LTĐH: PT đường thẳng đường cong
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (15.81 MB, 88 trang )
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)
Bỉm sơn. 22.03.2011
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 1
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
CHUYÊN ĐỀ: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. Kiến thức chung
1. Phương trình mặt phẳng và các trường hợp đặc biệt
- PTTQ (phương trình tổng quát) mặt phẳng P qua M 0 ( x0 , y0 , z0 ) và có vtpt (vectơ pháp tuyến)
n( A, B, C ) là: ( P ) : A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0
Hay ( P) : Ax By Cz D 0 với D ( Ax0 By0 Cz0 )
- PTMP (phương trình mặt phẳng) P qua A(a, 0,0) Ox; B(0, b, 0) Oy; C (0,0, c) Oz có phương trình
x y z
1 (Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn)
a b c
- Đặc biệt:
A0
+ ( P) / /Ox D 0
B2 C 2 0
B0
+ ( P) / /Oy D 0
A2 C 2 0
C 0
+ ( P) / /Oz D 0
A2 B 2 0
- Phương trình mặt phẳng (Oxy) là z 0 , (Oyz) là x 0 và (Oxz) là y 0
2. Vị trí tương đối của mặt thẳng và mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng (1 ) : A1 x B1 y C1 z D1 0 và ( 2 ) : A2 x B2 y C2 z D2 0
A B C
D
TH 1: (1 ) / /( 2 ) 1 1 1 1
A2 B2 C2 D2
A
B C
D
TH 2: (1 ) ( 2 ) 1 1 1 1
A2 B2 C2 D2
TH 3: (1 ) ( 2 ) A1 A2 B1 B2 C1C2 0
3: Phương trình chùm mặt phẳng:
Tập hợp các mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng ( ) ( ) được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi
mặt phẳng ( ) và mặt phẳng ( )
Nếu ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 0 và ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 0 thì phương trình mặt phẳng ( ) là:
là: ( P ) :
( ) : m( A1 x B1 y C1 z D1 ) n ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0 (*) với m 2 n 2 0
phương trình (*) có thể viết lại: m( ) n( ) 0
4. Góc và khoảng cách
- Góc của 2 mặt phẳng: (1 ) : A1 x B1 y C1 z D1 0 và ( 2 ) : A2 x B2 y C2 z D2 0 là:
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
2
1
A B12 C12 . A22 B22 C22
- Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
u.n
sin(d ,( P)) =
u . n
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 2
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
- Khoảng cách từ một điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng P : Ax By Cz D 0
d M 0 , P =
Ax0 By0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
B. Một số dạng bài tập
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm Mo(xo;yo;zo) và thoả mãn điều kiện
Loại 1 : Có một vectơ pháp tuyến
Phương pháp:
- Xác định M 0 ( x0 , y0 , z0 ) của mặt phẳng P
- Xác định vtpt n( A; B; C )
+ Nếu P / / Q nP nQ
+ Nếu P d nP ud
- Áp dụng công thức: ( P) : A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (SGK 12 – Ban Cơ Bản T89) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng
(P):
a. Đi qua điểm M 1; 2; 4 và nhận vectơ n = 2;3;5 làm vectơ pháp tuyến
b. Đi qua điểm M 2; 1; 2 và song song với mặt phẳng Q : 2 x – y 3 z 4 0
Giải:
a. Cách 1:
Mặt phẳng P đi qua điểm M 1; 2; 4 và có vectơ pháp tuyến n = 2;3;5 có phương trình là :
2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4 ) = 0 hay P : 2 x 3 y 5 z – 16 0
Cách 2:
Mặt phẳng (P) có vtpt n = 2;3;5 luôn có dạng 2 x 3 y 5z D’ 0 vì mặt phẳng (P) đi qua
điểm M 1; 2; 4 2.1 3. 2 5.4 D’ 0 D’ 16 .Vậy mặt phẳng P : 2 x 3 y 5 z – 16 0
b. Cách 1:
Mặt phẳng P đi qua điểm M 2; 1; 2 song song với mặt phẳng Q nên mặt phẳng P đi qua điểm
M 2; 1; 2 và có vtpt nP nQ 2; 1;3 nên mặt phẳng P có phương trình:
2(x – 2) – 1(y + 1) + 3(z – 2) = 0 hay P : 2 x – y 3 z – 11 0
Cách 2 :
Mặt phẳng (P) có vtpt nP 2; 1;3 luôn có dạng 2 x – y 3z D’ 0 vì mặt phẳng P đi qua điểm
M 2; 1; 2 D ' 1 hay P : 2 x – y 3 z – 11 0
Hoặc có thể lí luận vì P song song với Q nên P luôn có dạng 2 x – y 3z D’ 0
vì P qua M P : 2 x – y 3 z – 11 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 3
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Bài 2: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng có phương
trình: 3x + 5y – z – 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình
x 12 4t
d : y 9 3t
z 1 t
a. Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d
Giải:
a. Toạ độ điểm M d là nghiệm của phương trình
3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0 t = 3 .Vậy M 0; 0; 2
b. Cách 1 :
Mặt phẳng đi qua điểm M 0; 0; 2 vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng đi qua điểm
M 0; 0; 2 và có vtpt n = u d = (4;3;1) nên mặt phẳng có phương trình là:
4(x – 0) + 3(y – 0) + 1(z +2) = 0 hay : 4 x 3 y z 2 0
Cách 2:
Mặt phẳng có vtpt n = (4;3;1) luôn có dạng 4x + 3y + z + D’ = 0 vì mặt phẳng đi qua điểm
M 0; 0; 2 D’ = 2 hay : 4 x 3 y z 2 0
Chú ý:
Có thể phát biểu bài toán dưới dạng như, cho biết tọa độ 3 điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC thì khi đó nP BC
Nhận xét :
- Mặt phẳng có vtpt n a; b; c thì luôn có dạng ax + by + cz + D’ = 0
- Nếu cho có dạng Ax + By + Cz + D = 0 thì mà song song với luôn có dạng
Ax + By + Cz + D’ = 0 với D ' 0
- Hai mặt phẳng song song với nhau thì hai vtpt cũng song song (cùng phương) với nhau, mặt phẳng
vuông góc với đường thẳng thì vtpt và vtcp cũng song song (cùng phương) với nhau . Điều này lý giải
tại sao trong bài 1 câu b lại chọn n P = nQ ,thật vậy vì mặt phẳng P song song với mặt phẳng (Q)
nên hai vtpt cũng song song (cùng phương) với nhau hay n P = k. nQ , vì k 0 nên chọn k = 1 để n P =
n Q . Tương tự như thế trong bài 2b ta chọn k = 1 để n = u d , từ đó ta có nhận xét
+ Hai mặt phẳng song song với nhau thì chúng có cùng vtpt
+ Nếu mặt phẳng P chứa hai điểm A và B thì AB là một vtcp của mặt phẳng P
+ Nếu mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng (Q) thì vtpt của mặt phẳng P là vtcp của mặt
phẳng (Q) và ngược lại
+ Nếu mặt phẳng P vuông góc với vecto AB thì vecto AB là một vtpt của mặt phẳng P
- Vectơ pháp tuyến cũng có thể cho ở hình thức là vuông góc với giá của vectơ a nào đó, khi đó ta
phải hiểu đây a là vectơ chỉ phương
Bài 3: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxyz cho điểm vectơ a 6; 2; 3
và A 1; 2; 3 . Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm A và vuông góc với giá của vectơ a
Hướng dẫn:
Làm tương tự như bài 2b ta được : 6 x – 2 y – 3 z 2 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 4
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Bài 4: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng đi
qua điểm M 2;6; 3 và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ
Giải:
Nhận xét :
- Các mặt phẳng toạ độ ở đây là Oxy; Oyz; Oxz . Thoạt đầu ta thấy các mặt phẳng này không thấy vtpt ,
nhưng thực ra chúng có vtpt, các vtpt này được xây dựng nên từ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz
lần lượt là i = (1;0;0) ; j = (0;1;0) ; k = (0;0;1), các vectơ này được coi là các vtcp
- Bây giờ ta sẽ viết phương trình mặt phẳng P đi qua M và song song với mặt phẳng 0xy còn các mặt
phẳng khác làm tương tự
Cách 1:
Mặt phẳng P đi qua M 2;6; 3 và song song với mặt phẳng Oxy mặt phẳng P đi qua M và
vuông góc Oz nên mặt phẳng (P) đi qua M nhận vectơ n P = k làm vtpt có phương trình là :
0(x – 1) + 0(y – 6) + 1(z + 3) = 0 hay P : z 3 0
Cách 2:
Mặt phẳng P song song với mặt phẳng 0xy mặt phẳng P song song với hai trục Ox và Oy
n P i và n P j n P = [ i , j ] = (0;0;1) là vtpt nên P : z 3 0
Tương tự (P) // Oyz và đi qua điểm M nên P : x 2 0
(P) // Oxz và đi qua điểm M nên P : y 6 0
Cách 3:
Mặt phẳng P song song với mặt phẳng Oxy nên mặt phẳng P luôn có dạng Cx + D = 0 vì mặt
phẳng P đi qua M C. 3 D 0 vì C 0 nên chọn C = 1 D = 3 .
Vậy mặt phẳng P có phương trình là P : z 3 0
Chú ý:
Bài toán có thể phát biểu là viết phương trình (P) đi qua M // với Ox và Oy P đi qua M // với mặt
phẳng 0xy
Loại 2: Có một cặp vectơ chỉ phương a, b (với a, b 0 có giá song song hoặc nằm trên mp ( P) )
- Tìm vtpt n a,b
- P là mp qua M 0 ( x0 , y0 , z0 ) và có VTPT n
- Quay lại loại 1
Bài tập giải mẫu:
Bài 5: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng
P đi qua điểm A 0; 1; 2 và song song với giá của mỗi vectơ u = (3;2;1) và v = 3;0;1
Giải:
Cách 1:
Mặt phẳng P đi qua A 0; 1; 2 và song song với giá của hai vectơ u = (3;2;1) ; v 3; 0;1
mặt phẳng P đi qua A và có n P u ; n P v (với u và v không cùng phương)
mặt phẳng P đi qua A và có vtpt nP u , v 2; 6;6 2 1; 3;3
mặt phẳng P có phương trình là :
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 5
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
1(x – 0) – 3(y + 1) +3(z – 2) = 0 hay P : x – 3 y 3 z – 9 0
Cách 2 : Làm tương tự như bài 1b khi biết nP 2; 6;6 và A 0; 1; 2
Bài 6: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm M 2; 1; 2 , song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng
: 2 x – y 3z 4 0
Giải:
Cách 1:
Mặt phẳng đi qua điểm M 2; 1; 2 song song với trục 0y và vuông góc với mặt phẳng
mặt phẳng đi qua M và có n j ; n n (với j và n không cùng phương)
mặt phẳng đi qua M và có vtpt n = [ j , n ] = (3;0;-2)
mặt phẳng có phương trình là :
3(x – 2) + 0(y + 1) – 2(z – 2) = 0 hay : 3 x – 2 z – 2 0
Cách 2: Làm tương tự như bài 1b khi biết n 3; 0; 2 và M 2; 1; 2
Cách 3: Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D 0
mặt phẳng có vtpt n A; B; C
A
2
B 2 C 2 0
- Mặt phẳng đi qua điểm M 2; 1; 2 A.2 B.(1) C.2 D 0 1
- Mặt phẳng song song với trục Oy n . j 0 A.0 B.1 C.0 0 2
- Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng n .n 0 A.2 B. 1 C.3 0
Giải hệ (1), (2) và (3) A 3, B 0, C 2, D 2.
