Chuyên đề ôn thi ĐH số 7: Parabol

CHUYÊN ĐỀ 7
PARABOL

Các bài toán về parabol thường qui về việc xác đònh các yếu tố của parabol (tiêu
điểm, đường chuẩn), lập phương trình của parabol và các vấn đề về tiếp tuyến của parabol.
Do đó ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau đây :
Parabol (P) =
{
M∈ (Oxy) / MF =
()
M
d
Δ
}

F là tiêu điểm và
(
là đường chuẩn.
)
Δ
Các dạng phương trình chính tắc :







(P) : y
2

= 2px
()
Δ
: x =
2
p
−

F
0
2
p
,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

M
∈
(P) ⇒ x
M
0 ≥
và r = MF = x
M
+
2
p

(d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P)
⇔

pB
2
= 2AC
Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm







(P) : y
2
= –2px
y
x
(P)
F
y
( )
Δ
: x =
2
p

F
0
2
p
,

⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

M
∈
(P) x
M
0 ⇒ ≤
và r = MF = –x
M
+
2
p

(d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P)
⇔
pB
2
= –2AC
Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm
x
(P)
F(
P
2
, 0)
P
2

−

O
()
Δ

P
2

O
()
Δ


1
M
0
(x
0
, y
0
) có phương trình
y
0
y = p(x
0
+ x)

(P) : x
2
= 2py
()
Δ
: y =
2
p
−

F
0
2
p
,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

M
∈
(P)
⇒
y
M
0

≥
và r = MF = y
M
+
2
p

(d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P)
⇔

pA
2
= 2BC
Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm
M
0
(x
0
, y
0
) có phương trình
x
0
x = p(y
0
+ y)
M
0
(x
0

, y
0
) có phương trình
y
0
y = –p(x
0
+ x)







(P) : x
2
= –2py
( )
Δ
: y =
2
p

F
0
2
p
,
⎛⎞

−
⎜⎟
⎝⎠

M
∈
(P) y
M
0
⇒ ≤
và r = MF = –y
M
+
2
p

(d) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P)
⇔

pA
2
= –2BC
Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm
M
0
(x
0
, y
0
) có phương trình

x
0
x = –p(y
0
+ y)


Ví dụ1 :

Cho parabol (P) : y
2
– 8x = 0
1) Xác đònh tiêu điểm F và đường chuẩn
()Δ
của (P)
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm M(2; –4)
y
x
(P)
F
P
2

O
()
Δ

y
x
(P)

F
−
P
2

O
( )
P
2


Δ

2
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết nó song song với đường thẳng (D) : 2x – y +
5 = 0. Suy ra tọa độ tiếp điểm.
4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết nó xuất phát từ điểm
I(–3, 0), suy ra tọa độ tiếp điểm.
Giải
1) Tiêu điểm và đường chuẩn
(P) : y
2
– 8x = 0 y
2
= 8x có dạng y
2
= 2px với p = 4
⇔
Tiêu điểm F(2, 0) và đường chuẩn
⇒ ()Δ

: x = –2.
2) Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(2; –4)
Tiếp tuyến với (P) : y
2
= 8x tại tiếp điểm M(2, –4) có phương trình cho bởi công thức
phân đôi tọa độ :
–4(y) = 4(2 + x)
⇔
x + y + 2 = 0
3) Phương trình tiếp tuyến với (P) và song song với (D)
Đường thẳng (d) // (D) với (D) : 2x – y + 5 = 0
(d) : 2x – y + C = 0
⇒
(d) tiếp xúc với (P) : y
2
= 8x
4 = 2 . 2C = 4C
⇔ ⇔
C = 1
Vậy tiếp tuyến với (P) phải tìm có phương trình
2x – y + 1 = 0
Tiếp tuyến (d) với (P) : y
2
= 8x tại tiếp điểm M
0
(x
0
, y
0
) còn có phương trình

y
0
y = 4(x
0
+ x)
⇔
4x – y
0
y + 4x
0
= 0
mà (d) : 2x – y + 1 = 0, do đó :

4
2
=
0
1
y
=
0
4
1
x

⇒
0
0
1
2

2
x
y
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=
⎩
hay M
0
1
2
2
,
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

