Đề đáp án sát hạch lần 2 A1 2011.THPT Lê Xoay

/>SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT LÊ XOAY
NĂM HỌC: 2010 – 2011
~~~~~~~~~~~
Câu I. Cho hàm số y =

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN ĐỀ LẦN 2
MÔN: TOÁN – LỚP 11. KHTN
(Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề)

2x − 1
(C )
x +1

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ x = 1.
2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt,
đồng thời tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại hai điểm đó song song với nhau.
Câu II.
x − 2 ≤ x + 7 − x +1

1. Giải bất phương trình:
2. Giải hệ phương trình:

 x 2 + 1 + y(x + y) = 5y
 2
(x + 1)(x + y − 2) = 2y

π
3. Giải phương trình lượng giác: 2sin 2 (x − ) = 2sin 2 x − tan x
4
Câu III.

1. Viết phương trình đường tròn đi qua A(1; 2) và tiếp xúc với cả hai đường thẳng
(d1 ) : 2x + y − 3 = 0; (d 2 ) : x − 2y + 1 = 0

2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Cạnh AB = a;
SB = a 5; SA = SC = 2a.

a. Chứng minh rằng: AC ⊥ SB.
b. Dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng SB và AC.
Tính khoảng cách giữa AC và SB.
Câu IV. Cho tập hợp A = { 0, 1, 2, 3, 5, 7, 8 }. Từ các chữ số ở tập A có thể lập được
bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau. Biết rằng số
tự nhiên đó chia hết chia hết cho 45.
1 1 2011
+ =
.
x z
y
x+y
y+z
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
2011x − y 2011z − y
_____Hết_____
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ tên thí sinh:………………………………………..SBD:……………………

Câu V. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn:


/>ĐÁP ÁN THI SÁT HẠCH TOÁN 11- KHTN- NĂM HỌC 2010-2011

Câu – ý
Nội dung
.1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 tại điểm có hoành độ x = 1.
1
3
3
- Có: f (1) = ; f '(x) =
⇒ f '(1) = ;
2
(x + 1) 2
4
3
1 3
1
- PT tiếp tuyến: y = f '(1)(x − 1) + f (1) = (x − 1) + = x − .
4
2 4
4
I I.2 Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ……
2x −1
- Phương trình tương giao:
= −2 x + m có hai nghiệm phân biệt.
x +1
⇔ 2x 2 + (3 − m)x − (m + 1) = 0 (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1.
2 − (4 − m) − (m + 1) ≠ 0
⇔
⇔ ∀m.
2
 (4 − m) + 8(m + 1) > 0
- Giải sử hai giao điểm là A(x1 ;f (x1 )); B(x1 ;f (x1 )). Trong đó x1 , x 2 là hai nghiệm phân

m−3
m +1
biệt của (*). Định lý Viet: x1 + x 2 =
; x1.x 2 = −
(1)
2
2
- Hai tiếp tuyến song song
3
3
⇔ f '(x1 ) = f '(x 2 ) ⇔
=
⇔| x1 + 1|=| x 2 + 1|⇔ x1 + x 2 + 2 = 0.
2
(x1 + 1)
(x 2 + 1) 2
m−4
- Từ (1) ⇒
+ 2 = 0 ⇔ m = 0 (thỏa mãn). Vậy m = 0.
2
1
x − 2 ≤ x + 7 − x +1
Giải bất phương trình:
II
- Đk: x ≥ 2.
