Khảo sát cường độ tán xạ Brillouin cưỡng bức trong trường hợp ba chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
*****************

ĐINH XUÂN HOÀNG

KHẢO SÁT CƯỜNG ĐỘ TÁN XẠ BRILLOUIN CƯỠNG BỨC TRONG
TRƯỜNG HỢP BA CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ
Chuyên ngành: Quang học
Mã số: 60.44.01.09

Cán bộ hướng dẫn: TS. Chu Văn Lanh

VINH - 2013

LỜI CẢM ƠN

1


Lời cảm ơn đầu tiên tác giả xin gửi đến trường ĐH
Vinh, trường ĐH Sài Gòn, khoa vật lý trường ĐH Vinh đã
tạo mọi điều kiện trong quá trình tác giả học tập và nghiên
cứu luận văn.
Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo
CHU VĂN LANH người đã trực tiếp giảng dạy, tận tâm
định hướng, hướng dẫn tác giả nghiên cứu và hoàn thành
luận văn này.
Xin cảm ơn thầy cô giáo giảng dạy tác giả trong suốt

khóa học, các nhà khoa học, giáo viên phản biện đã đóng
góp những ý kiến quý báu cho luận văn.
Xin cảm ơn BGH trường THPT Nguyễn Văn Trỗi –
Tánh Linh – Bình Thuận cùng đồng nghiệp, gia đình, bạn bè
đã động viên, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá
trình học tập và nghiên cứu luận văn của tác giả.

MỤC LỤC
Mở đầu …………………………………………………………………………1

2


Chương 1. TỔNG QUAN VỀ TÁN XẠ BRILLOUIN
1.1.

Quá trình tán xạ tự phát và tán xạ kích thích của ánh sáng.......................3
1.1.1 Quá trình tán xạ tự phát.....................................................................6
1.1.2 Tán xạ Brillouin của ánh sáng..........................................................8
1.1.3 Tán xạ Raman ánh sáng.....................................................................9
1.1.4 Quá trình tán xạ cưỡng bức..............................................................10
1.1.5. Phương trình sóng và phân cực phi tuyến.......................................14
1.1.6. Lý thuyết tán xạ Brillouin cưỡng bức ...........................................16
1.1.7 Tán xạ Brillouin cưỡng bức nhiệt....................................................21
1.1.8 So sánh SRS và SBS.......................................................................22

1.2 Vật liệu SBS và đặc trưng SBS…………………………………………….24
1.3 Kết luận chương 1………………………………………………………….26
Chương 2. KHẢO SÁT CƯỜNG ĐỘ TÁN XẠ
BRILLOIN TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU

2.1. Trường hợp SBS với chùm tia phân bố Gauss……………………………28
2.2 Trường hợp SBS ba chiều không bão hòa…………………………………35
2.3. Kết luận chương 2…………………………………………………………44
KẾT LUẬN CHUNG…………………………………………………………..45
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………...46

MỞ ĐẦU

3


1. Lý do chọn đề tài
Tán xạ Brillouin được nhà Vật lý Louis Brillouin phát hiện năm 1922. Đó là
hiện tượng tán xạ ánh sáng xảy ra khi ánh sáng tương tác với sóng âm trong các
môi trường vật chất như rắn, lỏng, khí. Tán xạ Brillouin rất khó quan sát khi sử
dụng các nguồn sáng thông thường.
Tuy nhiên đến năm 1960, khi các nhà khoa học dùng nguồn sáng laser có
cường độ cực lớn chiếu vào các môi trường vật chất, làm xuất hiện tán xạ Brillouin
cưỡng bức (SBS) có cường độ lớn và dễ quan sát. Lúc này tán xạ Brillouin được
các nhà khoa học quan tâm đặc biệt vì nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
khác nhau như: tạo sự liên hợp pha, tạo sự nén xung, tăng cường sự trộn bốn sóng
trong sợi quang … Đặc biệt vào năm 2007, một nhóm các nhà nghiên cứu Vật lý
người Mĩ tại trường Đại học Duke và Đại học Rochester đã nghiên cứu thành công
trong phòng thí nghiệm một phương pháp cho phép “lưu giữ” tín hiệu ánh sáng
dưới dạng sóng âm nhờ áp dụng hiệu ứng tán xạ Brillouin cưỡng bức trong sợi
quang. Đây quả là một thành công đáng mừng đối với công nghệ sản xuất bộ nhớ
toàn quang cho hệ thống viễn thông tương lai.
Trong những năm gần đây đã xuất hiện một số công trình trong nước nghiên
cứu về các quá trình tán xạ như tán xạ Raman, tán xạ Bragg, còn về tán xạ
Brillouin chưa được quan tâm nhiều, hầu như còn bỏ ngỏ.

Chính vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “ Khảo sát cường độ tán xạ
Brillouin cưỡng bức trong trường hợp ba chiều”.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
- Nghiên cứu về quá trình tán xạ Brillouin tự phát, tán xạ Brillouin cưỡng bức.
- Khảo sát cường độ tán xạ Brillouin trong trường hợp ba chiều.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
4


- Dẫn ra phương trình mô tả cường độ tán xạ Brillouin cưỡng bức.
- Đưa ra lời giải xác định cường độ tán xạ Brillouin trong các trường hợp đặc
biệt như: chế độ dừng, chế độ bỏ qua sự hấp thụ cảm ứng...
4. Cơ sở lý luận và phương pháp nghiên cứu đề tài
Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu bằng lý thuyết dựa trên hệ
phương trình mô tả cường độ Brillouin trong trường hợp ba chiều.
5. Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của luận văn
- Kết quả của luận văn hoàn thiện các quá trình nghiên cứu về tán xạ Brillouin
nói riêng và làm bổ sung phong phú các nghiên cứu về các quá trình tán xạ nói
chung.
- Định hướng các ứng dụng của tán xạ Brillouin trong khoa học, công nghệ.
Đặc biệt là trong thông tin quang.
- Làm tài liệu tham khảo cho các học viên cao học và cho những ai quan tâm.

