Đề thi thử môn toán Quốc Gia 2015 trường THPT Trần Phú

MINHHAKTHIQUCGIA2015 MễNTON
TRNGTHPTTRNPH
2 x- 1
x+ 1
a)Khosỏtsbinthiờnvvth (C)cahmsócho.
b)Xỏcnhtagiaoimcath (C)vingthng (D): y=x 1
Cõu2: (1im)
a) Giiphngtrỡnh: 3 ( cos 2 x ư sin x ) + cos x ( 2sin x + 1)=0.

Cõu1: (2im)Chohms y =

ỡ z+z = 10.
b) Tỡmphnthc,phn ocacỏcs phcz,bit: ớ
ợ z = 13.
Cõu3: (0,5im)Giiphngtrỡnh 52 x-2 - 26.5x- 2 + 1= 0
3
2
ùỡ y - x + y + 1 = x + 3 y ( x + xy + y- 1) + 1
Cõu4: (1im)Giihphngtrỡnh: ớ
2
ùợy + y - 5 x = 5
p
2

Cõu5: (1im)Tớnhcỏctớchphõn: I =ũ sin 2x.sin3 x.dx
0

Cõu6: (1im)ChokhichúpS.ABCDcúỏyABCDlhỡnhchnht,bitAB=2a,AD=a. Trờncnh
a
ABlyimMsaocho AM = ,cnhACctMDtiH.BitSHvuụnggúcvimtphng(ABCD)v
2

SH=a.Tớnhth tớchkhichúpS.HCDvtớnhkhongcỏchgiahaingthngSDvACtheoa.

Cõu7: (1im)ChohỡnhthangcõnABCDcúAB//CD,CD=2AB.GiIlgiaoimcahai
ổ 2 17ử
ngchộoACvBD.GiMlimixngcaIquaAvi M ỗ ữ .Bitphngtrỡnh ng
ố 3 3 ứ
thngDC:x+y 1=0vdintớchhỡnhthangABCDbng12.Vitphngtrỡnh ngthngBCbit
imCcúhonh dng.

Cõu8: (1im)Trongkhụnggian vihtaOxyz,chomtcu(S):
x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 6 z - 2 =0 vmtphng(P):x+y+z+2015=0
a)XỏcnhtatõmIvtớnhbỏnkớnhcamtcu(S).Vitphngtrỡnh ngthngquaIv
vuụnggúcvimtphng(P)
b)Vitphngtrỡnhmtphng(Q)songsongmtphng(P)vtipxỳc(S)
Cõu9: (0,5im)Cú30tmthcỏnhst1n30.Chnngunhiờnra10tmth.Tớnhxỏc
sutcú5tmthmangsl,5tmthmangschntrongúch cúduynht 1tmmangs
chiahtcho10.
Cõu10: (1im)Cho3sdngx,y,zthamónxy+yz+zx=3xyz.
3
xy
yz
zx
Chngminhrng: 3
+
+
Ê
x + y 3 + x 2 z + y 2 z y 3 + z 3 + y 2 x + z 2 x z 3 + x 3 + z 2 y +x 2y 4
ưưưưưưưưưưưưưHTưưưưưưưưưưưư

ĐÁP ÁN ĐỀ MINH HỌA KỲ THI QUỐC GIA 2015 – MÔN TOÁN 
Câu 1. 

1.  y =

(2,0đ) 

2 x - 1 
x + 1 

Tập xác định: D =  ¡ \{–1}. 
Tiệm cận ngang:  y  = 2

lim y = 2

x ®±¥

Tiệm cận đứng:  x = -1

lim y = -¥ ; lim- y = +¥ 

x ®-1+

y ' = 

0,25 

x ®-1 

3 

> 0, "xÎD 
( x + 1 ) 2 
0,25 

Hàm số tăng trên (–¥;–1), (–1;+¥) 
Hàm số không có cực trị. 
x  –¥ 

–1 

+¥ 
+ 

+ 

y’ 

0,25 
2 

+¥ 
y 
2 

–¥ 

y 
5 
4 
3 

0,25 

2 
1 
­5 

­4 

­3 

­2 

­1 

1 

2 

3 

4 

x 

­1 
­2 

2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D) là : 

Câu 2 

2 x - 1 
= x - 1 Û x 2  – 2x = 0 
x + 1 

0,25

Û x = 0 hay x = 2 suy ra y = ­1 hay y = 1 

0,5 

Vậy tọa độ giao đểm là (0; ­1) hay (2; 1) 

