Tu bai toan hinh on thi 10

Bài toán 1 :
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, từ H kẻ HE vuông góc AB,HF
vuông góc với AC. Chứng minh AHÂE bằng BÂ ( AÊF bằng CÂ )
A

Cách giải:

F

Yêu cầu: “ Chứng minh hai góc bằng nhau”

- Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba.

E
B

- Chứng hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác.

H

C

- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau.
- Hai góc cùng phụ( hoặc cùng bù ) với một góc thứ ba.
- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc
vuông góc.

- Hai góc so le trong, so le ngoài, đồng vò.
- Hai góc ở vò trí đối đỉnh.
- Hai góc của cùng một tam giác cân ( hoặc đều ).
- Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc của hai tam giác đồng

dạng.

- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
Cách giải:
Cách 1:
Ta có : EÂH = AHÂF ( so le trong )
EHÂA = HÂF ( so le trong )
Do đó ∆ AEH = ∆ HFA ( g – c – g )
⇒ AE = HF ; AF = HE (cạnh tương ứng )
Trang 1


Dể dàng chứng minh được ∆ AEH = ∆ AEF ( c – g – c )
⇒ AFÂE = AHÂE

Mà AHÂE = BÂ ( cùng phụ với BHÂE )
Vậy AFÂE = BÂ
Cách 2:
Dể dàng chứng minh được AEHF là hình chữ nhật ⇒ AFÂE = AHÂE
Mà AHÂE = BÂ ( cùng phụ với BHÂE )

A
F

Vậy AFÂE = BÂ
E

Cách 3:
Ta có: BÂ = AHÂE ( cùng phụ góc BHÂE )

B

I

H

C

Mà AHÂE = AFÂE ( góc nội tiếp cùng chắn cung AE )
Suy ra AFÂE = BÂ.
Bài toán 2 :
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, từ H kẻ HE vuông góc AB,
HF vuông góc với AC. Chứng minh ∆ AFE đồng dạng ∆ ABC.
Cách giải: Nếu học sinh biết cách trình bày và lời giải bài toán 1 thì bài toán 2 sẽ
đơn giản hơn nhiều.
Yêu cầu: “ Chứng minh hai tam giác đồng dạng”
* Trường hợp hai tam giác thường:
- Có hai góc bằng nhau đôi một.
- Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tương ứng tỷ lệ.
- Có ba cạnh tương ứng tỷ lệ.
* Trường hợp hai tam giác vuông:
- Có một góc nhọn bằng nhau.
Trang 2


- Có hai góc vuông tương ứng tỷ lệ.
Theo bài toán 1 chứng minh được AFÂE = BÂ
do đó ∆ AFE đồng dạng ∆ ABC ( g – g )
Bài toán 3 :
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, từ H kẻ HE vuông góc AB,

HF vuông góc với AC. Chứng minh:

AF AE
=
hoặc AC. AF = AB. AE .
AB AC

Yêu cầu: “ Chứng minh đẳng thức hình học”

AF AE
=
hoặc AC. AF = AB. AE .
AB AC

- Chứng minh hai tam giác AFE và ABC ( hoặc hai tam giác AFB
và AEC đồng dạng

⇒

đpcm )

- Nếu năm điểm A, B, C, E, F cùng nằm trên một đường thẳng thì
phải chứng minh các tích trên cùng bằng một tích thứ ba.
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông
A

+ b2 = ab’ ; c2 = ac’
+ b2 + c2 = a2

b

c

h

+ h = b’c’.
2

B

+ ah = bc
+

c'

H
a

b'

1
1
1
=
+
h2 b2 c2

Cách giải : Theo bài toán 2 : ∆ AFE đồng dạng ∆ ABC ( g – g )
AF

AE

Suy ra AB = AC hoặc

AC. AF = AB. AE .

Bài toán 4 :
Trang 3

Đpcm

C


Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, từ H kẻ HE vuông góc AB,
HF vuông góc với AC, kẻ trung tuyến AM cắt EF tại K. Chứng minh ∆ AKF

vuông.
Cách giải:
Ta có: AFÂE = BÂ ( bài 1)
MÂB = CÂ (

A

∆ MAC cân tại M )

Mà BÂ + CÂ = 90

F

0

K

E

⇒ AFÂE + MÂB = 900

B

Do đó ∆ AKF vuông tại K

C

H

Bài toán 5 :
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, từ H kẻ HE vuông góc AB,
HF vuông góc với AC, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM ⊥ EF
Cách giải: Để chứng minh AM ⊥ EF

A
F

Theo bài toán 4 ta dể dàng chứng minh được AM ⊥ EF
E

Bài toán 6 :
B

H

C

M

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, từ H kẻ HE vuông góc AB,
HF vuông góc với AC. Chứng minh EF // tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆
ABC tại A.
Cách giải: Gọi đường thằng a tiếp tuyến
A

đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC tại A

F

Ta có MA ⊥ a ( tính chất tiếp tuyến ) ( 1 )
Theo bài toán 5 ta có: AM ⊥ EF ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ⇒ đpcm.
Bài toán 7 :
Trang 4

E
B

H

M

C

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, từ H kẻ HE vuông góc AB,
HF vuông góc với AC, gọi O là trung điểm của BH. Chứng minh OE ⊥ EF.
Cách giải:
Theo bài 1
Ta có: BÂ + AÊF = 900
A

Mà BÂ = BÊO ( ∆ OBE cân tại O )
Nên OÊF = 90

F

0

E

Vậy OE ⊥ EF ( đpcm )

B

O

Bài toán 8 :

C

H

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, từ H kẻ HE vuông góc AB,
HF vuông góc với AC, gọi O’ là trung điểm của HC. Chứng minh O’F ⊥ EF.
A

Cách giải :

F

Tương tự bài toán 7 ta cũng chứng minh được
O’F ⊥ EF

E
j

B

Bài toán 9 :

H

O'

C

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, từ H kẻ HE vuông góc AB,
HF vuông góc với AC, gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng
minh OE // O’F.

A

Cách giải:

F
E

Từ bài toán 7, 8 ta có

- OE

⊥ EF

- O’F

⊥ EF

B

Suy ra OE // O’F ( đpcm)

Trang 5

O

H

O'

C

Bài toán 10 : Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, từ H kẻ HE
vuông góc AB, HF vuông góc với AC . Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường
A

tròn ngoại tiếp ∆ HFC tại F.

F

Cách giải : gọi O’ là trung điểm của HC
Tương tự bài toán 8 ta cũng chứng minh được

Trang 6

E
B

j

H

O'

C


Trang 7