Chương 1. TỔNG QUAN VỀ TÁN XẠ BRILLOUIN
1.1. Quá trình tán xạ tự phát và tán xạ kích thích của ánh sáng
Khi có ánh sáng hoặc có sóng điện từ đi qua môi trường vật chất thì các quá
trình tán xạ khác nhau có thể xảy ra. Vật chất có thể ở dạng lỏng, rắn hoặc khí,
nhưng trong mỗi trường hợp ánh sáng bị tán xạ bởi sự dao động hoặc sự kích thích

5

của các đặc tính quang học của môi trường (cụ thể là thay đổi mật độ môi trường).
Quá trình tán xạ sẽ làm mất đi các photon tới và sinh ra các photon tán xạ lệch so
với hướng ban đầu và có tần số dịch đi so với tần số ban đầu. Một số tán xạ được
biết như tán xạ Rayleigh, tán xạ Brillouin và tán xạ Raman. Trong điều kiện ánh
sáng thường, tán xạ là một quá trình thống kê ngẫu nhiên xảy ra trong vùng tần số
góc rộng như chỉ ra trong hình 1.1. Trong chương này, chúng tôi chủ yếu làm rõ
hiện tượng tán xạ Brillouin. Tuy nhiên, chúng tôi dành một phần để đề cập một
cách ngắn gọn đến quá trình tán xạ Raman, nó đóng một vai trò quan trọng trong
quang học phi tuyến và có thể song hành với tán xạ Brillouin, đây là các cơ chế tán
xạ chiếm ưu thế [1], [2].
Ở cấp độ cơ bản nhất, tán xạ có thể được mô tả bằng phương pháp cơ học
lượng tử, mặc dù trong thực tế bản chất của một số dạng tán xạ có thể được mô tả
đầy đủ bởi cơ chế cổ điển ( Ví dụ như trong tán xạ Brillouin, phonon có năng
lượng bé hơn kBT, kB là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ). Tán xạ xảy ra do sự
tương tác của các sóng ánh sáng (cổ điển) với các kích thích (dao động) trong môi
trường. Trong lý thuyết lượng tử, ánh sáng có thể được xem là tập hợp của các
photon (lượng tử của trường điện từ) và môi trường bị kích thích gồm các phonon
(lượng tử của môi trường kích thích - các dao động của môi trường). Đối với ánh
sáng có cường độ yếu (mật độ photon thấp), sử dụng photon và phonon để mô tả
quá trình là cần thiết. Trong thực tế, các nguồn ánh sáng có cường độ cao (ví dụ
như laser) và môi trường có thể kích thích mạnh – trong mức lượng tử lớn, sử dụng
lý thuyết sóng bán cổ điển để mô tả sự tương tác là thích hợp nhất. Trong phần
này, chúng tôi sẽ sử dụng cách tiếp cận sóng để mô tả một cách định lượng sự
tương tác giữa ánh sáng với môi trường . Tuy nhiên, chúng tôi cũng sẽ sử dụng bức
tranh của các photon và phonon để mô tả cho đơn giản và có cái nhìn sâu sắc hơn
nữa vào các quá trình [2].

6

Môi trường tán xạ
Ánh sáng tới

Ánh sáng
tán xạ

Hình 1.1. Tán xạ tức thời của ánh sáng tới
Tán xạ ánh sáng Brillouin bắt nguồn từ sự tương tác ánh sáng với sự lan
truyền sóng âm (hoặc phonon âm). Các photon tới bị mất đi, cùng với việc
sinh ra hoặc làm mất đi một phonon sẽ dẫn đến các photon tán xạ (bức xạ), có
tần số tương ứng gọi là Stokes hoặc đối Stokes. Thành phần Stokes có tần số
dịch về phía thấp hơn và thành phần đối Stokes có tần số dịch về phía cao
hơn. Khi nhìn vào phổ tần số của ánh sáng tán xạ theo một hướng cụ thể (xem
hình 1.2) xuất hiện như là hai vạch có tần số gần với tần số ánh sáng tới, do
tần số âm thanh nhỏ hơn nhiều so với tần số quang, và được gọi là vạch đôi
Brillouin ( hình 1.2). Mặt khác, khi ánh sáng bị tán xạ bởi dao động phân tử,
hoặc các phonon quang học, đó là tán xạ Raman. Dịch chuyển tần số với các
tần số khác nhau, giữa hàng trăm và hàng ngàn số dao động (cm -1), có thể xảy
ra do sự tán xạ Raman và được xác định bằng tần số dao động khác nhau (và
tần số quay) của vật chất. Khoảng dịch tần có thể so sánh với tần số quang
học (ví dụ như ánh sáng xanh ở bước sóng λ = 500nm, có số dao động = 1 / λ =
20000cm-1). Trong các nguyên tử hay phân tử có tồn tại các trạng thái dao
động và trạng thái quay. Hình 1.2, mô tả vạch Raman. Tại trung tâm, có
thành phần tán xạ Rayleigh. Nó không có sự thay đổi tần số vì nó tán xạ bởi
môi trường không có sự thăng giáng mật độ [2].

