Khảo sát đặc trưng lưỡng ổn định của giao thoa kế Michelson phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG NGUYỄN CẨM TÚ

KHẢO SÁT ĐẶC TRƯNG LƯỠNG ỔN ĐỊNH
CỦA GIAO THOA KẾ MICHELSON
PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Quang học
Mã số: 60.44.01.09

Luận văn thạc sĩ: Vật lý

Vinh, tháng 6 năm 2013

I


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn
Văn Hóa . Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến quý thầy giáo
đã dẫn dắt tận tình và động viên trong quá trình thực hiện với tấm lòng hết
mực của người thầy và tinh thần đầy tránh nhiệm khoa học của nhà nghiên
cứu, đã gúp tôi nâng cao kiến thức, nghị lực, phát huy sáng tạo và hoàn thành
luận văn.
Tôi xin được cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu Trường Đại học Vinh,
Đại học Sài Gòn và quý thầy cô trong khoa Vật lí và Phòng Đào tạo Sau đại
học về những đóng góp ý kiến khoa học bổ ích cho nội dung luận văn, tạo điều
kiện tốt nhất trong thời gian chúng tôi học tập và thực hiện nghiên cứu tại
trường .

Tôi xin cảm ơn đến Ban Giám Đốc Trung Tâm Giáo Dục Thường
Xuyên Quận 8 TPHCM đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình
học tâp và làm luận văn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, những người thân và bạn
bè đã quan tâm, động viên và giúp đỡ trong quá trình học tập và làm luận văn

II


MỤC LỤC
Trang
Bìa phụ.......................................................................................................................I

III


MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây các linh kiện lưỡng ổn định dựa trên nguyên lí
hoạt động của các giao thoa kế quang học: Fabry-Perot, Mach-Zenhder,
Michelson … đã được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu [1, 2, 3,…].
Với việc dùng môi trường phi tuyến và tín hiệu là ánh sáng laser cùng với
việc lựa chọn các tham số cấu trúc phù hợp các Giao thoa kế cổ điển trên hoạt
động như một linh kiện lưỡng ổn định quang học đã được khẳng định. Khi
công nghệ nano và sợi quang phát triển các giao thoa kế quang có kích thước
lớn trước đây được rút gọn hơn nhiều và các linh kiện trên được ứng dụng
nhiều trong các thiết bị điện tử số.
Do cấu tạo phức tạp hơn (so với các giao thoa kế khác) việc tính toán và
cài đặt thí nghiệm kiểm chứng tương đối khó khăn nên việc nghiên cứu linh
kiện lưỡng ổn định trên cơ sở của Giao thoa kế Michelson phi tuyến được
quan tâm nghiên cứu không nhiều và các công trình liên quan tới Giao thoa kế

này cũng không nhiều lắm. Trong mấy năm gần đây việc khảo sát đặc trưng
lưỡng ổn định của Giao thoa kế Michelson phi tuyến xuất hiện trong các luận
án và luận văn của các nghiên cứu sinh và học viên cao học tại Đại học Vinh
[Nguyễn Văn hóa, Ninh Văn Quyển, Lê Thị Tháp …] và một số bài báo được
công bố ở các tạp chí và hội thảo. Trong các công trình đó các tác giả cũng
khẳng định nếu chọn được những bộ tham số phù hợp thì quan hệ vào-ra của
cường độ tín hiệu qua Giao thoa kế Michelson phi tuyến sẽ có đặc trưng
lưỡng ổn định; đồng thời các tác giả quan tâm nhiều tới vai trò của hệ số phản
xạ của các gương, hệ số truyền qua của bản chia, hệ số hấp thụ và ảnh hưởng
của pha ban đầu; tuy nhiên Chúng tôi thấy rằng Giao thoa kế Michelson phi
tuyến vẫn còn nhiều vấn đề còn bỏ ngỏ cần được nghiên cứu thêm. Vì vậy
“Khảo sát đặc trưng lưỡng ổn định của tín hiệu khi truyền qua giao thoa kế
Michelson phi tuyến” được chọn làm đề tài nghiên cứu trong luận văn tốt

1


nghiệp thạc sĩ của mình, nhằm đánh giá một cách có hệ thống vai trò của
tham số cấu trúc ảnh hưởng tới hiệu ứng lưỡng ổn định quang học của tín hiệu
khi truyền qua giao thoa kế này. Hy vọng có những phát hiện làm phong phú
thêm những ứng dụng của giao thoa kế Michelson.

2


Chương 1: TỔNG QUAN VỀ LƯỠNG ỔN ĐỊNH QUANG HỌC
1.1. Hiệu ứng lưỡng ổn định quang học
Lưỡng ổn định quang học (Optical Bistability-OB) là hiện tượng mà
trong đó có thể xuất hiện 2 trạng thái quang học ra ổn định của một hệ thống
quang học đối với cùng một trạng thái quang học vào [7]. Nói một cách khác,

trong hiện tượng này tồn tại một sự phụ thuộc kiểu trễ của đặc trưng quang
học vào-ra của hệ. Nguyên nhân gây ra hiện tượng này là sự thay đổi đột biến
của các trạng thái vật lý của hệ khi các điều kiện vật lý (các tham số thiết kế)
biến đổi trong những giới hạn nhất định.
1.2. Nguyên lý ổn định quang học
Hai nhân tố quan trọng cần thiết để tạo nên lưỡng ổn định quang học đó
là tính phi tuyến (nonlinearity) và phản hồi ngược (feedback). Hai nhân tố này
hoàn toàn có thể thiết kế được trong quang học. Khi tín hiệu quang học đi ra
từ môi trường phi tuyến (phần tử phi tuyến) được lái trở lại (sử dụng gương
phản xạ) và sử dụng nó để điều khiển khả năng truyền ánh sáng của chính môi
trường đó thì đặc trưng lưỡng ổn định sẽ xuất hiện.
Ta xem xét hệ quang học tổng quát trên hình 1.1. Nhờ quá trình phản
hồi ngược, cường độ Ira bằng cách nào đó sẽ điều khiển được hệ số truyền qua
ℑ của hệ, sao cho ℑ là một hàm phi tuyến ℑ = ℑ (Ira). Do I ra = ℑI vao nên:

I ra

Ivao = ℑ( I )
ra

(1.1)

là quan hệ vào-ra của hệ lưỡng ổn định.

3


ℑ( I ra )
Ivao
Ira

Hình 1.1. Hệ quang học trong đó hệ số truyền qua là hàm của
cường độ ra Ira.

Khi ℑ = ℑ( I ra ) là một hàm không đơn điệu, có dạng hình chuông (hình
1.2a), thì Ivào cũng là hàm không đơn điệu của I ra (hình1.2b). Như vậy Ira là
hàm nhiều biến của Ivào (hình 1.2c).
ℑ( I ra )

Ivào

Ira

Ivào
Ira

Hình 1.2a

Ira

Hình 1.2b

I1

I2

Hình 1.2c

Rõ ràng hệ này có đặc trưng lưỡng ổn định. Với cường độ vào nhỏ
(Ivào<I1) hoặc lớn (Ivào>I2), mỗi giá trị vào ứng với một giá trị ra. Trong vùng
trung gian I1< Ivào

dưới là các giá trị ổn định, giá trị trung gian (trên đoạn I 1-I2 trên hình 1.2c) là
giá trị không ổn định. Mỗi một nhiễu thêm vào đầu vào sẽ làm cho đầu ra
thuộc nhánh trên hay nhánh dưới. Bắt đầu từ tín hiệu đầu vào nhỏ và tăng đầu
vào khi đạt được ngưỡng I2 đầu ra sẽ nhảy lên trạng thái trên mà không qua
trạng thái trung gian. Khi đầu vào giảm theo nhánh trên cho đến khi đạt được
giá trị ngưỡng I1 đầu ra sẽ nhảy xuống trạng thái dưới như hình 1.3.
4


Ira
1
p

I1

2

I2

Ivào

Hình 1.3. Tiến trình thay đổi trạng thái. Đường đứt là
trạng thái không ổn định.

Như ta đã biết, tính lưỡng ổn định có được nhờ quá trình chuyển pha
loại II trong các quá trình vật lý [6]. Sự chuyển pha trong các linh kiện lưỡng
quang ổn định điện - quang và quang - quang dựa trên sự thay đổi chiết suất
do cường độ mạnh của trường ngoài [7]. Sự thay đổi chiết suất này dựa trên
hiệu ứng phi tuyến xảy ra trong môi trường phi tuyến có độ cảm phi tuyến bậc
ba lớn. Hiệu ứng thay đổi chiết xuất này gọi là hiệu ứng Kerr và môi trường

có tính chất trên gọi là môi trường Kerr. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một
cách cụ thể hơn về hiệu ứng Kerr và tính chất của môi trường Kerr.
1.3. Môi trường phi tuyến - Môi trường Kerr
Như đã nói ở trên một trong hai điều kiện tạo nên OB là hiệu ứng phi
tuyến hoặc chiết suất thay đổi theo cường độ ánh sáng (trong môi trường
Kerr) hoặc số hấp thụ thay đổi theo cường độ ánh sáng (môi trường hấp thụ
bão hòa). Trong thiết bị OB đề tài quan tâm nghiên cứu, hiệu ứng phi tuyến là
hiệu ứng Kerr.
Chiết suất của nhiều vật liệu quang học phụ thuộc vào cường độ ánh
sáng truyền qua nó. Trong phần này chúng ta khảo sát biểu diễn toán học của

5


chiết suất phi tuyến và nghiên cứu các quá trình vật lý dẫn tới hiệu ứng này.
Chiết suất của nhiều vật liệu có thể biểu diễn bởi công thức:
n = n0 + n 2 < E 2 >

(1.2)
−

Trong đó no là chiết suất của trường yếu thông thường và n2 là hằng số
quang mới (còn gọi là chỉ số khúc xạ bậc 2). Từ (1.2) cho thấy chiết suất của
vật liệu này tăng lên theo sự tăng của cường độ . Dấu ngoặc nhọn bao quanh
2
E biểu diễn trung bình theo thời gian. Ví dụ nếu trường quang học có dạng

< E (t)>=E(ω)e-iωt + c.c.,

(1.3)

thì
< E (t)2> = 2 E(ω)E(ω)* = 2E(ω)2

(1.4)

Và chúng ta tìm được:
−

n = n0 + 2 n 2 E(ω)2

(1.5)

Công thức (1.2) hoặc (1.5) còn được gọi là hiệu ứng quang học Kerr vì
quá trình suy luận dựa trên hiệu ứng quang điện Kerr, trong đó chiết suất của
vật liệu thay đổi tương ứng với bình phương của cường độ môi trường .
Dưới tác động của ánh sáng có cường độ lớn các hiệu ứng phi tuyến sẽ
xảy ra khi ánh sáng đi qua môi trường [3]. Mỗi hiệu ứng phi tuyến gắn với
một thành phần phân cực cao của môi trường. Hiệu ứng Kerr gắn với thành
phần phân cực bậc ba sau đây:
PNL (ω) = 3χ(3)(ω= ω+ω-ω)E(ω)2 E(ω)

