SKKN: Vi tri giua duong thang va parabol

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2010 - 2011

PHềNG GIO DC V O TO LNG GIANG
TRNG THCS DNG C

SNG KIN KINH NGHIM

S TNG GIAO
GIA CC NG THNG
V NG THNG VI PARABOL

GV Chu

Th Hoan

TRNG THCS DNG C

Thỏng 5 nm 2011
Chu Thị Hoan

Trờng THCS Dơng Đức


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2010 - 2011

A. T VN
1. Lớ do vit sỏng kin kinh nghim

Mụn toỏn cú v trớ c bit quan trng trong vic thc hin mc tiờu chung ca
trng THCS, ú l vic gúp phn hỡnh thnh nhng con ngi cú trỡnh hc vn
ph thụng c bn, ú l nhng con ngi bit rốn luyn cú tớnh c lp, cú t
duy sỏng to, phm cht o c ỏp ng yờu cu cụng nghip hoỏ, hin i hoỏ
t nc hin nay.
thc hin thnh cụng nhim v ú, ngi giỏo viờn phi cú phng phỏp
ging dy phự hp, cht lc nhng kin thc c bn vi tng i tng hc sinh,
bit rốn cho hc sinh phng phỏp hc tp cỏc mụn núi chung cng nh mụn toỏn
núi riờng.
Kin thc mụn toỏn rt rng, cỏc em c lnh hi nhiu kin thc, cỏc kin
thc ú li cú mi liờn h cht ch vi nhau, do vy khi hc, cỏc em cn nm vng
kin thc c bn, t ú vn dng linh hot vo gii cỏc loi toỏn, bi toỏn c th.
Mt trong cỏc kin thc c bn trong chng trỡnh toỏn THCS l phn th,
hm s, mi tng giao gia cỏc ng thng vi nhau, gia cỏc ng thng v
parabol. Nhỡn chung, phn ny, hc sinh cú kh nng t duy tng tng cha
tt nờn gii loi toỏn ny khỏ vt v, trỡnh by khụng cht ch, rừ rng dn n
im kộm nờn s hoc khụng thớch hc phn th, hm s. Khi nghiờn cu vic
hc v gii toỏn ca cỏc em hc sinh THCS, trao i vi cỏc ng nghip dy toỏn
THCS m c bit l giỏo viờn dy toỏn 9, tụi thy loi toỏn v s tng giao
gia ng thng v ng thng, ng thng v parabol vn thng c cp
ti trong cỏc thi vo THPT, mt khỏc, õy l loi toỏn m cỏc em phi nm
vng chun b cho mụn toỏn lp 10 THPT.
dng toỏn ny, cỏc em thng gp khú khn: Do khụng v c th, hoc
cha nm c nghim ca phng trỡnh bc nht hai n, im chung(nu cú) ca
hai ng thng (chớnh l nghim ca h phng trỡnh bc nht hai n, tỡm to
giao im), im chung ca ng thng v parabol (chớnh l nghim ca phng
trỡnh bc hai mt n tỡm honh giao im).
Vỡ vy, yờu cu ca dng toỏn s tng giao ca ng thng v ng thng,
ng thng v parabol l hc sinh phi nm c hỡnh dng, cỏch v th hm
s y = ax + b (a 0) v th hm s y = ax2 (a 0), phi nm c v trớ tng

i ca hai ng thng, bit cỏch gii phng trỡnh bc nht mt n, h phng
trỡnh bc nht hai n, phng trỡnh bc hai mt n ó hc lp 8 v lp 9.
giỳp cỏc em hc phn ny cú kt qu tt, tụi mnh dn a ra sỏng kin kinh
nghim S tng giao gia cỏc ng thng, ng thng v parabol giỳp ngi
giỏo viờn khụng ch nm chc c kin thc c bn phn ny m cũn phi cú
phng phỏp linh hot truyn th kin thc mt cỏch d hiu nht ti cỏc em
hc sinh.

Chu Thị Hoan

Trờng THCS Dơng Đức


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2010 - 2011

B. GII QUYT VN
Vn 1: S tng giao ca hai ng thng:
Dng 1: Tỡm to giao im
Ta cn nh li nhng kin thc c bn v s tng giao ca hai ng thng:
- Trc ht, cỏc ng thng phi l th ca hm s bc nht: Tc l a 0
- Cho (d) l th ca hm s y = f(x) v mt im A(xA;yA) ta s cú:
A (d ) YA = f ( X A )
A (d ) YA f ( X A )
Mun tỡm to im chung ca th hm s y = f(x) v y = g(x) ta tỡm
y = f(x)
nghim ca h phng trỡnh:
y = g(x)
Vỡ vy honh giao im chung ca hai th chớnh l nghim ca h

phng trỡnh trờn.
Vớ d: Cho hai hm s y = x + 3 (d) v hm s y = 2x + 1 (d)
a)V th hai hm s trờn cựng mt h trc to .
b)Tỡm to giao im nu cú ca hai th.
Nhn xột: Gp dng toỏn ny hc sinh thng v th hai hm s trờn ri tỡm to
giao im (x;y), tuy nhiờn gp nhng bi khi x v y khụng l s nguyờn thỡ tỡm
to bng th s khú tỡm chớnh xỏc giỏ tr ca x; y. Do vy, GV hng dn HS
lm nh sau:
a) V th hai hm s nh ó c hc
y = x + 3

b) To giao im l nghim ca h phng trỡnh:
y = 2x + 1
x + y = 3
x = 2


2 x + y = 1 y = 5

Vy to giao im ca (d) v (d) l (2;5)
Vic lm ny rt thun li cho HS, trỏnh vic HS v th hai hm s ri t
giao im hai th, cỏc em giúng vuụng gúc vi hai trc to tỡm honh ,
tung v kt lun to giao im, nu khụng cn thn, thiu chớnh xỏc, s sai
to giao im.