7

Rayleigh
STOKES

Brillouin

Brillouin

Raman

ĐỐI STOKES

Raman

Cư
ờng
độ
tán
xạ

Tần số dịch chuyển
Hình 1. 2. Phổ tần số của ánh, tần số thấp hơn tần số ánh sáng tới (Stokes) và
tần số cao hơn tần số ánh sáng tới (đối stokes)
Cũng giống như một vài hình thức tán xạ khác, phụ thuộc vào bước sóng, khi
bước sóng càng ngắn thì tán xạ càng mạnh (ví dụ như ánh sáng màu xanh) và nó
giúp chúng ta giải thích tại sao nhìn thấy nền trời màu xanh trong ngày.
Khi cường độ ánh sáng tới yếu, quá trình tán xạ ánh sáng được gọi là tự
phát. Trong trạng thái này tán xạ được gây ra bởi sự kích thích lượng tử hoặc
kích thích nhiệt của môi trường và cường độ tán xạ tỉ lệ với cường độ của ánh
sáng tới. Mặt khác, với ánh sáng có cường độ lớn thì cường độ của ánh sáng

tán xạ trở nên rất mạnh và sự dao động của vật chất được sinh ra bởi sự có
mặt của ánh sáng tới. Trong chế độ này, sự tán xạ ánh sáng được gọi là tán xạ
cưỡng bức. Các quá trình tán xạ cưỡng bức có thể dễ dàng quan sát khi cường
độ ánh sáng nằm trong khoảng : 106W / cm 2 < I L < 109W / cm 2 . Trong khoảng
cường độ này, sự tương tác mạnh giữa trường ánh sáng và vật chất được quan
sát rõ. Ví dụ, việc chuyển đổi của ánh sáng tới thành ánh sáng tán xạ là con
đường duy nhất trong quá trình tán xạ kích thích. Trong nhiều trường hợp,
sự truyền ánh sáng trong một môi trường trong suốt bị giảm mạnh. Ngược lại,
8


tán xạ tự phát như đã biết đến là cực nhỏ (ví dụ như phần tán xạ ~ 10 -5 ), bởi
vậy nó ít ảnh hưởng đến sự truyền ánh sáng.
Như chúng ta sẽ thấy trong phần sau, sự khuếch đại theo hàm số mũ của
ánh sáng tán xạ có thể được xảy ra trong trạng thái tán xạ kích thích được xác
định bởi công thức:
I S ( z ) = I S (0) exp( g B I L z )

(1.1)

Trong đó IS(z) là cường độ ánh sáng tán xạ ở các vị trí z trong môi trường,
IS(0) là cường độ tán xạ tại điểm ban đầu, g B là hệ số khuếch đại của quá trình
tán xạ. IL là cường độ của chùm ánh sáng tới, và l là chiều dài của môi trường
khuếch đại.
1.1.1 Quá trình tán xạ tự phát
Xét một trường điện từ (một sóng ánh sáng) tới môi trường tán xạ như
trên hình 1.3. Photon của ánh sáng tới (E L) bị hủy cùng với việc tạo ra các
photon ánh sáng tán xạ (ES) và phonon của môi trường kích thích (Q)[3].
Môi trường tán xạ
ES

EL

θ

Q

Hinh 1.3. Sự tương tác photon tới, photon tán xạ và phonon
môi trường.
Có ba đại lượng chính đặc trưng cho mỗi quá trình tán xạ [3] như sau.

9


- Độ dịch tần ωQ = ωL – ωS (đối với tán xạ Stokes), được xác định bởi
định luật bảo toàn năng lượng (  ϖ ) và xung lượng (  K ) bảo toàn.
ωL = ωS + ωQ

(1.2)

KL = K S + K Q
Trong đó ωL, ωS, ωQ là tần số góc và K L, KS, KQ là véc tơ sóng tương ứng với ánh
sáng tới, ánh sáng tán xạ và vật liệu kích thích (phonon) [13].
a)
b)
ωS

ωL

KS

KQ

θ
KL

ωQ

Hinh1.4. Bức tranh tương tác photon-phonon cuả tán xạ cho thấy mối quan hệ
giữa (a) tần số và (b) véc tơ sóng.
Hình 1.4 biểu diễn hình ảnh về mối quan hệ của phương trình (1.2). Mối
quan hệ tán xạ mô tả liên quan giữa véc tơ sóng với tần số sẽ xác định xung lượng
phù hợp với sự dịch chuyển tần số theo hướng θ.
- Sự mở rộng tần số của bức xạ tán xạ phụ thuộc vào chu kì kích thích τ Q ,
ứng với cường độ ánh sáng qua vật liệu suy giảm theo hàm số mũ và vạch phổ có
dạng Lorentzian thì độ rộng quang phổ ∆v được cho bởi công thức:
∆v =

ΓQ
2π

=

(1.3)

1
2πτ Q

10

Trong đó ΓQ là độ rộng của tần số góc và bằng nghịch đảo chu kì kích thích.
- Tiết diện tán xạ trên một đơn vị góc khối ( dσ / dΩ ) được xác định bởi:
dPS / dz = PL (dσ / dΩ) ∆Ω

(1.4)

Trong đó PS và PL là công suất tương ứng của ánh sáng tán xạ và ánh sáng tới, ∆Ω
là góc khối.
1.1.2 Tán xạ Brillouin của ánh sáng
Hiện tượng tán xạ Brillouin bắt nguồn từ sự tương tác ánh sáng với một sóng
âm (phonon âm).
Tần số Brillouin ωB là đại lượng nhỏ hơn so với tần số quang học, do đó,
có thể lấy xấp xỉ ω L ≈ ω S và K L ≈ K S . Khi đó, tam giác véc tơ sóng trong hình
1.4 (b) gần như là một tam giác cân, và bằng cách tính đơn giản, tần số ω B
trong trường hợp này sẽ là:
ω B = K Bυ = 2ω L (n / c)υ sin θ / 2

(1.5)

Trong đó c/n là vận tốc ánh sáng trong môi trường, υ là vận tốc của phonon
âm và θ là góc giữa véc tơ sóng K L, KS. Theo phương trình (1.5), giá trị của ω B
lớn nhất đối với tán xạ ngược khi (θ = 180 0). Thông thường độ dịch Brillouin
nằm trong trong khoảng tần số ν B ≈ 0.3 − 6GHz (0.1 − 2cm −1 ) với θ = 1800. Những
âm có tần số cao như vậy được gọi là siêu âm. Độ dịch tần số có xu thế bằng
không tại θ = 00. Khi chu kì âm tiến đến vô cùng thì không quan sát được tán
xạ.
Thời gian tồn tại của phonon âm được xác định bởi công thức:
τB =