(1.6)

Trong đó ω là tần số ánh sáng tương tác, E(ω) là véctơ cường độ điện
trường, χ3(ω) là thành phần ten xơ bậc ba của độ cảm phi tuyến của môi
trường. Giả thiết rằng các hiệu ứng phi tuyến khác có thể bỏ qua. Để đơn
giản, ở đây giả thiết ánh sáng là phân cực tuyến tính và bỏ qua chỉ số ten xơ
của χ(3). Khi đó phân cực tổng của môi trường có dạng:
PTONG(ω) = χ(1) E(ω) + 3χ(3) E(ω)2 E(ω) ≡ χeff E(ω).

6

(1.7)


trong đó χeff là độ cảm hiệu dụng của môi trường:

χeff = χ(1) + 3χ(3) E(ω)2 .

(1.8)

Ta biết rằng:
n2 = 1 + 4π χeff

(1.9)

nên từ (1.5),(1.8),(1.9) ta tìm được:
−

[ n0 + 2 n 2 E(ω)2 ]2 = 1 + 4πχ(1) + 12πχ(3) E(ω)2

(1.10)

Triển khai công thức (1.10) và bỏ qua thứ hạng vô cùng bé bậc cao của
E(ω)2 ta được:
−

n + 4n0 n E(ω)2 = (1 + 4πχ(1)) + (12πχ(3) E(ω)2 ) (1.11)
2
0

2

Như vậy có thể coi :
n0 = (1 + 4πχ(1))1/2

(1.12)

là chiết suất tuyến tính và
3πχ ( 3)
n2 = n
0
−

(1.13)

là hệ số chiết suất phi tuyến của môi trường.
Khi tính toán có thể hoàn toàn giả định chiết suất đo được nếu sử dụng
chùm laser đơn sắc (hình 1.4a). Bằng cách khác có thể tìm được sự phụ thuộc
của chiết suất vào cường độ là sử dụng 2 chùm riêng rẽ thể hiện ở hình 1.4b.
Ở đây sự có mặt của chùm mạnh với biên độ E( ω) làm thay đổi chiết suất của
chùm yếu với biên độ E(ω'). Độ phân cực phi tuyến tác động đến sóng có
dạng:
PNL(ω') = 6χ(3) ( ω'=ω' +ω-ω)E(ω)2 E(ω')

(1.14)

Chú ý hệ số suy giảm 6 trong trường hợp này giảm bằng 2 lần trường
hợp chùm đơn phương trình (1.6). Thật ra với trường hợp 2 chùm, hệ số suy
giảm bằng 6 nếu ω=ω', vì chùm sóng được bắn ra từ một nguồn bơm theo

7


những hướng truyền khác nhau có tính chất vật lý khác nhau. Từ đây chiết
suất của môi trường sẽ là:
−

n = n0 + 2 n 2 (weak)E(ω)2

(1.15)

ở đây
− (weak)
2

=

n

6πχ ( 3)
n0

======>
E(ω)

(1.16)

======>
E(ω)eiφ

χ(3)

Hình 1.4a
Như vậy một sóng mạnh làm cho chiết suất của một sóng yếu cùng tần
số tăng lên gấp đôi so với chiết suất của riêng nó. Hiệu ứng này được biết như
là tính trễ của sóng yếu [12].
Sóng mạnh

E(ω)
E(ω')

E(ω')eiφ

χ(3)
Sóng dò

Hình 1.4b

Một cách khác biểu thị mối quan hệ của chiết suất vào cường độ là
phương trình:
n = n0 + n2 I

(1.17)

ở đây I là cường độ trung bình theo thời gian của trường quang
I=

n0 c
2

E(ω)
2π

(1.18)

So sánh (1.5) và (1.17) chúng ta có:

8


−

2 n2 E(ω)2 = n2I

(1.19)

Từ (1.18) và (1.19) ta có:
4π

−

n2 = π n c n2
0

(1.20)

Từ (1.14) và (1.20) chúng ta tìm được n2 quan hệ với χ(3) theo công thức:
n2 =

12π 2 ( 3)

χ
n02 c

(1.21)

Đơn vị của I là W/cm2 nên đơn vị của n2 là cm2/W. Chúng ta tìm được
 cm 2
n2 
 W

0.0395 ( 3)
 12π 2 7 ( 3)
χ (esu ) .
 =
10 χ (esu ) =
2
n02
n0


Lựa chọn môi trường Kerr với hệ số phi tuyến hợp lý đưa vào hệ quang
và tạo ra hiệu ứng phản hồi ngược (feedback) ta sẽ nhận được một linh kiện
lưỡng ổn định quang học toàn quang (All-Optical Bistable Device). Các hệ
quang này chủ yếu là giao thoa kế, hoặc là cấu trúc các lớp sắp xếp theo chu
kỳ .
1.4. Lý thuyết hoạt động của các giao thoa kế
1.4.1. Giao thoa kế cổ điển
a. Nguyên lý
Nguyên lý hoạt động của tất cả các giao thoa kế được trình bày như hình
1.5 Sóng vào có cường độ I vào sẽ bị chia thành hai hay nhiều sóng thành phần