0,25 

1. Giải phương trình:

3 ( cos 2 x ­ sin x ) + cos x ( 2sin x + 1) = 0 


(1,0đ) 

Û sin 2 x + 3 cos 2 x = 3 sin x - cos x 
1 
3
3
1
sin x -  cos x
Û sin 2 x +

cos 2 x =
2
2
2
2 
Û sin 2 x cos

p
3

+ cos 2 x sin

Û sin(2 x +

p
3

= sin x cos

p

p
6

p

- cos x sin 

p

) = sin( x -  ) 
6 
3

6 
0,25 

p
p
é
+ k 2 p
=
2
+
x
x
ê
6 
3
(k Î ¢ ) 
Ûê
ê 2 x + p = p - ( x - p ) + k 2 p
êë
6 
3
p
é
ê x = - 2  + k 2 p
(k Î ¢ ) 
Ûê

ê x = 5p + k 2 p
êë
3 
18

0,25 

ì z + z  = 10 . 

2. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức z, biết: í

î z  = 13 . 

Giả sử z = x + yi => z = x– yi.   (x, yÎIR) 

ìï2 x  = 10 . 
. 
ïî x 2  + y 2  = 13 . 

0,25

Theo đề bài ta có : í

ì x = 5 
. 
Ûí
î y  = ±12 
Câu 3 

0,25 

Giải phương trình  5 2 x - 2  - 26 . 5 x - 2  + 1 = 0 

(0,5đ) 

ét  = 1 
ët  = 25 

Đặt t = 5 x >0.  Pt <=> t 2 –26t + 25 = 0 <=> ê

é x = 0 
. 
ë x = 2 

<=> ê
Câu 4 
(1,0đ) 

ìï y - x + y + 1 = x 3 + 3 y ( x 2  + xy + y - 1) + 1 
0
Giải hệ phương trình :  í
2 
ïî y + y - 5 x  = 5

0,25 

0,25 


ì y > 0 

( vì y=0 không thỏa hpt) 
î x + y ³ -1

Điều kiện :  í

(1) Û

-( x + 1) 
= ( x + 1)( x 2  - x + 1) + 3 y ( x + 1)( x + y - 1) 
y + x + y + 1
0,25 
2 

2

Û ( x + 1)[ x - x + 3 xy + 3 y - 3 y + 1 +

1 
]
y + x + y + 1

Û ( x + 1)[ x 2 + (3 y - 1) x + 3 y 2  - 3 y + 1 +

1 
]  (3) 
y + x + y + 1

0,25 

Xét A = x 2  + (3y – 1 )x + 3y 2  – 3y + 1

D = ­3(y ­ 1) 2  £ 0 "x ΠR  =>  A ³ 0 "x, y ΠR 

0,25 

(3) Û  x = ­1 
Thay x = ­1 vào (2)  ta có  :  y 2  +

y + 5 = 5

é
-1 + 17 
ê y =
2 
Ûê
ê
-1 - 17 
(l ) 
êy =
2
ë 

0,25 

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ­ 1 ; 
Câu 5 

-1 +  17 
) 
2

p 
2 

(1,0đ) 

Tính các tích phân: I  =  ò sin 2 x . sin 3  x . dx 
0 

p 
2 

I = 2 sin 4  x . cos x . dx . 

ò 
0 

0,25 

Đặt  t=sinx => dt=cosxdx 
1 

▪ I  =  2 t 4 dt . 

ò

0,25 

0 
1 

2 
t 5 
=  2 
=  . 
5  0  5 

0,25x2


Câu 6(1,0 
điểm) 

* Tính thể tích khối chóp S.HCD: 
Hai tam giác vuông AMD và DAC có 

AM AD 1 
=
=  nên đồng dạng, 
AD DC 2

· = DCH
· = 90o Þ DHC
·  = 90o
· , mà  ADH
· + HDC
Suy ra  ADH
D ADC vuông tại D:  AC 2 = AD 2 + DC 2  Þ AC = a 5
Hệ thức lượng D ADC: DH.AC = DA.DC 
Suy ra:  DH =

DC.DA 2a 
=
AC 
5

0,25 

D DHC vuông tại H:  HC = DC 2 - DH 2  = 

Do đó diện tích D HCD:  SHCD  =

4a 
5

4a 2 
1
DH.HC = 
2
5
0,25 
3 

Thể tích khối chóp SHCD:  VS.HCD =

4a 
1
SH.S HCD  = 
15
3

Tính khoảng cách giữa SD và AC: 
Dựng  HE ^ SD
Ta có SH ^  (ABCD) nên SH ^  AC và DH ^  AC , do đó AC ^ (SHD) 
Mà HE Ì  (SHD) nên HE ^  AC 

