SKKN DAI SO 11

Kinh nghiÖm d¹y ®¹o hµm 11

ĐỖ THỊ TÚY

A.PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài :
Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay Đạo hàm cùng với các khái
niệm khác góp phần quan trọng trong môn Giải tích toán học, là một trong
những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Muốn học sinh học tốt được Đạo
hàm thì mỗi người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài
liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài
giảng một cách gập khuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ
động. Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn
điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao. Nó là một trong những nguyên
nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự
tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày.
Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học
môn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Vì
vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách tinh
giản kiến thức, thiết kế bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng
dụng, liên hệ thực tế. Các kiến thức không được mang nặng tính hàn lâm, và
phải phù hợp với việc nhận thức của các em. Thông qua kiến thức mà người
giáo viên đã tinh lọc, qua ứng dụng, thục hành các em sẽ lĩnh hội những tri thức
toán học một cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức một cách vững chắc, tạo
cho các em niềm say mê, hứng thú trong học tập, trong việc làm. Khi chúng ta
đã tinh lọc kiến thức một cách gọn gàng, ứng dụng thực tế một cách thường
xuyên, khoa học thì chắc chắn chất lượng dạy học môn toán sẽ ngày một nâng
cao. Riêng phần đạo hàm và tích phân cũng không nằm ngoài quy luật đó.
Chính vì những lý do nêu trên mà tôi đã chọn đề tài kinh nghiệm “Kinh
nghiệm dạy Đạo hàm 11 ”.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài

Trang 1


Kinh nghiÖm d¹y ®¹o hµm 11

ĐỖ THỊ TÚY

- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, một môn học được
coi là khô khan, hóc búa, không những chỉ giúp, giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ
nhàng, học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp
các em củng cố và khắc sâu các tri thức .
3. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu :
3.1. Nhiệm vụ :
- Tìm hiểu các khái niệm Đạo hàm trong môn giải tích 11.
- Tìm hiểu về thực trạng học sinh lớp 11.
3.2. Phạm vi nghiên cứu :
- Đối tượng : Chương Đạo hàm trong Giải tích lớp 11
- Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 11, sách hướng dẫn giáo viên.
4. Phương pháp nghiên cứu :
1. Nghiên cứu tài liệu.
2. Nghiên cứu thực tế

Trang 2


Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11

ĐỖ THỊ TÚY

B. NỘI DUNG
I. C¬ së lý thut
-1. Đònh nghóa đạo hàm tại một điểm
• Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b):
f '(x 0 ) = lim

x →x 0

f(x) − f(x 0 )
x − x0

=

∆y
∆x→0 ∆x
lim

(∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại diểm đó.
2. Ý nghóa của đạo hàm
+ f′ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) tại
M ( x 0 ;f(x 0 ) ) .
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y = f(x) tại M ( x0 ;f(x 0 ) )
là:
y – y0 = f′ (x0).(x – x0)
3. Qui tắc tính đạo hàm
• (C)' = 0

(

(x)′ = 1

(xn)′ = n.xn–1

n∈N
n >1 ÷



1
′
x) =
2 x

• (u ± v)′ = u′ ± v′

(uv)′ = u′v + v′u

 u ′ u′v − v′u
(v ≠ 0)
 ÷=
v
v2

 1 ′
v′
 ÷ =− 2
v
v

• Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u ′x và hàm số
y = f(u) có đạo hàm tại u là y′u thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x
là: y′x = y′u.u′x
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác

(ku)′ = ku′

•

sin x
= 1;
x→ 0 x
lim

sin u(x)
u(x) =0 )
= 1 (với xlim
→
x
0
x →x 0 u(x)
lim

• (sinx)′ = cosx (cosx)′ = – sinx
5. Vi phân
• dy = df(x) = f ′(x).∆x
6. Đạo hàm cấp cao

