Thị học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 12 đề thi và đáp án chi tiết trung học phổ thông Nông Cống II

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1: (7 điểm)
1) Xét tính đơn điệu của hàm số: y=
3
2
)x32(
(x-5)
2) Cho hàm số y=
2x
cbxax
2

++
Xác định a, b, c biết rằng hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 và đờng tiệm cận
xiên của đồ thị vuông góc với đờng thẳng y=
2
x1
3)Giải bất phơng trình:
2
x3x52
+2x > 2x.3
x
.
2
x3x52
+ 4x
2
.3
x
Bài 2: (4 điểm)

Trong tất cả các nghiệm của bất phơng trình:
1)yx(log
22
yx
+
+
Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn nhất.
Bài 3(5 điểm)
Giải phơng trình:
1)
[ ]
2332
x12)x1()x1(x11 +=++
2) sin3x.(1- 4sin
2
x) =
2
1
Bài 4:(4 điểm)
ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại A, lấy điểm S với AS = h.
1) Hy là đờng thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt
phẳng (SBC). Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax thì đờng thẳng Hy
luôn luôn đi qua một điểm cố định.
2) Hy cắt Ax tại S'. Xác định h theo a để SS' ngắn nhất.
Hớng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi
Lớp 12
Bài 1:
Câu 1: (2 điểm)
Tập xác định: D = R 0,25

điểm
y'= (-3)
3
2
3
1
)x32(


(x-5) +
3
2
)x32(
0,25
điểm
=
3
x323
30x6

+
+ 3(2-3x) =
3
x32
12x5

+
0,25
điểm
Điểm tới hạn: x=

3
2
; x=
5
12
0,25
điểm
x - 2/3 12/5 +
y' + - 0 +
y 0,5
điểm
Hàm số đồng biến trong khoảng (-; 2/3)

(12/5; +) 0,25
điểm
Hàm số nghịch biến trong khoảng (2/3; 12/5) 0,25
điểm
Câu 2: (2 điểm)
Đờng tiệm cận xiên có hệ số góc k =
2x
cbxax
lim
2
x

++

=a 0,25
điểm
Đờng tiệm cận xiên vuông góc với đờng thẳng y=

2
1
x
2
1
+
ta có a=2 0,25
điểm
Xét y=
2x
cbxx2
2

++
y' =
2
2
)2x(
cb2x8x2


0,25
điểm
Để hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 điều kiện cần là:



=++=
==
1)cb2()1(y

0cb26)1('y
0,5
điểm
=>



=
=
0c
3b
0,25
điểm
Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số
y=
2x
x3x2
2


thoả mãn điều kiện 0,25
điểm
Kết luận: a=2, b=-3, c=0 0,25
điểm
Câu 3: (3 điểm)
Bất phơng trình trở thành:
(
2
x3x52
+2x)(1-2x.3

x
)>0 (*) 0,5
điểm
Tập xác định: -2 x
3
1
0,25
điểm
(*)












<
<+





>
>+

03.x21
0x2x3x52
)II(
03.x21
0x2x3x52
)I(
x
2
x
2
0,5
điểm
)1(
)2(
)3(
)4(
Xét hệ (I): Giải (1) ta đợc -1< x 1/3 0,5
điểm
Đặt f(x) = 1-2x.3
x
ta thấy:
-1 x 0 hiển nhiên f(x)>1 0,25
điểm
Khi 0<x 1/3
3
3
1
x
3330 =<

13.
3
1
.23.x20
3
x
<<
Do đó f(x) =1-2x.3
x
> 0
Nghiệm của (I) là:
3
1
x1 <
0,25
điểm
Xét hệ (II): Giải (3) ta đợc
1x2
0,25
điểm
Nhng f(x) = 1-2x.3
x
> 0 x 0 nên bất phơng trình (4) không
thỏa mãn với những giá trị của x thuộc khoảng nghiệm của (3).
Vậy hệ phơng trình đã cho vô nghiệm 0,25
điểm
Tóm lại, bất phơng trình đã cho có nghiệm
3
1
x1 <

