Chuyên đề PT Lượng Giác luyện thi ĐH Năm 2011

Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác:

π



cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a



tan2a




3. Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin3a
cos3a = 4cos3a – 3cosa

2

π

α

sinα
0

0

cosα

sin x
cos x

1 + cos 2a
2
1 − cos 2a
sin2a =
2
1 − cos 2a
tg2a =
1 + cos 2a
cos2a =



∗ cot x =

cos x
sin x

Bảng giá trị của các góc đặc biệt:
00
(0)

Góc

300

(

π

450 (
)

GTLG
Sin

0

1
2

Cos

1

3
2

6

π
4

600

)

(

2
2
2
2

π
3

)

3
2
1
2

B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:

+ sin α + cos α = 1( ∀α ∈ R )
2

2

π


+ tan α.cot α = 1  ∀α ≠ k ,k ∈ Z ÷
2



1
π


+
= 1 + tan 2 α  ∀α ≠ + kπ, k ∈ Z ÷
2
cos α
2


1
+
= 1 + cotg2α ( ∀α ≠ kπ, k ∈ Z )
sin 2 α

Hệ quả:
• sin2x = 1-cos2x ; cos2x = 1- sin2x
• tanx=








1

1
; cot x =
cot x
tan x

• Sin4x + cos4x = 1 - 2sin2x.cos2x
• Sin6x + cos6x = 1 - 3sin2x.cos2x
C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
“ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch π”
D/. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

tan a − tan b
1 + tan a.tan b
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a.tan b
tan(a – b)

=

2. Công thức nhân đôi:


sin2a = 2sina.cosa ⇒

2 tan a
1 − tan 2 a

4.Công thức hạ bậc:

3π
2

∗ tan x =

=

1
sina.cosa= sin2a
2

900
(

π
2
1

5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan

)

x
:
2

2t
1− t2

cosx
=
1+ t2
1+ t2
2t
1− t2
tanx =

cotx
=
1− t2
2t

 sinx =

0



6. Công thức biến đổi tổng thành tích

a+ b
a−b
cos a + cos b = 2 cos 
÷cos 
÷

 2 
 2 
 a+ b  a−b
cos a − cos b = −2sin 

÷sin 
÷
 2   2 
a+ b
a−b
sin a + sin b = 2 sin 

÷cos 
÷
 2 
 2 
 a+ b  a−b
 sin a − sin b = 2 cos 
÷sin 
÷
 2   2 
sin(a ± b)
π
tan a ± tan b =
( a, b ≠ + kπ , k ∈ Z )

cos a.cos b
2
sin(a + b)


cot a + cot b =
(a, b ≠ kπ , k ∈ Z )
sin a.sin b
− sin(a + b)

cot a − cot b =
( a , b ≠ kπ , k ∈ Z )
sin a.sin b
π
π
sin a + cos a = 2 sin( a + ) = 2cos(a − )
4
4
π
π
sin a − cos a = 2 sin(a − ) = − 2cos(a + )
4
4
π
π
cos a − sin a = 2cos(a + ) = − 2 sin( a − )
4
4


7. Công thức biến đổi tích thành tổng

1
[ cos(a − b) + cos(a + b)]
2

1
• sin a.sin b = [ cos( a − b) − cos( a + b) ]
2

• cos a.cos b =

wWw.VipLam.Info


Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
•sin a.cos b =

1
[ sin(a + b) +sin( a − b) ]
2

• sin b.cos a =

1
[ sin(a + b) − sin(a − b)]
2

II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :
1/ Phương trình lượng giác cơ bản:

 u = v + k 2π
b) sinu = sinv ⇔ 
,k ∈ ¢
u = π − v + k 2π
d) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ,k ∈ ¢

a ) cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π , κ ∈ ¢

c) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ,k ∈ ¢
sin α = a

Chú ý: a/ Nếu cung α thoả  −π
π thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a. Khi đó phương trình sinx = a ⇔
<
α
<
 2
2
 x = arc sin a + k 2π
 x = π − arc sin a + k 2π k ∈ Z

