Chuyên đề Ôn thi ĐH: Số phức

Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
ChươngIV: Số PHỨC

Tiết thứ: 20

Ngày soạn.............................................
Ngày duyệt...........................................
Ngày dạy..............................................
Đ1: Số PHỨC (Tiết 1)
I. Mục tiêu:
+ Về kiến thức: Giúp học sinh :
- Hiểu được nhu cầu mở rộng tập hợp số thực thành tập hợp số phức.
- Hiểu cách xây dựng phép toán cộng số phức và thấy được các tính chất
của phép toán cộng số phức tương tự các tính chất của phép toán cộng
số thực.
+ Về kĩ năng: Giúp học sinh
- Biết cách biểu diễn số phức bởi điểm và bởi vectơ trên mặt phẳng phức.
- Thực hiện thành thạo phép cộng số phức.
+ Về tư duy và thái độ: tích cực hoạt động, có tinh thần hợp tác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
+ Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập.
+ Học sinh: Các kiến thức đã học về các tập hợp số.
III. Phương pháp: Thuyết giảng, gợi mở, vấn đáp, hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định tổ chức: Ổn định lớp, điểm danh.
2. Bài mới:
Hoạt động 1: Hình thành khái niệm số phức
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của häc sinh
HĐTP1: Mở rộng tập số phức từ tập số thực
H: Cho biết nghiệm của PT x2 – 2 = 0 trên tập Q?

Trên tập R?
Đ: PT vô nghiệm trên Q, có 2 nghiệm x = 2 , x =
- 2 trên R
GV: Như vậy một PT có thể vô nghiệm trên tập
số này nhưng lại có nghiệm trên tập số khác.
H: Cho biết nghiệm của PT x2 + 1 = 0 trên tập R?
Đ: PT vô nghiệm trên R.
Đ: PT x2 = - 1 = i2 có 2 nghiệm x = i và x = - i

1. Khái niệm số phức:

* ĐN1 : sgk

GV: Nếu ta đặt i2 = - 1 thì PT có nghiệm ?
Đ: PT vô nghiệm trên R, có 2 nghiệm x = 1 + 2i
và x = 1 – 2i trên C.
GV: Như vậy PT lại có nghiệm trên một tập số
mới, đó là tập số phức kí hiệu là C.
HĐTP2: Hình thành khái niệm về số phức
H : Cho biết nghiệm của PT (x-1)2 + 4 = 0 trên R?
Trên C?
GV: số 1 + 2i được gọi là 1 số phức => ĐN1: GV
1


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô

* Chú ý:
+ Số phức z = a + 0i = a ∈ R ⊂ C:
số thực

+ Số phức z = 0 + bi = bi: số ảo
+ Số 0 = 0 + 0i = 0i : vừa là số
thực vừa là số ảo.

giới thiệu dạng z = a + bi trong đó a, b ∈ R, i2 = 1, i: đơn vị ảo, a: phần thực, b: phần ảo.
H: Nhận xét về các trường hợp đặc biệt a = 0, b =
0?
H: Khi nào số phức a + bi =0?
Đ: b=0: z = a ∈ R ⊂ C
a =0: z = bi
Đ: a = 0 và b = 0
HS trả lời

ĐN2: sgk
Đ: a = a’ và b = b’
H: Xác định phần thực, phần ảo của các số phức
sau z = 3 + 2 i và z’ = - i?
H: Hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i bằng
nhau khi nào ?
=> ĐN2
Hoạt động 2: Biểu diễn hình học số phức
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
2. Biểu diễn hình học của số phức:
Ta đã biết biểu diễn số thực trên trục số ( trục Ox)
tương tự ta cũng có thể biểu diễn số ảo trên trục
y
Oy ⊥Ox. Mặt phẳng Oxy gọi là mặt phẳng phức.
M(z)
b

Một số phức z=a+bi được biểu diến hình học bởi
điểm M(a,b) trên mặt phẳng Oxy
H: Biểu diến các số sau:
a x
O
z=-2
z1=3i
z2=2-i
Hoạt động 3: Tiếp cận định nghĩa và tính chất phép cộng số phức
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
3. Phép cộng và phép trừ số phức:
H: z1=2-3i ; z2=-1+i
a. Phép cộng số phức:
Tính z1+z2=?
ĐN3: (sgk)
Đ: z1+z2=1-2i
b. Tính chất của phép cộng số phức:
sgk

H: Cho z=a+bi, z’=a’+b’i. Tính z+z’?
Đ: z+z’=a+a’+(b+b’)i
→ định nghĩa 3
H: Nhắc lại các tính chất của số thực?
Gv: số phức cũng có các tính chất tương tự số
2


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
thực

→ nêu các tính chất
Hoạt động 4: Bài tập vận dụng
Phiếu học tập:
Cho số phức z = 2-3i
a. Xác định phần thực, phần ảo
b. Biểu diến hình học số phức z
c. Xác định số đối của z và biểu diễn hình học trong mặt phẳng phức
4. Củng cố toàn bài: Nhắc lại các khái niệm số phức, biểu diễn hình học, phép cộng và
các tính chất
5. Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà: làm BT 1, 2, 3 trang 189 SGK, học
bài và xem bài mới
Tiết thø: 21

Ngµy so¹n.............................................
Ngµy duyÖt...........................................
Ngµy d¹y..............................................
§1 : Sè PHỨC (Tiết 2)

I. Mục tiêu:
+ Về kiến thức: Giúp học sinh :
- Hiểu cách xây dựng phép trừ số phức từ phép toán cộng.
- Hiểu cách xây dựng phép nhân số phức từ phép toán cộng và nhân các
biểu thức dạng a + bi.
- Thấy được các tính chất của phép nhân số phức tương tự phép nhân số
thực.
+ Về kĩ năng: Giúp học sinh thực hiện thành thạo phép trừ, nhân số phức.
+ Về tư duy và thái độ: tích cực hoạt động, có tinh thần hợp tác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
+ Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập.
+ Học sinh: Học bài cũ và làm bài tập ở nhà.

III. Phương pháp: Thuyết giảng, gợi mở, vấn đáp, hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định tổ chức: Ổn định lớp, điểm danh.
2. Kiểm tra bài cũ:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
H: Cho 2 số phức z = -2 + i, z’ = 1 – 3i
a. Tìm số đối của z’
b. Tính tổng z + (-z’)
Cho HS trình bày lời giải
Đ: - z’ = -1 + 3i
z + (-z’) = -2 + i + (-1) +3i = - 3 + 4i
GV: Nhận xét z + (-z’) = -2 + i + (-1) +3i = -2
+ i - (1-3i) = z – z’
=> ĐN hiệu 2 số phức
3. Bài mới:
Hoạt động 1:
Hoạt động của giáo viên
3. Phép cộng và trừ số phức:

Hoạt động của học sinh
3


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
c. Phép trừ 2 số phức:
* ĐN4: sgk’
* NX: Cho z = a + bi, z’ = a’ + b’i. Khi đó
z – z’ = a – a’ + (b – b’)i
GV đưa ra quy tắc tính hiệu 2 số phức

