ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP LỚP 12 TP HỒ CHÍ MINH

Sở Giáo dục và Đào tạo
TP. Hồ Chí Minh

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT ( 2010-2011)
MÔN TOÁN LỚP 12
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC

A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1. (3,5 điểm)
Cho hàm số : y =

− 2 x −1
(C)
x +1

a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(0; –1). Tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến tại A, đồ thị (C) và đường
thẳng x =

−1
.
2

c)Định m để đường thẳng (d): y = mx + m − 2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm
phân biệt.
Câu 2. (1,5 điểm)
Tính các tích phân :
e2

a) I = ∫
e

π
4

Lnx
dx .
x

b) J = x(cos 2 x + sin 2 x)dx .
∫
0

Câu 3. (1 điểm)
Giải bất phương trình :
log 2 (3.2 x − 1) < 2 x + 1 .

Câu 4. (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng và cạnh bên
SA = 2a vng góc với mặt đáy. Cạnh bên SC hợp với mặt đáy
một góc 30o.
a)Tính theo a thể tích hình chóp S.ABCD.
b)Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
Học sinh chỉ được làm một trong hai phần( phần I hoặc phần II)
I)Theo chương trình chuẩn.
1) Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
x = 2 + t


(d 1 ) :  y = 3 − 2 t ;
 z = 1 + 2t


(d 2 ) :

x + 1 y −1 z + 2
=
=
2
1
3

a) Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1) và song song với (d2).
2) Giải phương trình trong tập số phức: z 4 + 9 z 2 + 18 = 0 .
II)Theo chương trình nâng cao.
1) Giải bất phương trình:
9.4 − x + 5.6 − x < 4.9 − x .
2)Trong khơng gian Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 3), B(3; 0 ; − 1 ),
C( − 1 ; 2; 1), D(3; − 1 ; 2).
a) Chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng AB
qua mặt phẳng (BCD).
HẾT


Đáp án :
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)

Câu 1. (3,5 điểm)
Cho hàm số : y =

− 2 x −1
(C)
x +1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.
Tập xác định : R \ {−1}
0,25 đ
Sự biến thiên.

−1
< 0, ∀x ≠ − 1
0,25 đ
( x + 1) 2
Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (−∞; − 1), (−1;+∞) 0,25 đ

Chiều biến thiên : y ' =

Hàm số không có cực trị

− 2 x −1
=− 2
x +1
Lim y = − ∞ và Lim+ y = + ∞
x → −1−
x → −1

y = Lim

Tiệm cận : xLim
→ ±∞
x → ±∞

0,25 đ

Đường thẳng y = − 2 là tiệm cận ngang
Đường thẳng x = − 1 là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên
- Điểm không xác định
- Dấu của đạo hàm
- Chiều biến thiên
-Các giá trị của giới hạn

0,25 đ

0,25 đ
1
2

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; –1), cắt trục Ox tại điểm (– ; 0).
Vẽ đồ thị .
0,5 đ
Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
b)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(0; –1). Tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến tại A, đồ thị (C) và đường
thẳng x =

−1
.

2

Phương trình tiếp tuyến tại ( xo ; y o ) có dạng:
y − y o = y ' ( xo )( x − x o )
Ta có xo = 0; y o = − 1; y ' ( xo ) = −1

0,25 đ
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; –1):
y + 1 = − 1( x − 0) ⇔ y = − x −1
0,25 đ
Diện tích hình phẳng cần tính:
0

0
− 2 x −1
− 2 x −1
−
(
−
x
−
1
)
dx
=
[
− (− x − 1)]dx
S= ∫
∫
x +1

x +1
−1
−1
2

2
0

= ∫ (−2 +
−1
2

1
x2
+ x + 1)dx = ( − x + Ln x + 1 ) 0−1
x +1
2
2

0,25 đ


=

−5
+ Ln 2 (đvdt)
8

0,25 đ

c)Định m để đường thẳng (d): y = mx + m − 2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm
phân biệt.
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) với đồ
thị(C):