với biên độ Ak. Các sóng này truyền lan theo các quang trình khác nhau với
biên độ lớn sk=nxk(n là chiết suất môi trường, xk là quãng đường truyền của
sóng với biên độ Ak) và sau đó gặp nhau ở đầu ra của giao thoa kế.
sk
s3
s2
Ivào≈ A02

s1

Ira ≈ [A1+A2+…Ak]2

Hình 1.5. Sơ đồ miêu tả nguyên lý hoạt động của giao thoa kế.
9


Bởi vì các sóng thành phần xuất phát từ một nguồn, nên chúng sẽ kết
hợp khi hiệu quang trình giữa chúng nhỏ hơn độ dài kết hợp. Biên độ sóng ra
sẽ là tổng chồng chất (superposition) của tất cả các sóng thành phần, phụ
thuộc vào biên độ Ak và pha ϕ k = ϕ 0 + 2πs k λ . Cần chú ý rằng biên độ tổng phụ
thuộc vào bước sóng. Cường độ của ánh sáng ra được tính như sau:
I ra ≈

∑A

2

(1.22)

k

k

Cường độ cực đại của sóng ra sẽ đạt được khi có sự tăng cường của tất
cả các sóng thành phần. Điều này dẫn đến điều kiện cho độ lệch quang trình
như sau:
∆sik = si − s k = m λ , (m = 1,2,3...)

(1.23)

Số sóng thành phần phụ thuộc vào cấu trúc của giao thoa kế, ví dụ giao
thoa kế Michelson và Mach - Zehnder
có hai tia, còn giao thoa kế Fabry -

A0

Perot có nhiều tia.

B1

b. Sự giao thoa của nhiều tia
Giả

thiết

một

sóng

A1

phẳng

C1

A2

B2

C2

A3

An

B3

C3

E = A0 e i ( ωt − kx ) chiếu vào tấm trong suốt

dưới một góc α , giới hạn bởi hai mặt,
các mặt này có hệ số phản xạ R

D1

D2

D3

Hình 1.6

(Fabry-Perot Etalon).
Ai +1 = R Ai , i ≥ 2

;

Bi +1 = R Bi , i ≥1

Ci +1 = R Ci , i ≥1

;

Di +1 = R Di , i ≥ 2

(1.24)

Trên mỗi mặt, sóng với biên độ A i chia thành hai sóng. Phản xạ và
khúc xạ với biên độ tương ứng

Aphx = Ai R

và Akhx = Ai (1 − R) . Ở đây chưa

tính đến hấp thụ. Từ hình 1.6 ta có thể nhận được các biểu thức liên tiếp cho

10


các sóng Ai phản xạ từ mặt trên, Bi khúc xạ từ mặt trên, Ci phản xạ từ mặt

dưới, và Di truyền qua như sau:
Hai sóng lân cận nhau có quá trình lệch nhau
∆s = 2 d n 1 − sin 2 β

(1.25)

trong đó d là độ dày và n là chiết suất của Etalon. Giả sử chiết suất của môi
trường xung quanh là 1, thì độ lệch quang trình này sẽ làm cho 2 sóng lân cận
lệch pha một lượng:
δ = 2π∆/ λ +ϕ0

(1.26)

trong đó ϕ 0 là độ lệch pha do phản xạ ban đầu ở mặt trên. Ví dụ A 0 phản xạ
từ mặt có chiết suất n>1 sẽ lệch pha một lượng ϕo = π, như vậy.
A1 = R A0 exp(iπ ) = − R A0 .

Biên độ tổng của sóng truyền qua D là tổng chồng chập của các sóng D i
thành phần
∞

∞

m =1

0

D = ∑ Dm e i ( m −1)δ = (1 − R ) A0 ∑ R m e imδ

(1.27)

Nếu xét cho trường hợp α = 0 và sử dụng biểu thức:
1-cos δ = 2 sin 2 (δ / 2) và I = 2c ε 0 AA*, từ (1.27) ta nhận thấy cường độ sóng ra
như sau:
I ra =

I 0 (1 − R ) 2
(1 − R ) 2 + 4 R sin 2 (δ / 2)

(1.28)

Từ (1.28) ta thấy rằng cường độ cực đại của I ra đạt được khi δ = 2mπ .
Trong trường hợp δ ≠2m π giá trị cường độ ra sẽ thay đổi phụ thuộc vào hệ số
phản xạ R.

11


1.4.2. Lý thuyết về lưỡng ổn định của giao thoa kế Fabry-Perot phi
tuyến với sự hấp thụ tuyến tính
Ivao

Ic

Môi trường phi tuyến

n=n0+n2Ic

M1 (R1)

Ira
M2 (R2)

d
Hình 1.7 Sơ đồ cấu tạo của NFPI

Trong mục này ta sẽ giới thiệu lý thuyết về hoạt động của giao thoa kế
Fabry-Perot phi tuyến có tính đến sự hấp thụ tuyến tính. Qua đây chúng ta tìm
hiểu về các gần đúng mà các tác giả, giả thiết phương trình sóng và đưa ra
hàm truyền.
Cấu tạo của giao thoa kế Fabry-Perot phi tuyến trình bày như hình 1.7.
Sử dụng phương trình sóng trong quang học phi tuyến và giả thiết sóng phẳng
truyền theo hướng z và –z trong buồng cộng hưởng Fabry-Perot phẳng song
song, chúng ta sẽ nhận được điện trường E trong trạng thái ổn định (instable
state), trong đó thành phần phụ thuộc thời gian exp(i ω t) được bỏ qua [2], [5].