H: z = 2 - 3i, z’ = - 3 – i
Tính z -z’
Đ: z -z’ = 5 – 2i
Hoạt động 2: Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
NX: Cho điểm M(a;b) biểu diễn số phức z
= a + bi, khi đó vectơ u = OM = (a; b) cũng
biểu diễn cho số phức z = a + bi
H: Cho z = 2 -3i , z’= -1+2i
a. Tìm các vectơ u và u ' biểu diễn các
số phức z và z’.
b. Tìm tọa độ của vectơ u + u ' , u - u '
u (2;-3), u ' (-1;2)
và tính z + z’, z – z’
u + u ' = (1;-1)
H: NX gì về mối liên hệ giữa tọa độ u + u '
z + z’= 1 – i
và z + z’, u - u ' và z – z’
u - u ' = (3;-5)
z – z’ = 3 – 5i
KL: Nếu u và u ' biểu diễn cho số phức z
và z’ thì vectơ u + u ' , u - u ' biểu diễn cho
số phức z + z’, z – z’.
Hoạt động 3: Tiếp cận phép nhân số phức
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
4. Phép nhân số phức:
H: Cho z=a+bi, z’=a’+b’i. Tính z.z’=?
ĐN5: sgk

H: Tính z.z’ biết
1
zz’=aa’-bb’+(ab’+a’b)
a. z=2-5i, z’= +2i
Hs trình bày bảng
Lưu ý: k(a+bi)=ka+kbi
Lưu ý: Có thể dùng hằng đẳng thức để tính
giống như cộng, trừ, nhân, chia thông
thường

2

b. z=3-i, z’=3+i
Gv hướng dẫn học sinh lưu ý dùng hằng
đẳng thức a2-b2
H: Tính 3(2-5i)
→ Tổng quát hóa công thức k(a+bi)
H: Cho số phức z=a+bi
a. Tính z2
b. Tìm những đặc điểm của mặt phẳng
phức biểu diễn các số phức z sao cho
z2 là số thực?

Hoạt động 5: Tính chất của phép nhân số phức
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
4


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô

Tính chất của phép nhân số phức: sgk Đặt
i2=-1
z2+4=z2-4i2
=(z-2i)(z+2i)

VD: Hãy phân tích z2+4 thành nhân tử

Hs thực hiện
z2-4i2=z2-(2i)2
4. Củng cố toàn bài:
Nhắc lại các tính chất của phép nhân các số phức
5. Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà: BT sgk
Tiết thø: 22

Ngµy so¹n.............................................
Ngµy duyÖt...........................................
Ngµy d¹y..............................................

§1 : Sè PHỨC (Tiết 3)
I. Mục tiêu:
+ Về kiến thức: Giúp học sinh :
- Hiểu cách định nghĩa số phức liên hợp và 2 tính chất cơ bản liên quan
đến khái niệm này là số phức liên hợp của tổng, tích và mô đun của số
phức.
- Hiểu được định nghĩa và phép chia cho số phức khác 0.
+ Về kĩ năng: Giúp học sinh
- Biết xác định số phức liên hợp.
- Thực hiện thành thạo phép chia số phức.
+ Về tư duy và thái độ: tích cực hoạt động, có tinh thần hợp tác.

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
+ Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập.
+ Học sinh: Học bài cũ và làm bài tập ở nhà.
III. Phương pháp:
Thuyết giảng, gợi mở, vấn đáp, hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định tổ chức và kiểm tra bài cũ:
H1: Nêu các phép cộng, trừ, nhân số phức và các tính chất của các phép
toán trên
H2: Áp dụng tính (3-i)(1+2i)
2. Bài mới:
Hoạt động 1: Số phức liên hợp
Hoạt động của giáo viên
Định nghĩa: Số phức liên hợp của z=a+bi
với a,b∈R là a-bi kí hiệu là z
⇒ z = a + bi = a − bi

Hoạt động của học sinh
H:Tìm biểu thức liên hợp của a + b và a,
b∈R*
Đ: a + b có biểu thức liên hợp là a − b
Gv liên hệ đưa ra định nghĩa số phức liên
5


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
hợp
Cho ví dụ:
2 + 5i = 2 − 5i

Gọi hs cho vài ví dụ
Hoạt động 2: Làm H6 và H7 sgk
Hoạt động của giáo viên
z là số thực => z=a+0i=a
=> z = a-0i=a.
Ngược lại z= z tức là
a+bi = a-bi ⇔ b=0.
=> z là số thực
Hoạt động 3: Mô đun của số phức
Hoạt động của giáo viên
y

a

O

Hoạt động của học sinh
Vẽ hệ trục trục tọa độ:
uuuu
r
Ta có OM = a 2 + b 2 =

M(z)

b

Hoạt động của học sinh
GV: Gọi học sinh chứng minh số phức z là số
thực ⇔ z= z
Nhận xét và ghi bảng.

GV: Gọi học sinh chứng minh z z = a2 +b2

z. z .

x

Đưa ra định nghĩa .
Đưa ra ví dụ

Đn: SGK
z = a 2 + b2
Vd: i =1
1 − 2i = 5 .
Chú ý: z ∈ R => z là giá trị tuyệt đối.

z=0=> z =0
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh
Cho z = a + bi (a,b ∈ R) .

6. Phép chia cho số phức khác 0

z–1 =

a − bi
a − bi
1
1
= 2

=
=
2 =
z
a + bi (a + bi )(a − bi ) a + b

1
.z
z2
1
Đn: z ≠ 0 => z = 2 .z
z
z '.z
z'
–1
–1

Thương

z

=z’.z

=

z

2

Vậy z . z – 1 =

Cho ví dụ :

z. z
z

2

=1

2 + 2i −1 + 2 2i
=
3
2 − 2i
1
= −i
i

Hoạt động 5: Bài tập củng cố
Phiếu học tập:
Cho số phức z=2+3i, z’=2-3i
d. Tính, z , z ' , z.z '
6


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
e. Tìm Mô đun z, z’, z.z’
f. Tính

z z'
,

z' z

4. Củng cố toàn bài: Nhắc lại các khái niệm số phức, biểu diễn hình học, phép cộng và
các tính chất
5. Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà: làm BT còn lại trang 190, 191 SGK,
học bài và xem bài mới
Tiết thø: 23

Ngµy so¹n.............................................
Ngµy duyÖt...........................................
Ngµy d¹y..............................................
BµI TẬP §1 SỐ PHỨC

I.Mục tiêu:
+ Kiến thức:
- Hiểu được khái niệm số phức, phân biệt phần thực phần ảo của một số phức.
- Biết biểu diễn một số phức trên mặt phẳng phức.
- Hiểu ý nghĩa hình học của khái niệm mô đun và số phức liên hợp.
+Kĩ năng:
- Biết xác định phần thực phần ảo của một số phức cho trước và viết được số phức
khi biết được phần thực và phần ảo.
- Biết sử dụng quan hệ bằng nhau giữa hai số phức để tìm điều kiện cho hai số phức bằng
nhau.
- Biết biểu diễn tập hợp các số phức thỏa điều kiện cho trước trên mặt phẳng tọa độ.
- Xác định mô đun, số phức liên hợp của một số phức.
+Thái độ: Nghiêm túc, hứng thú khi tiếp thu bài học, tích cực hoạt động.
II.Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
+Giáo viên : Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập.
+Học sinh: làm bài tập trước ở nhà.
III.Phương pháp: Phối hợp các phương pháp gợi mở, nêu vấn đề, luyện tập, vấn đáp.