11

ρ0
ηK B2

(1.6)


Trong đó ρ0 là khối lượng riêng của môi trường, η là độ nhớt và K B là véc tơ
sóng Brillouin của sóng âm. Trong chất lỏng, giá trị của τ B = 10-9 được tìm
thấy với θ = 1800, tương ứng (từ phương trình 1.3) cho một độ rộng là Δv B =
108 Hz (3.10-3cm). Thời gian của các sóng siêu âm là rất ngắn. Trong chất lỏng,
vận tốc âm v vào cỡ ~ 103 m / s. Do đó, quãng đường truyền đặc trưng của
sóng siêu âm (vB = 1GHz) là lB = v τB = 1μm.
1.1.3 Tán xạ Raman ánh sáng
Tán xạ Brillouin là do một sự kích thích của các thành phần cấu tạo nên
vật liệu (Ví dụ như sự lan truyền của sự thăng giáng mật độ môi trường do
sóng âm gây ra). Các tần số âm trong một phổ liên tục tương tác mạnh nhất
với ánh sáng xảy ra trong sự bảo toàn đồng thời năng lượng và xung lượng.
Tuy nhiên, tán xạ Raman là do ánh sáng tương tác cộng hưởng với hệ phân tử
và sự thay đổi tần số tương ứng với từng phân tử của hệ. Hệ đơn giản gồm
một phân tử (Ví dụ như Nitơ N 2) như thể hiện trong hình 1.5. Các tán xạ
Raman mạnh nhất thường được gắn với các mốt dao động của các phân tử
(tán xạ Raman rung động). Các mốt quay cũng có thể làm gia tăng sự tán xạ
Raman quay [5].

ω( r )

ω( v )

Hinh 1.5. Quá trình tán xạ Raman rung động và tán xạ Raman quay của dao động

của một phân tử

12


Thời gian dao động của phân tử có thể được suy ra từ độ rộng của vạch
Raman (công thức (1.3)). Trong chất lỏng, đại lượng đặc trưng cho tán xạ Raman
là: tần số dao động ν R = 1000cm −1 (3.1013 Hz ) , độ rộng vạch ∆ν R = 5cm −1 (30GHz ) và
thời gian dao động của các phân tử τ R = 10 −12 (1 ps ) . Tiết diện tán xạ có giá trị ~ 10 -7
cm-1ster-1.
Dịch tần trong tán xạ Raman là tỉ phần đáng kể đối với tần số quang học.
Đối với bức xạ tại bước sóng λ = 500nm (v = 2.10 4 cm -1) , dịch tần Raman vR =
1000cm-1 tương ứng với một sự thay đổi (vR / v) = 5% hoặc khoảng 25 nm.
Đối với mỗi dao động phân tử, có thể quan sát thấy hai vạch Raman. Vạch
Stokes và vạch Đối Stokes được chuyển từ trạng thái ban đầu đến trạng thái kích
thích và ngược lại. Ở nhiệt độ phòng, đối với tán xạ tự phát các trạng thái kích
thích dao động có cường độ đối Stokes nhỏ hơn so với cường độ Stokes.
So sánh tán xạ Brillouin và tán xạ dao động Raman trình bày trong bảng
1.1. Các đại lượng so sánh đặc trưng là tần số v = ϖ / 2π , độ rộng vạch tán xạ Δv,
và tiết diện tán xạ dσ / dΩ [9].
Bảng 1.1: So sánh tần số dịch chuyển, độ rộng vạch phổ, hệ số khuếch đại,
thời gian sống của các dao động giữa tán xạ Raman và tán xạ Brillouin.
Quá trình
tán xạ

Độ dịch
chuyển tần
sốν = ω / 2π

độ rộng

phổ

Mặt tán xạ

Hệ số

cắt ngang d

khuếch đại

σ / dΩ

g(cm/MW)

Thời gian
sống

Brillouin

109

108

10-6

10-2

10-9

Raman

1013

1011

10-7

5.10-3

10-12

1.1.4 Quá trình tán xạ cưỡng bức
Tán xạ cưỡng bức ánh sáng [3] khác với tán xạ tự phát qua các yếu tố sau:

13


• Nó được quan sát bởi ánh sáng có cường độ cao trên ngưỡng nhất định ;
• Nó xảy ra với bức xạ đơn sắc có độ rộng phổ hẹp;
• Phổ tán xạ cho từng vạch riêng (phổ gián đoạn)
Hiện tượng tán xạ ánh sáng có thể xẩy ra do hiện tượng thăng giáng đặc tính
quang học của hệ vật chất. Quá trình tán xạ ánh sáng gọi là tự phát khi sự thăng
giáng của môi trường (thông thường thăng giáng hằng số điện môi) làm cho hiện
tượng tán xạ ánh sáng được kích hoạt bởi các hiệu ứng nhiệt hoặc hiệu ứng lượng
tử điểm không (không có mặt của ánh sáng). Ngược lại, hiện tượng tán xạ ánh sáng
gọi là cưỡng bức, khi thăng giáng được cảm ứng dưới tác động của ánh sáng. Tán
xạ cưỡng bức thông thường hiệu quả hơn nhiều so với tán xạ tự phát. Ví dụ, một
phần 10-5 công suất chùm laser sẽ bị tán xạ tự nhiên khi đi qua 1cm nước, nhưng
hầu như 100% công suất sẽ tán xạ trong quá trình cưỡng bức.
Tán xạ Brillouin cưỡng bức (SBS) và tán xạ Raman cưỡng bức (SRS)

rõ ràng là quá trình được tăng cường do sử dụng bức xạ mạnh. Tán xạ cũng
là một quá trình kết hợp, phải thỏa mãn định luật bảo toàn năng lượng và
xung lượng. Do đó đòi hỏi sự kết hợp hoàn toàn về thời gian và không gian
của các nguồn bức xạ (ví dụ như tia laser). Quá trình tán xạ tự phát có thể
được mô tả bằng quang học tuyến tính. Nhưng khi cường độ bức xạ tới cao,
cường độ của tán xạ cưỡng bức không còn tuyến tính, sự tăng cường của môi
trường kích thích dẫn đến sự tăng cường trong tán xạ. Cường độ ánh sáng tới
lớn hơn một ngưỡng giới hạn thì xảy ra quá trình phản hồi dương và chế độ
tán xạ cưỡng bức xuất hiện và đặc trưng bởi sự khuếch đại theo hàm số mũ
của các bức xạ tán xạ:
I S (output ) = I S (input ) exp( g B (ν )l )

