Những sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

www.VIETMATHS.com

NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
-Nội dung:
I-Đònh nghóa giá trò lớn nhất giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
-Đònh nghóa 1:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh trên miền D .ta nói M là giá trò lớn nhất của f(x,y,…) trên D
nếu hai ĐK trên đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…) ≤ M với M là hằng số .
+Tồn tại x0,y0,…thuộc D sao cho f(x0,y0,…) = M
-Đònh nghóa 2:
Cho biểu thức f(x,y,…) xác đònh trên miền D .ta nói N là giá trò lớn nhất của f(x,y,…) trên D nếu
hai ĐK trên đây được thoã mãn :
+Với mọi x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…) ≥ với N là hằng số .
+Tồn tại x0,y0,…thuộc D sao cho f(x0,y0,…) = N
II_Các Hằng bất đẳng thức cần nhớ
1) a2 ≥ 0 Tổng quát a2k ≥ 0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
2) a2 ≤ 0 Tổng quát a2k ≤ 0 (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
3) {a{ ≥ 0 Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
4) –{a{ ≤ a ≤ {a{ Đẳng thức xẩy ra khi a = 0
5) {a+b{ ≤ {a{+{b{ Đẳng thức xẩy ra khi ab ≥ 0
6) a2+b2 ≥ 2ab Đẳng thức xẩy ra khi a = b
a+b
≥ ab .Với a,b ≥ 0(BĐT Cô si) Đẳng thức xẩy ra khi a= b
7)
2
1 1
8) a ≥ b , ab > 0 => ≤ Đẳng thức xẩy ra khi a= b
a b
a b

+ ≥ 2 Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b
9)
b a
1 1
4
10) + ≥
Với ab >0 Đẳng thức xẩy ra khi a= b
a b a+b
a b
= (BĐT Bu nhi a côp xki)
11) (am+bn)2 ≤ (a2+b2)(m2+n2) Đẳng thức xẩy ra khi
m n
III-Những sai lầm thương gặp trong giải toán cực trò:
1-sai lầm trong chứng minh ĐK 1:
1
VD1:Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức P = 2
x − 6 x + 17
Lời giải sai:
Phân thức tử thức có giá trò không đổi nên P có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất
Ta có :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 ≥ 8
1
Min(x2- 6x +17) = 8 <=> x = 3. Vậy MaxP = ⇔ x = 3
8
1


www.VIETMATHS.com
Phân tích sai lầm :Tuy đáp số không sai nhưng lập luận lại sai ,vì : “Phân thức tử thức có giá
trò không đổi nên P có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất” mà chư đưa ra nhận xét tử
và mẫu đều lànhững biểu thức có gioá trò dương.

Ta đưa ra một phản ví dụ:
1
1
Xét biểu thức A = 2
Với lập luận như trên: A = 2
“Phân thức tử thức có giá trò
x −4
x −4
không đổi nên A có giá trò lớn nhất khi mẫu có giá trò nhỏ nhất”Nghóa là A có giá trò lớn nhất
<=> x2 – 4 có giá trò nhỏ nhất .Mà x 2 – 4 có giá trò nhỏ nhất là -4 <=> x = 0 .Nên A có giá trò
1
1
lớn nhất là − <=> x =0 .Điều này không đúng .Vì − Không phải là giá trò lớn nhất của
4
4
1
1
biểu thức A .chẳng hạn với x =3 thì A = > −
5
4
2
2
≥
Lời giải đúng: Ta có :x - 6x +17 = (x-3) +8 8 .Tử và mẫu của P đều là biểu thức có giá trò
1
dương .=> P > 0 ,do đó P có giá trò lớn nhất <=>
Có gia 1trò nhỏ nhất <=> x 2- 6x +17 có giá
P
trò nhỏ nhất.
VD2:

Tìm giá trò nhỏ nhất của A = (x-1)2 + (x-3)2
Lời giải sai:ta có (x-1)2 ≥ 0(1) ; (x-3)2 ≥ 0(2) .Nên A có giá trò nhỏ nhất là 0.ta không thể kết
luận như vậy .vì không thể xẩy ra đẳng thức đồng thời của (1) và (2)
x y z
VD3: Tìm giá trò nhỏ nhất của A= + +
.Với x,y,z > 0
y z x
Lời giải sai:
Giả sử :x ≥ y ≥ z > 0 .=> x-z ≥ 0 => y(x-z) ≥ z (x-z) => xy-yz+z2 ≥ xz
x y
x y z
Chia hai vế cho số dương xz: Ta có : − + ≥ 1(1) .Mặt khác ,ta có + ≥ 2 (2).Cộng (1)
y x
z x x
x y z
với (2): + + ≥ 3.Vậy Min A = 3 <=> x = y = z
y z x
x y z
Phân tích sai lầm :Khi hoán vò vòng quanh thì A trở thành + + .Tức là biểu thức không
y z x
đổi .Điều đó cho phép tược giả sử x làsố lớn nhất (hoặc là số nhỏ nhất),nhưng không cho
phép giả sử x ≥ y ≥ z.Thật vậy sau khi chọn x là số lơn nhất (x ≥ y,x ≥ z) thì vai trò của y và z
x z y
lại không bình đẳng :giữ nguyên x thay y bỡi z thay z bỡi y ta được + + ,không bằng
z y x
biểu thức A.
(Ta đưa ra một ví dụ khác cho phép được giả sử x ≥ y ≥ z.Chẳng hạn :B = x2+
y2+z2+xy+xz+yz.Sau khi chọn x là số lớn nhất thì vai trò của y và z là bình đẳng :Giữ nguyên x
thay y bỡi z ,thay z bỡi y ta được : x2+ y2+z2+xy+xz+yz, vẫn bằng B)
Cách giải đúng :

Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương x,y,z:
x z y
x y z
≥ 33 . . = 3 .
A= + +
z y x
y z x
2


www.VIETMATHS.com
x z y
x y z
Do đó min( + + ) = 3Khi và chỉ khi: = = ,tức là x = y = z
z y x
y z x
x z y
y x
 x y  y z y
+ + =  +  +  + −  .Ta đã có : + ≥ 2 (Do x,y>0)Nên để
Cách 2:Ta có
z y x
x y
 y x  z x x
x y z
y z y
chứng minh + + ≥ 3 Chỉ cần chứng minh : + − ≥ 1 (1)
y z x
z x x
2

(1) <=> xy+z -yz ≥ xz(Nhân hai vế với số dương xz)
<=>xy+z2-yz-xz ≥ 0
<=>y(x-z)-z(x-z) ≥ 0
<=>(x-z)(y-z) ≥ 0(2)
(2)đúng với giả thiết rằng zlà số nhỏ nhất trong ba số x,y,z do đó (1) đúng .
x y z
Từ đó tìm được giá trò nhỏ nhất của + +
y z x
2
2
VD3:Tìm giá trò nhỏ nhất của A = x +y biết x+y =4
Lời giải sai:Ta có x2+y2 ≥ 2xy
Do đó A có giá trò nhỏ nhất <=> x2+y2=2xy <=>x=y=2 Khi đó MinA = 22+22= 8
Phân tích sai lầm :Đáp số không sai tuy nhiên lập luận sai lầm .Ta mới chứng minh f(x,y) ≥
g(x,y) Chứ chưa C/m được f(x,y) ≥ M Với M là hằng số .
Ta đưa ra một ví dụ :Với lập luận như trên từ bất đẳng thức đúng :x 2 ≥ 4x-4 sẽ suy ra :x2
nhỏ nhất <=> x2 = 4x-4<=> (x-2)2 = 0 <=> x=2 đi đến Min x2 = 4 <=> x=2
Dễ thấy kết quả đúng phải là minx2 = 0 Khi và chỉ khi x = 0
Cách giải đúng :Ta có x+y = 4 => x2+2xy+y2 = 16 (1)
Ta lại có (x-y)2 ≥ 0 => x2-2xy +y2 ≥ 0(2)
Từ (1) và (2) : 2(x2+y2) ≥ 16 => x2+y2 ≥ 8
Min A = 8 Khi và chỉ khi x= y= 2
2.Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
VD1:Tìm giá trò nhỏ nhất của A= x+ x
Lời giải sai:
2
1 1 
1
1
1


x
+
x
+
−
=
x
+
A= x+ x = 


 − ≥−
4 4 
2
4
4

1
Vậy MinA = −
4
Phân tích sai lầm :
1
1
Sau khi chứng minh f(x) ≥ − ,chưa chỉ trường hợp xảy ra f(x) = − .Xảy ra dấu bằng
4
4
1
khi và chỉ khi x = − ,vô lý .
2