3
Vậy mặt phẳng có phương trình là : 3 x – 2 z – 2 0
Bài 7: (SBT – Ban Cơ Bản T98) Trong không gian Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
M 3; 1; 5 đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng : 3 x – 2 y 2 z 7 0 và
: 5 x – 4 y 3z 1 0
Giải:
Cách 1:
Mặt phẳng đi qua điểm M 3; 1; 5 đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng và mặt
phẳng đi qua điểm M và có n n ; n n (với n và n không cùng phương) mặt phẳng
đi qua điểm M và có vtpt n = [ n , n ] = (2;1;-2)
mặt phẳng ( ) có phương trình là :
2(x – 3) + 1(y + 1) – 2(z + 5) = 0 hay : 2 x y – 2 z – 15 0
Cách 2: Làm tượng tự như bài 1b khi biết n = 2;1; 2 và M 3; 1; 5
Cách 3: Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D 0
mặt phẳng có vtpt n A; B; C
A
2
B 2 C 2 0
- Mặt phẳng đi qua điểm M 3; 1; 5 A.3 B.(1) C. 5 D 0 1
- Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng n .n 0 A.3 B. 2 C.2 0 2
- Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng n .n 0 A.5 B. 4 C.3 0 3
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 6
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
3
21
A, D 6 B A thế vào (3) ta được A 2 B chọn
2
2
B 1, A 2 C 2, D 15
Vậy phương trình mặt phẳng là 2 x y – 2 z – 15 0
Từ (1) và (2) ta được C B
Bài 8: (ĐH – B 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng
x 1 t
x y 1 z 1
d:
, d ' : y 1 2t
1
2
1
z 2 t
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A đồng thời song song với d và d’
Giải:
Cách 1:
Vì B 0;1; 1 d1 ; C 1; 1; 2 d 2 và B, C d1 , d 2 / /
Vecto chỉ phương của d1 và d 2 lần lượt là u1 2;1; 1 và u2 1; 2;1
vecto pháp tuyến của là n u1 , u2 1; 3; 5
Vì đi qua A 0;1; 2 : x 3 y 5 z 13 0
Đs: : x 3 y 5 z 13 0
Cách 2:
Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D 0
mặt phẳng có vtpt n A; B; C
A
2
B 2 C 2 0
- Mặt phẳng đi qua điểm M A.0 B.1 C.2 D 0 1
- Mặt phẳng song song với đường thẳng d n .ud 0 A.2 B.1 C. 1 0 2
- Mặt phẳng song song với đường thẳng d’ n .ud ' 0 A.1 B. 2 C.1 0 3
Từ (1) và (2) ta được C 2 A B, D 4 A 3B thế vào (3) ta được A 3B chọn
A 1, B 3 C 5, D 13
Vậy phương trình mặt phẳng là x 3 y 5 z 13 0
Nhận xét:
Nếu điểm A d (hoặc A d ' ) thì bài toán trở thành viết phương trình mặt phẳng chứa d (hoặc d ' )
và song song với d ' (hoặc d )
Bài tập tự giải:
Bài 1:
a. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 điểm M 3; 4;1 , N 2;3; 4 , E 1; 0; 2 . Viết phương trình
mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với MN.
(Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)
b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua K 1; 2;1 và vuông góc với đường
x 1 t
thẳng d : y 1 2t .
z 1 3t
Đs: a. : x y 3 z 5 0
(Đề thi tốt nghiệp THPT lần 2 năm 2007)
b. : x 2 y 3 z 8 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 7
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M 1; 1; 0 và mặt phẳng P có phương trình:
x y 2 z 4 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với P
Đs: : x y 2 z 2 0
(Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban năm 2007)
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 2;3;1 và vuông góc với hai mặt phẳng
P : 2 x y 2 z 5 0 và Q : 3x 2 y z 3 0
(Sách bài tập nâng cao hình học 12)
Đs: : 3 x 4 y z 19 0
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 2;1; 1 và qua giao tuyến của hai mặt phẳng:
x y z 4 0 và 3 x y z 1 0.
