + x + 3 + 2 ( x + 1)( x + 3) = 4 − 2 x

Dạng 5: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình hai ẩn
Bài 1. Giải phương trình:
3
2( x 2 + 2) = 5 xĐK
+1 x

: ≥ −1

⇔ 2( x 2 + 2) = 5 ( x + 1)( x 2 − x + 1)

Đặt:

x + 1 = a; x 2 − x + 1 = b ⇒ a 2 + b 2 = x 2 + 2

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

7TRƯỜNG THCS VĂN LANG


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''
Ta được:
2(a 2 + b 2 ) = 5ab
⇔ 2a 2 + 2b 2 − 5ab = 0
⇔ 2a 2 − 4ab − ab + 2b 2 = 0
⇔ 2a( a − 2b) − b(a − 2b) = 0
⇔ (a − 2b)(2a − b) = 0

 x + 1 = 2 x2 − x + 1
 x + 1 = 4x2 − 4x + 4
4 x 2 − 5x + 3 = 0
 a = 2b
⇔
⇔
⇔
⇔
 2
2
 2 x + 1 = x 2 − x + 1
 2a = b
4 x + 4 = x − x + 1
 x − 5x − 3 = 0

5 − 37
x =
2
⇔

5 + 37
x =

2

Vậy phương trình có nghiệm


5 + 37
x =

2


5 − 37
x =

2

*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình sau
1. 5 1 − x 3 = 2 x 2 + 4
2. 2( x 2 − 3 x + 2) = 3 x3 + 8
3. 3( x 2 + 2 x) = 10 x 3 − 1
4. x 2 + 2 x + 4 = 3 x3 + 4 x

2.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình:
Bài 1. Giải phương trình sau:
x + 34 − 3 x − 3 = 1
 3 x + 34 = a
Đặt:  3
Ta được
 x − 3 = b
a − b = 1
a − b = 1
a − b = 1
⇔
⇔
 3 3
2
2
2

 a − b = 37
(a − b)(a + ab + b ) = 37
(a − b) + 3ab = 37
3

 a = 4
a = b + 1  
a = b + 1
a = b + 1
 x = 30

b = 3
⇔
⇔ 2
⇔  b = 3 ⇔ 
⇔
 a = −3  x = −61
3(1 + b)b = 36
b + b − 12 = 0
  b = −4


 b = −4

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

8TRƯỜNG THCS VĂN LANG


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN

HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''
*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình sau
3

1.
2..

2 − x + x −1 = 1
4

x + 4 97 − x = 5

3. 2 − x 2 = 2 − x
4. x 2 + x + 5 = 5
5. x 3 35 − x3 ( x + 3 35 − x3 ) = 30

Cần lưu ý học sinh khi đặt ẩn phụ bằng căn bậc chẵn phải đặt điều kiện của
ẩn phụ.
3.PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH:
Có rất nhiều phương trình vô tỷ thoạt nhìn rất khó giải nhưng nếu quan sát
kỹ đưa về phương trình tích thì thật là đơn giản
Bài 1: Giải phương trình:
x 2 − x − 2 − 2 x − 2 + 2 = xĐK
+1 x

: ≥2

⇔ ( ( x + 1)( x − 2) − 2 x − 2) − ( x + 1 − 2) = 0
⇔ ( x + 1 − 2)( x − 2 − 1) = 0
 x +1 = 0

x +1 = 0
 x = −1
⇔
⇔
⇔
⇔ x = 2(vi # x ≥ 2)
x − 2 = 0
x = 2
 x − 2 = 0

Vậy Phương trình có nghiệm duy nhất x =2
*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình sau
1.