Lời giải đúng :Để tôn tại x phải có x ≥ 0
Do đó A= x+ x ≥ 0
MinA = 0 Khi và chỉ khi x = 0
VD2:Tìm giá trò lớn nhất của A = xyz(x+y)(y+z)(z+x) Với x,y.z ≥ 0 và x+y+z = 1
2
Lời giải sai:Áp dụng bất đẳng thức 4ab ≤ (a + b) :
3


www.VIETMATHS.com
4(x+y).z ≤ ( x + y + z ) = 1
2
4(x+z).y ≤ ( x + y + z ) = 1
2
4(z+y).x ≤ ( x + y + z ) = 1
Nhân từng vế (do không âm)
64xyz(x+y)(y+z)(z+x) ≤ 1
1
Max A =
64
Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức .Điều kiện
 x+ y = z
 y+z = x
x = y = z = 0

1

để A =
là  z + x = y ⇔  x + y + z = 1 Mâu thuẫn
64

x + y + z = 1
 x, y , z ≥ 0


 x, y, z ≥ 0
2

Cách giải đúng :Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm :
1= x+y+z ≥ 3 xyz (1)
2= (x+y)+(y+z)+(z+x) ≥ 33 ( x + y )( y + z )( z + x) (2)
Nhân từng vế (1) với (2) (do hai vế đều không âm ):
 2
2≥ 9 A ⇒ A ≤  
9

3

3

3

1
2
Max A =   ⇔ x = y = z =
3
3
VD3:Tìm giá trò nhỏ nhất của A=

( x + a )( x + b )
x

với x > 0 ,a,b là các hằng số dương cho trước.

Lời giải sai:Ta có x+a ≥ 2 ax (1)
x+b ≥ 2 bx (2)
( x + a )( x + b ) 2 ax .2 bx
Do đó :
≥
= 4 ab .MinA = 4 ab ⇔ x = a = b
x
x
Phân tích sai lầm:Chỉ xẩy ra A = 4 ab Khi ở (1) và ở (2)xẩy ra dấu đẳng thức ,tức là x = a và
x = b.Như vậy đòi hỏi a= b .Nếu a ≠ b thì không có được A = 4 ab
Cách giải đúng :Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số :
( x + a )( x + b ) = x 2 + ax + bx + ab =  x + ab  + ( a + b )


A=
x
x
x 

ab
≥ 2 ab (bất đẳng thức côsi)
Ta lại có : x +
x
Nên A ≥ 2 ab + a + b = ( a + b ) 2
ab

x =

Min A = a + b ⇔ 
x ⇔ x = ab
 x > 0
VD4:Tìm giá trò nhỏ nhất của A= 2x+3y biết 2x2+3y2 ≤ 5
Lời giải sai:Gọi B= 2x2+3y2 ta có B ≤ 5

(

)

2

4


2

2

www.VIETMATHS.com

Xét A+B = 2x+3y +2x +3y
= 2(x2+x)+3(y2+y)

=2(x+1/2)2+3(y+1/2)2-5/4 ≥ −

5
(1)
4

Ta lại có B ≤ 5 nên -B ≥ -5
25
25
1
⇔x= y=−
Cộng (1)với (2):A ≥ −
minA = −
4
4
2
1
Phân tích sai lầm :Sai lầm ở chỗ với x= y= - ,chỉ có xảy ra dâu “=” ở (1),còn dấu “=” ở (2)
2
1
không xảy ra . Thật vậy với x = y = - thì :
2
2
2
1 3
 1
 1
B= 2  −  + 3 −  = + ≠ 5 .Do đó –B ≠ −5
2 4
 2
 2
Cách giải đúng:
Ta xét biểu thức phụ:A2 = (2x+3y)2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
2
2

2
2
2
Ta có : A2 = (2x+3y)2 = 2 . 2 x + 3. 3 y ≤  2 + 3   2 x + 3. y 



2
2
=(2+3)(2x +3y ) ≤ 5.5 = 25

(

A2 = 25 <=>

x 2

=

y 3

)

( ) ( ) (

⇔ x = y .Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ 5

2
3
x=y


⇔ x = y = −1
Min A = -5 ⇔ 
2 x + 3 y = −5
 x= y
⇔ x = y =1
Max A = 5 ⇔ 
2 x + 3 y = 5

5

) (

)