•

•

( tan x ) ′ =

1
cos2 x

( cot x ) ′ = − 1

f(x 0 + ∆x) ≈ f(x 0 ) + f ′(x 0 ).∆x

f ''(x) = [ f '(x)] ′ ; f '''(x) = [ f ''(x)] ′ ; f (n) (x) =  f (n −1) (x)′

Trang 3

(n ∈ N, n ≥ 4)

sin 2 x


Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11

ĐỖ THỊ TÚY

VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng đònh nghóa
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 bằng đònh nghóa ta thực
hiện các bước:
B1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0. Tính ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0).
B2: Tính

∆y
.
∆x→0 ∆x
lim

VD 1: Dùng định nghĩa tính
tại
Giải

với:

Ta có:
Xét:

Vậy
.
VD2: Dùng định nghĩa tính
Ta có:
Xét:
Vậy
Bài 1:

với:

tại

Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được

chỉ ra:
a)

y = f(x) = 2x 2 − x + 2 tại

b) y = f(x) =

x0 = 1

3 − 2x tại x0 = –3

2x + 1
tại x0 = 2
x −1
π
d) y = f(x) = sin x tại x0 = 6
c) y = f(x) =

e) y = f(x) = 3 x tại x0 = 1

x2 + x + 1
f) y = f(x) =
tại x0 = 0
x −1

Bài 2: Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
3
a)
b)

f(x) = x − 3x + 1

f(x) = x − 2x

Trang 4


Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11
c) f(x) =

ĐỖ THỊ TÚY

x + 1, (x > − 1)

d)

f(x) = sin x

e)

f(x) =

f) f(x) =

1
2x − 3

1
cos x

VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc
tính đạo hàm.
Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp
Ví dụ : Tính đạo hàm của các hàm số:
3x − 2

a) y =

b) y =

2x + 5

c) y = ( x 2 − 3 x + 1).sin x
Giải

x2 − 1

d) y = x .cos3 x

3x − 2

a) y =

2x + 5

⇒ y'=
=
=

b) y′ =

3x 2 + 2 x − 1

3 2x + 5 −

2
2x + 5

2x + 5
3(2 x + 5) − 2

(2 x + 5) 2 x + 5
6 x + 13

(2 x + 5) 2 x + 5
(3 x 2 + 2 x − 1)′ ( x 2 − 1) − (3 x 2 + 2 x − 1)( x 2 − 1)′

⇔ y′ =
⇔ y′ =

( x 2 − 1)2
(6 x + 2)( x 2 − 1) − (3 x 2 + 2 x − 1)2 x
( x 2 − 1)2
−2 x 2 − 4 x − 2
( x 2 − 1)2

c) y = ( x 2 − 3 x + 1).sin x ⇒ y ' = (2 x − 3)sin x + ( x 2 − 3x + 1) cos x
d) y′ = ( x ) ′ .cos3 x + x (cos3 x )′
⇔ y′ =

1
2 x

cos3 x − x sin 3 x (3 x )′ ⇔ y′ =

1
2 x

Trang 5

cos3 x − 3 x sin 3 x


Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11

ĐỖ THỊ TÚY

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1
y = 2x 4 − x3 + 2 x − 5
3

a)
c)

y = (x3 − 2)(1 − x2 )

l)

y=

2x2 − 4x + 1
x−3

b)

y=

2
− x + x x.
3
x2

k)

y=

x2 − 3x + 3
x −1

m)

3

y=

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

y = (x + x + 1)

d)

y=

2

4

(x + 1)2
3

(x − 1)

2x 2
x2 − 2x − 3

b)

y = (1 − 2x )

e)

y=

c)

2 5

1
2

(x − 2x + 5)

f)

2

3

 2x + 1 
y=
÷
 x −1 

4

y = ( 3 − 2x 2 )