IV.Tiến trình bài học:
1.Ổn định tổ chức: 1/
2.Kiểm tra bài cũ kết hợp với giải bài tập.
3.Bài mới
HOẠT ĐỘNG 1: BT 2/189 sgk
Hoạt động của giáo viên
z = a + bi
a:phần thực
b:phần ảo

Hoạt động của học sinh
+GV: Gọi học sinh cho biết dạng của số
phức.Yêu cầu học sinh cho biết phần thực
phần ảo của số phức đó.
+Gọi một học sinh giải bài tập 2/189.
HD HS đưa về số phức dạng a + bi, lưu ý
i2 = -1
+Gọi học sinh nhận xét

7


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
HOẠT ĐỘNG 2: BT 5/190 sgk
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
1
z

3

i
2

Cho z = − +

+Trả lời

1
, z , z2 , z 3, 1+z+z2
z

Tính

+Trình bày

GV: Cho HS nhắc lại công thức:
1
1
= 2 .z
z
z
|z| = ?, z = ?

z–1 =

+Nhận xét

+ Nhận xét bài làm.
HOẠT ĐỘNG 3: BT 12/191 sgk
Hoạt động của giáo viên

Xác định tập hợp các điểm trong mp phức
biểu diễn các Cho z = a + bi. Tìm z , z
+z = a + bi
+ z = a2 + b2
+ z = a − bi
+ Gọi hai học sinh giải bài tập 4a,c,d và bài
tập 6
+ Nhận xét bài làm
+ Phát phiếu học tập 1

+Trả lời
+Trình bày
+Trả lời

HOẠT ĐỘNG 4
Hoạt động của học sinh

Hoạt động của giáo viên

+ Nhắc lại cách biểu diễn một số phức trên
mặt phẳng và ngược lại.
+Biểu diễn các số phức sau
Z = -2 + i , z = -2 – 3i , z = -2 + 0.i

M at h Composer 1. 1. 5
ht tp: / / www. mathcomposer. com

5

Hoạt động của học sinh

+Biểu diễn

+Nhận xét quĩ tích các điểm biểu diễn.

y

M

4
3

+ Vẽ hình

2
1
-5

-4

-3

-2

-1

x
1

2

3

4

5

-1
-2
-3
-4
-5

8


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
+Yêu cầu nhận xét các số phức trên

+Trình bày

+ Yêu cầu nhận xét quĩ tích các điểm biểu
diễn các số phức có phần thực bằng 3.
+Nhận ra a 2 + b 2 = 1 là phưong trình
đương tròn tâm O (0;0), bán kính bằng 1.

Math Composer 1. 1. 5
htt p: / / www. mat hcomposer . com

5

y

4
3

+Trình bày

2
1
-5

-4

-3

-2

-1

x
1

2

3

4

5

-1
-2
-3
-4
-5

+Yêu cầu học sinh làm bài tập 3c.
+Gợi ý giải bài tập 5a.
z = 1 ⇒ a2 + b2 = 1 ⇒ a2 + b2 = 1

+Yêu cầu học sinh giải bài tập 5b
+Nhận xét, tổng kết

•
•

Củng cố: Hướng dẫn bài tập còn lại
Phụ lục: Phiếu học tập 1:
Câu 1: cho z = − 2 − i . Phần thực và phần ảo lần lược là
A. a = − 2 ; b = 1
B. a = − 2 ; b = −1 C. a = 2 ; b = 1
3
3
,phần ảo bằng là
4
2
3 3
3 3
3 4

A. z = −
B. z =
C. z = −
− i
− i
+ i
2 4
2 4
2 3
Câu 3: z1 = 3m + i ; z 2 = n − mi . Khi đó z1 = z 2 khi

D. a = 2 ; b = −1

Câu 2: Số phức có phần thực bằng −

A. m = -1 và n = 3 B. m = -1 và n = -3 C. m = 1 và n = 3
Câu 4: Cho z = −1 + 2i . z , z lần lượt bằng
A. 5 , − 1 − 2i
Tiết thø: 24

B. − 5 , − 1 − 2i

C. 2 , − 1 + 2i

D. z = −

3 3
− i
2 4

D. m = 1 và n = -3
D. 5 , − 1 + 2i

Ngµy so¹n.............................................
Ngµy duyÖt...........................................
Ngµy d¹y..............................................
LUYỆN TẬP SỐ PHỨC

I. Mục tiêu:
+ Về kiến thức: Giúp học sinh :
- Ôn lại kiến thức lý thuyết về số phức đã học
9


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
- Làm được các bài tập sách giáo khoa.
+ Về kĩ năng:
- Rèn cho học sinh kĩ năng thực hiện các phép tính với số phức.
+ Về tư duy và thái độ:
- Tích cực hoạt động, có tinh thần hợp tác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
+ Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập.
+ Học sinh: Các kiến thức đã học về các tập hợp số.
III. Phương pháp: Thuyết giảng, gợi mở, vấn đáp, hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định tổ chức: Ổn định lớp, điểm danh.
2. Kiểm tra bài cũ: (5’)
Câu hỏi: cho z = - 2 + 3i
Hãy tính : 1+z+z 2 , z 2
GV gọi HS lên bảng giải.

GV nhận xét và cho điểm.
3. Bài mới:
Hoạt động 1: giải bài tập 10 ( chứng minh )
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
GV ghi đề bài tập 10
LUYỆN TẬP
GV nhắc lại nhận xét:
Bài10.CMR ∀ số phức z ≠ 1:
z'
=w ⇔ zw = z’
z

1+z+z 2 +..+z 9 =

Gọi HS nêu hướng giải
Gọi HS lên bảng giải

z 10 − 1
z −1

Giải:
(1+z+z 2 +..+z 9 )(z-1)
(1+z+..+z 9 )
= z 10 - 1
⇔ 1+z+z 2 +..+z 9 =

GV nhận xét và kết luận

= z+z 2 +..+z 10 -

z 10 − 1
z −1

Hoạt động 2 : giải bài tập 11 ( hỏi số sau là số thực hay số ảo , với số phức z tùy ý )
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
GV ghi đề bài tập 11 a,c
Bài 11 :
 z' 
z

GV cung cấp cho HS   =

z'
z

a)

()

Từ z.z ' = z . z ' , gọi HS nhận xét z

2

2

=?