Chu Thị Hoan

Trờng THCS Dơng Đức

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2010 - 2011

Dng 2: Bi toỏn tỡm iu kin
Ta cng cn nh li v trớ tng i ca hai ng thng:
Cho hai ng thng y = ax + b (a 0 ) (D), y = ax + b(a 0) ( D)
Ta cng chỳ ý: Mun hai ng thng tho món v trớ tng i cho trc thỡ
hm s ca cỏc ng thng ny phi l hm s bc nht. Do vy GV yờu cu HS
ghi nh cụng thc sau khi lm bi HS trỏnh c li b quờn khụng kt hp
iu kin a 0 , a 0 .
a 0
a ' 0

(D) // ( D)
a = a '
b b '
a 0
a ' 0

(D) ( D)
a = a '
b = b '
a 0

(D) ( D) a ' 0
a a '

a 0

(D) ( D) a ' 0
a.a ' = 1


Vớ d: Cho 2 ng thng ln lt cú phng trỡnh:
y = (m-1)x + 2 (d)
y = (2 m)x n ( d1 )
Tỡm tham s m ng thng (d) v ng thng ( d1 ) ct nhau.
Nhn xột: Theo cỏch phõn tớch nh trờn, GV hng dn HS trỡnh by nh sau
trỏnh quờn kt hp iu kin ca a 0 , a 0 .

m 1
m

1

0



Gii: ng thng (d) v ng thng ( d1 ) ct nhau 2 m 0 m 2
m 1 2 m

3

m

2

Vy khi m 1, m 2 v m

Chu Thị Hoan

3
thỡ ng thng (d) v ng thng ( d1 ) ct nhau.
2

Trờng THCS Dơng Đức


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2010 - 2011

Vn 2:
V trớ tng i gia ng thng (D): y = f(x) v parabol (P): y = g(x).
Ta cn nh li honh im chung ca (D) v (P) l nghim ca phng trỡnh
f(x)= g(x) (2). Phng trỡnh (2) l phng trỡnh bc hai. Ta thy:
(D) v (P) khụng cú im chung phng trỡnh(2) vụ nghim < 0
(D) tip xỳc (P) phng trỡnh (2) cú mt nghim = 0
(D) ct (P) ti hai im phng trỡnh (2) cú hai nghim phõn bit > 0
Sau õy l mt s bi toỏn c th:
Dng 1:Xỏc nh to tip im.
Vớ d: Cho parabol (P): y = x2 - 2x - 3
Tỡm to giao im ca (P) v ng thng (D): y = -4x.
Nhn xột: To giao im va phi thuc (D), va phi thuc (P) nờn ta tỡm
honh giao im bng phng trỡnh honh , sau ú thay honh vo mt
trong hai phng trỡnh (D) hoc (P) tỡm cỏc tung giao im. T ú tỡm to
giao im.
Gii:

Honh im chung ca (P) v (D) l nghim ca phng trỡnh:
x2 - 2x 3 = -4x x2 + 2x 3 = 0 (2)
Phng trỡnh (2) cú nghim x1 = 1, x2 = 3 .
- Vi x1 = 1, thỡ y1 = 4 . Vy to giao im th nht l (1; -4)
- Vi x2 = 3 thỡ y2 = 12 . Vy to giao im th nht l (-3; 12)
Dng 2: Bi toỏn tỡm iu kin
Vớ d: Cho ng thng (D): y = x + 2m v parabol (P): y = -x2 x + 3m
a) Vi giỏ tr no ca m thỡ (D) tip xỳc vi parabol (P).
b) Vi giỏ tr no ca m thỡ (D) ct parabol (P)ti hai im phõn bit A v B.
Nhn xột: Tng t nh vớ d trờn ta s i xột s cú nghim ca phng trỡnh
bc hai
Nu cú mt nghim thỡ (D) v (P) cú mt im chung, nu cú hai nghim thỡ (D)
v (P) cú hai im chung cũn nu vụ nghim thỡ (D) v (P) khụng cú im chung
no.
Gii:
a) Honh giao im ca (D) v (P) l nghim ca phng trỡnh:
2
-x x + 3m = x + 2m -x2 - 2x + m = 0
ng thng (D) tip xỳc vi parabol (P) phng trỡnh (3) cú nghim kộp
= 0 4 + 4m = 0 m = -1.
Vy khi m = -1 thỡ (D) tip xỳc vi (P)
b) ng thng (D) ct parabol (P) ti hai im phõn bit phng trỡnh
(3) cú 2 nghim phõn bit > 0 4 + 4m > 0 m > -1.
Vy khi m > -1 thỡ (D) ct (P) ti hai im phõn bit.

