ước lượng và kiểm định một giả thiết đã cho (xác suất thông kê)

ĐỀ TÀI THẢO LUẬN
Ước lượng điểm thi trung bình môn LTXS-TK của sinh viên trường
ĐHTM với độ tin cậy 95%.
Kiểm định giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi tỷ lệ sinh viên
ĐHTM thi trượt môn LTXS-TK là nhỏ hơn 30% với mức ý nghĩa 5%

1


PHẦN I: LÝ THUYẾT
1.

Ước lượng kỳ vọng toán
Để ước lượng kỳ vọng toán E(X) = µ của ĐLNN X, từ đám đông ta lấy
ra mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2,….Xn). Từ mẫu này ta tìm được trung bình
mẫu

2

và phương sai mẫu điều chỉnh

. Ta sẽ ước lượng µ thông qua

1.1 ĐLNN X phân phối theo quy luật chuẩn với
Do X

N(µ,



nên X :∼ N  µ ,



.

đã biết

σ2 
÷
n ÷

U = X σ− µ ∼ N ( 0,1)

khi đó:

n

a, Khoảng tin cậy đối xứng
Với độ tin cậy

γ = 1− α

cho trước, ta tìm được phân vị chuẩn

cho:

P(
Thay biểu thức:

<

)= 1- α =

U = X σ− µ : N ( 0,1)
n

P(

vào công thức trên, ta có:

σ
u
α
<
) = 1- α =
2 n

⇔ P( – ε < µ <
Trong đó:
● ε = uα

2

●

+ ε) = 1- α =

σ
là sai số ước lượng.
n

= 1- α là độ tin cậy.

(

)

Như vậy, là khoảng tin cậy của µ là: X − ε ; X + ε với ε = uα

2

2

σ
n

, sao


Chú ý: Nếu chưa biết , nhưng kích thước mẫu lớn (n > 30), ta có thể thay
bằng ước lượng không chệch tốt nhất của nó là s’.
b, Khoảng tin cậy phải (dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của µ)
Ta vẫn dùng thống kê:

U = X σ− µ ∼ N ( 0,1)
n

Với độ tin cậy γ = 1 – α cho trước ta tìm được uα sao cho:

P(U

≤

uα) = 1 – α = γ

Thay U vào ta có:

P(µ

≥

X − uα σ ) = 1 – α = γ
n
( X − uα

Ta có khoảng tin cậy phải của µ là:

σ
n;

+∞ ) với

ε = uα σ
2 n

c, Khoảng tin cậy trái (dùng để ước lượng giá trị tối đa của µ)
Ta vẫn dùng thống kê:

U = X σ− µ ∼ N ( 0,1)
n

Với độ tin cậy γ = 1 – α cho trước ta tìm được uα sao cho:

P(U

≥

–uα) = 1 – α = γ

Thay U vào ta có:

σ 
P  µ ≤ X + uα n ÷÷ = 1 – α = γ



Ta có khoảng tin cậy trái của µ là : (
3

σ

σ
; X + uα n ) với ε = uα n
2


1.2 Trường hợp chưa biết quy luật phân phối của ĐLNN X, n > 30
Do n ≥ 30 nên =>

≅ N(µ,

), khi đó:

U = X σ− µ ≅ N ( 0,1)
n

Và hoàn toàn tương tự như trường hợp 1.1, ta sẽ có:

(

)

σ

a, Khoảng tin cậy đối xứng của µ là: X − ε ; X + ε với ε = uα n
2

σ
b, Khoảng tin cậy phải của µ là: ( X − uα
n;

+∞ ) với

ε = uα σ
2 n

σ
σ
ε
=
u

X
+
u
α
α
;
n ) với
2 n

c, Khoảng tin cậy trái của µ là: (

1.3 ĐLNN X phân phối theo quy luật chuẩn với

chưa biết

Vì X có phân phối chuẩn nên:


 n −1÷
T = X −' µ ∼ T  
S
n

a, Khoảng tin cậy đối xứng
Với độ tin cậy γ = 1 – α cho trước ta tìm được phân vị

P  T





< tα( n−1) ÷÷ =1−α
2 ÷


=γ

Thay biểu thức của T vào công thức trên, ta có:
' 

P  | X − µ |< tα(n−1) S ÷ = 1− α = γ

n ÷
2


4

sao cho:


⇔ P( – ε < µ <

+ ε) = 1- α =

Trong đó:
•

'

ε = tα(n−1) S
n
2

là sai số của ước lượng.