∂2E
4πω 2
2
2

+
k
E
=
ik
α
−
n2 E  E
2

2

∂z
c



(1.29)

trong đó α là hệ số hấp thụ cường độ (intensity absorption coefficient), k là
hằng số truyền, ω là tần số góc và c là vận tốc ánh sáng. Phân cực phi tuyến
2

của môi trường đẳng hướng là P = n2 E E (một lần nữa bỏ qua e iωt , n2 là
hằng số thực mô tả chiết suất phi tuyến).
Sau khi định nghĩa biên độ thực Et, Ef và pha φt φ f của sóng tới và sóng
phản hồi tương ứng, hàm bao của trường có dạng:
E = Et e iφ1 e −ikz + E f e

iφ f

e ikz

(1.30)

12


Khi chọn gần đúng đường bao biến đổi chậm và lấy trung bình
(averaging) trong nhiều chu kỳ không gian qua lại (spatial period leads), so

sánh phần thực và phần ảo ta nhận được 4 phương trình sau:
∂φt − 2πωn2 2
=
Et + 2 E 2f
∂z
n0 c

[

∂φ f

=

∂z

[

]

− 2πωn2 2
E f + 2 Et2
n0 c

(1.31)

]

(1.32)

∂Et − α

=
Et
∂z
2
∂E f
∂z

=

(1.33)

α
Ef
2

(1.34)

Bốn phương trình trên sẽ được giải với điều kiện biên của buồng cộng
hưởng Fabry-Perot . Từ (1.33) và (1.34) ta thu được độ lệch pha phi tuyến sau
một lần đi lại φf - φt được biểu diễn thông qua cường độ hiệu dụng trung bình
trong buồng cộng hưởng (effective mean internal intensity), được định nghĩa
như sau:
6πωn2
φ f − φt = 2γ I hd =
n0 c

∫ [ E ( z ) + E ( z ) ] dz
d

2

t

2
f

(1.35)

0

trong đó là độ dài buồng cộng hưởng, γ = 24π2ωn2d/n02c.
Bây giờ ta định nghĩa tham số mới A = 1-e-βt là phần hấp thụ sau một
lần qua lại, Rt(Rs) là hệ số phản xạ của gương trước và sau tương ứng,
Rα = (1 − A) R1 R2 là phản xạ trung bình, F = 4 Rα / (1 − Rα )

2

giải phương trình

(1.33) & (1.34) ta có hàm truyền cường độ tổng của Fabry-Perot [2].
T=

(1 − Rs ) (1 − Rt ) (1 − A)
1
2
2
1 + F sin ( γI hd − δ )
(1 − Rα )

(1.36)

Hay cưòng độ ra

I ra =

(1 − Rs ) (1 − Rt ) (1 − A)
I0
1 + F sin 2 ( γ I hd − δ )
(1 − Rα ) 2
13

(1.37)


trong đó I0 là cường độ sóng vào, δ là độ điều pha trong buồng cộng hưởng
Như vậy, bằng cách sử dụng phương trình sóng với một số phép lấy
gần đúng để giải cho hệ giao thoa kế Fabry-Perot các tác giả đã đưa ra
phương trình quan hệ vào ra có dạng giống như giao thoa kế cổ điển về mặt
hình thức [2]. Điều này có thể khẳng định rằng, nếu ta đặt α=0, Rt = Rs = R
và n2=0 thì (1.37) trở lại bằng chính (1.28).
1.5. Kết luận chương 1
Qua nghiên cứu tổng quan về linh kiện lưỡng ổn định quang học trên cơ sở
giao thoa kế phi tuyến đã trình bày ở trên, chúng ta thấy rằng:
- Có thể xây dựng phương trình vào-ra của giao thoa kế phi tuyến bằng
phương pháp chồng chất truyền thống.
- Đặc trưng lưỡng ổn định và ảnh hưởng của các tham số lên hiệu ứng
được khảo sát từ quan hệ vào-ra của cường độ qua linh kiện.
- Các giao thoa kế phi tuyến sẽ hoạt động như một linh kiện lưỡng ổn
định nếu chọn một bộ các tham số vật lý thích hợp.
- Để mở rộng khả năng ứng dụng của giao thoa kế Milchelson phi tuyến
cần đánh giá ảnh hưởng của các tham số cấu trúc tới đặc trưng quan hệ vào-ra

của tín hiệu khi truyền qua giao thoa kế Michelson phi tuyến.
Những vấn đề trên cũng là nội dung chính của luận văn sẽ được trình
bày trong chương 2.

