Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh môn Toán lớp 9 năm học 2010 - 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010 - 2011

Môn Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Ngày thi: 17 / 03 / 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC

1
1
 (m  1)(x  )  m  3  0 .
3
x
x
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 2. a) Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn điều kiện:
2
1 1 1
1 1 1
     2  2  2.
b c
a b c a
3
3
Chứng minh rằng a  b  c3 chia hết cho 3.
b) Giải phương trình: x 3  ax 2  bx  1  0 , biết rằng a, b là các số hữu tỉ

và 1  2 là một nghiệm của phương trình.
Bài 3. Cho x, y là các số nguyên dương, thỏa mãn: x  y  2011 .
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = x(x 2  y)  y(y 2  x)
Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R
di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song với ON
cắt đường thẳng AB tai E. Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt
đường thẵng AB tại F.
a) Chứng minh tam giác MNE và tam giác NFM đồng dạng .
b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để
tam giác MKN có chu vi lớn nhất.
Bài 5. Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn: abc  1 . Chứng minh :
a3
b3
c3
3

 .
(1  b)(1  c) (1  c)(1  a) (1  a)(1  b) 4

Bài 1. Cho phương trình: x 3 

_________ Hết ________
Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: .....................