Chu Thị Hoan

Trờng THCS Dơng Đức

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2010 - 2011

Dng 3: Bi toỏn chng minh
Vớ d: Chng minh rng: ng thng (D): y = 4x - 3 tip xỳc vi parabol (P):
Y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 - 3
Nhn xột:
Gp dng toỏn ny GV phi lm cho HS hiu c rng ng thng
(D): y = 4x - 3 tip xỳc vi parabol (P): y = 2x 2 - 4(2m - 1)x + 8m2 - 3 ti mt
im thỡ im ú phi l nghim ca hai phng trỡnh, vy chng minh c
bi toỏn ny thỡ phng trỡnh honh giao im bt buc phi cú nghim kộp t
ú ta cú cỏch gii sau:
Gii:
ng thng (D): y = 4x - 3
tip xỳc vi parabol (P): Y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m 3 khi v ch khi phng trỡnh
2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 3 = 4x 3
2x2 - 8mx + 8m2 = 0
x2 + 4mx + 4m2 = 0 cú nghim kộp
Ta cú: = 16m 2 16m 2 = 0 vi mi giỏ tr ca m nờn ng thng (D): y = 4x - 3
luụn tip xỳc vi parabol (P): y = 2x2 - 4(2m - 1)x + 8m2 3
Tng t, nu bi toỏn yờu cu chng minh ng thng ct parabol ti hai
im phõn bit, ta cho phng trỡnh honh cú hai nghim phõn bit v nu yờu
cu chng minh ng thng v parabol khụng cú im chung, ta cho phng trỡnh
honh vụ nghim.

Chu Thị Hoan

Trờng THCS Dơng Đức

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2010 - 2011

C. KT QU V KINH NGHIM
Vi vic lm nh ó nờu trờn, bn thõn t nghiờn cu v ỏp dng, qua kho sỏt
chuyờn ny cỏc em HS lp 9B, ban u, tụi thy c kt qu nh sau:
im 9,10: 0
im 5,6,7,8: 15
im di trung bỡnh: 18
Sau khi thc hin chuyờn ny tụi thy kt qu nõng lờn rừ rt:
im 9,10: 7
im 5,6,7,8: 19
im di trung bỡnh: 7
Ngoi kt qu m cỏc em ó t c qua kho sỏt tụi cũn thu c mt s
kt qu cũn quan trng hn nhiu ú l:
- Phn ln hc sinh ó say mờ lm dng toỏn ny
- Cỏc em khụng cũn lỳng tỳng khi gp dng toỏn v s tng giao gia cỏc
th.
- Cỏc em cú nim tin say mờ, hng thỳ hc toỏn, t ú to cho cỏc em tớnh c
lp suy ngh.
- Phỏt trin t duy lụgớc, úc quan sỏt, suy lun toỏn hc.
- Trong quỏ trỡnh gii bi tp ó giỳp cỏc em cú kh nng phõn tớch suy
ngm khỏi quỏt vn mt cỏch cht ch khụng ngi khú m rt t tin vo kh
nng hc tp ca mỡnh.
Tuy nhiờn bờn cnh cỏc kt qu t c nh mong mun thỡ vn cũn mt s hc
sinh yu, li hc cha cú kh nng t gii bi toỏn. i vi cỏc em yu õy l
mt vic khú khn. Mt phn cng l do kh nng hc toỏn ca cỏc em cũn nhiu
hn ch, mt khỏc dng toỏn ny cng khú, ũi hi t duy nhiu cỏc em.

Nhng iu m bn thõn ó thc hin trờn mc du cha t c kt qu m
món nh tụi mong mun, nhng tụi ngh nú ó gúp phn vo vic i mi phng
phỏp dy v hc m ngnh ang thc hin.

Chu Thị Hoan

Trờng THCS Dơng Đức


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2010 - 2011

D. KT LUN
Trờn õy l mt kinh nghim nh c rỳt ra t thc t sau nhiu nm ging
dy ca bn thõn. Phn s tng giao gia cỏc ng thng, ng thng v
parabol cũn nhiu bi toỏn v nhiu dng na nhng vi kh nng ca mỡnh cng
nh yờu cu ca hc sinh i tr THCS tụi ch cp n mt s dng toỏn c bn
m cỏc em thng gp phi trong cỏc k thi. Quỏ trỡnh xõy dng ni dung sỏng
kin kinh nghim khụng trỏnh khi nhng thiu sút, mong cỏc ng nghip tham
gia, gúp ý, sỏng kin c hon thin hn v c vn dng rng rói hn trong
quỏ trỡnh dy hc.
Xin chõn thnh cm n!
Dng c, ngy 17 thỏng 5 nm 2011
Ngi vit

Chu Th Hoan
ỏnh giỏ, nhn xột ca Ban thi ua:

Xp loi: (im)
HIU TRNG

Chu Thị Hoan

Trờng THCS Dơng Đức