14


Chương 2
ĐẶC TRƯNG LƯỠNG ỔN ĐỊNH
CỦA GIAO THOA KẾ MICHELSON PHI TUYẾN
Như đã giới thiệu ở chương I, một linh kiện lưỡng ổn định quang học
(quang-quang) cần bảo đảm hai điều kiện:
1. Có thể tạo ra tín hiệu phản hồi ngược.
2. Có môi trường phi tuyến Kerr (hoặc môi trường hấp thụ bão hoà).
Cấu tạo của giao thoa kế Michelson cổ điển theo [7], [10], [14] cấu tạo
bởi hai gương phản xạ 100% và một bản chia 50% không đạt được hai điều
kiện trên. Nhằm mục đích tạo ra phản hồi ngược cần có thêm hai gương khác
đặt đối diện với hai gương đã cho; ngoài ra cần đưa môi trường phi tuyến
Kerr vào giữa các gương để tạo ra hiệu ứng thay đổi pha truyền của các chùm
tia qua lại giữa các gương. Một giao thoa kế như vậy được đề xuất và gọi là
giao thoa kế Michelson phi tuyến đóng (Nonlinear Close Michelson
Interferometer - NCMI).
2.1. Cấu tạo của NCMI và nguyên lý hoạt động
Sơ đồ cấu tạo của NCMI được đề xuất và trình bày trên hình 2.1. Từ
giao thoa kế Michelson cổ điển gồm hai gương phản xạ 100% M 3 và M4 đặt
vuông góc với nhau và một bản chia P có hệ số phản xạ 50%. Hai gương M 1
và M2 có hệ số phản xạ thay đổi R1 và R2 tương ứng đặt thêm song song với
hai gương kia tạo thành một hệ gồm hai buồng cộng hưởng Fabry-Perot
vuông góc với nhau. Giả sử một sóng laser đi lại vuông góc với một trong các
gương, thì sóng này sẽ quay lại nhiều lần giữa bốn gương. Thuật ngữ đóng

được hiểu trong ý nghĩa này.

15


M3(R3=100%))

y

M1(R1)

x

M4(R4=100%)

Iin

x
z

Bản chia P

L

(L1)
M2(R2)

L

(L2)

Iout

Môi trường Kerr

Hình 2.1 Sơ đồ cấu tạo của CNMI và mô tả quang lộ.

Bản chia 50% sẽ chia không gian giữa bốn gương thành hai phần. Một
phần sẽ chứa đầy môi trường phi tuyến Kerr. Khoảng cách giữa các gương và
tâm bản chia được chọn như nhau và bằng L (có nghĩa độ dài cạnh của gương
sẽ là 2L).
Giả thiết môi trường phi tuyến này có hệ số hấp thụ tuyến tính là α. Một
tia sáng tới có cường độ I in truyền qua gương M1 tại toạ độ (y,z) trên mặt
gương M1. Sau khi qua gương M1 tia sáng sẽ đến bản chia P và bị chia thành
hai tia thành phần bên trong NCMI. Một trong hai tia thành phần đi qua
không gian tự do, đến gương M3, phản xạ trở lại bản chia (nhánh thứ nhất).
Tia thành phần còn lại đi qua môi trường, đến gương M 4 rồi phản xạ trở lại
bản chia P (nhánh thứ hai). Sau khi qua bản chia các tia thành phần này lại
được chia nhỏ hơn và đi đến các gương M 1 và M2, rồi phản xạ trở lại bản
chia. Sau khi đến gương M1 một phần sẽ đi ra ngoài và không trở về. Đây là
phần tổn hao không tính đến trong tính toán. Phân tổn hao trên gương M 2 do
đi ra ngoài được lựa chọn như là ánh sáng ra (output). Phần quay trở lại vào
trong sẽ đóng vai trò như ánh sáng điều khiển (control). Quá trình này lặp đi

16


lặp lại nhiều lần. Sự kết hợp giữa các tia thành phần (tia đi lại trong NCMI)
với các mốt cộng hưởng dẫn tới trạng thái giao thoa (tính cộng hưởng), kết
quả là biên độ của ánh sáng truyền qua (output) và phản xạ quay vào trong
NCMI (control) biến thiên rất nhanh [9]. Do đó NCMI là rất nhạy đối với sự

thay đổi rất nhỏ của chiết suất, mặc dù các hiệu ứng phi tuyến thông thường
đòi hỏi cường độ ánh sáng tới rất cao mới làm thay đổi đáng kể đặc trưng của
vật chất [9].
Với việc chọn các tham số của NCMI như là hệ số phản xạ của các
gương, độ dày và độ cảm phi tuyến bậc ba của môi trường phi tuyến và cường
độ ánh sáng tới một cách hợp lý thì cường độ ra sẽ có dạng binari, NCMI hoạt
động như một linh kiện lưỡng ổn định.
Để hiểu rõ nhận định trên, chúng tôi khảo sát quan hệ vào-ra của cường
độ ánh sáng khi vào từ gương M1 và đi ra từ gương M2.
2.2. Quan hệ vào ra của cường độ
Giả sử một sóng phẳng đi vào NCMI từ gương M 1 phân bố bất kỳ theo tiết
diện ngang (có thể theo hàm Gau xơ hoặc đều), đường bao biến thiên chậm,
phương trình sóng của nó được miêu tả như sau :

E in ( x, y, z, t ) = A in (y, z, t ) e i( ωt-kx )
trong đó k, ω là môdun véc tơ và tần số sóng, Ain(y,z,t) là biên độ.
Trong gần đúng biến thiên chậm, biên độ A in(y,z,t) phụ thuộc thời gian,
tuy nhiên sự thay đổi của nó theo thời gian nếu có cũng không thể đo được
trong khoảng một chu kỳ quang học (~ 10-15 s). Hay nói cách khác sự thay đổi
của nó không ảnh hưởng đến phép tính cường độ trung bình trong chu kỳ
quang học. Do đó cường độ I ≈ 〈A2(y,z,t)〉 lấy trung bình bình phương mô đun
biên độ trong chu kỳ quang học cũng phụ thuộc thời gian.

