Chuyên đề đạo hàm

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
I. Lý thuyết:
1. Đn đạo hàm:
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên D và x0 ∈ D. Khi đó f ' ( x0 ) = xlim
→x

0

f ( x ) − f ( x0 )
.
x − x0

2. Quy tắc tìm f’(x0) hoặc f’(x) bằng định nghĩa:
B1: Tính ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)
B2 : lim

∆x → 0

∆y
∆x

KL : y’(x0) = ?
3. Tính đạo hàm bằng công thức :
(u ± v)’ = u’ ± v’
(u.v)’ = u’.v + u.v’
,
 u  u '.v − u.v '
 ÷=
v2
v
y’x = (f[u(x)])’ = f’u. u’x

Bảng đạo hàm của các hàm số có thường gặp:
Hàm số x

Hàm số u

C’ = 0
x’ = 1
(xn )’ = n.xn – 1

(un)’ = n. un – 1 .u’

1
1
 ÷' = − 2
x
 x

u'
1
 ÷' = − 2
u
u

( x) ' = 21x

( u ) ' = 2u 'u

(sinx)’ = cosx

(sinu)’ = u’cosu

(cosx)’ = - sinx

(cosu)’ = - u’.sinu

(tanx)’ =

1
= 1 + tan 2 x
2
cos x

(cotx)’ = −

(tanu)’ =

1
= −(1 + cot 2 x)
2
sin x

u'
= 1 + tan 2 u
2
cos u

(cotu)’ = −

u'
= −(1 + cot 2 u )

2
sin x

II. Các dạng bài tập thường gặp:
Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa
1.

Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = x 2 − 9 tại x0 = −1.

b) y = 2 x − 1 tại x0 = 5.

x2 + x
d) y =
tại x0 = 1.
x−2

e) y = x( x − 1)( x − 2)... ( x − 2008 ) tại x0 = 0.
1

c) y = sin 2 x tại x0 =

π
.
6


2.

Tính đạo hàm của các hàm số sau tại x0 .

a) y = x .
d) y = sin x.

1
b) y = .
x
e) y = cos x.

c) y = x n .
g) y = tan x.

Dạng 2. Mối quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số
• Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0 . Điều ngược lại không đúng.
3.

Cho hàm số f ( x) = x .
a) Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 = 0.
b) Tính đạo hàm trái, đạo hàm phải của hàm số tại x0 = 0. Từ đó suy ra hàm số không có
đạo hàm tại điểm x0 = 0.

4.

Chứng minh rằng hàm số y = x − 1 không có đạo hàm tại x = 1 nhưng liên tục tại điểm đó.

5.

1
 2
khi x ≠ 0
 x cos

.
x
Tìm f (0) của hàm số f ( x) = 
0
khi x = 0

6.

Tính đạo hàm của hàm số

'

a) y = ( x − 1) x − 3 .

2
b) y = x − 3 x + 2 .

2
c) y = x + 4 x + 3 .

Dạng 3. Tính đạo hàm của hàm số bằng công thức
7.

8.

9.

Tính đạo hàm của các hàm số sau đây
a) y = x 6 − 2 x + 2.

b) y = x 3 ( x 2 − 4).

d) y = ( x + 3) ( x − 1) .

2
3
3
e) y = ( 2 x + 1) ( 4 x − 2 x ) x . g) y = ( x 2 + 1)( x 3 + 2)( x 4 + 3).

c) y = x (2 x 2 − 1).

Tính đạo hàm của các hàm số sau
c) y =

1+ 9x
.
x +1

b) y =

2 − 3x
.
3x + a

c) y =

ax + b
.
a+b

d) y =

x 2 − 3x + 2
.
2x − 3

e) y =

x n x 2 m2
+ +
+
.
n x m2 x 2

g) y =

1
.
x − 2x
2

Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) ( x 2 − 2 x ) .
5

3

b) y = (x 3 − 2 x 2 + 1)11.

3


c) y =  2 − 2 ÷ .
x 


10. Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = x 4 − 3 x 2 + 7.
d) y =

1+ x
.
1− x

b) y = 1 − x 2 .
e) y =

x
1 − x2

11. Tính đạo hàm của các hàm số sau

2

.

c) y = x 2 − 3 x − 2.


b) y = 3 1 − 3x .

a) y = x x .

c) y =

x −3
.
x

12. Cho hàm số f ( x) = x 2 − 2 x − 8. Giải phương trình f '( x ) ≤ 1. Đáp số: x < −2.
Dạng 4. Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác
13. Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = 5sin x − 3cos x.
d) y =

b) y = sin( x 3 − x + 2).

sin x
x
+
.
x
sin x

e) y =

sin x + cos x
.
sin x − cos x

c) y = tan (cos x).

g) y = x cot( x 2 − 1).

14. Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = cos 2 (x 2 + 2x + 2).

b) y = tan 2 (3x 2 + 4x).

d) y = cot 3 2 x.

e) y = cot 3 1 + x 2 .

5
3
c) y = cot ( x ) .

15. Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = tan x .
16. a) Cho hàm số f ( x) =

b) y = cos 2 x .

c) y = 2 + 2 + 2 cos x .

cos x
π 
π 
. Tính giá trị của f '  ÷+ f '  ÷.
cos 2 x
6
3

1
b) Cho hai hàm số f ( x) = sin 4 x + cos 4 x và g ( x) = cos 4 x. So sánh f ' ( x ) và g ' ( x ) .
4
Dạng 5. Viết phương trình tiếp tuyến
17. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số
a) y = x 3 − 3 x 2 + 2 tại điểm M (−1, −2). Đáp số: y = 9 x + 7.
b) y =

3
5
x2 + 4x + 5
tại điểm có hoành độ x0 = 0. Đáp số: y = x + .
4
2
x+2

1
1
5
c) y = 2 x + 1 biết hệ số góc của tiếp tuyến là k = . Đáp số: y = x + .
3
3
3
18. Cho các hàm số y = x 3 + bx 2 + cx + d .
5
'1
a) Xác định b, c, d để hàm số đi qua các điểm A(1,3), B (−1, −3) và f  ÷ = . Đáp số:
3 3
b = 2 ,c = −1,d = 1.

b) Với kết quả tìm được ở trên, viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm có hoành
độ x0 = 1. Đáp số: y = 3x.
c) Với kết quả tìm được ở trên, giải phương trình f '(sin t ) = 3.
19. Cho hàm số y = x 3 − 5 x 2 + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) sao
cho tiếp tuyến đó
a) Song song với đường thẳng y = −3 x + 1.

Đs: y = −3 x − 7, y = −3 x +

3

67
.
27


b) Vuông góc với đường thẳng y =

1
x − 4.
7

Đs: y = −7 x + 5; y = −7 x +

c) Đi qua điểm A ( 0; 2 ) .

Đs: y = 2; y = −

103
.

27

25
x + 2.
4

20. a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tan x tại điểm có hoành độ x0 =
b) Tìm góc giữa trục hoành với tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

π
.
4

1
sin 3 x tại gốc toạ độ.
3

21. a) Cho hàm số y = f ( x) = − x 4 + 2 x 2 + x có đồ thị ( C ) . Chứng minh rằng tiếp tuyến của (C)
tại A(−1; 0) cũng là tiếp tuyến của (C) tại một điểm khác. Tìm toạ độ của các tiếp điểm đó.
Đs: (1; 2)
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

a2
tạo với các trục toạ độ một tam
x
Đs: 2a 2

giác có diện tích không đổi.
Dạng 6: Giải bất phương trình
22. Tìm m để f ' ( x) > 0 ∀x ∈ R, biết rằng f ( x) = x 3 + (m − 1) x 2 + 2 x + 1. Đs:

1 − 6 < m < 1 + 6.
23. Chứng minh rằng f ' ( x) > 0 ∀x ∈ R nếu
a) f ( x) = 2 x + sin x.
b) f ( x) =
24. Tìm

a

2 9
1
x2
x − x 6 + 2 x 3 − 3 x 2 + 6 x − 1. Đs: f ' ( x) = 6 x 2 ( x 6 − x 3 + ) + 3 x 2 + 6( − x + 1).
3
4
4
để

f ' ( x) > 0 ∀x ∈ R,

biết

1
f ( x ) = sin x − a sin 2 x − sin 3 x + 2ax.
3

f ' ( x) = 4sin 2 x(a + cos x) ⇒ a ≥ 1.
25. Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + mx − 3. Tìm m để
a) f '( x ) bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.

4

Đs: m = .
3

b) f '( x ) ≥ 0 với mọi x.

4
Đs: m ≥ .
3

c) f '( x ) < 0 với mọi x ∈ ( 0; 2 ) .

Đs: m ≤ −4.

d) f '( x ) > 0 với mọi x > 0.

4
Đs: m > .
3

26. Cho hàm số f ( x) = −

mx3 mx 2
+
− (3 − m) x + 2. Tìm m để
3
2

a) f '( x ) < 0 với mọi x.

Đs: 0 ≤ m <

4

12
.
5

Đs:


b) f '( x ) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Đs:

12
< m < 3.
5

c) Trong trường hợp f '( x ) có hai nghiệm, tìm hệ thức độc lập giữa hai nghiệm không phụ
thuộc vào m.

Đs: x1 + x2 = 1, với điều kiện m < 0 hoặc m ≥

5

12
.
5