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

b)

y = 2x2 − 5x + 2

y=

4x + 1
x2 + 2

c)

y = (x − 2) x 2 + 3

c)

y = sin3 (2x + 1)

f)

y = sin x + 2x

h)

y = 2sin 2 4x − 3cos3 5x

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

2

 sin x 
y= 
÷
 1 + cos x 

b)

d)

y = cot 2x

g)

2
1
y = tan 2x + tan3 2x + tan 5 2x
3
5

i) y = (2 + sin2 2x)3

e)

y = x.cos x
y = sin 2 + x2

k) y = sin ( cos2 x tan2 x )

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 5sinx – 3cosx
y = (1 + cot x ) 2
x
2
2
10) y = sin (cos 3 x)

y = sin 4

2) y = cos (x3)

2
5) y = cos x. sin x

8) y =

sin x + cos x
sin x − cos x

11) y = cot 3 1 + x 2

 x +1
2
y
=
cos

÷
l)
 x −1÷



3) y = x.cotx
1
3
6) y = cos x − cos x

3

4)
7)

π
4
2
12) y = 3 sin x. sin 3x

3
9) y = cot (2x + )

VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm
số y = f(x)
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) ∈ (C) là: y − y 0 = f '(x0 )(x − x 0 ) (*)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:
+ Gọi x0 là hoành độ của tiếp điểm. Ta có: f ′(x0 ) = k (ý nghóa hình học của
đạo hàm)
+ Giải phương trình trên tìm x0, rồi tìm y 0 = f(x0 ).
Trang 6


Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11

ĐỖ THỊ TÚY

+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)
3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x 1, y1) cho
trước:

+ Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)).
+ Phương trình tiếp tuyến (d): y − y 0 = f '(x0 )(x − x 0 )
(d) qua A (x1 , y1 ) ⇔ y1 − y0 = f '(x0 ) (x1 − x 0 ) (1)
+ Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y 0 = f(x 0 ) và f '(x0 ).
+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).
4. Nhắc lại: Cho (∆): y = ax + b. Khi đó:
+

+

(d) ⁄⁄ (∆) ⇒ k d = a

(d) ⊥ (∆) ⇒ k d = −

1
a

1
x

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = :
a) Tại điểm có tung độ bằng

1
.
2

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − 4 x + 3 .
Hướng dẫn
1

1
⇒ y′ = − 2 ( x ≠ 0)
x
x
1 1
1
1
a) Với y0 = ta có x = 2 ⇔ x0 = 2 ; y′ (2) = −
2
4
0

Ta co

y=



1

1
phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  2; ÷là: y = − x + 1
2

4


b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4 x + 3 nên tiếp tuyến có hệ số góc

k = –4

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp ⇒ y′ ( x0 ) = −4

1
 x0 = 2
⇔−
= −4 ⇔ 
x02
 x0 = − 1

2
1

1
2

• Với x0 = ⇒ y0 = 2
1



phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  ;2 ÷là y = −4 x + 4
2 
1
2

• Với x0 = − ⇒ y0 = −2
 1
 2



phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm  − ; −2 ÷ là y = −4 x − 4
Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) =

2



x − 2x + 3
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
x +1

số f ( x ) tại điểm có hồnh độ bằng 1.

Trang 7


Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11

ĐỖ THỊ TÚY

x2 + 2 x − 5
x2 − 2x + 3
′
Ta có f ( x ) =
⇒ f ( x) =
x +1
( x + 1)2
1
Với x0 = 1 ⇒ f ( x0 ) = 1 , f ′(1) = −

2
1
2

⇒ phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số là y = − x +

3
2

Bài 1: Cho hàm số (C): y = f(x) = x2 − 2x + 3. Viết phương trình tiếp với (C):

a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1.
b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.
d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ.
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) =

2 − x + x2
(C).
x −1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
b) Viết phương trình ttiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1.
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =

3x + 1
(C).
1− x

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d:
1
y = x + 100 .
2

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với ∆: 2x + 2y
– 5 = 0.
Bài 4: Cho hàm số (C): y = 1 − x − x2 . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):
1
2

a) Tại điểm có hoành độ x0 = .
b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0.
Bài 5 ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (C ): y=x3-3x+7
1/
T¹i ®iĨm A(1;5)
2/
Song song víi ®êng y=6x+1
Bµi 6. ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (c ) y=x3-3x2 , biÕt tiÕp tun vu«ng gãc víi ®êng

1
3

th¼ng y= x

VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao
Trang 8

Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11

ĐỖ THỊ TÚY

1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức: y(n) = (y n −1 )/ .
2. Để tính đạo hàm cấp n:
• Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ... từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
• Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.
Bài 1: Cho hàm số f(x) = 3(x + 1)cos x .
f '(x),f ''(x)

a) Tính

 π
f ''(π), f ''  ÷,f ''(1)
2

b) Tính

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:

x−3
, y ''
x+4

a)

y = cos x, y'''

b)

d)

y = 2x − x2 , y''

e) y = xsin x, y''

f) y = x tan x, y''

g)

y = (x 2 + 1)3 ,y''

h)

i)

c) y =

y = 5x 4 − 2x3 + 5x 2 − 4x + 7, y''

y = x6 − 4x3 + 4, y(4)

y=

Bài 3: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
4) y = x x 2 + 1

2x +1

x + x−2
5) y = x 2 sin x

7) y = x.cos2x

8) y = sin5x.cos2x

1) y =

x +1
x−2

ĐS:1) y '' =
4) y '' =

(

2) y =

6

( x − 2)

3

2 x3 + 3x

)

x +1

2

x +1
2

x
x −1
6) y = (1 − x 2 ) cos x

3) y =

2

2) y '' =

4 x 3 − 10 x 2 + 30 x + 14

(x

2

+ x−2

)

2

3) y '' =

3

2
5) y '' = ( 2 − x ) sin x + 4 x cos x

7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

1
, y(5)
1− x

(

2 x x2 + 3

(x

2

)

−1

6) y '' = 4 x sin x + ( x 2 − 3) cos x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x

Bài 4 : Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:
a)

 y = xsin x


 xy''− 2(y'− sin x) + xy = 0

c)

 y = x tan x
 2
2
2
 x y''− 2(x + y )(1 + y) = 0

)

3

b)

 y = 2x − x 2
 3
 y y''+ 1 = 0

d)


x−3
y =

x+4
2y′2 = (y − 1)y''

VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng

sin u(x)
x→ x 0 u(x)
lim

Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức
Trang 9


Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11
sin u(x)
=1
x→ x 0 u(x)
lim

ĐỖ THỊ TÚY

(với

lim u(x) = 0

x→ x 0

)

Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1 − cos x

a)

sin3x
lim
x→0 sin 2x

b)

d)

cos x − sin x
π
cos2x
x→

e)

1 + sin x − cos x
x→ 0 1 − sin x − cos x

g)

π

lim  − x ÷tan x
π 2

x→

h)


π
sin  x − ÷

6
lim
π 3
x→
− cos x
6
2

lim

4

2

lim

x2

x→ 0

lim

lim

1 − sin x

c)

π
x→
2

f)

tan 2x
x→ 0 sin 5x
lim

VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác
Ví dụ: Cho f ( x ) = sin 2 x − 2sin x − 5 . Giải phương trình f ′( x ) = 0 .
HD: f ( x ) = sin 2 x − 2sin x − 5 ⇒ f ′( x ) = 2 cos 2 x − 2 cos x
 cos x = 1
 x = k 2π
2