GV: làm sao biết số phức có thể là số thực

hay số ảo?
GV: gọi 2 HS lên tìm số phức liên hợp
GV: gọi HS nhận xét lại
GV: giảng giải và kết luận
GV: gọi HS nêu hướng giải quyết câu b và
nêu pp giải để HS về nhà giải

2
2
z 2 + z = z +z
= z 2 + z2
⇒ z 2 + z 2 là số thực

c)
 z2 − z2

 1 + z.z


 z2 − z2
=

 1 + z. z

2

2

z − z2
z2 − z

=
=1 + z. z
1 + z. z
2

2
⇒ z − z là số ảo
1 + z. z

10


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô

Hoạt động 3: giải bài tập 12 ( xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các
số phức z
thỏa mãn các điều kiện
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
GV: ghi đề bài tập 12 a,d
Bài 12:
GV: số phức z = a+bi thì số phức z 2 = ?
a) z 2 là số thực âm
GV: vậy z 2 là số thực âm thì a,b có điều kiện
a 2 − b 2 < 0
⇔
gì ?
ab = 0
GV: gọi HS1 lên bảng giải.
⇔ a = 0 và b ≠ 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là
1
GV: để
là số ảo thì ?
trục Oy trừ điểm O(0;0)
z −i

GV: gọi HS2 lên bảng giải
GV: gọi HS nhận xét
GV: giảng giải và kết luận
GV: tt câu a, nếu z 2 là số thực dương hay số
phức thì ntn ?
GV: kết lại pp cho HS về tự làm

1
là số ảo
z −i
⇔ z-i là số ảo và z ≠ i
⇔ z là số ảo và z ≠ i

d)

Vậy tập hợp các điểm bd số phức z là trục ảo
trừ điểm I(0 ;1)

Hoạt động 4 : giải bài tập 13 ( giải phương trình ẩn z )
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
GV ghi đề bài tập 13 a,b,d
Bài 13: giải phương trình

GV gọi HS nêu cách giải a
a) iz + 2 – i = 0
⇔ iz = -2 + i
− 2 + i i ( −2 + i )
GV: làm sao để khử i dưới mẫu
⇔z=
=
GV: gọi HS lên bảng
i
i2
= 1 + 2i
GV: gọi HS nêu pp giải b
GV: lưu ý HS nhân mẫu 1+3i với liên hợp
của nó là 1-3i để rut gọn số phức
GV: gọi HS nêu pp giải d
GV: gọi HS lên bảng giải b,d
GV: gọi HS nhận xét bài làm của các bạn
GV: giảng giải lại và kết luận.

b) (2+3i)z = z – 1

⇔ (1+3i)z = - 1
− (1 − 3i )
−1
⇔ z=
=
1 + 3i (1 + 3i )(1 − 3i )
− 1 + 3i
=
10

1
3
= - + i d)(iz-1)(z+3i)( z -2+3i)=0
10 10
iz − 1 = 0

⇔  z + 3i = 0
 z − 2 + 3i = 0

 z = −i
 z = −i

⇔  z = −3i ⇔  z = −3i
 z = 2 − 3i
 z = 2 + 3i


4. Củng cố toàn bài: ( 2’)
11


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
GV nhắc lại :
+ nếu z = z thì zlà số thực ; nếu z = - z thì z là số ảo
+nhắc lại về cách giải phương trình ẩn z
5. Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà: làm phần còn lại BT 11,12,13 và
BT14,15,16 SGK, học bài và xem bài mới
Tiết thø: 25

Ngµy so¹n.............................................

Ngµy duyÖt...........................................
Ngµy d¹y..............................................
§2 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI( tiết

1)
I. Mục tiêu:
+ Về kiến thức: Giúp cho HS
- Hiểu được ĐN căn bậc hai của số phức;
- Biết cách đưa việc tìm căn bậc hai của số phức về việc giải một hệ phương trình
hai ẩn thực;
- Biết cách giải một phương trình bậc hai.
+ Về kỹ năng: Giúp cho HS
- Tìm được căn bậc hai của số phức;
- Giải được PTB2 với hệ số phức;
+ Về tư duy và thái độ:
- Có tư duy logic;
- Có tính độc lập và hợp tác trong giờ học.
II. Chuẩn bị của GV và HS:
GV: giáo án; SGK;....
HS: SGK.
III. Phương pháp: Sử dụng lồng ghép các phương pháp một cách linh hoạt trong
bài dạy như: gợi mở vấn đề, thuyết trình, vấn đáp, ...; trong đó gợi mở vấn đề giữ vai trò
chủ đạo trong giờ học.
IV. Tiến trình bài học:
1. Ổn định tổ chức lớp học:1ph
2. Kiểm tra bài cũ:(7ph)
Câu hỏi: Trình bày các định nghĩa: Số phức, hai số phức bằng nhau, số phức liên hợp.
1
2

Bài tập: Tính z 2 với z = − +

3
i
2

3. Bài mới: Các em đã được học căn bậc hai của số thực a dương. Hôm nay chúng ta
đi tìm hiểu ĐN căn bậc hai của số phức và những ứng dụng của nó.
Hoạt động 1 :
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
1. Căn bậc hai của số phức:
+ Hs nghe đọc ĐN, đọc lại ĐN , tiếp thu
ĐN: (SGK tr192)
và ghi nhớ.
+ Căn bậc hai của 0 là 0;
+ VD Dựa vào ĐN, hãy tìm căn bậc hai
Căn bậc hai của 9 là 3 và -3;
của số thực w với w bằng 0; 9; -4.
Căn bậc hai của -4 là 2i và -2i;
+ HS thảo luận theo từng bàn, nhóm.Từ đó
12


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
khái quát hoá cho trường hợp số thực
w≠0.
* Với số thực w = a > 0 .ta có
a) Trường hợp w là số thực:
* Với w = a < 0 Xét phương trình

z2 − a = 0 .

z 2 − a = 0 ⇔ ( z − a )( z + a ) = 0
⇔ z = a; z = − a

Như vậy z có hai căn bậc hai là
* Với số thực w = a < 0 .ta có

a ;− a

z 2 − a = 0 ⇔ ( z − − ai )( z + − ai ) = 0
⇔ z = − a i; z = − − a i

* Với w = a < 0 . Hãy xét phương trình
z2 − a = 0 .

Như vậy z có hai căn bậc hai là
− ai;− − ai

+ HS đọc Vd và sau đó trả lời.
+ HS nhận thức vấn đề cần nghiên cứu.
Hoạt động 2: Tìm hiểu căn bậc hai của số phức w = a + bi; (a,b ∈ R; b ≠ 0)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
a) Trường hợp w là số phức với
w = a + bi; (a,b ∈ R; b ≠ 0)

+ z là căn bậc hai của w khi và chỉ khi
x 2 − y 2 = a
z 2 = w ⇔ ( x + yi ) 2 = a + bi ⇔ 

2 xy = b

+ HS hiểu cách tìm căn bậc hai của số
phức sau khi GV đã kết luận và ghi bảng.
Hoạt động 3: Xét VD 2 và phần ghi nhớ
Hoạt động của GV
VD2: SKG tr193
a) Tìm căn bậc hai của số phức w =
-5+12i

Hoạt động của HS
+ Hs nghiên cứu VD và làm theo định
hướng của GV.
+ Gọi z = x + yi là căn bậc hai của số phức
w = −5 + 12i khi đó ta có:
 x = ±2

( x + yi ) = −5 + 12i ⇔ 
6
 y = x
2

b) Tìm căn bậc hai của số i.