cos α = a
b/ Nếu cung α thoả 
thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a. Khi đó phương trình cos x = a ⇔
0 < α < π
 x = arccos a + k 2π
 x = − arccos a + k 2π k ∈ Z

 tan α = a

c/ Nếu cung α thoả  −π
π thì α gọi là arctana cung có tan bằng a. Khi đó phương trình tanx = a ⇔
 2 < α < 2
x = arctan a + kπ , k ∈ Z
cot α = a

d/ Nếu cung α thoả 
thì α gọi là arccota cung có cot bằng a. Khi đó phương trình cotx = a ⇔
0 < α < π
x = arc cot a + kπ , k ∈ Z
Một số phương trình đặc biệt:

⊕ sin x = 0 ⇔ x = kπ

⊕ sin x = 1 ⇔ x =

π
π
+ k 2π ⊕ sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π
2
2

π
+ kπ ⊕ cosx = 1 ⇔ x = k 2π
⊕ cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π
2
2/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: a sin x + b cos x = c
a
b
c
sin x +
cos x =
Phương pháp giải: a sin x + b cos x = c ⇔
a 2 + b2
a2 + b2
a 2 + b2

a

sin α =
c
a 2 + b2

Đặt 
đưa phương trình về dạng: cos( x − β) =
rồi tiếp tục giải.
2
b
a + b2
cos α =

a 2 + b2
⊕ cos x = 0 ⇔ x =

Điều kiện có nghiệm a 2 + b 2 ≥ c 2
3/Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác.
Dạng: a. t2 + b.t + c = 0 trong đó t có thể là một trong các hàm sinx, cosx, tanx, cotx.
Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp.
Chú ý: với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện

t ≤1.

4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và cosx:
* Dạng: a sin 2 x + b sin x.cos x + c cos 2 x = d (1)

wWw.VipLam.Info

Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
* Cách giải:

π
+ kπ có là nghiệm của (1) hay không ?
2
2
2
TH2: cosx ≠ 0 thay d = d ( sin x + cos x ) , chia cả 2 vế phương trình cho cos 2 x , sau đó đặt t = tan x rồi đưa về
TH1: Xét xem cosx = 0 ⇔

x=

phương trình bậc 2 theo biến tanx.

5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng: A ( sin x ± cos x )
Cách giải: Đặt

+ B ( sin x.cos x ) + C = 0

t = ( sin x ± cos x ) ; − 2 ≤ t ≤ 2 ⇒ sin x.cos x = ±

t 2 −1
. Đưa phương trình về phương
2

 t 2 −1 
÷+ C = 0
2 



trình đại số theo t: At + B  ±

BÀI TẬP:
I – Phương trình lựơng giác cơ bản :
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. sin 2 x − cos 2 x = 0
2. sin 3 x + 2 cos3 x = 0
3. 4 sin 2 x = 1

sin 2 x + sin 2 2 x = 1
sin 4 x
=1
5.
cos 6 x
4.

6. sin 2x = 2cos x

sin x.cot 5 x
=1
cos 9 x
8. tan3 x = tan 5 x
7.

9. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1

sin 2 x
= −2 cos x

1 + sin x
π
π 1
 −3π 
; π  của phương trình sin x cos + cos x.sin =
Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm x ∈ 
8
8 2
 2

10.

II - Phương trình bậc hai, bậc 3 đối với một hàm số lương giác
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. cos 2 x + 3sin x = 2
sin 6 x + cos6
5.
4
2
2. 4 sin x + 12 cos x = 7
cos2 x − sin 2

25sin 2 x + 100 cos x = 89
4. sin 4 2 x + cos 4 2 x = sin 2 x cos 2 x
3.