•

= 1- α là độ tin cậy.

• (

– ε,

+ ε) là khoảng tin cậy của µ.

b, Khoảng tin cậy phải (dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của µ)
Ta vẫn dùng thống kê:


 n −1÷
X
−
µ


T=
∼T
'
S

n

Với độ tin cậy γ = 1 – α
cho trước ta tìm được
phân vị

sao cho:

P(T

≤

) = 1- α =

Thay biểu thức T vào công thức, ta có:


P 




X −µ
S'
n


÷
( n−1) ÷
≤ tα ÷=1 − α

÷
÷




⇔ P  µ ≥ X − tα( n−1)


=γ

S' 
÷= 1−α = γ
n ÷

Ta có khoảng tin cậy phải của µ là:
(n−1)

( X − ε ; + ) với ε = tα

2

S'
n

c, Khoảng tin cậy trái (dùng để ước lượng giá trị tối đa của µ)
5


Ta vẫn dùng thống kê:



 n −1÷
X
−
µ


T=
∼T
'
S
n

Với độ tin cậy γ = 1 – α cho trước ta tìm được phân vị

sao cho:

P  T ≥ −tα(n−1) ÷ = 1− α = γ




Thay biểu thức vào công thức ta có:











÷
÷
÷
÷
÷
÷


P X −µ ≥−tα(n−1) = 1 − α = γ
S'
n
' 

( n−1) S ÷

P
µ
≤
X
+
t
= 1− α = γ
⇔ 
α
÷
n




Ta có khoảng tin cậy trái của µ là: (

( n −1) S '
; X + ε ) với ε = tα
n

2. Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ đám đông (kiểm định giả
thuyết về tham số p của phân phối A(p)
– Xét một đám đông có tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A là p, trong đó p
chưa biết. Từ một cơ sở nào đó người ta tìm được p = p nhưng nghi ngờ về
điều này. Với mức ý nghĩa α ta cần kiểm định giả thuyết H 0 : p = p.
Gọi f là tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên mẫu ngẫu nhiên kích thước n
khá lớn
Với n đủ lớn ta có:

 pq 
f ≅ N  p, ÷
 n
6


Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:

U=

f − po
po .qo

n

Trong đó: q o = 1 − p o
Nếu H đúng thì U ≅ N(0,1)

{

 Xét bài toán:

H o : p = po
H1: p ≠ po

Với mức ý nghĩa α ta được phân vị chuẩn của

P(

sao cho:

)=α

Vì α khá bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

W

α

= {utn : utn > uα }
2

Trong đó:

utn =

 Xét bài toán:

{

f − p0
p0 q0
n

H o : p = po
H1: p > po
7


Với mức ý nghĩa α ta được phân vị chuẩn của uα sao cho:
P (U > uα ) = α
Vì α khá bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

W

Trong đó:

α

= {utn : utn > uα }

f − p0
p0 q0

n

utn =

{

 Xét bài toán:

H o : p = po
H1: p < po

Với mức ý nghĩa α ta được phân vị chuẩn của uα sao cho:

P (U < − uα ) = α
Vì α khá bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

W

Trong đó:

utn =

α

= {utn : utn < − uα }

f − p0
p0 q0
n

Quy tắc kiểm định :
► Nếu u ∈ W : bác bỏ H0, chấp nhận H1

8


► Nếu u ∉ W : chưa có cơ sở bác bỏ H0

9


Phần II: BÀI TẬP
Bảng số liệu
Điểm thi môn LTXS-TK của sinh viên trường Đại học Thương Mại
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33