Hệ có hai nghiệm (2;3), (-2;-3)
Vậy , hệ có hai căn bậc hai của -5+12i là
2+3i và -2-3i
+ Hs đọc sách

V. Củng cố bài học:2ph

- GV nhắc lại cách tìm căn bậc hai của số phức.
- Yêu cầu HS hoàn thành bài 17;18 sgk tr195,196
- Đọc phần 2 của bài này.
13


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
Tiết thø: 26

Ngµy so¹n.............................................
Ngµy duyÖt...........................................
Ngµy d¹y..............................................
§2 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

( tiết 2)
Hoạt động 1 :Nghiên cứu cách giải PTB2
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
2. Phương trình bậc hai:
+ HS nhận nhiệm vụ và làm việc theo
(SGK tr193)
định hướng của GV.
+ PTB2 ẩn phức luôn có hai nghiệm (có
thể trùng nhau)
Hoạt động 2 :Rèn luyện kỹ năng giải PTB2
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS
+ HS trả lời.

VD3:
a). GPT: z 2 − z + 1 = 0
+ ∆ = −3
b) GPT: z 2 + ( −2 + i) z − 2i = 0
Hoạt động 3 :Hướng dẫn HS xét H2 ở SGK
Hoạt động của GV
VD4: Cho PT
Az 2 + Bz + C = 0 . Với A,B,C là các số
thực và A khác 0. Chứng mnh rằng
z 0 ∈ C là 1 nghiệm của PT thì z 0 cũng
là 1 nghiệm của phương trình.

+ z=

1 − 3i
1 + 3i
;z =
2
2

Hoạt động của HS
+ ∆ = B − 4 AC
+ a-bi
2

−B− ∆
−B+ ∆
; z2 =
2A
2A

+ z1 = z1 ; z 2 = z 2

+ z1 =

− B + − ∆i
− B − ∆i
; z2 =
2A
2A
⇒
HS sử dụng số liên hợp đpcm

+ z1 =

+ z1 = z 2 =

−B
2A

+ Tiếp thu và chấp nhận kết quả này.
•
a)
b)
-

CỦNG CỐ BÀI HỌC:8ph
Về kiến thức: Nắm cách tìm căn bậc hai của số phức và các tiến hành giải PTB2
Dặn dò:
Học thuộc ĐN, Đlí
Giải Bt SGK

14


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
-

Giải thêm các bài tập:Giải PT
z3 + 8 = 0
z 4 + 2z 2 + 4 = 0

Tiết thø: 27

Ngµy so¹n.............................................
Ngµy duyÖt..........................................
Ngµy d¹y..............................................
LUYỆN TẬP §2 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I. Mục tiêu:
+ Về kiến thức: Khi học xong phần này, học sinh hiểu rõ hơn về căn bậc hai của
số phức cũng
như cách giải phương trình bậc hai trên tập số phức
+ Về kĩ năng: Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về tìm căn bậc hai của số phức và
kỹ năng giải phương trình bậc hai trên tập số phức
+ Về tư duy và thái độ: tích cực hoạt động, có tinh thần hợp tác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
+ Giáo viên: Giáo án và các tài liệu liên quan
+ Học sinh: Các kiến thức đã học về định nghĩa căn bậc hai của số phức và công
thức nghiệm của phương trình bậc hai trên tập số phức
III. Phương pháp: Thuyết giảng, gợi mở, vấn đáp

IV. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định tổ chức: Ổn định lớp, điểm danh.
Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi 1:
Hoạt động của giáo viên
+ Căn bậc hai của -5 là 5 i và - 5 i vì ( 5 i)2=
-5 và
(- 5 i)2= -5
+Gọi x+yi (x,y ∈ R) là căn bậc hai của số phức
3 + 4i ta có:
(x + yi)2 =3 + 4i
x 2 − y 2 = 3
⇔
2 xy = 4

Hoạt động của học sinh
+Hỏi: Định nghĩa căn bậc hai của
số phức, tìm căn bậc hai của các
số phức: -5 và 3+4i

+GV Hướng dẫn HS giải hệ phương
trình bằng phương pháp thế

Hệ trên có hai nghiệm là
x = 2
 x = −2
và 

y = 1
 y = −1

Vậy có hai căn bậc hai của
3+4i là :2+i và -2-i

+Nhận xét ghi điểm và hoàn chỉnh

Câu hỏi 2:
Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

15


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
bài tập 23a, 23c
1
PT: z+ =k ⇔ z 2 − kz + 1 = 0, z ≠ 0
z
a. Với k= 1 thì ∆ = -3

Vậy phương trình có các nghiệm là: z =
và
z=

1 − 3i
2

1 + 3i
2

+GV Hỏi: Nêu công thức nghiệm
của phương trình Az2 +Bz +C = 0,
với A, B, C là các số phức và A
khác không. Áp dụng làm bài tập
23a, 23c
+Đưa pt đã cho về phương trình bậc
hai và lập biệt thức ∆
+Kết luận nghiệm ứng với mỗi giá
trị của k

c. Với k = 2i thì ∆ = -8
Vậy phương trình có các nghiệm là:
z = (1 + 2 )i , z = (1 − 2 )i
3. Bài mới:
Hoạt động 1: Giải bài tập 24/199
- HĐTP 1:Gọi HS lên bảng giải bài tập 24a
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
3
a. z + 1 = 0
+ a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
⇔ ( z + 1)( z 2 − z + 1) = 0
+Tìm nghiệm phức các pt:
z + 1 = 0
⇔ 2
z+1 = 0 và z 2 − z + 1 = 0
z − z + 1 = 0
• z+1=0 ⇔ z = −1
• z2 − z +1 = 0


1 + 3i
z =
2
⇔ 

1 − 3i
z =

2
Các nghiệm của pt là:
z1 = −1, z 2 =
z3 =

1 + 3i
,
2

1 − 3i
2

+Biểu diễn các nghiệm trên mặt phẳng phức

HĐTP 2: Gọi HS lên bảng làm bài tập 24d
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
4
3
d. 8 z + 8 z = z + 1

+Biến đổi phương trình đã cho để có thể sử
⇔ 8 z 3 ( z + 1) = z + 1
dụng công thức nghiệm của pt bậc hai
⇔ ( z + 1)(8 z 3 − 1) = 0
+ Tìm các nghiệm phức của các pt:
1
⇔ ( z + 1)( z − )(8 z 2 + 4 z + 2) = 0
2
• z + 1= 0 ⇔ z = -1
1
1
• z− =0⇔z=
2
2
2
• 8z + 4z + 2 = 0

z + 1 = 0, z −

1
= 0, 8 z 2 + 4 z + 2 = 0
2

16


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô

− 1 + 3i
z =

4
⇔

− 1 − 3i
z =
4


Vậy các nghiệm của pt là:
1
− 1 + 3i
z1 = −1, z 2 = , z 3 =
2
4
− 1 − 3i
z4 =
4

-

+Biểu diễn các nghiệm trên mặt phẳng phức

Hoạt động 2: Giải bài tập 25/199
HĐTP 1:Gọi HS lên bảng giải bài tập 25a
Hoạt động của giáo viên
bài tập 25a. Tìm các số thực b, c để pt (ẩn z)
z 2 + bz + c = 0 (a) nhận z =1+i làm một
nghiệm
Giải:
Vì 1+i là một nghiệm của (a) nên:

(1 + i ) 2 + b(1 + i ) + c = 0; b, c ∈ R
⇔ (b + c ) + (2 + b)i = 0

Hoạt động của học sinh

+Phát hiện được 1 + i thỏa pt (a)

b + c = 0

2 + b = 0
b = −2

c = 2

- HĐTP 2:Gọi HS lên bảng giải bài tập 25b
Hoạt động của giáo viên
b. Tìm các số thực a, b, c để pt (ẩn z)
z 3 + az 2 + bz + c = 0 (b)
nhận z =1+i làm nghiệm và cũng nhận z
= 2 làm nghiệm
Giải:
*Vì 1+i là nghiệm của (b) nên:

Hoạt động của học sinh

+Phát hiện được 1 + i và 2 đều thỏa pt (b)

(1 + i ) + a (1 + i ) + b(1 + i ) + c = 0 (a, b, c ∈ R )
⇔ b+c-2+(2+2a+b)i = 0
b + c − 2 = 0 (1)

⇔
2 + 2a + b = 0 ( 2)
3

2

*Vì 2 là nghiệm của (b) nên:
8 + 4a + 2b + c = 0 (3)

Giải hệ (1), (2), (3) ta được
a= -4, b = 6, c = -4
Hoạt động 3:Giải bài tập 26/199
- HĐTP 1:Gọi HS lên bảng giải bài tập 26a
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh

17


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
a. Đề:SGK
Giải:
*Với mọi số thực ϕ ta có:
(cos ϕ + i sin ϕ ) 2
= cos 2 ϕ − sin 2 ϕ + i 2 sin ϕ cos ϕ
= cos 2ϕ + i sin 2ϕ
Suy ra các căn bậc hai của
cos 2ϕ + i sin 2ϕ là: cos ϕ + i sin ϕ và – (
cos ϕ + i sin ϕ )
*Gọi x + yi là căn bậc hai của

cos 2ϕ + i sin 2ϕ (x, y ∈ R)ta có:
( x + yi ) 2 = cos 2φ + i sin 2φ

+Khai triển (cos ϕ + i sin ϕ ) 2

+Giải theo cách trong bài học
+Giải hệ (*)
+So sánh hai cách giải

⇔ x 2 − y 2 + 2 xyi = cos 2φ + i sin 2φ
 x 2 − y 2 = cos 2φ
⇔
2 xy = sin 2φ
 x 2 − y 2 = cos 2 φ − sin 2 φ
⇔
(*)
 xy = sin φ cos φ
  x = cos φ

  y = sin φ
  x = − cos φ

  y = − sin φ

Suy ra các căn bậc hai của
cos 2ϕ + i sin 2ϕ là cos ϕ + i sin ϕ
và – ( cos ϕ + i sin ϕ )
- HĐTP 2:Gọi HS lên bảng giải bài tập 26b
Hoạt động của giáo viên
b.Tìm các căn bậc hai của

2
(1 − i ) bằng
2

hai cách nói ởcâu a.
Giải:
+ Cách 1:
Ta có

2
π
π
(1 − i ) = cos 2(− ) + i sin 2(− )
2
8
8

Theo kết quả câu a ta có các căn bậc hai
π
π
2
của
(1 − i ) là: cos(− ) + i sin( − ) và
8

2

Hoạt động của học sinh

+Biến đổi đưa
cos 2ϕ + i sin 2ϕ

2
(1 − i ) về dạng
2

+Áp dụng kết quả câu a

8

π
π 

- cos(− ) + i sin( − ) 


8

8 

1
2

Hay: ( 2 + 2 − i 2 − 2 ) và
1
2

- ( 2+ 2 −i 2− 2)
+Cách 2:

+Giải theo cách 2
18


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
Gọi x + yi là căn bậc hai của
2
π
π
2

(1 − i ) = cos 2(− ) + i sin 2(− ) ; x,y ∈ R
8
8

Theo kết quả câu a ta có :

π
π

+Áp dụng kết quả câu a

 x = cos(− 8 ) = cos 8

 y = sin( − π ) = − sin π

8
8


 x = − cos(− π ) = − cos π

8
8

 y = − sin( − π ) = sin π
8
8


Suy ra các căn bậc hai của

2
(1 − i ) là:
2

π
π
cos(− ) + i sin( − ) và
8
8
π
π 

- cos(− ) + i sin( − ) 
8
8 

1
Hay: ( 2 + 2 − i 2 − 2 ) và

2
1
- ( 2+ 2 −i 2− 2)
2

4. Củng cố toàn bài:1 phút
- Khắc sâu định nghĩa căn bậc hai của số phức
- Hiểu và nhớ phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập số phức
- Biết biến đổi phương trình có bậc lớn hơn 2 để có thể áp dụng được lí thuyết của
phương trình bậc hai
5. Hướng dẫn học bài ở nhà: Đọc kỹ các bài tập đã giải, làm các bài tập còn lại
và xem bài mới
Tiết thø: 28+29

Ngµy so¹n.............................................
Ngµy duyÖt...........................................
Ngµy d¹y..............................................
§3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC & ỨNG DỤNG

-

I/ Mục tiêu :
+ Về kiến thức : Giúp học sinh
Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức
Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức
Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác
Biết công thức Moa – vrơ và ứng dụng của nó
+ Về kĩ năng :
Biết tìm acgumen của số phức
Biết biến đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác của số phức

19


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
-

Biết tính toán thành thạo phép nhân,chia số phức dạng lượng giác
Sử dụng được công thức Moa – vrơ và ứng dụng tìm sin3a , cos3a
+ Về tư duy và thái độ:
- Rèn luyện tư duy lô gíc giữa số thực và số phức
- Biết qui lạ về quen trong tính toán
Thái độ :
- thấy được cái hay của số phức thông qua ứng dụng và thực tiễn
- Rèn luyện tính cẩn thận , hợp tác trong học tập
II/ Chuẩn bị :
+ Giáo viên: Máy tính cầm tay + Bảng phụ vẽ các hình biểu diễn số phức.
+ Học sinh : Xem trước bài dạy và chuẩn bị các câu hỏi cần thiết.
Chuẩn bị MTCT
III/ Phương pháp: Phương pháp gợi mở + vấn đáp + Nêu và giải quyết vấn đề
đan xen hoạt động nhóm.
IV/ Tiến trình:
1/ Ổn định tổ chức: Ổn định lớp, điểm danh
2/ Kiểm tra bài cũ : (5 phút)
Câu hỏi: Giải phương trình bậc 2 sau trên C:
z2 + 2z + 5 = 0 (1)
Gọi 1 học sinh lên bảng giải; cả lớp theo dõi.
(1) ⇔ (z + 1)2 = - 4 . Vậy z = - 1 ± 2i
Cho 1 học sinh nhận xét.
Giáo viên nhận xét , chỉnh sửa và đánh giá cho điểm.
3/Bài mới:

Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
1/ Số phức dưới dạng lượng giác:
HĐ1: Acgumen của số phức z ≠ 0
a/ Acgumen của số phức z ≠ 0
- Nêu định nghĩa 1:
ĐN 1:
Cho số phức z ≠ 0.
Gọi M là điểm trong mp phức biểu diễn số H1?: Số phức z ≠ 0 có bao nhiêu
phức z. Số đo (rad) của mỗi góc lượng
acgumen ?
giác tia đầu 0x,tia cuối 0M được gọi là
một acgumen của z
1/Một học sinh quan sát trên hình vẽ nhận
xét trả lời.
ϕ là 1acgumen của z thì mọi acgumen
Chú ý: (SGK )
của z có dạng: ϕ + k2 π .
Tóm tắt lời giải VD1
Nêu VD1(SGK)
a/ Tìm acgumen của số thực dương tùy ý.
b/ Tìm acgumen của số thực âm tùy ý.
a/ Một acgumen là :
ϕ =0
c/ Tìm acgumen của số 3i, -2i, 1 + i.
Dùng hình vẽ minh họa và giải thích.
b/ Một acgumen là:
ϕ =π
HĐ2: Cho HS giải:
1 học sinh trả lời

Biết số phức z ≠ 0 có 1acgumen ϕ ; Hãy
π −π π
, .
c/ ,
tìm 1 acgumen của mỗi số phức sau:
2 2 4
1
− z ; z;− z; .
z

Gợi ý: Dùng biểu diễn hình học của số
phức để tìm acgumen của nó.
20


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô

Tóm tắt lời giải của HĐ2
  −π 
 − π 
 + i sin 

2 cos

 3 
  3 
1
1
=
z

z
1
1
1
( a − bi )
=
= 2
z a + bi a + b 2
1
1
1
⇒ =
=
2
2
z
z
a +b

b/ Dạng lượng giác của số phức:
z = r(cos ϕ + i sin ϕ ),
trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác
của số phức z ≠ 0.Còn dạng
z = a + bi(a,b ∈ R ) được gọi là dạng đại số
của số phức z

Tóm tắt các bước tìm dạng lượng giác của
số phức z = a + bi
1/ Tìm r
2/ Tìm ϕ

Tóm tắt lời giải VD2

Cho 2 HS đứng tại chỗ trả lời:
HS 1: z biểu diễn bởi OM thì –z bởi
OM nên có acgumen là: ϕ + ( 2k + 1)π
HS 2: - z có:
- ϕ + ( 2k + 1)π

-

1
1
1
=
z = 2 z có cùng acgumen với z
z z. z
z

HĐ1: Từ hình vẽ giáo viên dẫn dắt đến
định nghĩa 2
H? Để tìm dạng lượng giác của số phức
z = a + bi khác 0 ta cần làm những bước
nào?
Nêu VĐ2: ( SGK )
Cho cả lớp giải sau đó gọi từng HS trả lời.
Gợi ý: Tìm r, ϕ .
Nêu chú ý ( SGK )
Nêu VĐ3: ( SGK )
(Hướng dẫn đọc VĐ3)

Tóm tắt lời giải hoạt động 2.
HĐ2:
Cho z = r(cos ϕ +isin ϕ ) (r > 0). Tìm
môđun và acgumen của
dạng lượng giác của

Vậy

1 1
= [ Cos(−ϕ ) + i sin(−ϕ )]
2 r

gọi 3 HS trả lời

2/ Nhân và chia số phức dưới dạng LG
ĐL (sgk)
Tóm tắt lời giải vd4

1
từ đó suy ra
z

1
z

HĐ3: Củng cố T1
H1: acgumen của số phức
H2: Dạng LG của z
H3: Nêu các bước biễu diễn số phức z = a
+ bi

Từ HĐ2 ⇒ ĐL
hướng dẫn HS c/m ĐL
tìm z.z’ = ?
21


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
π
π
+ i sin )
4
4
π
π
3 + i = 2 (cos + i sin )
6
6
1+ i
π
π
2
(cos + i sin )
=
12
12
3+i
2

z
1

= z '.
z'
z

1+i = 2 (cos

3/ Công thức Moa-vrơ và ứng dụng :
a/Công thức
Moa- vrơ(SGK)
r(cos ϕ + i sin ϕ )n=
rn(cosn ϕ +isinn ϕ )(1+i)5 = (
π
π
2 (cos + i sin ) )5
4
5π
5π
= ( 2 )5 (cos + i sin )
4
4
2
2
=4 2 ()
−i
2
2

HĐ2 Nêu vd4
Tìm

1+ i

3+i

H? Thực hiện phép chia này dưới dạng
đại số
HĐ1 : Nêu công thức Moa- vrơ
HĐ2 : Nêu vd5
Tính (1+i)5
HD giải

4

HĐ3: Nêu ứng dụng
H1: khai triển (cos ϕ + i sin ϕ )3
H2 : công thức Moa -vrơ
H3: từ đó suy ra cos 3ϕ , sin 3ϕ
HĐ4 : Căn bậc hai của số phức dưới
dạng lượng giác
Tính căn bậc hai của
Z = r(cos ϕ + i sin ϕ ) với r > 0

=-4(1+i)
Xét khi r = 1
b/ứng dụng và lời giải
ϕ
ϕ
+ i sin )
2
2

ϕ
ϕ
Và - r (cos + i sin )
2
2
ϕ
ϕ
= r (cos( + π ) + i sin( + π ))
2
2
r (cos

c/Căn bậc hai của số phức dưới dạng
lượng giác
π
π
= [2(cos + i sin ) ]6

HĐ5 củng cố T2
+ Nêu các phép toán nhân chia của số
phức dưới dạng LG
+ Nêu CT Moa – vrơ
+ Tính ( 3 + i )6

6
6
π
π
=2 (cos + isin ) = - 26
6

4) Củng cố toàn bài : (10’) ( cho 4 nhóm làm mỗi nhóm 1 câu trong 5’ )
- Đại diện từng nhóm trả lời
Câu 1 : Tìm acgumen của số phức z = 1 + 3 i
π
KQ : 1 acgumen là ϕ =
3

Câu 2 : Tìm dạng LG của só phức z = 1 + i
π
π
KQ : z = 2 (cos + i sin )
4

4

22


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
Câu 3 : tính

( 1 - i 3 )(1+i)
π
π

KQ: 2 2 (cos−

+ i sin − )
12

12
i 2008
)
Câu 4 : Tính (
1+ i
1
KQ : - 1004
2

5) Hướng dẫn : Sử dụng máy tính chuyển từ dạng đại số sang dạng LG của số
phức . Đọc chú
ý trang 206/ SGK
Bài tập về nhà : 32 đến 36 trang 207
Phụ lục : Bảng phụ cho hình vẽ 4.5 , 4.6 , 4.7 , 4.8 (sgk)
Tiết thø: 30