(Sách bài tập nâng cao hình học 12)
Đs: :15 x 7 y 7 z 16 0
Dạng 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M1(x1;y1;z1) và M2(x 2;y2;z2) đồng thời thoả mãn
điều kiện
a. Vuông góc với mặt phẳng
b. Song song với đường thẳng d (hoặc trục Ox, Oy, Oz)
c. Có khoảng cách từ điểm M tới là h
d. Tạo với một góc Q một góc
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng
đi qua hai điểm M 1; 0;1 , N 5; 2;3 và vuông góc với mặt phẳng : 2 x – y z – 7 0
Giải:
Cách 1 :
Mặt phẳng đi qua hai điểm M(1;0;1); N(5;2;3) và vuông góc với mặt phẳng ( )
mặt phẳng đi qua điểm M và n MN ; n n (với MN và n không cùng phương)
mặt phẳng đi qua điểm M và có vtpt n = [ MN , n ] = 4; 0; 8 = 4 1; 0; 2
mặt phẳng có phương trình là :
1(x – 1) + 0(y – 0) – 2(z – 1) = 0 hay : x – 2z + 1 = 0
Cách 2:
Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D 0
mặt phẳng có vtpt n A; B; C
A
2
B2 C 2 0
- Mặt phẳng đi qua M 1; 0;1 A.1 B.0 C .1 D 0 1
- Mặt phẳng đi qua N 5; 2;3 A.5 B.2 C.3 D 0 2
- Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng n .n 0 A.2 B. 1 C.1 0
3
Từ (1) và (2) ta được C – 2 A – B, D A B thể vào (3) ta được –2 B 0 chọn
A 1, B 0 C 2, D 1
Vậy phương trình mặt phẳng là x – 2 z 1 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 8
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
M 4; 1;1 ; N 3;1; 1 và cùng phương (song song) với trục Ox
Giải:
Cách 1 :
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M 4; 1;1 ; N 3;1; 1 và cùng phương với trục Ox mặt phẳng (P) đi qua
điểm M và nP MN ; n P i (với
và i không cùng phương)
, i ] = 0; 2; 2 = 2 0;1;1
mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận vtpt n P = [
mặt phẳng (P) có phương trình là :
0(x – 4) + 1( y + 1) + 1(z – 1) = 0 hay (P): y + z = 0
Cách 2: Làm tương tự bài 1 (cách 2) điều kiện ở đây là n P i
Bài 3: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong mặt phẳng Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai
điểm A 3;0; 0 , C 0; 0;1 và tạo với mặt phẳng Oxy một góc = 60o
Giải:
Cách 1:
Mặt phẳng (Q) đi qua A, C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc bằng 60o nên mặt phẳng (Q) cắt mặt phẳng
Oxy tại điểm B(0;b;0) Oy khác gốc toạ độ O b 0
mặt phẳng (Q) là mặt phẳng theo đoạn chắn có phương trinh là :
x y z
1 hay (Q): bx + 3y + 3bz – 3b = 0
3 b 1
mặt phẳng (Q) có vtpt nQ = (b;3;3b)
Mặt phẳng 0xy có vtpt k = (0;0;1) .Theo giả thiết ,ta có
3b
1
|cos ( n Q , k )| = cos60o
2
b 9 9b 2
9
3
b
26
26
Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn là :
(Q1) : x – 26 y + 3z – 3 = 0
(Q2) : x + 26 y + 3z – 3 = 0
Cách 2: vì A Ox và C Oz
Gọi AB là giao tuyến của mặt phẳng (Q) và mặt phẳng 0xy .Từ O hạ OI AB .
60 0
Theo định lý ba đường vuông góc ta có AB CI OIC
= 1.tan60 o = 3
Trong vuông OIC ta có OI = OC.tan OIC
3
1
1
1
3
1
1
1
Trong vuông OAB ta có
3
OB =
2
2
2
2
2
3
OB
OI
OA
OB
26
3
3
B1(0; 26 ;0) Oy hoặc B2(0; 26 ;0) Oy .Vậy có hai mặt phẳng (Q) thoả mãn là
6b b 2 9 9b b 2
26 y z
x
1 hay (Q) : x
3
3
1
26 y + 3z – 3 = 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 9
www.toantrunghoc.com
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
Nguyễn Thành Long
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm
x 1 t
M 2;1;3 , N 1; 2;1 và song song với đường thẳng d có phương trình là: d : y 2t
z 3 2t
Giải:
Cách 1:
Mặt phẳng đi qua hai điểm M 2;1;3 , N 1; 2;1 và song song với đường thẳng d
mặt phẳng đi qua điểm M và n MN ; n u d (với MN và u d không cùng phương)
mặt phẳng đi qua điểm M và có vtpt n = [ MN , u d ] = 10; 4;1
mặt phẳng có phương trình là :
10(x – 2) – 4(y – 1) + 1(z – 3) = 0 hay : 10 x 4 y z 19 0
Cách 2:
Giả sử mặt phẳng có dạng : Ax By Cz D 0
mặt phẳng có vtpt n A; B; C
A
2
B 2 C 2 0
- Mặt phẳng đi qua M 2;1;3 A.2 B.1 C.3 D 0 1
- Mặt phẳng đi qua N 1; 2;1 A.1 B. 2 C.1 D 0 2
- Mặt phẳng song song với đường thẳng d n .ud 0 A.1 B.2 C. 2 0
3
1
3
1
7
A B , D A B thế vào (3) ta được 2 A 5 B chọn
2
2
2
2
1
19
A 5, B 2 C , D
2
2
1
19
Vậy phương trình mặt phẳng là 5 x 2 y z
0 10 x 4 y z 19 0
2
2
Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy viết
phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng
3.