0,25
điểm
Bài 2: (4 điểm)
Xét 2 trờng hợp:
+TH1: x
2
+ y
2
> 1 khi đó dễ thấy bất phơng trình
1)yx(log
22
yx
+
+
(1) có nghiệm (chẳng hạn x=y=0,9) 0,5 điểm
Ta có (1) x+y x
2
+ y
2
x+2y x
2
+ y
2
+ y (2) 0,5 điểm
Gọi S= x+2y x=S - 2y thay vào (2) ta đợc
S(S-2y)
2
+y
2
+y 5y

2
-(4S-1)y +S
2
- S 0 (3) 0,5 điểm
Bất phơng trình (3) có nghiệm nên ta phải có 0,
Vậy
2
103
S
2
103 +


0,5 điểm
Víi S =
2
103 +
th× ∆= 0 khi ®ã (3) ⇔ y=
10
2
2
1
10
1S4
+=
−
0,25
®iÓm
Suy ra x= S -2y =
10

2
2
1
+
(tháa m·n x
2
+ y
2
> 1) 0,5 ®iÓm
+TH2: 0< x
2
+ y
2
< 1. Khi ®ã (1) ⇔ 0 <x+y<x
2
+y
2
=> S=x+2y < x
2
+y
2
+y<1+1=2<
2
103 +
(do x
2
+ y
2
< 1,
1y <

) 0,5 ®iÓm
Tãm l¹i: víi nghiÖm







+=
+=
10
2
2
1
y
10
1
2
1
x
th× tæng x+2y lín nhÊt 0,25
®iÓm
Bµi 3: (5 ®iÓm)
C©u 1:(3 ®iÓm) TX§: -1≤x≤1 0,25
®iÓm
Pt ®· cho ⇔
[ ]
2332
x12)x1()x1(

2
x1
x1
2
x1
−+=−−+
+
+−+
−
1,0
®iÓm
⇔
[ ]
[ ]
22
2
x12x1x1x1x1x1
2
x1x1
−+=−+−++⋅−−+








−++

0,75®
⇔(
x1 +
+
x1 −
)(
x1 +
-
x1 −
)=
2
0,5 ®iÓm
⇔ 1+x-1+x =
2
⇔ x=
2
2
(tháa m·n) 0,5 ®iÓm
C©u 2: (2 ®iÓm)
V× cosx=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
V× cosx=0 => x=
π
π
k
2
+
th× sin3(
π
π
k

2
+
).[1-4sin
2
(
π
π
k
2
+
)]≠
2
1
0,25
®iÓm
Nh©n hai vÕ cña ph¬ng tr×nh víi cosx ta ®îc:
Sin3x.(cosx - 4sin
2
x.cosx) =
2
1
cosx
2sin3x(4cos
3
x-3cosx) = cosx 0,25
điểm
2sin3x.cos3x = cosx 0,5 điểm
sin6x =sin(
2

-x) 0,5 điểm







++=
+=




2kx
2
x6
2kx
2
x6







+=
+=
5

2k
10
x
7
2k
14
x


, (kZ) 0,5 điểm
Bài 4: (4 điểm)
a) (2 điểm)
Gọi I là trung điểm của BC, ta có AI BC, SA mp(ABC)
Nên SI BC (định lý 3 đờng vuông góc) 0,5 điểm
Kẻ CL SB thì SI CL = H
Gọi J là trung điểm của AB; O là trực tâm của ABC
Ta có CJ mp(SAB) => CJ SB (1)
Mặt khác CL SB (2)
Từ (1) và (2) suy ra SB HO 0,5 điểm
Vì OH trong mp(SAI) nên OH BC => OH mp(SBC) 0,5 điểm
A
B
C
S
'S
I
J
L
H
O

h
x
Hay OH là đờng thẳng Hy. Vậy Hy luôn luôn đi qua điểm O cố định 0,5
điểm
b) (2 điểm)
Xét SIS' ta có IA SS', S'H SI
Do đó O là trực tâm của SIS' 0,5 điểm
Nên AS.AS' = AI.AO => AS' =
h2
a
2
0,5 điểm
Vậy SS' = SA + AS' = h+
h2
a
2

2
a
2
=a
2
0,75
điểm
Dấu "=" xảy ra khi h=
h2
a
2
=> h=
2

2a
0,25
điểm
Chú ý:
1)Bài hình không có hình vẽ thì không chấm
2)Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì ngời chấm cho điểm tơng
ứng phần đúng đó.