Bài 2 : Giải các phương trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1
1. cos 2x – ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số )
2. sin 2x – ( 2m -1) sin x + m 2-1 = 0
( m là tham số )

Bài 3 : Giải các phương trình
1)
2+cos2x = -5sinx
2)
sin3x+2cos2x-2 = 0
3)
4)
5)

6.

tan 2 x +

x 1
= tan 2 x
x 4

3
=9
cos x

x
2
3x
cosx = cos2(
)
4
3
tg2x + sin2x = cotgx
2

2+cosx = 2tg

6)

2 + 3tgx – sin2x = 0

7)

sin 5 x
=1
5 sin x

8)
3cos4x – 2cos2(3x) = 1
9)
2sin3x + cos2x = sinx
10)4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1)
11)3(tgx + cotgx) = 2(2+sin2x)
12)cho phương trình :sin4x + cos4x -

1 2
sin (2x) + m = 0
4

a.Giải phương trình khi m= 2
b.tìm m để phương trình có nghiệm

wWw.VipLam.Info

Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
13) 3cos6(2x) + sin4(2x) + cos4x = 0
14) cos4x + 6sinx.cosx –1 = 0
15) 1 + 3tgx = 2sin2x
16) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx

x
x
π x
sinx - cos sin2x + 1 = 2cos2( − )
2
2
3 2
1 − sin 2 x + 1 + sin 2 x
18)
= 4 cos x
sin x
17) sin

19) sin4x = tgx
20) sin3x + sin2x = 5sinx
22) 2cos2x – 8cosx + 7 =
23)

sin 3x
3

=

1

cos x

sin 5x
5

24) Tìm ngiệm thuộc khoảng (0,2 π ) của phương trình

cos 3 x + sin 3 x
) = cos2x + 3 (KA-2002)
1 + 2 sin 2 x
2
25) cotgx – tgx + 4sin2x =
(KB-2003)
sin 2 x
π
π
3
26)sin4x + cos4x + cos( x −
).sin(3x )=0
4
4 2
5(sinx +

III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1. sin 3 x + 3 cos3 x = 2

1
2
3. 2 sin17 x + 3 cos5 x + sin 5 x = 0

2.

sin 2 x + sin 2 x =

4.

2 sin x (cos x − 1) = 3 cos 2 x

3 sin 4 x − cos 4 x = sin x − 3 cos x
6. 3 cos x − sin 2 x = 3(cos 2 x + sin x )
5.

7.

sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2

3sin 2 x
Bài 2 : Cho y =
2 + cos 2 x

1. Giải phương trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
Bài 3 : Giải phương trình
1)

3 sin2x + cos2x =

2 ( ĐH Huế 99)

2) 2cos2x + sin2x = 2

3) 3cos3x + 4sinx +

6
=6
3 cos x + 4 sin x + 1

4) sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)
5) cosx + 3 sinx = 2cos2x

 2π 6π 
,
6) Tìm x ∈ 
 thoả phương trình
 5 7 
cos7x - 3 sin7x= – 2
7) cos7x.cos5x – 2 sin2x = 1 – sin7x.sin5x
8) 2cosx(sinx – 1) = 3 cos2x
9) 3sinx – 3 cos3x = 4sin3x – 1
π
π
10) 3 sin(x –
) + sin (x +
) = 2sin2006x
3
6

11) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
12) sin2x + 2cos2x = 1+ sinx – 4cosx
13) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
14)

(sin 2 x + 3 cos 2 x) 2 −5 = cos(2 x −

π
6

)

15) 2cos3 x + cos 2x + sinx = 0
16)

4(sin 4 x + cos 4 x) + 3 sin 4 x = 2

1
sin4x
2
18) tgx –3cotgx = 4(sin x+ 3 cosx)
17) 1+ sin32x + cos32x =

19)

sin 3 x + cos3 = sin x − cos x

20) sin

4

(x +

wWw.VipLam.Info

π

4

) + cos 4 x =

1
4


Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình
π
1) 2 sin 2 2 x − 2 3 sin 2 x cos 2 x = 3
3
6) 8 cos ( x + ) = cos3 x