− 2 x −1
= mx + m − 2 (1)
x +1

(ĐK: x ≠ − 1 )

Từ (1) ta có: mx 2 + 2mx + m −1 = 0 (2)
Với x = − 1 thì (2): − 1= 0 (vô lý)

0,25 đ
m ≠ 0
⇔ m>0
∆
'
>
0


Vậy để (C) và (d) có hai giao điểm phân biệt thì 

0,25 đ
Câu 2. (1,5 điểm)
Tính các tích phân :
e2

Lnx
dx
x

a) I = ∫
e

1
x

Đặt u = Lnx , ta có du = dx

0,25 đ

Với x = e thì u = 1.
Với x = e 2 thì u = 2.

0,25 đ

I=

2

∫

u du =

1

2u

3

3
2

2
1

=

2 3
u
3

=

2
1

2
2 4 2 −2
8− =
3
3
3

0,25 đ
π
4

b) J = x(cos 2 x + sin 2 x)dx
∫
0

Đặt u = x thì u ' = 1
1
2

Đặt v' = cos 2 x + sin 2 x , ta chọn v = (sin 2 x − cos 2 x) 0,25 đ
Ta có J = 1 x(sin 2 x − cos 2 x)

π
4
0

1
x(sin 2 x − cos 2 x)
2
π
=
8

π
4
0

2

=

−

π
4

1
(sin 2 x − cos 2 x) dx
2 ∫0

1
+ (cos 2 x + sin 2 x)
4

π
4
0

0,25 đ
0,25 đ

Câu 3. (1 điểm)
Giải bất phương trình :
log 2 (3.2 x − 1) < 2 x + 1 (1)

1
3

x
(ĐK: 2 > )

(1) ⇔ 2 2 x + 1 > 3.2 x − 1 ⇔ 2 2 x .2 − 3.2 x + 1 > 0

0,25 đ

1
3

x
Đặt t = 2 ( t > )

1
3

2
Bất phương trình trở thành: 2 t − 3t + 1 > 0 ⇔ < t <

1
v t >1
2

0,25 đ

1 x 1
< 2 < v 2 x >1 ⇔ − log 2 3 < x < −1 v x > 0 0,25 đ
3
2
Nghiệm của bất phương trình là: − log 2 3 < x < − 1 v x > 0
0,25 đ

Với t = 2 x , ta có:

Câu 4. (1 điểm)
S

A

B
O

D

C

a)Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Cạnh bên SC có hình chiếu lên mặt đáy ABCD là AC nên góc của SC
hợp với mặt đáy là góc SCA = 30o.
o
Tam giác vuông SAC cho: tan 30 =

Ta có AB =

AC
2

=

6a
6

SA
SA
6a
⇒ AC =
=
o
AC
tan 30
3

=a 6

0,25 đ

Vậy diện tích hình vuông ABCD = (a 6 ) 2 = 6a 2
Thể tích hình chóp S.ABCD =

1
6a 2 .2a
dt(ABCD).SA =
= 4a 3 (đvtt)
3
3

0,25 đ
b)Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
Trong tam giác vuông SAO vẽ đường cao AH
Ta có BD vuông góc với SA và AC nên BD vuông góc với mp(SAC)
Suy ra BD vuông góc với AH
AH vuông góc với BD và SO nên AH vuông góc với (SBD)

Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
0,25 đ
Tam giác vuông SAO có đường cao AH cho

1
1
1
=
+
2
2
AH SA
AO 2

1
1
1
7
12a 2
2
=
+
=
⇔
AH
=
7
AH 2 4a 2 3a 2 12a 2
a 12 2a 21
=

Vậy AH =
7
7
⇔

B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
I)Theo chương trình chuẩn.
1)Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
x = 2 + t

(d 1 ) :  y = 3 − 2 t ;
 z =1 + 2t


(d 2 ) :

x + 1 y −1 z + 2
=
=
2
1
3

0,25 đ


a) Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau.
→

Đường thẳng (d1) đi qua A(2; 3; 1) và có VTCP là a1 = (1; − 2; 2)