Giải:
Giả sử mặt phẳng P có dạng : Ax By Cz D 0 A2 B 2 C 2 0
mặt phẳng P có vtpt nP A; B; C
Từ (1) và (2) ta được C
- Mặt phẳng P đi qua A 1;1; 0 A. 1 B.1 C .0 D 0 1
- Mặt phẳng P đi qua B 0;0; 2 A.0 B.0 C. 2 D 0 2
Từ (1) và (2) ta được C
1
A B, D A B
2
Nên mặt phẳng P có phương trình là Ax By
1
A B z A B 0
2
Theo giả thiết
A B
d I ; P 3
1
A B A B
2
1
A2 B 2 A B
2
2
3 5 A2 2 AB 7 B 2 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
A
A 7
1
B
B 5
Phần Mềm Toán ,... - Trang 10
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
A
1 chọn A 1, B 1 C 1, D 2 P : x y z 2 0
B
A 7
Với chọn A 7, B 5 C 1, D 2 P : 7 x 5 y z 2 0
B 5
Nhận xét:
Gọi n ( a; b; c) O là véctơ pháp tuyến của (P)
Với
Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) pt P : a x 1 b y 1 cz 0
Mà (P) qua B(0;0;-2) a b 2c 0 b a 2c
Ta có PT P : ax a 2c y cz 2c 0
d C; P 3
2a c
a c
3 2a 2 16ac 14c 2 0
a 7c
a (a 2c) c
2
2
2
TH 1: a c ta chọn a c 1 Pt của P : x y z 2 0
TH 2: a 7c ta chọn a = 7; c = 1 Pt của P : 7 x 5 y z 2 0
Bài 7: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1;0;1), B(2;1;2) và mặt phẳng
Q : x 2 y 3z 3 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).
HD:
Ta có AB (1;1;1), nQ (1; 2;3), AB; nQ (1; 2;1)
Vì AB; nQ 0 nên mặt phẳng (P) nhận AB; nQ làm véc tơ pháp tuyến
Vậy (P) có phương trình x – 2y + z – 2 =0
Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0). Viết phương trình mặt phẳng qua
I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 300
Giải:
x y z
Giả sử mặt phẳng cần có dạng : ( ) : 1 ( a , b, c 0)
a b c
x y z
Do I ( ) c 1 và do K ( ) a 3 ( ) : 1
3 b 1
n
1 1
. n x 0 y
3 2
n ( ; ;1) và n x 0 y k (0; 0;1) cos 300 b
3 b
2
n . n x 0 y
x
y
z
1
3 3 2 1
2
Bài 9: (ĐH – B 2009 ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh
A 1; 2;1 , B 2;1;3 , C 2; 1;1 và D 0;3;1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho
( ) :
khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ D đến mặt phẳng (P)
Giải:
Cách 1:
Giả sử mặt phẳng P có dạng : ax by cz d 0 a 2 b 2 c 2 0
mặt phẳng P có vtpt nP A; B; C
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 11
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
- Mặt phẳng P đi qua A 1; 2;1 a.1 b.2 c.1 d 0 1
- Mặt phẳng P đi qua B 2;1;3 a. 2 b.1 c.3 d 0 2
3
1
5
a b, d a b
2
2
2
1
5
3
Nên mặt phẳng P có phương trình là ax by a b z a b 0
2
2
2
Từ (1) và (2) ta được c
Theo giả thiết d C , P d D, P
1
5
5
1
5
5
3
3
a.2 b. 1 a b .1 a b
a.0 b.3 a b .1 a b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
3
3
a2 b2 a b
a 2 b2 a b
2
2
2
2
2a 4b
a 3b a b
2b 0
Với 2a 4b chọn a 4, b 2 c 7, d 15 P1 : 4 x 2 y 7 z 15 0
Với 2b 0 chọn b 0, a 1 c
3
5
3
5
, d P2 : x z 0 P2 : 2 x 3 z 5 0
2
2
2
2
Cách 2: Xét hai trường hợp
TH1 : (P) // CD. Ta có : AB ( 3; 1; 2),CD ( 2; 4; 0)
(P) có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7)
(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0
4x 2y 7z 15 0
TH2 : (P) qua I (1;1;1) là trung điểm CD
Ta có AB (3; 1; 2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0
Đáp số: P1 : 4 x 2 y 7 z 15 0 và P2 : 2 x 3 z 5 0
Bài tập tự giải:
Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A 1;0;1 , B 2;1; 2 và mặt phẳng
Q : x 2 y 3z 3 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).
Đs: P : x 2 y z 2 0
Bài 2: Lập phương trình mp(P) đi qua M 0;3;0 , N 1; 1;1 và tạo với mặt phẳng Q : x y z 5 0
1
3
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M 1; 1;3 , N 1;0; 4 và tạo với mặt phẳng
một góc với cos
Q : x 2 y z 5 0
Đs: P : y z 4 0
một góc nhỏ nhất .
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm M 1; 2;3 , N 2; 2; 4 và song song với Oy.
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Đs: : x z 2 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 12
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng P : 2 x 3 y z 7 0 . Viết phương trình
mặt phẳng ( ) đi qua A 1;1; 0 , B 1; 2; 7 và vuông góc với (P).
(Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009)
Đs: :11x 8 y 2 z 19 0
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm Mo(xo;yo;zo) M1(x1;y1;z1) và M3(x3;y3;z3)
không thẳng hàng cho trước
Phương pháp:
Cách 1:
- Tìm hai vecto M 0 M 1 , M 0 M 2
- Tìm vtpt n M 0 M 1 , M 0 M 2
- P là mặt phẳng qua M 0 và có VTPT n
Cách 2:
- Giả sử phương trình mặt phẳng P là Ax By Cz D 0
1
( A2 B 2 C 2 0)
- Vì P đi qua ba điểm M 0 , M 1 và M 2 thay tọa độ vào phương trình (1) được hệ 3 ẩn, 3 phương trình
theo A, B và C . Giải hệ này ta được A, B và C
- Thay vào phương trình (1) ta được phương trình mặt phẳng P
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm M 3; 0; 0 ; N 0; 2; 0 và P 0;0; 1
Giải:
Cách 1:
Mặt phẳng đi qua ba điểm M 3; 0; 0 ; N 0; 2; 0 và P 0; 0; 1 mặt phẳng đi qua điểm M
và n MN ; n MP (với MN và MP không cùng phương)
mặt phẳng đi qua điểm M và nhận vtpt n = [ MN , MP ] = (2;3;6)
mặt phẳng có phương trình là :
2(x + 3) + 3(y – 0 ) + 6(z – 0) = 0 hay : 2x + 3y + 6z + 6 = 0
Cách 2:
Giả sử mặt phẳng có dạng Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0)
- Mặt phẳng đi qua M 3;0;0 A. 1 B.0 C.0 D 0 1
- Mặt phẳng đi qua N 0; 2; 0 A.0 B. 2 C .0 D 0 2
- Mặt phẳng đi qua P 0; 0; 1 A.0 B.0 C. 1 D 0 3
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được A = 2, B = 3, C = 6 và D = 6 .
Vậy mặt phẳng có phương trình là 2 x 3 y 6 z 6 0
Cách 3:
Nhận thấy M 3;0;0 Ox ; N 0; 2; 0 Oy và P 0;0; 1 Oz nên phương trình mặt phẳng là
mặt phẳng theo đoạn chắn có dạng :
x
y
z
1 hay : 2 x 3 y 6 z 6 0
3 2 1
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 13
www.toantrunghoc.com
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
Nguyễn Thành Long
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN, biết M và N có toạ độ cho trước
Phương pháp:
- Tính tọa độ trung điểm I của MN và tính MN
- Mặt phẳng trung trục của đoạn MN là mặt phẳng đi qua I và có vtpt nP MN
- Biết một điểm và một vtpt ta được phương trình mặt phẳng cần tìm
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình trung trực
của đoạn thẳng AB với A(2;3;7) và B(4;1;3)
Giải:
Cách 1:
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB I(3;2;5) .Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi trung điểm
I của A,B và vuông góc với đoạn thẳng AB mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi qua I và nhận
vectơ AB = 2; 2; 4 = 2 1; 1; 2 làm vtpt
mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là:
1(x – 3) – 1(y – 2) – 2(z – 5 ) = 0 hay P : x – y – 2 z 9 0
Cách 2: (Phương pháp quĩ tích )
Mọi điểm M(x;y;z) thuộc mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB MA = MB
2
2
2
2
2
2
MA2 MB 2 x – 2 y – 3 z – 7 x – 4 y – 1 z – 3
x – y – 2z 9 0
Cách 3:
Mặt phẳng trung trực (P) nhận AB làm vtpt luôn có dạng x – y – 2z + D’ = 0 ,vì I mặt phẳng trung
trực 3 – 2 – 2.5 + D’ D’ = 9 mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là : x – y – 2z + 9 = 0
Cách 4:
Mặt phẳng trung trực (P) nhận AB làm vtpt luôn có dạng x – y + 2z + D’ = 0 vì mặt phẳng (P) cách đều
A, B d A, P d B , P
2 3 2.7 D'
4 1 2.3 D'
=
D '13 D'9 D’ = 9
11 4
11 4
Vậy mặt phẳng trung trực (P) có phương trình là: x – y – 2 z 9 0
Nhận xét :
- Bài toán này thực chất là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc giá của
một vectơ (thuộc dạng 1)
- Vectơ đi qua hai điểm cho trước được coi là một vtcp của đường thẳng
Bài tập tự giải:
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm E 1; 4;5 , F 3; 2;7 . Viết phương trình mặt
phẳng ( ) là trung trực của đoạn thẳng EF.