4 sin x + 6 cos x =

2)

1
cos x

3
3
1
7) 8 cos x =

+
sin x cos x
π
3
8) 2 sin ( x + ) = 2 sin x
4
9) sin 3 x + cos3 x + 2 cos x = 0

sin 3 x = 2 cos3 x
4) 4 sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 4
5) cos3 x + sin 3 x = sin x − cos x
3)

Bài 2 :
Giải phương trình :

3 sinx+cosx =

1)

1
cos x

3 cos 4 x − 4 sin 2 x. cos 2 x + sin 4 x = 0
cos 2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x
cotg x – 1=
1 + tgx
2

9)

2) sin2x – 3cos2x + 2sin2x = 2
3)sin3x + cos3x = sinx – cosx
4) 2cos3x = sin3x
5) sin2x(tgx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3
6)
sinx – 4sin3x + cosx = 0
7)
sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
8)
cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0

(ĐHBKA-2003)
sin3x + cos3x + 2cosx = 0

5 sin 4 x. cos x
2 cos 2 x
2
2
tgx. sin x − 2 sin x = 3(cos 2 x + sin x. cos x)
6 sin x − 2 cos 3 x =

V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x
Bài 1 : Giải các phương trình

12(sin x + cos x ) − 4 sin x cos x − 12 = 0
2 . sin 2 x + 5(sin x + cos x ) + 1 = 0
3 . 5(1 − sin 2 x ) − 11(sin x + cos x ) + 7 = 0
1

4 . sin 2 x + (sin x − cos x ) + = 0
2
5 . 5(1 − sin 2 x ) − 16(sin x − cos x ) + 3 = 0

1
−1
(sin x − cos x + 1)(sin 2 x + ) =
2
2
8 . sin x − cos x + 4 sin 2 x = 1

1.

6.

2(sin 3 x + cos3 x ) − (sin x + cos x ) + sin 2 x = 0

7.

9.

sin x + cos x − sin 2 x = 0

2(sin x + cos x ) = tanx + cot x
11 . cot x − tan x = sin x + cos x
2 sin 2 x + 1
sin x + cos x
12 .
=
2 sin 2 x − 1 sin x + cos x − 1

10 .

Bài 2 : Cho phương trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0
1.
Giải phương trình với m = - 2
2.
Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số
y = 2( sin x – cos x) + 3sin 2x -1
Bài tập 4:
1) (1 + cosx)(1 + sinx) =2
(ĐH An ninh 98-D)
2) cotgx – tgx = sinx –cosx
(ĐH Ngoại ngữ HN 97)
3)

sin x − cos x + 2 sin 2 x

= 1 (ĐH An ninh 98-A)

3(1 + sin x)
π x
− 8 cos 2 ( − ) = 0
2
4 2
cos x

1)

3tg3x – tgx +

2)
3)
4)

(Kiến trúc HN 98)
sinx+ sin2x+sin3x+sin4x = cosx+cos2x+cos3x+cos4x
sin3x+ cos3x = 1
sin3x+ cos3x + sin2x(sinx + cosx) = 1

5)

1 + sin3x+ cos3x =

3
sin2x
2

(ĐH GT VT 99)

6) cos2x +5 = 2(2-cosx)(sinx-cosx)
(ĐH Công đoàn 97)
7) Cho phương trình :sinx + cosx = m+sin2x
a.Giải khi m= -1

wWw.VipLam.Info


Chuyên đề Phương trình lượng giác - Luyện thi Đại học
b.Ttìm m để phương trình có nghiệm

10) sin3x+ cos3x = sin2x + sinx + cosx
11) sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2
12) 2sinx+cotgx = 2sin2x + 1
13) 1 + sin3x- cos3x = sin2x
VI – Phương trình lượng giác khác
A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các phương trình

cot 2 x +

1.