14

(1.7)


Độ khuếch đại G = exp (gB (v) ILl) được xác định bởi hệ số khuếch đại
của quá trình tán xạ gB (v), cường độ ánh sáng tới IL , và chiều dài môi trường
(chiều dài tương tác) l. Nó phụ thuộc rất mạnh vào cường độ ánh sáng tới.
Bằng cách này, chỉ cần tăng một phần nhỏ cường độ tới sẽ dẫn đến thay đổi
cường độ tán xạ lên một bậc. Ngoài ra, tán xạ mạnh nhất đạt được tại tần số
trung tâm của quá trình tán xạ cưỡng bức g B (0). Sự phụ thuộc theo hàm số
mũ của độ khuếch đại vào hệ số khuếch đại của quá trình tán xạ cưỡng bức sẽ
làm cho độ rộng phổ hẹp hơn so với trường hợp tán xạ tự phát. Trong tán xạ
Brillouin cưỡng bức (SBS) hướng chiếm ưu thế của sự tán xạ là theo hướng
ngược (θ = 1800). Điều này xảy ra vì nhiều lý do:
a) Chiều dài tối đa đạt được thường là dọc theo trục của chùm tia và tương
ứng với chiều dài của môi trường tương tác (l). Đối với các góc khác (ví dụ
900) có chiều dài tương tác được giới hạn bởi đường kính (d) của chùm tia tới

( d << l).
b) τB đạt giá trị nhỏ nhất tại θ = 1800 (xem công thức 1.6), vì vậy sự tăng
trưởng nhanh nhất và khởi đầu của sự tán xạ sẽ được theo hướng ngược lại.
Điều này đặc biệt quan trọng khi sử dụng tương tác xung ngắn.
c) Khi tương tác với ánh sáng có mặt đầu sóng phù hợp với cấu trúc không
gian, thì tốc độ khuếch đại sẽ tăng nhanh hơn so với với các mode tán xạ
không có sự tương quan giữa không gian với chùm tia tới. Sự tương quan này
chỉ có thể xảy ra trên khoảng tán xạ theo hướng ngược ( hoặc thẳng). Sự
tương quan không gian của các tán xạ bức xạ dẫn đến hiện tượng thú vị và
quan trọng được gọi là liên hợp pha quang (học) hoặc còn gọi là đảo đầu sóng
[10].

15


l

ω ()v

ω( )r

d
IL

IS

Hinh 1.6. Tán xạ ngược kích thích (θ = 1800) là cơ chế chủ yếu đối với SBS
Trong hầu hết các trường hợp thí nghiệm [2], cường độ ban đầu của tán
xạ IS (đầu vào) bắt nguồn từ sự tán xạ tự phát yếu. Đối với kiểu tán xạ ngược
hình 1.6, sự tán xạ tự phát xảy ra ở mặt sau của vùng tương tác, nó có cường

độ tỉ lệ thuận với cường độ laser, với nhiệt độ phòng chuẩn, giá trị của I S(l) ≈
IL(l)exp(-30) . Khi độ khuếch đại G ~ exp(30) ≈ 10 13, quá trình khuếch đại
cưỡng bức sẽ đưa tán xạ ban đầu đến giá trị IS(0) có thể so sánh với các cường
độ laser ban đầu. Nó là cách gọi thông dụng để nói về một cường độ giới hạn
cho SBS khi bắt đầu có sự phụ thuộc mạnh theo hàm số mũ của cường độ tới.
Yếu tố này được lấy G = exp (30), tương ứng với một ngưỡng cường độ.
I L ,th =

30
g Bl

(1.8)

Tại cường độ này, sự chuyển đổi từ bức xạ laser sang bức xạ tán xạ bắt
đầu xảy ra. Thật vậy, phương trình (1.7) cho dự đoán hiệu suất chuyển đổi sẽ
là 100%. Điều này là không đúng đối với laser có cường độ thay đổi trên
chiều dài tương tác và cần xây dựng một công thức đầy đủ cho phép sự suy
giảm laser. Một phương án hữu ích là đôi khi sử dụng ngưỡng G = exp (25),
tương ứng với việc chuyển đổi khoảng 1% của bức xạ laser vào Stokes (và giả
16


thiết gần đúng không có sự suy giảm laser). Trong thực nghiệm, hình thức
này cho phép “quan sát" rõ nét một phần nhỏ tán xạ được tạo ra (so với ánh
sáng tới). Trong thực tế, quá trình cưỡng bức vẫn còn xảy ra ở độ khuếch đại
và cường độ tới thấp hơn. Do đó tồn tại giá trị ngưỡng xác định ranh giới giữa
tán xạ tự phát và tán xạ cưỡng bức. Việc xác định giá trị ngưỡng đóng một vai
trò quan trọng trong thực nghiệm vì từ đó cho biết cường độ chùm sáng tới
đạt đến giá trị bằng bao nhiêu để xảy ra hiện tượng tán xạ Brilloin cưỡng
bức.