4 x2 − 1 + x = 2 x2 − x + 2 x + 1

2.

x + 1 + 2( x + 1) = x − 1 + 1 − x + 3 1 − x 2

3. ( x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12
4. x 4 + x 2 + 1995 = 1995
5.

x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3

6. x 2 − 2 x − 1 = 2(1 − x ) x 2 + 2 x − 1

4.PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI:

Bài 1: Giải phương trình:

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

9TRƯỜNG THCS VĂN LANG


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''

x + 3 − 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 1
⇔ x −1− 4 x −1 + 4 + x −1− 6 x −1 + 9 = 1
⇔ ( x − 1 − 2) 2 + ( x − 1 − 3) 2 = 1
⇔

x −1 − 2 +

x −1 − 3 = 1

1) x − 1〈 2 ⇔ 0〈 x − 1〈 4 ⇔ 1〈 x〈5
PT ⇔ 2 − x − 1 − x − 1 + 3 = 1
⇔ 2 x −1 = 4
⇔ x − 1 = 4 ⇔ x = 5( KTM )
2)2 ≤ x − 1〈3 ⇔ 4 ≤ x − 1〈9 ⇔ 5 ≤ x〈10
PT ⇔ x − 1 − 2 − x − 1 + 3 = 1
⇔ 1 = 1 nghiêm ∀ 5 ≤ x〈10
3) x − 1 ≥ 3 ⇔ x − 1 ≥ 9 ⇔ x ≥ 10
PT ⇔ x − 1 − 2 + x − 1 − 3 = 1
⇔ 2 x −1 = 6 ⇔ x −1 = 3 ⇔ x −1 = 9
⇔ x = 10(TM )

Vậy Phương trình có nghiệm 5 ≤ x ≤ 10

*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình sau
1.

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = x −1

2.

2 x − 2 + 2 2 x − 3 + 2 x + 13 + 8 2 x − 3 = 7

3.

x + 2 + 3 2x − 5 + x − 2 − 2x − 5 = 2 2

5. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC:
5.1 Dạng 1: Đưa về tổng bình phương:
Bài 1: Giải phương trình:
1.

x − 2 + y + 2003 + z − 2004 =

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

1
( x + y + z)
2

10TRƯỜNG THCS VĂN LANG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''
1
x − 2 + y + 2003 + z − 2004 = ( x + y + z )
2
x − 2 ≥ 0
x ≥ 2


ĐK :  y + 2003 ≥ 0 ⇔  y ≥ −2003
 z − 2004 ≥ 0
 z ≥ 2004


PT ⇔ ( x − 2 − 2 x − 2 + 1) + ( y + 2003 − 2 y + 2003 + 1) + ( z − 2004 − 2 z − 2004 + 1) = 0
⇔ ( x − 2 − 1) 2 + ( y + 2003 − 1) 2 + ( z − 2004 − 1) 2 = 0
 x − 2 =1
x − 2 = 1
x = 3



⇔  y + 2003 = 1 ⇔  y + 2003 = 1 ⇔  y = −2002 (TM )

 z − 2004 = 1
 z = 2005


 z − 2004 = 1

x = 3

Vậy phương trình có nghiệm  y = −2002
 z = 2005


*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình sau
1. x + y + z + 4 = 2 x − 2 + 4 y − 3 + 6 z − 5
2. 4 x + 1 = x 2 − 5 x + 14
16
4
1225
3.
+
+
= 82 − x − 3 − y − 1 − z − 665
x −3
y −1
z − 665

5.2 Sử dụng bất đẳng thức cosi, bunnhia:
Bài 1: Giải phương trình:
x2 + x + 1 = 2 x

x +1

ĐK : x ≥ −1

Áp dụng bất đẳng thức cosi
x 2 + x + 1 = x 2 + ( x + 1) ≥ 2 x 2 ( x + 1) = 2 x

x +1

⇔ x2 = x + 1
⇔ x2 − x −1 = 0

Dấu ''='' Xảy ra


1− 5
x =
2
⇔

1+ 5
x =

2

Vậy phương trình có nghiệm

x=

1± 5
2

Bài 2: Giải phương trình:

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

11TRƯỜNG THCS VĂN LANG


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''

x − 1 + x − 3 = 2( x − 3) 2 + 2 x − 2
ĐK : x ≥ 1

Áp dụng bất đẳng thức bun nhi a
x − 1 + x − 3 ≤ (12 + 12 ) ( x − 1) 2 + ( x − 3) 2 
⇒ x −1 + 3 ≤

x − 1 + 3 ≤ 2( x − 1) + 2( x − 3) 2

x −1 x − 3
=
⇔ 16( x − 1) = ( x − 3) 2
1
4
2
Dâu'' = '' Xảy ra ⇔ 16 x − 16 = x − 6 x + 9
⇔ x 2 − 22 x + 25 = 0
⇔

⇔ x = 11 ± 96

Vậy phương trình có nghiệm x x = 11 ± 96 . Học sinh thường chưa có thói
quen sử dụng điều kiện để đánh giá biểu thức không âm và dùng BĐT cô si
điều này khi giảng dạy ta phải nhấn mạnh để học sinh nắm được

*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình
8

1)

1 − x + 8 1 + x + 8 1 − x2 = 3

2) − x 2 + 3 x + 4 2 − x 4 = 3
3) 4 x 4 + x 2 + 3 x + 4 = 3 3 16 x 3 + 12 x
4)

x − 94 + 96 − x = x 2 − 190 x + 9027

5)

7 − x + x + 1 = x 2 − 6 x + 13

5.3 Phương pháp loại trừ ,chứng minh phương trình có nghiệm duy
nhất:
Bài 1: Giải phương trình sau:
x 2 − 6 x + 11 + x 2 − 6 x + 13 + 4 x 2 − 4 x + 5 = 3 + 2
⇔ ( x − 3) 2 + 2 + ( x − 3) 2 + 4 + 4 ( x − 2) 2 + 1 = 3 + 2
VT ≥ 2 + 4 + 1 = 3 + 2
x = 3
Dấu '' = '' Xảy ra ⇔ 
x = 2

Vậy phương trình vô nghiệm
*Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình sau
1)

6
8
+
=6
3− x
2− x

2) 3 x(2 + 9 x 2 + 3) + (4 x + 1)(1 + x 2 + x + 1) = 0

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

12TRƯỜNG THCS VĂN LANG


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''
6. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP:
Bài 1: Giải phương trình:
( x + 5 − x + 2)(1 + x 2 + 7 x + 10) = 3
⇔ ( x + 5 − x + 2)( x + 5 + x + 2)(1 + ( x + 5)( x + 2)) = 3( x + 5 + x + 2)
⇔ 3(1 + ( x + 5)( x + 2)) = 3( x + 5 + x + 2)
⇔ (1 − x + 5)(1 − x + 2) = 0
 x +5 =1
x + 5 = 1
 x = −4
⇔
⇔
⇔
 x + 2 = 1  x + 2 = 1  x = −1

 x = −1
Vậy phương trình có nghiệm
 x = −4


* Bài tập cùng dạng: Giải các phương trình sau
1)
2)
3)

2 x 2 + 3x + 5 + 2 x 2 − 3x + 5 = 3x
1
x + x+2

+

1
1
10
+
=
−1
2
x+2+ x+4
x+4+ x+6

3x 2 − 7 x + 3 − x 2 − 2 = 3 x 2 − 5 x − 1 − x 2 − 3x + 4

Bằng cách chia từng phương pháp giải cách nhận dạng từng loại phương
trình như thế học sinh sẽ rễ hệ thống hơn, nắm vững cách giải hơn, tuy nhiên

sự chia dạng đó chỉ mang tính tương đối vì có rất nhiều phương trình vô tỷ có
thể giải bằng nhiều cách vì vậy khi giảng dạy bồi dưỡng học sinh ta có thể
khuyến khích các em hãy giải phương trình bằng nhiều cách có thể nhằm
phát huy tính sáng tạo của các em