Ngµy so¹n.............................................
Ngµy duyÖt...........................................
Ngµy d¹y..............................................
LUYỆN TẬP: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
VÀ ỨNG DỤNG

I/ Mục tiêu :
+ Về kiến thức :
Giúp học sinh củng cố kiến thức:
Acgumen của số phức; dạng lượng giác của số phức; công thức nhân, chia số phức
dưới
dạng lượng giác; công thức Moa-vrơ)
+ Về kỹ năng :
Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng:

Tìm acgumen của số phức
Viết số phức dưới dạng lượng giác
Thực hiện phép tính nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
+ Về tư duy và thái độ.
Có thái độ hợp tác
Tích cực hoạt động
Biết qui lạ về quen, biết tổng hợp kiến thức,vận dụng linh hoạt vào việc giải bài tập.
II/ Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
+ Giáo viên : Giáo án, phiếu học tập.
+ Học sinh: Học bài và làm bài tập ở nhà
III/ Phương pháp : Gợi mở, chất vấn,hoạt động nhóm
IV/ Tiến trình bài dạy
1/ Ổn định tổ chức:
Ổn định lớp, điểm danh
2/ Kiểm tra bài cũ:
( Kết hợp trong các hoạt động)
3/ Bài tập:
Hoạt động 1 Củng cố và rèn luyện kỹ năng viết dạng lượng giác của số phức
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
+CH1(Nêu cho cả lớp)
2
2
Để tìm dạng lượng giác r(cos ϕ + isin ϕ ) của số
§¸p ¸n r = a + b
phức a + bi khác 0 cho trước ta cần tính các
ϕ : trong đó
yếu tố nào?
a
b

cos ϕ = ,sin ϕ =
Chỉ định 1 HS trả lời
r
r
GV: chính xác hóa vấn đề
+ Chỉ định 1 học sinh lên bảng giải 36a
23


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
Gọi một học sinh nhận xét bài làm của bạn
GV: chính xác hóa,chỉnh sửa (nếu có),cho
điểm.
Đề BT 36a Sgk
Bài giải của học sinh
(đã chỉnh sửa)
1 
π
π 
cos(− ) + i sin( − )

π 
ĐS: z =
5
5 
cos

5

Đề BT 36c Sgk

Bài giải của học sinh
(đã chỉnh sửa)
ĐS:
ϕ
Nếu sin >0 thì z =
2

ϕ π
ϕ π 

cos( 2 − 2 ) + i sin( 2 − 2 )
ϕ
Nếu sin <0 thì z =
2
ϕ π
ϕ π 
ϕ 
-2sin cos( + ) + i sin( + )
2 2
2 2 
2 
ϕ
Nếu sin =0 thì
2
z = 0(cos α + isin α ) ( α ∈ R)

2sin

ϕ
2

Hướng dẫn giải BT 36b
+ Chỉ định 1 học sinh lên bảng giải 36c
Gọi một học sinh nhận xét bài làm của bạn
GV: chính xác hóa,chỉnh sửa (nếu có), cho
điểm
HĐ thêm: Có thể dùng công thức chia 2 số
phức dạng lượng giác để giải
Khắc sâu: r > 0 suy ra các trường hợp

HĐ2: Bt Áp đụng công thức Moa-vrơ
Họat động của giáo viên
Họat động của học sinh
+CH2(Nêu cho cả lớp)
Ghi công thức Moa-vrơ
Nêu công thức Moa-vrơ Chỉ định 1 HS trả lời
GV: chính xác hóa vấn đề
Đề BT 32 Sgk
+ Chỉ định 1 học sinh lên bảng giải 32
Bài giải của học sinh
Gọi một học sinh nhận xét bài làm của
(đã chỉnh sửa)
bạn
ĐS:
GV: chính xác hóa,chỉnh sửa (nếu có), cho
ϕ
cos4 =
điểm.
cos4 ϕ +sin4 ϕ - 6cos2 ϕ sin2 ϕ
sin4 ϕ = 4cos3 ϕ sin ϕ - 4sin3 ϕ cos ϕ

HĐ3: Bt kết hợp dạng lượng giác của số phức và áp dụng công thức Moa-vrơ
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Đề BT 33a và 33c Sgk
+ Chỉ định 1 học sinh lên bảng giải 33a và 33c
Bài giải của học sinh
Chia bảng làm 2 cột
(đã chỉnh sửa)
Gợi ý: Viết dạng lượng giác của số phức z rồi
ĐS:
áp dụng công thức Moa-vrơ để tính zn.
Gọi một học sinh nhận xét bài làm của bạn
a/ ( 3 − i) 6 = −2 6
GV: chính xác hóa,chỉnh sửa (nếu có), cho
24


Trêng THPT chuyªn Hoµng V¨n Thô
 5 − 3i 3 

c/ 

 1 − 2i 3 

điểm.

21

= 2 21

HĐ4: Hướng dẫn giải Bt 34
Hoạt động của giáo viên
ĐS:
4π
4π
ω = cos
+ isin

3
3
4
n
π
4nπ
ω n = cos
+ isin
3
3
n
a/ ω là số thực khi n là bội nguyên

dương của 3
b/ Không tồn tại n để ω n là số ảo

Hoạt động của học sinh
Hướng dẫn:
Viết dạng l.giác của ω
Dùng công thức Moa-vrơ để ω n.
+CH3(Nêu cho cả lớp)
ω n là số thực khi nào?

ω n là số ảo khi nào?
Giáo viên dẫn dắt đi đến kết quả
Trả lời:
4nπ
sin
=0,
3
4nπ
cos
=0
3

HĐ5: Hướng dẫn giải Bt 35 – Nhân, chia số phức dạng lượng giác
Hoạt động của giáo viên
Đề BT 35a Sgk
Đáp số
a) Acgumen của z =

iz
là
i

5π π 3π
− =
4 2
4
3
π
3π 


z = 3  cos + i sin 
4
4 


Dạng lượng giác của căn bậc 2 của số
phức z là:
3π
3π
+ i sin
)
3 ( cos
8
8
11π
11π 

+ i sin

3  cos
8
8 


Đề BT 35b Sgk
Gọi là 1 acgumen của z là ϕ
suy ra 1 acgumen của z là - ϕ
suy ra

π

z
có 1 acgumen là - ϕ 4
1+ i

Hoạt động của HS
+CH3(Nêu cho cả lớp)
1)Công thức nhân, chia số phức dạng lượng
giác?
2)Cách tính acgumen và môđun của tích
hoặc thương 2 số phức?
3) Dạng lượng giác của căn bậc 2 của số
phức z?
4) Acgumen của i? suy ra của z =

iz
?
i

Gợi ý dẫn dắt để các em có được kiến thức
chính xác.

Hướng dẫn: Gọi acgumen của z là ϕ ,tính
acgumen của

z
theo ϕ rồi suy ra ϕ .
1+ i

Từ giả thiết suy ra

25