- BPT ⇔ x − 2 + x + 1 ≤ x + 7 ⇔ x − 2 + x + 1 − 2 (x − 2)(x + 1) ≤ x + 7
2≤ x ≤8

⇔ 2 x2 − x − 2 ≤ 8 − x ⇔  2
2

4(x − x − 2) ≤ (8 − x)
2≤ x ≤8

 2≤ x ≤8
⇔ 2 ≤ x ≤ −2 + 28
⇔ 2
⇔
 x + 4x − 24 ≤ 0
−2 − 28 ≤ x ≤ −2 + 28
Vậy tập nghiệm là: T = [2; −2 + 28]
2

 x 2 + 1 + y(x + y) = 5y (1)
 2
(x + 1)(x + y − 2) = 2y (2)
- Từ (1) suy ra y khác 0. khi đó hệ tương đương với:
 x2 +1
 x2 +1
+
(x
+
y)
=
5
+ (x + y − 2) = 3


y

 y

⇔ 2
 2
(x
+
1)

 (x + 1) .(x + y − 2) = 2
.(x + y − 2) = 2
 y
 y
u + v = 3
 u = 1; v = 2
x2 +1
- Đặt u =
; v = x + y − 2. Hệ trở thành: 
⇔
y
 u.v = 2
 u = 2; v = 1
Giải hệ phương trình:



−1 − 13
9 + 13
;y =

2
x =
 x +1 = y

x + x − 3 = 0
2
2
TH1. u = 1; v = 2 ⇔ 
⇔
⇔

x
+
y
−
2
=
2
y
=
4
−
x
−1 + 13
9 − 13


;y =
x =


2
2
2

 x 2 + 2x − 5 = 0
 x = −1 − 6; y = 4 + 6
 x 2 + 1 = 2y
TH2. u = 2; v = 1 ⇔ 
⇔
⇔
 x + y − 2 = 1  y = 3 − x
 x = −1 + 6; y = 4 − 6

Điểm
1.00
0.50
0.50
1.00

0.25

0.25

0.25

0.25
1.00
0.25
0.25

0.25
0.25
1.00

0.25
0.25

0.25

0.25


/>−1 − 13 9 + 13 −1 + 13 9 − 13
;
); (
;
) ( −1 + 13;5 − 13);
2
2
2
2
( −1 − 6; 4 + 6) ; ( −1 + 6; 4 − 6).
π
Giải phương trình lượng giác: 2sin 2 (x − ) = 2sin 2 x − tan x
4
π
2
- Pt ⇔ 1 − cos(2x − ) = 2sin x − t anx ⇔ 1 − sin 2x = 2sin 2 x − t anx
2
sin x + cos x
1
⇔ 2sin x(sin x + cos x) −
= 0 ⇔ (sin x + cos x)(2sin x −

)=0
cos x
cos x
π


π

 x = − 4 + kπ
sin
x
+
cos
x
=
0
sin(x
+
)
=
0
π
π
⇔
⇔
⇔
⇔ x = + k , k ∈ Z.
4
 sin 2x = 1


π
π
4
2
x = +k
 sin 2x = 0


4
2
π
π
- Vậy pt có nghiệm: x = + k , k ∈ Z.
4
2

Vậy hệ có 4 nghiệm: (

3

1
III

1.00

0.25
0.25

0.50

Viết phương trình đường tròn đi qua A(1; 2) và tiếp xúc với hai đường thẳng
(d1 ) : 2x + y − 3 = 0; (d 2 ) : x − 2y + 1 = 0

1.00

d(I, (d1 )) = d(I, (d 2 )) (1)
- Giả sử I(x 0 ; y 0 ) là tâm đường tròn. Khi đó: 
(2)
 d(I, (d1 )) = AI
 2x 0 + y 0 − 3 = x 0 − 2y 0 + 1
| 2x 0 + y 0 − 3 | | x 0 − 2y 0 + 1|
=
⇔
(1) ⇔
5
5
 2x 0 + y 0 − 3 = −(x 0 − 2y 0 + 1)
 x + 3y 0 − 4 = 0
⇔ 0
Th1. x 0 + 3y 0 − 4 = 0 . Thế vào (2) được:
3x 0 − y 0 − 2 = 0

0.25

4 − x0


2x 0 +
−3


2x
+
y
−
3
4
−
x


2
2
3
0
0
(x 0 − 1) 2 + (y 0 − 2) 2 =  0

 ⇔ (x 0 − 1) + ( 3 − 2) = 
5
5






⇔ 5x 02 − 4x 0 + 8 = 0 (VN)
TH2. 3x 0 − y 0 − 2 = 0 . Thế vào (2) được:

2

2

2

 2x + y0 − 3 
 2x 0 + 3x 0 − 2 − 3 
2
2
(x 0 − 1) + (y 0 − 2) =  0
 ⇔ (x 0 − 1) + (3x 0 − 2 − 2) = 

5
5




2

0.25

2

2

0.25

5
⇔ 5x 02 − 16x 0 + 12 = 0 ⇔ x 0 = 2; x 0 = .