0,25

Từ đó HE là đoạn vuông góc chung của SD và AC. 
nên HE = d ( SD; AC ) 

D SHD vuông tại H nên: 

0,25


1
HE

2

=

1
SH

2

+

1
HD

2 

Vậy d ( SD; AC ) = HE = 

Þ HE = 

2a 
3 

2a 
3

Câu 7(1,0 
điểm) 

M 

B 

A 

H 

I 
C 

D 

Ta có : tam giác MDC vuông tại D 
=>(MD) : x – y + 5 = 0 
=> D(­2; 3) 
MD = 

0,25 

8 2
3 
=> HD =  MD = 2  2 
3 
4 
0,25 

Gọi AB = a => SABCD  = 

3a.2 2 
= 12 => a = 2  2 
2 

=>DC = 4  2 

0,25 

Gọi C(c; 1 –c ) => DC 2  = 2(c + 2 ) 2  => c = 2 hay c = ­6 (loại)=>C(2; ­1) 
=>B(3; 2) 
0,25 
=> (BC): 3x – y – 7 = 0 
Câu 8 (1,0  (S):  x 2 + y 2 + z 2  - 2 x + 4 y - 6 z - 2 = 0  và  (P): x + y + z + 2015 = 0 

điểm) 
a)  (S) có tâm I(1; ­2; 3) và R = 4 

ì x = 1 + t 
r 
ï
(D) qua I(1; ­2; 3) và có VTCP  u  = (1; 1; 1;) có ptts :  í y = -2 + t 
ïz = 3 + t
î 

0,25 

0,25 

b)  (Q)// (P) => (Q): x + y + z + D = 0 (D ¹ 2015)

d ( I , ( Q ) ) = 4 Û D = -2 ± 4 3 

0,25


0,25

Vy(Q):x+y+z -2 4 3 =0
GiAlbinclyc5tmthmangs l,5tmthmangs chntrong
úch cú1tmthmangs chiahtcho10.

Cõu9:
(0,5im)

Chn10tmth trong30tmth cú:C1030 cỏchchn
Taphichn:
0.25

5tmthmangs l trong15tmmangs l cúC155 cỏchchn.
1tmth chiahtcho 10trong3tmthmangs chiahtcho10,cú:C13 cc
4tmthmangs chnnhngkhụngchiahtcho10trong12tmnhvy,cú:
C412
Vyxỏcsutcntỡml:P(A)=

Cõu 10(1,0 Chngminhrng:
im)
xy
3

2

3

2

x +y +x z+y z

+

yz
3

3

2

2

y +z +y x+z x

Tacú:xy+yz+zx=3xyz

+

zx

x3 + y3 + x 2z + y 2z
ị

Ê

Ê

xy
x3 + y3 + x 2z + y 2z

3

2

2

Ê

3
4

1 1 1
+ + =3
x y z
1
1 1 1
Ê ( + ) x2 +y2 2xy
x + y 4 x y

xy
xy(x + y) + (x 2 + y 2 )z
Ê

3

z + x + z y +x y

Vix>0y>0z>0tacúx3 +y3 xy(x+y)

xy

0.25

C155 .C124 .C31 99
=
10
C30
667

Ê

0,25

ự
1
1
xyộ
+ 2
ờ
ỳ
4 ở xy(x + y) (x + y 2)z ỷ

1ộ 1
1 ử
xy ự 1 ổ 1
+
Ê
+ 2
ỳ
ờ
ỗ
ữ
4 ở (x + y) (x + y 2)z ỷ 4 ố (x + y) 2zứ

0,25

1 ộ 1 ổ 1 1 ử 1 ự 1 ổ 1 1 ử 1
(1)

ờ ỗ + ữ+ ỳ = ỗ + ữ+
4 ở 4 ố x y ứ 2 z ỷ 16 ố x y ứ 8z

Chngminhtngt:

yz
1 ổ 1 1 ử 1
(2)
Ê ỗ + ữ+
3
3
2
2
y + z + y x + z x 16 ố y z ứ 8x

0,25


zx 
1 æ 1 1 ö 1 
£ ç + ÷+
(3) 
2
2 
z + x + z y + x y 16 è z x ø  8 y 
3

3

T

Công (1) ; (2); (3) theo vế ta được đpcm 

DE

TH

ITH
U

DH

.NE

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 

0,25