⇔
⇔
′
1
2π
Co f ( x ) = 0 ⇔ 2 cos x − cos x − 1 = 0
+ k 2π
 cos x = −
x = ±


2

3

Vậy ………..
Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5 . Giải bất phương trình: y′ ≥ 0 .
HD:

y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5 ⇒ y′ = 3 x 2 − 6 x − 9

y ' ≥ 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x − 9 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞;1) ∪ (3; +∞)
Bài 1: Giải phương trình f '(x) = 0 với:

a)

f(x) = 3cos x − 4sin x + 5x

b)

f(x) = cos x + 3 s ón + 2x − 1

c)

f(x) = sin 2 x + 2 cos x

d)

f(x) = sin x −

e)

f(x) = 1 − sin(π + x) + 2 cos

f)

f(x) = sin3x − 3 cos3x + 3(cos x − 3 sin x)

Bài 2: Giải phương trình

a)

 f(x) = sin 3x

g(x) = sin 6x

c)


x
 f(x) = 2x 2 cos2

2
g(x) = x − x 2 sin x

3π + x
2
f '(x) = g(x)

 f(x) = sin3 2x


g(x) = 4 cos2x − 5sin 4x

2 x
 f(x) = 4x cos 2

g(x) = 8cos x − 3 − 2xsin x

2

b)

d)

Bài 3: Giải bất phương trình f '(x) > g'(x) với:

a)

cos 4x cos6x
−
4
6

với:

4

f(x) = x3 + x − 2, g(x) = 3x 2 + x + 2

Trang 10

2

π

 − x÷
2



Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11
b)

f(x) = 2x3 − x2 + 3, g(x) = x 3 +

c)

2
f(x) = , g(x) = x − x3
x

ĐỖ THỊ TÚY

x2
− 3
2

Bài 4: Xác đònh m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

a)
f '(x) > 0 với f(x) =

b)

∈ R:

mx3
− 3x 2 + mx − 5
3

f '(x) < 0 với f(x) =

mx3 mx2
−
+ (m + 1)x − 15
3
2

1
Bµi 2. Cho hµm sè: y= x 3 − 3 x 2 + 2mx − 1 t×m m ®Ĩ
3
1/ y' lµ b×nh ph¬ng cđa mét nhÞ thøc
2/ y'≥ 0 ∀x ∈ R
3/ y' <0 ∀x ∈ (0;1)
4/ y' >0 ∀x >0
1
4

Bài 4: Cho hai hàm số : f ( x) = sin 4 x + cos 4 x và g ( x) = cos 4 x
Chứng minh rằng: f '( x) = g '( x)

(∀x ∈ℜ) .

Bài 5: Cho y = x 3 − 3x 2 + 2 . Tìm x để:
x < 0

ĐS: a) 
x > 2

b) y’ < 3

b) 1 − 2 < x < 1 + 2

Bài 7: Cho hàm số f(x) = 1 + x. Tính :
Bài 8: a) Cho hàm số: y =
b) Cho hàm số y =
c) Cho hàm số

a) y’ > 0

x−3
x+4

f(3) + (x − 3)f '(3)

x + 2x + 2
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
2
2

. Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’

y = 2x − x 2

. Chứng minh rằng: y3y"+ 1 = 0

Bài 9: Chứng minh rằng f '( x) > 0 ∀x ∈ ¡ , biết:
2
3

b/ f ( x) = 2 x + sin x

a/ f ( x) = x9 − x 6 + 2 x3 − 3x 2 + 6 x − 1

Bài 10: Cho hàm số f(x) = x5 + x3 – 2x - 3. Chứng minh rằng
f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)

C. KẾT LUẬN

Trang 11


Kinh nghiÖm d¹y ®¹o hµm 11

ĐỖ THỊ TÚY

Thời gian và tầm nhìn có hạn. Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ
trong phương pháp giảng dạy “đạo hàm ”. Rất mong đựoc quý thầy cô và
các bạn đồng nghiệp có nhiều ý kiến đóng góp, trao đổi để lần sau được
hoàn thiện hơn.

Nhận xét, đánh giá của tổ trưởng, ban chuyên môn:
…………………………………………………………………………………..

Trang 12


Kinh nghiÖm d¹y ®¹o hµm 11

ĐỖ THỊ TÚY

…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………..

Trang 13