6
Với x 0 = 2 ⇒ y0 = 4; R = 5. ⇒ (C1 ) : (x − 2) 2 + (y − 4) 2 = 5.

6
8
1
6
8
1
⇒ y0 = ; R =
⇒ (C2 ) : (x − ) 2 + (y − ) 2 = .
5
5
5
5
5
5
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn.
2.a Chứng minh rằng: AC  SB.
Với x 0 =

Gọi M là trung điểm của AC.
Khi đó: Do tam giác SAC cân tại S,ABC cân tại B
⇒ BM ⊥ AC; SM ⊥ AC

0.25
S

1.00
2a

2a

M

A

a

2

C
a

⇒ AC ⊥ (SBM) ⇒ AC ⊥ SB.

0.50

N

0.50

5

a

a

B

/>Cách khác:
        
CM: SB.AC = (SA + AB)AC = SA.AC + AB.AC = 0
2.b Tính khoảng cách giữa AC và SB.
- Trong mp(SBM), gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên SB.
- Khi đó MN là đường vuông góc chung của SB và AC.

1.00

M
7

2
a

B

1
2
- Có: BM = MC = AC =
;
2
2

SM = SC2 − MC2 = a
- Có: cos BMS =
- Khi đó: MN =

IV

a

2

N

a 5

0.25

2

S

7
2

BM 2 + MS2 − BS2 −1
6
=
⇒ sin BMS =
2BM.MS
7
7

2.S(BMS) BM.MS.sin BMS
30
a 30
=
=

a . Vậy d(SB, AC) =
.
SB
SB
10
10

Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số(các chữ số khác nhau) chia hết chia hết cho 45.
- Gọi số cần tìm là: n = a1a 2 a 3a 4 a 5 . Ta có n chia hết cho 45 ⇔ n chi hết cho 9 và 5
⇔ a5 bằng 0 hoặc 5, và (a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 )  9.
- Ta có: 11 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 ≤ a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 ≤ 2 + 3 + 5 + 7 + 8 = 25
⇒ a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 18. Có ba bộ số thỏa mãn: (0,1,2,7,8); (0,2,3,5,7), (1,2,3,5,7)
TH1. Với bộ (0,1,2,7,8), có: 1. 4! = 24 số.
TH2. Với bộ (1,2,3,5,7), có: 1. 4! = 24 số.
TH3. Với bộ (0,2,3,5,7). - Nếu a5 = 0, có: 1. 4! = 24 số.
- Nếu a5 = 5, có: 1. 3.3! = 18 số.
- Vậy có: 24 + 24 + 24 + 18 = 90 số thỏa mãn.
1 1 2011
x+y
y+z
+ =
. Tìm GTNN của P =
+
x z
y
2011x − y 2011z − y
1 1 2011
x + z 2011
2011.xz
- Từ + =

⇔
=
⇒y=
. thế vào P được:
x z
y
xz
y
x+z
2011.xz
2011.xz
x+
z+
x+y
y+z
x+z
x+z
P=
+
=
+
2011x − y 2011z − y 2011x − 2011.xz 2011z − 2011.xz
x+z
x+z
x + 2012z
z + 2012x
x + 2012z z + 2012x
=
+
=

+
2011(x + z − z) 2011(x + z − x)
2011x
2011z
1
2012 z
1
2012 x
2
2012 z x
=
+
. +
+
. =
+
( + )
2011 2011 x 2011 2011 z 2011 2011 x z
- BĐT Cauchuy:
z=x

2
2012
x z 4026

P≥
+
.2 . =
.
Dấu “ = ” ⇔ 

2011.xz 2011x
2011 2011
z x 2011
 y = x + z = 2

Cho :

V

0.25

0.25

0.25
1.00

0.25
0.25
0.25
0.25

1.00

0.25

0.25

0.25

/>0.25
z=x

4026

- Vậy Pmin =
⇔
2011.xz 2011x
2011
 y = x + z = 2
(Học sinh làm cách khác đúng, được điểm tối đa)
Tổ trưởng:
Soạn đề: Nguyễn Minh Hải