Khi hoạt động ở cường độ cao hơn nhiều so với ngưỡng, hiệu suất
chuyển đổi laser sang ánh sáng tán xạ cao đã được xác định lớn hơn 90%. Sự
chuyển đổi này làm cho quá trình tán xạ cưỡng bức được quan tâm nhiều.
Khi sử dụng chùm sáng tới có cường độ lớn, một môi trường trong suốt có thể
trở thành gần như không truyền tải và điều này có vai trò quan trọng trong
thông tin quang.
1.1.5. Phương trình sóng và phân cực phi tuyến
Phần trước, chúng ta đã mô tả quá trình tán xạ cưỡng bức ở mức độ
định tính. Để khảo sát về mặt định lượng, ta xét sự lan truyền của ánh sáng đi
qua môi trường tán xạ trên cơ sở sử dụng hệ phương trình Maxwell.
Sự tương tác của ánh sáng với môi trường tán xạ được mô tả bởi hệ
phương trình Maxwell:
∇× E = −

∂B
;
∂t

∇ × B = εµ

∂E
∂t

(1.9)

Kết hợp phương trình (1.9) với phương trình sóng phi tuyến ta có:
∇2E −

n 2 ∂ 2 E αn ∂E
∂ 2 P NL

−
=
µ
0
c ∂t
c 2 ∂t 2
∂t 2

17

(1.10)


Trong đó E và B tương ứng là vectơ cường độ điện trường và véc tơ cảm ứng
từ, n là chiết suất của môi trường, α là hệ số hấp thụ (điện) và toán
2
tử ∇ =

∂2
∂2
∂2
+
+
. Chiết suất và hệ số hấp thụ bắt nguồn từ thành phần
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

tuyến tính (cường độ thấp) của môi trường phân cực và P NL là độ phân cực
phi tuyến.
Để đơn giản hóa phương trình sóng (1.10), ta đưa vào một số giả thiết:
Điện trường là chồng chập của các thành phần điện trường E j của các sóng có

tần số khác nhau ϖ j với biên độ và góc pha biến đổi chậm, phân cực tuyến
∧

tính và sự lan truyền ánh sáng theo hướng ( ± z ) ( K j = ±K j z ). Do đó, điện
trường và sự phân cực tuyến tính có thể được viết.
E (r , t ) =

P NL (r , t ) =

{

[

]

[

1 N
∑ E J exp i(+ K J z − ϖ j t ) + E J* exp − i(+ K J z − ϖ j t )
2 J =1

{

]}

}

1 N
PJNL exp(−iϖ j t ) + ( PJNL ) * exp(iϖ j t )
∑

2 j =1

(1.11)
(1.12)

Gần đúng đường bao biến thiên chậm, tức là giả thiết biên độ thay đổi chậm
so với bước sóng quang học hay chu kì quang học, cho phép bỏ qua đạo hàm
bậc hai theo hướng (z) và thời gian (t) : tức là
∂2E j
∂2z

∂2E j
∂2z

<< K j (∂E j / ∂z ) và

<< ω j (∂E j / ∂z ) , các phương trình sóng trở thành:



n j ∂E j ∂E j 1
iϖ j
i
∇ T2 E j +
±
+ αE j =
PJNL exp(iK J z )
2k J
c ∂t
∂z 2

2ε 0 cn j

18

(1.13)


2
Trong đó toán tử ∇ T =

∂2
∂2
+
tính với nhiễu xạ ngang của sóng và các ký
∂x 2 ∂y 2

hiệu dấu trên phù hợp truyền theo hướng +z và chậm hơn theo hướng –z.
Đối với trường ánh sáng thông thường, độ phân cực tỉ lệ với điện trường và
độ cảm χ ij , tương ứng với độ phân cực phi tuyến bằng không PNL = 0. Ở điện
trường cao, χ ij không còn là hằng số và người ta có thể viết độ phân cực thành
chuỗi lũy thừa của độ cảm với bậc tăng dần χ n :
(1.14)



( 3)
Pi = ε 0 ∑ χ ij(1) E j + ∑ χ ijk( 2) E j E K + ∑ χ ijkl
E j E k E l + ...
j ,k
j , k ,l

 j


Số hạng thứ 3 trong công thức (1.14) có mối quan hệ với quá trình tán xạ
cưỡng bức và nó quyết định số hạng PNL bên phải của công thức (1.13).
1.1.6. Lý thuyết tán xạ Brillouin cưỡng bức
Khi mật độ hay nhiệt độ môi trường thay đổi, độ cảm điện sẽ thay đổi ,
do đó, độ phân cực phi tuyến có liên quan đến mật độ ρ, và nhiệt độ T, được
mô tả theo công thức:
 ∂ε 

 ∂ε 
P NL =   ∆ρ + 
 ∆T  E
 ∂T  ρ
 ∂ρ  T


(1.15)

Trong đó cường độ phụ thuộc vào độ thay đổi mật độ Δρ (tại nhiệt độ
xác định) và thay đổi nhiệt độ ΔT (tại mật độ không đổi). Sự tương tác của tia
laser và trường Stokes gây ra sự giao thoa làm biến đổi mật độ môi trường
và sinh ra một sóng âm. Có hai cơ chế ứng với hiện tượng này. Số hạng đầu
tiên trong (1.15) cho biết nguyên nhân thay đổi mật độ cảm ứng do hiện tượng
điện giảo gây ra bởi sự giao thoa giữa trường laser và trường Stokes. Đây là
cơ chế chính SBS. Số hạng thứ hai (1.15) xảy ra trong môi trường hấp thụ, ở
19

đó các trường giao thoa với nhau làm xuất hiện thăng giáng nhiệt độ, dẫn đến
sự thay đổi mật độ và tạo ra một sóng âm. Cơ chế này được gọi là tán xạ
Brillouin cưỡng bức do nhiệt (STBS) và chỉ xảy ra trong môi trường hấp thụ.
Trong phần này, chúng tôi sử dụng các phép gần đúng để dẫn ra lý
thuyết mô tả tán xạ Brilloin do sự thay đổi mật độ cảm ứng. Chúng tôi giả
thiết rằng:
• Không có tán xạ Brillouin cưỡng bức do nhiệt (STBS) bằng cách bỏ qua tất
cả các hiệu ứng mà cường độ phụ thuộc vào nhiệt độ (ΔT = 0);
• Các sóng đều là sóng phẳng và bỏ qua nhiễu xạ sóng ngang ( ∇ T = 0 ).
Khi đó, nếu xét cả những thay đổi nhỏ trong mật độ môi trường
∆ρ = ρ , − ρ 0 gây ra bởi sự có mặt của các trường quang học, trong đó ρ 0 là mật