C.KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
Sau khi thực hiện bồi dưỡng học sinh giỏi các em đã nắm được thêm nhiều
kiến thức, các em đã nắm vững các phương pháp giải và nhận dạng được
từng loại phương trình vận dụng sáng tạo khi giải mỗi phương trình vô ty
,̉ nhận biết được những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỷ. Làm
thay đổi phương pháp học tập, giúp các em say mê tìm hiểu có phương pháp
tự học ,tự tìm hiểu tốt hơn

D. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Qua việc thực hiện chuyên đề các bài toán về phương trình vô tỷ tự bản thân
tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
I. Đối với giáo viên:

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

13TRƯỜNG THCS VĂN LANG


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''
1. Thường xuyên đọc sách, tự học ,tự nghiên cứu, nâng cao trình độ biến
kiến thức nhân loại thành kiến thức của mình bằng cách viết chuyên đề nêu
thành từng dạng bài, phương pháp giải cho từ dạng đó, phân tích những sai
lầm mà học sinh thường mắc phải từ đó tìm cách dạy khắc phục những sai
lầm đó

2. Bồi dưỡng cho học tính say mê học tập, khả năng tự đọc, tự nghiên cứu
để nâng cao kiến thức cho mình
3. Nên giới thiệu kiến thức bổ xung, những dạng toán hay thông qua việc
giảng dạy trên lớp
II. Đối với học sinh:
1. Thường xuyên tự học, tự tìm hiểu để tìm tòi phương pháp giải cho từng
loại toán
2. Sắp xếp theo trình tự nhất định tìm những điểm cần lưu ý khi giải mà dẫn
tới sai lầm
PHẦN III. KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm '' Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải
phương trình vô tỷ'' đã được tiến hành giảng dạy cho học sinh đội tuyển toán
9 trường THCS Văn Lang năm học 2010 - 2011 bước đầu đã thu được những
kết quả đáng khích lệ sau khi học xong chuyên đề phần lớn các em đã nắm
vững và hình thành được hệ thống các phương pháp giải các phương trình vô
tỷ, qua thực tế thi HSG cấp thành phố năm học 2010-2011 vừa qua đề thi
môn toán có một bài về phương trình vô tỷ các em trong đội tuyển trường
THCS Văn Lang đều làm tốt bài này với cách làm sáng tạo khác nhau như
đưa về tổng bình phương, sử dụng BĐT Cosi kết quả thật khả quan Có 3 giải
nhất . Tuy nhiên đó mới chỉ là những nghiên cứu bước đầu của cá nhân tôi rất
mong được đồng nghiệp và hội đồng xét duyệt đóng góp thêm ý kiến để đề
tài của tôi đạt kết quả cao hơn trong những khóa bồi dưỡng tiếp theo được
như vậy tôi xin chân thành cảm ơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Nâng cao và phát triển toán 9 tập 1 ( Vũ Hữu Bình, nhà xuất bản GD)
2.Toán nâng các chuyên đề đại số 9 ( Vũ Dương Thụy, nhà xuất bản GD)
3.Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9(Bùi Văn Tuyên, Nhà xuất bản
GD)
4.Ôn luyện toán căn thức theo chủ đề ( Nguyễn Đức Tấn, Nhà xuất bản GD)

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

14TRƯỜNG THCS VĂN LANG


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ''MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN
HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ''
5.Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Đại số ( Nguyễn Vũ Thanh,
Nhà xuất bản GD)
6. Đề thi học sinh giỏi tỉnh và chuyên hùng vương một số năm
7.Báo toán tuổi thơ 2
8.Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực( Nguyễn Đức Tấn - Phan
Ngọc Thảo, Nhà xuất bản GD)
MỤC LỤC
STT TRANG
1
1-2

PHẦN
Phần I: Phần mở đầu

2
3
4

Phần II: Phần nội dung
Phần III: Phần kết luận
Tài liệu tham khảo

2-12

12
13

NGƯỜI VIẾT: HỒ VĂN LANH

GHI CHÚ

15TRƯỜNG THCS VĂN LANG