1
+1 = 0
sin x

2.

B- Sử dụng công thức hạ bậc
Bài 2 : Giải các phương trình
1. sin 2 x + sin 2 3 x = cos 2 2 x + cos 2 4 x

sin 2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x =

2.

3
2

C – Phương trình biến đổi về tích

Bài 3 : Giải phương trình
1 . cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x = 0
2. 1 + sin x + cos 3 x = cos x + sin 2 x + cos 2 x
3. 2 cos3 x + cos 2 x + sin x = 0
4 . cos x + cos 3 x + 2 cos 5 x = 0
5 . cos3 x + sin 3 x = sin 2 x + sin x + cos x

sin 2 x + cos3 x + sin x = 0

6.

1 2
2
5
tan x −
+ =0
2
cos x 2

sin 2 x + sin 2 2 x − sin 2 3 x = 0
17
8
8
. sin x + cos x =
cos 2 2 x
16
3.

1 + sin x
1 + cos x

8 . sin 3 x − cos3 x = sin x + cos x
cos x cos 5 x
9.
−
= 8sin x sin 3 x
cos 3 x cos x
7.

tan 2 x =

10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x

D- Phương trình lượng giác có điều kiện
Bài 1 : Giải các phương trình sau

3
1
+
sin x sin x
1 − cos 2 x
2. 1 + cot g 2 x =
sin 2 2 x
sin 4 2 x + cos 4 2 x
= cos 4 4 x
3.
π
π
tan( − x)tan( + x)
4
4

1.

8cos x =

Bài 2: Giải các phương trình
1. tan 3x= tan 5x
2. tan2xtan7x=1

cos 2 x(1 + cot x) − 3
= 3cos x
4.
π
2 sin( x − )
4
cos x − 2sin x cos x
5.
= 3
2 cos 2 x − sin x − 1

3π
)
4 = cos 2 x
5.
π
π
sin( − 2 x) cos( x + )
2
4
6. cos 3 x.tan5 x = sin 7 x
sin( x +

sin 4x
=1
co s 6x
sin x cot 5 x
=1
4.
cos 9 x
3.

Bài 3 : Giải các phương trình

sin x + sin 2 x + sin 3 x
= 3
cos x + cos 2 x + cos 3 x
1 + 2sin 2 x − 3 2 sin x + sin 2 x
2.
=1
2sin x cos x − 1
sin 3 x + cos3 x
3.
= cos 2 x
2 cos x − sin x
π
1
1
4. 2 2 sin( x + ) =
+
4
sin x cos x

1.

1
2(cos x − sin x)
=
tanx + cot 2 x
cot x − 1
2
6. 3tan3 x + cot 2 x = 2tanx +
sin 4 x
1
1
7. cos x +
= sin x +
cos x
sin x
1
1
2
8. cos x −
= sin 2 x − 2
2
cos x
sin x
5.

wWw.VipLam.Info


Phương trình lượng giác có chứa tham số

Khi đặt ẩn phụ t = f ( x) ta cần chú ý các yêu cầu sau :
* Tìm điều kiện của ẩn phụ t : Thường dùng các cách sau :
Cách 1 : Coi t là tham số tìm t để phương trình f(x) = t có nghiệm với ẩn x
Cách 2 : Tìm miền giá trị của hàm số f (x)
Cách 3 : áp dụng bất đẳng thức
* Với x ∈ D thì t phải thoã mãn điều kiện gì ? Giả sử t ∈ T
* Với mỗi t ∈ T thì phương trình f(x) = t có mấy nghiệm ẩn x
Bài toán 1: Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm x
Xác định m để các phương trình sau :
1.
2.

 π π
x∈− ; ÷
 3 2
 π
m cos 2x + sin 2x = 2 có nghiệm x ∈  0 ; ÷
 2
Cos 2x – 3 cos x +m = 0 có nghiệm

3.

m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm

4.