17


Khi truyền qua M1 tới bản chia P sóng ánh sáng sẽ bị thay đổi một
lượng về pha do truyền qua quãng đường L 1 [14] và một lượng về biên độ do
gương có độ truyền qua (1- R1), tức là tại P nó có phương trình :

E 0 ( x, y, z, t ) = 1 - R1 A in ( y, z, t )
= 1 - R1 A in ( y, z, t ) e

L
i[ ω( t + 1 ) - kx]
v
e

i[ ωt - (kx -

2 πL1
)]
λ

=

= 1 - R1 A in e

i[ ωt - (kx -

ωL1
)]
v

hay :
i[ ωt - (kx -

2 πνL1
)]
v

= 1 - R1 A in ( y, z, t ) e

i[ ωt - (kx -

2 πL1
)]
Tv

= 1 - R1 A in ( y, z, t ) e

i[ ωt - (kx -

2 πL1
)]
λ

E 0 ( x, y, z, t ) = 1 - R1 A in ( y, z, t ) e

=

=

Hay :
E 0 ( x, y, z, t ) = A 0 ( y, z, t ) e i ( ωt - φ)
(Trong đó A 0 ( y, z, t ) = 1 - R1 A in ( y, z, t ) và φ = (kx -

2πL1
) , v là vận tốc còn λ
λ

là bước sóng ánh sáng trong chân không (không khí).
Từ bản chia P sóng E0(x,y,z,t) tách làm hai, phần truyền qua P đi qua môi
trường phi tuyến có phương trình tại M4 : E ( x, y, z, t ) e
0

− αL 2 2 iπnL 2
2 e λ

, còn phần

phản xạ tại P đi về gương M3 tại M3 có phương trình : E ( x, y, z, t ) e
0

18

2 iπL 2
λ


Như vậy biên độ A0(y,z,t) không thay đổi trong quá trình sóng
E0(x,y,z,t) truyền lan trong NCMI. Để đơn giản trong cách mô tả, từ đây
chúng ta thay A0(y,z,t) bởi A0 và Ei(x,y,z,t) bởi Ei
Vòng thứ nhất
⊕ E0 truyền tới bản chia P bị tách thành 2 :
• Tia truyền qua P và truyền qua môi trường phi tuyến tới gương M4 và phản
xạ 100% ngược lại P, và tại P có phương trình :

E1 =

1
L
t -ϕ
+
2 δ)
A 0 e -α
ei(ω
2
1

trong đó : δ1 =

1

2 πnL 2
λ

(2.1)

(α là hệ số hấp thụ, n là chiết suất, của môi trường phi tuyến Kerr, L1 cho trên
hình vẽ 2.1 ).
Tia phản xạ truyền tới gương M3 rồi phản xạ 100% ngược trở lại P, và tại P có
phương trình :
E2 =

1

A 0 e i ( ωt - φ + 2 δ 2 )

2

2π
(2.2)
L2
với δ 2 =
λ
Như vậy ánh sáng qua môi trường phi tuyến lần thứ nhất chính là ánh sáng

điều khiển vòng 1 (được tính tại tại bản chia P ) và có phương trình :

E ctr1 = E1 =

1
A 0 e- αL1 e i ( ωt - ϕ+2 δ1 )
2

.

⊕ Tia E1 tại bản chia P tách thành 2 tia thành phần :
• Tia phản xạ truyền qua môi trường phi tuyến đi về M2 có phương trình :
1
- αL
1
E 3 == A 0 e -αL e 2 e i ( ωt -ϕ+2 δ +δ ) .
2
2

với δ 3 =

1

1

3

2π
nL
λ 1

(2.3)

• Tia truyền thẳng qua P về phía gương M1, tại M1 có phương trình :
19


1
A 0 e -αL 2 e i ( ωt-ϕ+2δ1 +δ4 )
2
2π
với δ 4 =
L
λ 1
E4 =

(2.4)

⊕ Tia với phương trình E2 cũng chia làm 2 phần (khi tới bản chia) :
• Phần truyền thẳng qua P và môi trường phi tuyến về M2 có phương trình :
1

- α L1

1
E 5 = A 0 e 2 e i ( ωt -ϕ + 2 δ 2 + δ 3 ) .
2

• Phần phản xạ tại P đi về M1 có phương trình tại M1 :

E6 =

1
A 0 e i ( ωt -φ + 2 δ 2 + δ 4 ) .
2

⊕ Cùng truyền về M2 2 tia E3 và E5 tổng hợp với nhau cho ta phương trình dao
động tổng hợp tại M2 là :

(

1

)

- α L1
1
E 7 = E 3 + E 5 = A 0 e 2 e -αL 2 e 21δ1 + e 2 iδ 2 e i ( ωt -ϕ + δ 3 )
2

⊕ Từ đó sóng ánh sáng ra khỏi CNMI ở vòng thứ nhất sẽ là :

(

1

E out1

)

- αL1
1
= A 0 1 - R 2 e 2 e -αL 2 e 2 iδ1 + e 2 iδ 2 e i ( ωt -ϕ+ δ3 ) .
2

Vòng thứ hai
⊕ Tia sáng E7 khi phản xạ tại M2 và truyền qua môi trường phi tuyến tới
bản chia với phương trình ( tại P ) :

(

)

1
R 2 A 0 e -αL1 e -αL 2 e 2 iδ1 + e 2 iδ2 e i ( ωt -ϕ+2 δ3 )
2
Tại bản chia P, E8 lại tách làm 2 tia thành phần :

E8 =

• Tia phản xạ và đi qua môi trường phi tuyến tới M4 với phương trình (tại
M4):

E9 =

R2
2 2

A0e

- αL 1

e

-

1
αL 2
2

(e

- αL 2

e 2 iδ1 +e 2 iδ2

20

)e

i ( ωt - ϕ+2 δ3 +δ1 )