Họ và Tên
Nguyễn Thị Thu Hường
Bùi Thị Lương
Lê Ngọc Hiến
Lê Hoàng Duy
Bùi Quang Được
Nguyễn Bá Đính
Lê Thị Thu Cúc
Nguyễn Phi Hải
Ngô Quốc Khánh
Trần Hữu Nam

Dỗ Hoàng Thắng
Trần Nguyễn Dũng
Nguyễn bá Hậu
Pham Thị Huệ
Nguyễn Phương Nhung
Bùi Thanh Thùy
Vũ Thị Thu Thùy
Nguyễn Quốc Trung
Nguyễn Văn Trương
Phạm Thanh Duy
Phạm Hoàng Hải
Lê Thị Cúc
Nguyễn Văn Hải
Đào Minh Ngọc
Phạm Việt Cao
Trần Thị Hồng Ngọc
Nguyễn Mai Phượng
Dương Vũ Quân
Nguyễn Thị Thu
Nguyễn Xuân Cẩm Vân
Nguyễn Thị Ngọc Ánh
Nguyễn Thị Thúy Quỳnh
Đàm Thị Thùy Trang

Lớp
K44S3
K44E3
K44S1
K44S3
K44S4

K44S4
K44E1
K44E1
K44E4
K44E1
K44E5
K44E6
K44E1
K44E2
K44E1
K44E1
K44E3
K44E2
K44E6
K44S4
K44S4
K44E1
K44E2
K44E3
K45D3
K44E3
K44E4
K44E2
K44E1
K44E3
K44E5
K44E1
K44E3
10

Mã SV
08D190183
18D190185
08D190017
08D190166
08D190250
08D190249
10D140242
10D130417
10D140196
10D130394
10D130267
10D130126
10D130110
10D130193
10D130026
10D130051
10D130156
10D130132
10D130162
09D190246
08D190252
10D130242
10D130014
10D130023
09D150216
10D130261
10D130208
10D130124
10D130160

10D130214
10D130049
10D130032
10D130154

Điểm thi
0
0
0
0
0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1
1
1
1
1
1
1
1,5
1,5
1,5
1,5
2
2
2

2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5
2,5


34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52

53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74

Lã Thi Kim Dung
Lê Thị Hiền
Nguyễn Trung Hiếu
Đinh Thị My
Đoàn Thanh Hương
Nguyễn Văn Lương
Hà Thị Sao

Phạm Văn Tiệp
Phạm Quốc Huy
Vũ Đức Hưng
Nguyễn Quang Nam
Phạm Lan Hương
Vũ Thị yến
Lê Văn Đức
Nguyễn Thanh Hiền
Trần Thế Anh
Phạm Thị Thu
Hồ Thị Minh Huệ
Đỗ Trọng Quyết
Nguyễn Thái Sơn
Nghiêm Thục Anh
Nguyễn Minh Cường
Hoàng Tuấn Linh
Lưu Kim Phương
Nguyễn Thị Phượng
Nguyễn Văn Thiên
Đặng Văn Thế
Nguyễn Anh Tuấn
Nguyễn Bích Ngọc
Nguyễn Danh Đông
Phan Quang Huy
Lê Xuân Phương
Nguyễn Thu Trang
Đặng Quang Triệu
Nguyễn Lan Anh
Trịnh Văn Huy
Trinh Ngọc Đăng Minh

Vũ Thị yến
Lê Văn Đức
Nguyễn Thanh HIền
Nguyễn Thế Đạt

K44S2
K44S3
K44S4
K44E3
K44S4
K44E4
K45D5
K45D5
K42B2
K45A6
K44E1
K45D5
K44E2
K44S2
K44S4
K45A2
K44E4
K44E4
K44E5
K44E3
K44S2
K44S2
K45E7
K44E3
K44E3

K45D5
K45D5
K46I4
K46B5
K46I4
K45C4
K45C4
K45C5
K45E1
K44I3
K454I3
K44I3
K44E2
K44E2
K44E3
K44S1
11

08D190084
08D190174
08D190256
08D190261
08D190263
08D190053
09D150250
09D150270
10D140243
09D100457
08D190137
09D150238

10D130286
08D190089
08D190254
08D100061
10D130018
10D130009
10D130363
10D130151
08D190082
08D190083
09D130507
08D190256
08D190346
09D150216
09D150259
10D140247
10D110317
10D140210
09D120246
09D120278
09D120372
09D130054
08D140163
08D140179
08D140145
10D130286
10D130165
10D140170
08D140207