( m-1 ) ( sin x – cos x ) –( m+ 2) sin 2x = 0

5.

m cos 2 2x – 4 sin x cos x + m -2 =0 có nghiệm

6.
7.
8.

 π
x∈0 ; ÷
 2

 π
x∈0 ; ÷
 4
4tanx
 π
cos 4x = 2 m có nghiệm x ∈  0 ; ÷
2
1 + tan x
 2
 π
m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm x ∈  0 ; ÷
 2
 π
Cos 2x = m cos 2x 1 + tanx có nghiệm 0; 
 3
9. tan2x + cot2x + m( tan x+ cot x) +m = 0 có nghiệm
10. 2 sin x cos 2x sin 3x – 2m + 3 cos 2x = 0 có nghiệm
Bài toán 2 :
Cho phương trình lượng giác f ( x , m) = 0. Tìm m để phương trình có n nghiệm x∈D
Tìm m để các phương trình sau thoã mãn :

3.

 −π π 
x∈
; ÷
 2 2
 3π 
m sin2 x – 3 sin x cos x – m -1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt x x ∈  0;
÷
 2 
m( sin x – cos x ) + 2 sin x cosx = m có đúng hai nghiệm x ∈ [ 0; π ]

4.

( 1- m) tan 2 x -

1.
2.

5.
6.
7.
8.

m cos 2x- 4( m-2) cos x +2m -1 = 0 có dúng hai nghiệm phân biệt

2
 π
+ 1 + 3m = 0 có nhiều hơn một nghiệm x ∈  0; ÷

cos x
 2
 π
(2sin x-1)( cos 2x + m sin x+m+1) = 3- 4cos 2x có đúng hai nghiệm x ∈  0; 
 2
 π
cos 3x – cos 2x + m cos x – 1 = 0 có đúng bảy nghiệm x ∈  0; ÷
 2
sin 3x – m cos 2x – ( m+1) sin x + m = 0 có đúng tám nghiệm x ∈ ( 0;3π )
4 sin 2x + m cos x = cos 3x có đúng ba nghiệm

 −π 
x∈
;3 ÷
 6 

VII Phương trình lượng giác đặc biệt
1.Phương pháp tổng bình phương
Sử dụng
1)

A = 0
A2 + B 2 = 0 ⇔ 
B = 0

4 cos 2 x + 3tg 2 x − 4 3 cos x + 2 3tgx + 4 = 0

∈D

2)

x 2 − 2 x sin x − 2 cos x + 2 = 0

3) cos2x– cos6x +4(3sinx -4sin3x + 1) = 0
4)

y 2 −4 y +5 =sin 2 x

2. Phương pháp đánh giá
Cách giải: Cho phương trình f(x) = g(x)
Nếu có số thực a sao cho

f ( x) ≤ a ≤ g ( x)

thì

f ( x ) =a
f ( x ) =g ( x ) ⇔

g ( x ) =a

1)

2 cos x = cos x +

1
cos x

cos 2 x = 2

2) cosx +

3) ln(sin2x) – 1+ sin3x = 0
4) sin3x(cosx –2sin3x) + cos3x(1+sinx –2cos3x) = 0
( ĐH kiến trúc HN97)
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
(Tổng hợp luyện thi đại học)
2/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

1/ cos23x.cos2x – cos2x = 0

π 
π 3
. sin  3x −  - = 0 4/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan2x
4 
4 2
cos 2 x
1
+ sin 2 x − sin2x.
5/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx.
6/ cotx – 1 =
1 + tan x
2
π
2
2 x
2
2 x
=0

7/ cotx – tanx + 4sin2x =
8/ sin  − . tan x − cos
2
sin 2 x
2 4
cos 3 x + sin 3 x 

9/ 5 sin x +
 = cos 2 x + 3 với 0 < x < 2 π 10/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
1
+
2
sin
2
x