(Đề thi tốt nghiệp THPT hệ phân ban lần 2 năm 2007)
Đs: : x 3 y z 5 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 14
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai hai đường thẳng ( 1 ) và ( 2 )
cho trước
Phương pháp:
- Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng 1 và 2 nên có vtpt nP u1 ; u2
- mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng 1 và 2 nên (P) đi qua trung điểm của I của MN với
M 1 và N 2 ...Quay về dạng 4
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (ĐHSP HN 2 – 98) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình là
x 2 t
x 2z 2 0
d :y 1 t
và
d’ :
y 3 0
z 2t
a. Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau
b. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và đồng thời cách đều d và d’
Giải:
a. Chọn điểm M(2;1;0) d và d có vtcp ud 1; 1; 2 ,chọn điểm N(0;3;1) d’ và d’ có vtcp
ud ' 2;0;1 .Tính n = [ u d , u d ' ] = 1; 5; 2 (với u d và u d ' không cùng phương) và MN 2; 2;1
. Xét n.MN 1. 2 – 5.2 – 2.1 10 0
d và d’ chéo nhau
1
b. Gọi I 1;2; là trung điểm của M và N .Mặt phẳng (P) song song và cách đều d và d’
2
mặt phẳng (P) đi qua I và có vtpt n P = n mặt phẳng (P) có phương trình là :
1
– 1(x – 1) – 5(y – 2) – 2 z = 0 hay (P) : x + 5y + 2x – 12 = 0
2
Nhận xét :
- Mặt phẳng (P) song song và đồng thời cách đều d và d’ thực chất là mặt phẳng trung trực của đoạn M và
N nên có thể áp dụng các cách ở bài (dạng 4 )
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 biết:
x 2 t
x 1 y 2 z 1
d1 : y 2 t
và
d2 :
2
1
5
z 3 t
Giải:
x 1 2t '
Đường thẳng d2 có phương trình tham số là: y 2 t '
z 1 5t '
vectơ chỉ phương của d 1 và d 2 là: u1 (1;1; 1), u2 (2;1;5)
VTPT của mp( ) là n ud1 .ud 2 (6; 7; 1)
pt mp( ) có dạng 6x – 7y – z + D = 0
Đường thẳng d1 và d2 lần lượt đi qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)
d ( M , ( )) d ( N , ( )) |12 14 3 D | | 6 14 1 D |
| 5 D | | 9 D | D 7
Vậy PT mp( ) là: 3x – y – 4z + 7 = 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 15
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng (Q1) và Q2 (với Q1 và
Q2 song song với nhau)
Chú ý:
- Sử dụng công thức khoảng cách
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chính là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này tới
mặt phẳng kia
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình là
(P) : 3x – y + 4z + 2 = 0
và
(Q) : 3x – y + 4z + 8 = 0
Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song và cách đều (P), (Q)
Giải:
Vì n P = nQ = (3;-1;4) và 2 8 nên (P) // (Q), chọn điểm M(0;2;0) (P) và điểm N(0;8;0) (Q)
Mặt phẳng song song với (P) và (Q) luôn có dạng 3x – y + 4z + D’ = 0, vì cách đều (P) và (Q)
nên d M , d N ,
3.0 2 4.0 D'
=
3.0 8 4.0 D'
D'2 D '8 D’ = 4
9 1 16
9 1 16
Vậy mặt phẳng ( ) có phương trình là :3x – y + 4z + 4 = 0
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với một mặt cầu (S) và thỏa mãn một điều kiện cho trước
Phương pháp:
- Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) và vtpt hoặc vtcp
- Bước 2: Từ điều kiện cho trước xác định vtpt nP , giả sử nP a; b; c khi đó mặt phẳng P có dạng
ax by cz D ' 0 với D ' 0 (1)
- Bước 3: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) d I , P R , từ đây được phương trình theo D,
giải phương trình (tại tuyệt đối) được D’ thay vào (1) ta được phương trình mặt phẳng P cần tìm
- Bước 4: Kết luận (thường có hai mặt phẳng thỏa mãn)
Chú ý: Điều kiện cho trước là
- Song song với mặt phẳng Q cho trước nP nQ
- Vuông góc với đường thẳng d cho trước nP ud
- Song song với hai đường thẳng d 1 và d2 cho trước nP u1 , u2
- Vuông góc với hai mặt phẳng Q và R cho trước nP n1 , n2
- Song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng Q cho trước nP ud , nQ
Chú ý :
Nếu mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M S thì mặt phẳng P đi qua điểm M và có VTPT
là MI
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 16
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (SGK – Ban Cơ Bản T93) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình S : x 2 y 2 z 2 – 10 x 2 y 26 z 170 0
và song song với hai đường thẳng
x 7 3t '
x 5 2t
d : y 1 3t
d ’ : y 1 2t '
z 8
z 13 2t
Giải :
Ta có ud 2; 3; 2 và ud ' 3; 2; 0 .
Mặt cầu (S) (x – 5)2 + (y + 1)2 + (z + 13)2 = 25
mặt cầu (S) có tâm I 5; 1; 13 và bán kính R = 5
Mặt phẳng song song với d và d’
mặt phẳng có n u d ; n u d ' (với u d và u d ' không cùng phương )
mặt phẳng có vtpt n = [ u d , u d ' ] = (4;6;5)
mặt phẳng luôn có dạng 4x + 6y + 5z + D’ = 0
Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu (S) d(I,( )) = R
4.5 6.( 1) 5.( 13) D '
5 D '52 5 77 D’ = 52 5 77
16 36 25
Vậy có hai mặt phẳng ( ) thỏa mãn đề bài là :
1 : 4x + 6y + 5z + 51 + 5 77 = 0
2 : 4x + 6y + 5z + 51 – 5
77 = 0
Bài 2: (SBT – Ban Nâng Cao T138) Trong không gian Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc
với mặt cầu (S) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình lần lượt là :
x 5 y 1 z 13
(S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = 0 và d :
2
2
3
Giải:
Đường thẳng d có vtcp ud 2; 3; 2 .