• Tia truyền thẳng qua P về gương M3, tại gương M3 có phương trình :

R2
E10 =
A 0 e- αL1 e- αL 2 e 2 iδ1 +e 2 iδ2 e i ( ωt - ϕ+2 δ3 +δ2 )
2 2
⊕ Cùng lúc truyền tới M1, 2 tia E4 và E6 kết hợp với nhau, tạo thành tia E11:
1
E 11 =E 4 +E 6 = A 0 e - αL 2 e 2 iδ1 +e 2 iδ2 e i ( ωt - ϕ+δ4 )
2
E11 sau khi truyền qua gương M1 cho tia đi ra ngoài GTKMPT từ gương M1 ở
vòng 1:
1
E R1 =
1 −R1 A0 e -αL 2 e 2 iδ1 +e 2 iδ2 e i (ωt -ϕ+δ4 )
2

(

)

(

)

(

)

E11 sau khi phản xạ tại gương M1 tới bản chia P với phương trình tại P :
R1
E12 =

A 0 e - αL 2 e 2 iδ1 +e 2 iδ2 e i ( ωt - ϕ+2 δ4 )
2
⊕ Tại bản chia P, E12 lại tách làm 2 tia thành phần :

(

)

• Tia truyền thẳng qua môi trường phi tuyến với dao động tại M4 :

E13 =

R1

A0e

-

1
αL 2
2

(e

- αL 2

)

e 2 iδ1 + e 2 iδ2 e i ( ωt - ϕ+2 δ4 +δ1 )

2 2
• Tia phản xạ tại P và truyền tới M3 tại M3 có phương trình :

E 14 =

R1
2 2

(

)

A 0 e - αL 2 e 2 iδ1 +e 2 iδ2 e i ( ωt - ϕ+2 δ4 +δ2 )

⊕ Cùng lúc truyền qua môi trường phi tuyến và cùng đi về gương M4, E9 và
E13 kết hợp với nhau tạo thành E15 tại M4 :

E15 = E 9 + E13 =

A0

e

1
- αL 2
2

(e

-α L 2

e 2 iδ1 + e 2 iδ 2

)(

)

R 2 e -αL1 e 2 iδ 3 + R1 e 2 iδ 4 e i ( ωt -ϕ+ δ1 )

2 2
E15 phản xạ 100% tại gương M4 và qua môi trường phi tuyến một lần nữa ta

được cường độ ánh sáng điều khiển ở vòng thứ hai và dao động của nó tại P
là

E ctr 2 = E16 =

A0
2 2

(

e -αL2 e -αL2 e 2 iδ1 + e 2 iδ 2

)(

21

)

R 2 e -αL1 e 2 iδ3 + R1 e 2 iδ 4 e i( ωt-ϕ+ 2 δ1 )


⊕ Cùng lúc đi tới M3 2 tia E10 và E14 kết hợp với nhau, tạo thành dao động tại
P có phương trình :

E17 = E10 + E14 =

R2
2 2
+

E17 =

(

(

)

A 0 e-αL1 e -αL 2 e 2 iδ1 + e 2 iδ2 e i ( ωt-ϕ+2 δ3 +δ2 ) +
R1

2 2

A 0 -αL 2 2 iδ1
e e + e 2 iδ 2
2 2

(

)

A 0 e -αL2 e 2 iδ1 + e 2 iδ2 e i ( ωt-ϕ+2 δ4 +δ2 )

)(

)

R1 e 2 iδ4 + R 2 e-αL1 e 2 iδ3 e i ( ωt-ϕ+δ2 )

E17 phản xạ 100% tại M3 rồi đi về về P, tại P có phương trình :

E18 =

(

A 0 -αL2 2 iδ1
e e + e 2 iδ 2
2 2

)(

)

R1 e 2 iδ4 + R 2 e-αL1 e 2 iδ3 e i ( ωt-ϕ+2δ2 )

⊕ E16 tại bản chia P tách thành 2 phần :
• Tia phản xạ tại P qua môi trường phi tuyến đến gương M2 tại M2 có phương
trình :

1

(

- α L1
A
E19 = 0 e -α L 2 e 2 e -α L 2 e 2 iδ1 + e 2 iδ 2
4

)(

)

R1 e 2 iδ 4 + R 2 e -α L1 e 2 iδ 3 e i ( ω t-ϕ + 2 δ1 + δ 3 )

• Tia truyền qua P đi về phía gương M1, tại M1 có phương trình :

E 20 =

(

A 0 -αL 2 -αL 2 2 iδ1
e
e e + e 2 iδ 2
4

)(

)

R1 e 2 iδ 4 + R 2 e -αL1 e 2 iδ3 e i ( ωt -ϕ + 2δ1 + δ 4 )

⊕ E18 tại bản chia P cũng tách làm 2 :
• Tia truyền thẳng qua P và qua môi trường phi tuyến về gương M2 tại M2 có
phương trình :
1

E 21

(

A - αL1 -αL 2 2 iδ1
= 0e2
e e + e 2 iδ2
4

)(

)

R1 e 2 iδ4 + R 2 e -αL1 e 2 iδ3 e i ( ωt -ϕ+2 δ2 +δ3 )

• Tia phản xạ tại P đi về gương M1, tại M1 có phương trình :

E 22 =

(

A 0 -αL2 2 iδ1
e e + e 2 iδ 2

4

)(

)

R1 e 2 iδ4 + R 2 e-αL1 e 2 iδ3 e i ( ωt-ϕ+2δ2 +δ4 )
22