11/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 với 0 ≤ x ≤ 14



3/ cos4x + sin4x + cos  x −

12/ cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x + sin3x
14/ cos3x + sin7x = 2. sin

2

13/

 π 5x 
2 9x
 +  − 2 cos
2
4 2 

 3x π 
π x 
sin  +  = 3. sin  − 
 2 4
 4 2

26/ cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinxsin2x
28/ sin3x + cos3x = sinx – cosx
30/ 4cos2x – 2cos22x = 1 + cos4x

21/

38/ 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0

sin x + 2
=1
1 + cos 2 x

23/ 2(cos4x – sin4x) + cos4x – cos2x = 0
25/ (2sinx – 1)(2cosx + sinx) = sin2x – cosx

π
π
π




cos x +  + cos x +  = cos x + 
3
6
4



π
2
2
29/ 2. sin  x −  = 2. sin x − tan x
4

1
31/ cos3x.sìnx – cos4x.sinx = sin 3 x + 1 + cos x .
2
27/

32/ (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin2x – 1

sin x − sin 2 x
34/
= 3
cos x − cos 2 x
cos 6 x + sin 6 x 13
36/
= tan 2 x

cos 2 x − sin 2 x 8

2 +1
2

19/ sin3x + cos2x =2 ( sin2x.cosx – 1)

20/ 4cosx – 2cos2x – cos2x – cos4x = 0
22/ cosx + sin2x = 0
24/ (5sinx – 2)cos2x = 3(1 – sinx)sin2x

15/ sin3x + sinx.cosx = 1 – cos3x

17/ sinx.cosx + cos2x =

16/ 2 + cos2x = 2tanx
18/

3. sin 2 x − 2 2 . sin 2 x = 6 − 2 .

33/ cosx.cos7x = cos3x.cos5x
35/ sinx + sin2x + sin3x = 0
37/ cos2x.sin4x + cos 2x = 2cosx(sinx + cosx) – 1
39/ cos2x + cosx(2tan2x – 1) = 2


x π
(2 − 3 ) cos x − 2 sin 2  − 
40/ 3cos4x – 8cos x + 2cos x + 3 = 0
41/

2 4=1
2 cos x − 1
2
2 cos 4 x
cos x(cos x − 1)
42/
43/ cotx = tanx +
= 2(1 + sin x )
sin 2 x
sin x + cos x
4
4
sin x + cos x 1
1
(2 − sin 2 2 x) sin 3 x
44/
45/ tan 4 x + 1 =
= cot 2 x −
5. sin 2 x
2
8. sin 2 x
cos 4 x
x
46/ tanx + cosx – cos2x = sinx(1 + tanx.tan )
47/ sin( π . cos x) = 1
2
48/ cos3x – sìnx = 3 (cos2x - sin3x)
49/ 2cos2x - sin2x + sinx – cosx = 0
6

2

50/ sin3x + cos2x = 1 + sinx.cos2x
52/ cos2x + 5sinx + 2 = 0
54/ 8.sin2x + cosx = 3 .sinx + cosx
56/ 1 + cosx – cos2x = sinx + sin2x
58/

51/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
53/ cos2x.sin2x + cos2x = 2(sinx + cosx)cosx – 1
55/ 3cos2x + 4cos3x – cos3x = 0
57/ sin4x.sin2x + sin9x.sin3x = cos2x

1 + sin x + cos x = 0

59/

1

2

x
 x
60/  sin + cos  + 3. cos x = 2
2
 2

61/ sin x

62/ 2sin 2x + sin7x – 1 = sinx




64/ cotx + sinx 1 + tan x. tan

63/

x
=4
2

)

2

 7π

1

+




sin  x −

3π 

= 4 sin 

÷
2 

2(cos x + sin x) − sin x cos x
6

2

(

3 cos x 1 − sin x − cos 2x = 2 sin x.sin x − 1

6

2 − 2sin x

=0

65/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0

 4



− x÷