độ trung bình. Khi đó, ta biểu diễn các trường và sự thay đổi mật độ theo các
công thức:
E=

*

1  E L exp[ i ( K L z − ω L t )] + E L exp[ − i ( K L z − ω L t )]


2 + E S exp[ i (− K S z − ω S t )] + E S* exp[ − i (− K S z − ω S t )] 

∆ρ =

1
{ ρ exp[ i( Kz − ωt )] + c.c.}
2

(1.16)

(1.17)

trong đó: ω = ωL – ωS của laser và trường Stokes, KL, KS và K là độ lớn của
các véc tơ sóng với K = KL+ KS ≈ 2KL. Các trường laser dịch chuyển theo
hướng +z , trường Stokes theo hướng - z (tán xạ ngược) và mật độ sóng âm
được dịch chuyển theo hướng + z. Để tổng quát, chúng ta cho phép một sự
thay đổi nhỏ so với tần số cộng hưởng ∆ω = ω − ω 0
Công thức (1.17) được dẫn ra là do lực điện giảo trong môi trường. Nó
phụ thuộc vào bình phương của điện trường E2. Điều này làm cho mật độ tăng

20


ở khu vực có cường độ điện trường cao. Môi trường không thể đáp ứng trực
tiếp với trường quang học, nhưng có thể đáp ứng với tần số chênh lệch giữa
hai trường quang học đó là tần số phách ω = ω S − ω L lan truyền với tốc độ
ωL − ωS
. Nếu sự điều tần phách điện giảo truyền lan với tốc độ âm trong môi
KS + KL

trường thì lực điện giảo hợp pha với sóng âm được sinh ra. Đây chính là điều
kiện hợp pha hay hợp xung ứng với sự cộng hưởng.
Từ công thức (1.13), ta thu được phương trình trường sau:
∂E L n ∂E L 1
iω L γ e
+
+ αE L =
ES ρ
∂z

c ∂t
2
4cn L ρ 0
−

∂E S n ∂E S 1
iω S γ e
+
+ αE S =
EL ρ *
∂z
c ∂t
2
4cnS ρ 0

(1.18)
(1.19)

Trong đó γ e = ρ 0 (∂ε / ∂ρ ) là hệ số điện giảo
Để thu được biên độ của các nhiễu loạn phi tuyến cảm ứng trong mật độ
môi trường (ρ), phương trình Navier-Stokes với một lực điện giảo được kết
hợp với các phương trình liên tục để có phương trình vật chất:
γ e ε 0 K B2
∂2ρ
∂ρ
2
2
− 2iω
− (ω − ω B + iω ΓB ) ρ =
E L E S*

2
∂t
2
∂t

(1.20)

Trong phương trình này, các đạo hàm theo không gian của các trường
âm đã được bỏ qua khi sóng âm lan truyền không đáng kể theo thời gian của
sự tán xạ (v << c / n). Phương trình này có dạng của một dao động điều hòa
cưỡng bức tắt dần, trong đó số hạng bên phải là do hiện tượng điện giảo làm
tăng mật độ ở các vùng điện trường cao.

21


Chúng tôi có thể sử dụng xấp xỉ

∂2ρ
<< 2ω (∂ρ / ∂t ) , điều này là phù hợp
∂t 2

nếu biên độ sóng âm tăng chậm so với các tần số âm. Điều kiện này áp dụng
cho nhiều trường hợp thực tế, nhưng bị phá vỡ nếu kích thích SBS bằng xung
ngắn, tương đương chu kỳ sóng âm ~ 1ns. Chúng tôi cũng xem xét trường hợp
độ điều tần nhỏ, tức là lấy gần đúng ω 2 − ω B2 = (ω + ω B )(ω − ω B ) ≈ 2ω B ∆ω và chúng
ta có phương trình sóng âm.
iγ ε K
Γ
∂ρ

+ (−i∆ω + B ) ρ = e 0 B E L E S*
∂t
2
4ν

(1.21)

Phương trình (1.18), (1.19) và (1.20) mô tả quá trình SBS theo thời gian và
không gian, với giả thiết tương tác sóng phẳng. Chúng ta xác định mật độ
trong trạng thái ổn định của công thức khi các đạo hàm theo thời gian triệt
tiêu. Trong trường hợp này, chúng ta thu được biểu thức cho mật độ:
ρ=

iγ e ε 0 K B
1
E L E S*
4ν
(1 − 2i∆ω / ΓB )

(1.22)

Sau khi thay ρ vào các phương trình trường quang học (1.18) và (1.19)
2

và biểu diễn cường độ theo hệ thức I j = ε 0 cn E j / 2 , chúng ta thu được các
phương trình mô tả cường độ bơm I L và cường độ Stokes IS
dI L
= − g B (∆ω ) I L I S
dz

(1.23a)

dI S
= − g B (∆ω ) I L I S
dz

(1.23b)

Trong đó g B (∆ϖ ) là hệ số khuếch đại Brillouin được xác định ở trạng thái
dừng cho bởi công thức:

22


1
1 + (2∆ω / ΓB ) 2

(1.24a)

ω S2 (γ e ) 2
c 3 nvρ 0 ΓB

(1.24b)

g B (∆ω ) = g B (0)

g B (0) =

Trong đó, g B (0) = g B là hệ số khuếch đại cực đại cộng hưởng, và chúng
tôi đã lấy xấp xỉ ωL = ωS do tần số âm ≈ 10 −5 lần tần số quang học. Hệ số khuếch