3
3
3
3
3
3
3
3,5
3,5
3,5
3,5
3,5
4
4
4
4
4,5
4,5
4,5
4,5
4,5
5
5
5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5

6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6


75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91

92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
115
116
117
118
119

Nguyễn Thế Tiến
Nguyễn Thị Hà Như
Nguyễn Thị Hoa
Lại Huyền Trang
Nguyễn Thị Huyền

Nguyễn Thị Hương
Nguyễn Thị Mai
Nguyễn Thị Ngọc Mai
Trịnh Hoài Sơn
Nguyễn Thị Thu Hà
Định Hà Hạnh
Nguyễn Thị Trang
Nguyễn Văn Bế
Phạm Thị Hoài An
Phạm Việt Bắc
Phạm Lan Hương
Đặng Văn Thế
Nguyễn Phạm Trang
Nguyễn Hải Hòa
Lê Văn Hiền
Triệu Khánh Hòa
Đồng Văn Lanh
Lê Đình Bảo
Phan Thị Hằng
Trần Thu Hà
Trần Văn Khuê
Đinh Thị Minh Châm
Nguyễn Thế Biển
Vũ Văn Đức
Vũ Thị Chuyển
Ngô Tiến Cường
Võ Thị Thu
Trần Thị Liên
Bùi Thị Bích Nga
Bùi Thị Vân Anh

Nguyễn Thị Hường
Nguyễn Thị Minh
Nguyễn Mạnh Cường
Lệ Thị Anh
Trần Thị Dung
Lưu Thị Thu Hồng

K44S1
K44S1
K44E1
K44E2
K43B4
K43D2
K44S1
K45C4
K45C3
K44S2
K44S2
K42A6
K42A6
K42A6
K42A3
K45D5
K45D3
K45D5
K45A1
K45D2
K45D5
K45A5
K45A5

K44S2
K44S2
K44S2
K44E1
K44E1
K44E2
K44E3
K44E5
K44E3
K44E3
K44E2
K45A2
K45A2
K43B1
K45S2
K44E4
K44E1
K44E3
12

08D140177
08D160350
10D130156
10D130132
07D110253
07D140623
08D130524
09D120543
09D120324
08D190435

08D190061
06D110346
06D110132
06D100341
06D100204
09D150238
09D150254
09D150345
09D100019
09D100243
09D100654
09D100034
09D100403
08d190093
08D190432
08D190345
10D130006
10D130003
10D130513
10D130080
10D130305
10D130078
10D130163
10D130117
09D100242
09D100422
07D110030
08D190083
10D130425
10D130350

08D140172

6
6
6
6
6,5
6,5
6,5
6,5
6,5
6,5
6,5
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7,5
7,5
7,5
7,5
7,5
7,5
7,5
7,5

7,5
7,5
7,5
7,5
7,5
8
8
8
8
8
8
8
8


120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134

135
136
137
138
139
140
141
142
143
144

Nguyễn Phú Thiện
Nguyễn Quyết Thắng
Nguyễn Văn Cơ
Nguyễn Thị Nga
Đặng Thị Thanh Hoa
Nguyễn Thị Hoa
Hoàng Thu Hiền
Nguyễn Thị Hồng
Trần Thị Tuyết Mai
Nguyễn Quỳnh Mây
Nguyễn Thị Mai
Vũ Đức Lộc
Đặng Sỹ Hoàng
Đinh Văn Vương
Nguyễn Thế Vũ
Đặng Thu Hường
Trần Thị Hường
Hoàng Mai Trinh
Lê Quang Phúc

Trần Thanh Quỳnh
Lê Văn Được
Nguyễn Thị Hồng Phương
Ngô Thị Phương Thảo
Nguyễn Thùy Hương
Nguyễn Đức Khánh