→

Đường thẳng (d2) đi qua B(–1; 1; –2) và có VTCP là a 2 = (2; 1; 3)
0,25 đ
→

AB = (−3; − 2; − 3)
→

→

0,25 đ

[ a 1 , a 2 ] = (−8; 1; 5)
→

→

→

Ta có [ a 1 , a 2 ]. AB = 7 ≠ 0
→

→

0,25 đ

→

Vậy ba vectơ a1 , a 2 , AB không đồng phẳng

Suy ra (d1) và (d2) chéo nhau
0,25 đ
b) Viết phương trình mp(P) chứa (d1) và song song với (d2).
Mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2) nên mp(P) đi qua
A(2;
→
→ →
3; 1) và có VT pháp tuyến là n P = [a1 , a 2 ] = (−8; 1; 5)
0,5 đ
Phương trình mp(P): − 8( x − 2) + 1( y − 3) + 5( z −1) = 0 ⇔ − 8 x + y + 5 z + 8 = 0
0,5 đ
4
2
2)Giải phương trình trong tập số phức: z + 9 z + 18 = 0 .
Đặt t = z 2
Ta có phương trình t 2 + 9t + 18 = 0 ⇔ t = − 3 v t = − 6
0,5 đ
Với t = − 3 : z = ± i 3
0,25 đ
Với t = − 6 : z = ± i 6
0,25 đ
II)Theo chương trình nâng cao.
1) Giải bất phương trình:
9.4 − x + 5.6 − x < 4.9 − x .
Chia hai vế cho 9 − x , ta có:
4
6
2
2
9.( ) − x + 5.( ) − x − 4 < 0 ⇔ 9.( ) −2 x + 5.( ) − x − 4 < 0

9
9
3
3
2 −x
Đặt t = ( ) , t > 0
3
2
Ta có bất phương trình: 9t + 5t − 4 < 0 ⇔ − 1 < t <

4
9

2
3

0,25 đ
0,25 đ
4
9

0,25 đ

4
9

−x
Ta nhận 0 < t < . Vậy ( ) < ⇔ − x > 2 ⇔ x < − 2

Nghiệm của bất phương trình là: x < –2

0,25 đ
2)Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 3), B(3; 0 ; − 1 ), C( − 1 ; 2; 1),
D(3; − 1 ; 2).
a) Chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau.
Xét ba vectơ:
→

AB = (1; − 1; − 4)
→

CD = (4; − 3; 1)
→

AC = (−3; 1; − 2)
→

→

[AB, CD] = (−13; − 17; 1)

0,25 đ


→

→

→

Ta có [AB, CD]. AC = 20 ≠ 0

→

→

0,25 đ

→

Vậy ba vectơ AB, CD, AC không đồng phẳng
Suy ra AB và CD chéo nhau
0,25 đ
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng AB qua
mặt phẳng (BCD).
Gọi E là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (BCD) thì BE là đường
thẳng đối xứng với AB qua mặt phẳng (BCD)
0,25 đ
Mặt phẳng (BCD) đi qua B(3; 0 ; − 1 ) và có VT pháp tuyến là:
→

→

→

n = [BC, BD]
→

Ta có BC = (−4; 2; 2)
→

BD = (0; − 1; 3)

→

→

→

nên n = [BC, BD] = (8; 12; 4)
Phương trình mp(BCD): 2 x + 3 y + z − 5 = 0
0,25 đ
Đường thẳng AE qua A(2; 1; 3), vuông góc với mp(BCD) nên có VTCP
 x = 2 + 2t

là n = (2; 3; 1) .Phương trình tham số của AE:  y = 1 + 3t
 z = 3 + 1t

→

Gọi H là giao điểm của AE với mặt phẳng (BCD): H(
4 − 8 16
; )
7 7 7
17

x = 3 − 7 t

8

Phương trình tham số của BE:  y = − t
7


23

 z = − 1+ 7 t


Ta có H là trung điểm của AE nên E( ;

HẾT

0,25 đ

18 − 1 37
;
; )
14 14 14

0,25 đ

0,25 đ