đại được đưa ra bởi (1.24a) có phổ tần số góc dạng Lorentz với độ rộng tại
nửa cực đại là ГB. Phương trình (1.23) cho thấy có sự chuyển năng lượng giữa
laser và sóng Stokes, tức là cường độ laser giảm còn cường độ của Stokes tăng
(theo hướng –z).
Nghiệm của phương trình (1.23b), với việc bỏ qua sự suy giảm của laser
bơm, cho thấy Stokes tăng theo hàm số mũ của khoảng cách đối với sự lan
truyền theo hướng – z bắt đầu từ giá trị đầu tiên tại z = l:
I S ( z ) = I S (l ) exp[ g B (∆ω ) I L (0)(l − z )]

(1.25)

Phương trình (1.21) cho biết mật độ sóng âm tại cộng hưởng khi không
có môi trường quang học có độ lớn mật độ sóng âm giảm theo hàm mũ của
thời gian từ giá trị ban đầu tại t = 0:
ρ ( t ) = ρ ( 0 ) exp- ( Γ B / 2 ) t

(1.26)

Cường độ của sóng âm tỷ lệ với bình phương của độ lớn mật độ nên
cường độ âm giảm với một tốc độ ΓB , hoặc với một hàm mũ đặc trưng giảm
theo thời gian τ B cho bởi công thức:
τB =

1
ΓB

(1.27)

23

Đối với các trường hợp mà sóng tán xạ được bắt đầu từ tạp âm, quá
trình sẽ đạt cực đại ở cộng hưởng. Tập hợp các phương trình mô tả trường
hợp cộng hưởng trong điều kiện ổn định có thể dễ dàng mở rộng cho sóng cầu
có nhiễu xạ ngang và bao gồm độ hấp thụ môi trường sau đó sử dụng phương
trình (1.13) dẫn đến:
∂E
g
i
n ∂E L 1
∇ T2 E L + L +
+ αE L = − B I S E L
2K L
∂z
c ∂t
2
2

(1.28)

∂E
g
i
n ∂E S 1
∇ T2 E S − S +
+ αE S = B I L E S
2K L
∂z
c ∂t
2

2

(1.29)

Cặp phương trình tổng quát trên trình bày một cách tổng quát tập hợp các
phương trình trong trạng thái ổn định mô tả sự lan truyền và tương tác của
laser và trường Stokes. Trường hợp tổng quát hơn là trường hợp bỏ qua hoàn
toàn sự thay đổi theo thời gian của trường âm và tại cộng hưởng, hệ phương
trình được thiết lập như sau:
−

n ∂E L ∂E L 1
iω γ
i
∇ T2 E L + 1
−
+ α L EL = 1 e ES ρ
2K L
c ∂t
∂z
2
4cn ρ 0

(1.30a)

+

n ∂E S ∂E S 1
iω γ
i

∇ T2 E S + S
−
+ α S ES = S e ES ρ *
2k S
c ∂t
∂z
2
4cn ρ 0

(1.30b)

iγ ε K
∂ρ ΓB
+
ρ = e 0 B E L E S*
∂t
2
4v

(1.30c)

1.1.7 Tán xạ Brillouin cưỡng bức nhiệt
Trong phần này, chúng ta xét tán xạ Brillouin cưỡng bức nhiệt (STBS).
Trong STBS, sự hấp thu ánh sáng tạo ra biến đổi nhiệt độ, do đó mật độ cũng
biến đổi, đây là một nguồn thứ cấp của sóng âm, nó sẽ kết hợp cùng với sóng
ánh sáng làm thay đổi chiết suất cùng với mật độ.

24

Để thuận lợi cho việc tính toán, ta chọn mật độ ρ và nhiệt độ T là các
đại lượng biến đổi độc lập. Các phân tích cùng một quy trình như trước
nhưng với biến nhiệt độ mới:
T = T − T0 ,

T << T0 ,

1
{T exp[i( Kz − ωt )] + c.c}
2

T=

(1.31)

Chúng ta có thể suy ra được một phương trình mới cho trường tán xạ
(và một sự tương tự cho trường laser)
−


∂E S n ∂E S 1
iω  γ
 ∂ε 
+
+ αE S = S  e E L ρ ∗ +   E L T ∗ 
∂z
c ∂t
2
4cn  ρ 0
 ∂t  ρ



(1.32)

Kết hợp các ảnh hưởng của hiện tượng điện giảo và độ hấp thụ, phương
trình Navier - Stokes được dẫn ra với hệ số khuếch đại do đóng góp từ SBS và
STBS được cho bởi công thức:
g B (∆ω ) = g Be (0)

4∆ω / ΓB
1
+ g Ba (0)
2
1 + (2∆ω / ΓB )
1 + (2∆ω / ΓB ) 2

(1.33)

Số hạng điện giảo giống như trước còn số hạng của độ hấp thụ có giá trị của
g B0 =

ω S2 γ e γ a
2c 3 nvρ 0 ΓB

(1.34)

Trong đó γ a = α (vc 2 β T / C Pϖ S ) được gọi là hằng số hấp thụ liên kết, T là hệ số
giãn nở nhiệt và Cp là nhiệt dung riêng đẳng áp. Sự hấp thụ làm cho hệ số
khuếch đại đạt giá trị lớn nhất tại ∆ω = ΓB / 2 . Nó sẽ triệt tiêu tại tần số cộng
hưởng đối với SBS thuần túy và có thể thêm vào số hạng điện giảo cho ∆ω > 0

( bên Stokes), hoặc trừ đi cho ∆ω < 0 (bên đối Stokes), trong trường hợp này
g B được bỏ qua nếu sự hấp thụ đủ lớn. Rõ ràng là STBS dẫn đến một sự tăng

cực đại tại một độ dịch tần số cộng hưởng lệch so với quá trình SBS điện giảo
thuần.
25