K44S1
K44E2
K44E2
K44E3
K46D3
K46D3
K44D3
K46D3
K46D3
K46D3
K46D2
K46D2
K46D2
K46D2
K46D3
K46D3
K46D2
K46D1
K44E3
K44S2
K44S2
K44E2
K44E2

K44E2
K46H3

08D140307
08D110046
08D140278
08D130240
10D150240
10D150205
08D150022
10D150081
10D150069
10D150167
10D150140
10D150262
10D150235
10D150128
10D140053
10D140013
10D140065
10D140316
08D190237
08D190246
08D190084
08D190237
09D160351
10D130066
10D180160

8

8
8
8
8
8
8
8
8
8,5
8,5
8,5
8,5
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9,5
10

Ta có bảng số liệu thống kê như sau:
Điểm thi

0-2

2,1-4

4,1- 6

6,1- 8

8,1-10

Số sinh viên

24

25

29

50

16

Giải
● Ước lượng điểm thi trung bình môn LTXS-TK của sinh viên trường ĐHTM
với độ tin cậy 95%.
Gọi X là điểm thi môn LTXS-TK của sinh viên trường ĐH Thương mại.

13


= E(X) là điểm thi trung bình môn LTSX-TK của sinh viên trường
ĐH Thương mại trong đám đông (trường ĐH Thương mại).

là điểm thi trung bình môn LTXS-TK của sinh viên trường ĐH
Thương mại trên mẫu.

)

Với n = 144 khá lớn →

≅

→U=

Với α = 1 –

N(0,1)

= 1 – 0,95 = 0,05 tìm được

P(

) = 1 – α = 0,95

σ

< ) = 1 – α = 0,95 với ε = uα n
2

⇔ P(
Khoảng tin cậy của

= u0,025 = 1,96 thỏa mãn:

là: (

σ

) , với ε = uα n
2

,

Qua kết quả điều tra ta có:
= 5,16667

= 2,57435

14


ε = uα σ = 1,96. 2,57435 = 0,42048
144
2 n
Khoảng tin cậy của

là: (4,74619; 5,58715)

Kết luận: Với độ tin cậy 95% điểm thi trung bình môn LTXS-TK của
sinh viên trường ĐH thương mại nằm trong khoảng từ 4,74619 điểm đến
5,58715.
● Kiểm định giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi thì tỉ lệ sinh viên ĐHTM
thi trượt môn LTXS-TK là nhỏ hơn 30%, với mức ý nghĩa 5%.

Sinh viên bị coi là thi trượt khi có điểm thi dưới 4. Theo bảng số liệu ta thấy
rằng: Cứ 144 sinh viên thi thì có 45 sinh viên có điểm thi dưới 4 điểm.
Gọi p là tỉ lệ sinh viên có điểm thi dưới 4 điểm trên đám đông.
Gọi f là tỉ lệ sinh viên có điểm thi dưới 4 trên mẫu.

15


Với mức ý nghĩa α = 0,05 ta kiểm định bài toán:

{
Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định:

H 0 : p = 0,3
H1: p < 0,3
U =

f − po
po qo
n

Trong đó: ( p0 = 0,3)
Vì n = 144 là khá lớn nên f có phân phối xấp xỉ chuẩn:

f ≅ N ( p,

pq
)
n

Từ đó suy ra, nếu Ho đúng thì U ≅ N(0, 1)
Nên với α = 0,05 ta tìm được phân vị uα = u0,05 = 1,65 thỏa mãn:

P(U < −uα ) = α = 0,05
Vì α khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ:

Wα = { utn : utn < −uα } = { utn : utn < −1,65}

Trong đó:

utn =

f −po
po qo
n

Với f = 0,3125 , n = 144 , ( p0 = 0,3)

utn = 0,3125 − 0,3 =
Ta có:
0,3.(1− 0,3) 0,327326 ∈ Wα
144

16


Vậy ta bác bỏ H 0 và chấp nhận H1 .
Tức là, với mức ý nghĩa α = 0,5 giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi tỷ lệ
sinh viên ĐHTM thi trượt môn LTXS-TK là nhỏ hơn 30% là có cơ sở.

17