4) Phương trình tiếp tuyến với (P) xuất phát từ I(–3, 0).
Tiếp tuyến với (P) và cùng phương với 0y là x = 0. Vậy pt tiếp tuyến ( ) qua
d
′
I(–3, 0) có dạng:
(
d
) : y – 0 = k(x + 3)
′
⇔

kx – y + 3k = 0

3
( ) tiếp xúc với (P) : y
2
= 8x
d
′
4 = 2k(3k) = 6k
2
k =
⇔ ⇔ ±

2
6
=
±
6
3

Vậy từ điểm I(–3, 0) có 2 tiếp tuyến với parabol (P) là:

6
3
x – y + 6 = 0 hay –
6
3
x – y – 6 = 0

6

3
⇔
x – y + 6 = 0 hay 6 x +3 y +3 6 = 0
Tiếp tuyến (
d
) với (P) tại tiếp điểm M
0
(x
0
, y
0
) có phương trình
′
4x – y
0
y + 4x
0
= 0
Do đó với (
d
) :
′
6
3
x – y + 6 = 0
⇒

4
6
3

=
0
1
y
=
0
4
6
x

⇒

0
0
3
12
26
6
x
y
=
⎧
⎪
⎨
==
⎪
⎩

Với ( ) :
d

′
6 x + 3y + 3 6 = 0
⇒
4
6
=
0
3
y
−
=
0
4
36
x

⇒

0
0
3
12
26
6
x
y
=
⎧
⎪
⎨

=− =−
⎪
⎩

Vậy 2 tiếp điểm phải tìm là (3; 2 6 ) và (3; –2 6 ).
Ví du2( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho
parabol (P) có phương trình y
2
= x và điểm I (0; 2). Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) sao cho
IN4IM =
.
Giải

Gọi M(m
2
; m) ∈ (P), N(n
2
; n) ∈ (P)
IM
⎯→
= (m
2
; m – 2)

IN
⎯→
= (n
2
; n – 2)

IN
⎯→
= (4n
2
; 4n – 8) ⇒ 4

4
Vì
IM
⎯→
= 4
IN
⎯→
⇔
22
m4n
m24n8
⎧
=
⎪
⎨
−= −
⎪
⎩

⇔

⇒

⎢

2
m4n6
n4n3
=−
⎧
⎪
⎨
−+=
⎪
⎩
0
=
⎣
1
2
n1
n3
=
⎡
1
2
m2
m6
⇒=−
⇒=

⇒
M

1
(4;
−
2), N
1
(1; 1), M
2
(36; 6), N
2
(9; 3)

Ví du 3 ( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) :
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho
elip (E):
1
1
y
4
x
22
=+
. M(
−
2; 3); N(5; n). Viết phương trình các đường thẳng d
1
, d
2
qua M và tiếp xúc
với (E). Tìm n để trong số các tiếp tuyến của (E) đi qua N có một tiếp tuyến song song với d
1

hoặc d
2
.
Giải
1) Viết phương trình các đường thẳng qua M tiếp xúc với E.
x = 2 là 2 tiếp tuyến thẳng đứng của (E)
±
Vậy d
1
: x =
−
2 là 1 tiếp tuyến của (E) qua M.
Phương trình tiếp tuyến d qua M(
−
2; 3) khác dường thẳng x =
−
2
có dạng : y – 3 = k(x + 2)
O
3
x
y
−
2
M

⇔
kx – y + 3 + 2k
d tiếp xúc với (E)

⇔
4k
2
+ 1 = (3 + 2k)
2


⇔
4k
2
+ 1 = 9 + 4k
2
+ 12k
82
12 3
−
=−

⇔
k =
d
2
: 2x + 3y – 5 = 0
2) dễ thấy tiếp tuyến d của (E) qua N(5; n) không song song với :
x =
−
2.
Do đó d song song với d
2
: 2x + 3y – 5 = 0 và qua N(5; n) có hệ số góc :

k =
−
2
3
=− − +
2
y(x5)
3
n
. Vậy d : hay
d :
2
−−
+ n = 0
⇔

−
2x – 3y + 10 + 3n = 0
10
xy
33
+
d tiếp xúc với E
⇔
4(
−
2)
2
+ 1.(
−

3)
2
= (10 + 3n)
2

−
5
3

⇔
3n
2
+ 20n + 25 = 0
⇔
n = – 5 hay n=
−
5
3
: loại vì khi đó d trùng với d
1
.
n =
Vậy N(5;
−
5).
* * *


5