Mặt cầu (S) (x – 5)2 + (y + 1)2 + (z + 13)2 = 308
mặt cầu (S) có tâm I 5; 1; 13 và bán kính R 308
Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên có vtpt nP ud 2; 3; 2
mặt phẳng (P) luôn có dạng 2x – 3y + 2z + D’ = 0
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) d I , P R
2.(5) 3.( 1) 2.(13) D '
308 D ' 13 5236 D ' 13 5236
494
Vậy có hai mặt phẳng (P) thỏa mãn đầu bài là :
(P1): 2x – 3y + 2z + 13 + 5236 = 0
(P2): 2x – 3y + 2z + 13 – 5236 = 0
Bài 3: (SGK – Ban Nâng Cao T90 – ĐHGTVT – 1998 ) Trong không gian Oxyz. Viết phương trình
mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình lần lượt là :
Q : 4 x 3 y – 12 z 1 0 và S : x 2 y 2 z 2 – 2 x – 4 y – 6 z – 2 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 17
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Giải:
Mặt phẳng (Q) có vtpt nQ 4;3; 12 .
Mặt cầu (S) (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 16
mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kinh R = 4
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q)
mặt phẳng (P) luôn có dạng 4x + 3y – 12z + D’ = 0
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) d I , P R
4.1 3.2 12.3 D '
D ' 26
4 D ' 26 52
16 9 144
D ' 78
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn đầu bài là :
(P1): 4x + 3y – 12z + 78 = 0
(P2): 4x + 3y – 12z – 26 = 0
Bài 4: (Tài Liệu Ôn Thi Tốt Nghiệp 2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình
mặt phẳng ( ) song song với trục Oz, vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z = 0 và tiếp xúc với mặt
cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0
Giải:
Mặt phẳng (P) có vtpt n P = (1;1;1) .
Mặt cầu (S) (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 9
mặt cầu (S) có tâm I 1; 1; 2 và có bán kính R = 3
Mặt phẳng ( ) song song với trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (P)
mặt phẳng ( ) có n k ; n n P (với k và n P không cùng phương )
mặt phẳng ( ) có vtpt n = [ k , n P ] = 1; 1; 0
mặt phẳng ( ) luôn có dạng x – y + D’ = 0
Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu (S) d I , P R
1.1 1.(1) D '
3 D ' 2 3 2 D 2 3 2
11
Vậy có hai mặt phẳng thoả mãn đầu bài là:
1 : x – y – 2 + 3 2 = 0
2 : x – y – 2 – 3
2 =0
Bài 5: (SBT – Ban Nâng Cao T126) Trong không gian với hệ toạ độ O xyz cho mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 và điểm M(4;3;0) .Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với
mặt cầu (S) và đi qua điểm M
Giải:
Vì M(4;3;0) (S) nên mặt phẳng (P) đi qua M và tiếp xúc với mặt cầu (S) là mặt phẳng đi qua M và
nhận IM 1; 2; 2 làm vtpt với I 3;1; 2 là tâm của mặt cầu (S)
mặt phẳng (P) có phương trình là:
1(x – 4) + 2(y – 3) + 2(z – 0 ) = 0 hay (P): x + 2y + 2z – 10 = 0
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 6 y 4 z 2 0 . Viết
phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v(1;6; 2) , vuông góc với mặt phẳng
( ) : x 4 y z 11 0 và tiếp xúc với (S).
Giải:
Ta có mặt cầu (S) có tâm I 1; 3; 2 và bán kính R 4
Véc tơ pháp tuyến của ( ) là n(1; 4;1)
Vì ( P ) ( ) và song song với giá của v nên nhận véc tơ n p n v (2; 1; 2) làm vtpt.
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 18
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Do đó P : 2 x y 2 z m 0
m 21
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I , ( P)) 4 d ( I , ( P)) 4
m 3
Vậy có hai mặt phẳng: P1 : 2 x y 2 z 21 0 và P2 : 2 x y 2 z 3 0
Bài tập tự giải:
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
S : x 2
2
2
y 1 z 1
2
x 1 t
9 và vuông góc với đường thẳng d : y 1 2t
z 1 3t
Đs: x 2 y 3 z 7 3 14 0 và x 2 y 3 z 7 3 14 0
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 4 z 7 0
x y z 4 0
x 1 y 2
z
và d ’ :
và hai đường thẳng d :
. Viết phương trình mặt phẳng
1
2
2
3 x y z 1 0
là tiếp diện của (S) đồng thời song song với d và d’.
Đs: 4 x y z 7 12 2 0 và 4 x y z 7 12 2 0
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng / / P : 2 x 2 y z 4 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) có
phương trình: x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 3 0
Đs: 2 x 2 y z 17 0 và 2 x 2 y z 1 0
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng / / P : x 2 y 2 z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S)
2
2
2
có phương trình: x 2 y 1 z 2 4.
Đs: x 2 y 2 z 6 0 và x 2 y 2 z 6 0
Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
S : x2 y 2 z 2 2x 2 y 4 z 3 0
và vuông góc với đường thẳng d :
x 1 y 2
z
1
2
2
Đs: x 2 y 2 z 6 0 và x 2 y 2 z 12 0
x 2 y 1 z
, vuông góc với
1
3
1
2
2
P : 2 x y z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu S : x 2 y 1 z 2 9
Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng song song với d :
Đs: 4 x 3 y 5 z 11 15 2 0 và 4 x 3 y 5 z 11 15 2 0
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 3 0
x 2 y 2 0
x 1 y
z
và d ' :
và hai đường thẳng d :
. Viết phương trình mặt phẳng là tiếp
1
1 1
x 2z 0
diện của (S) đồng thời song song với d và d’.
Đs: y z 3 3 2 0 và y z 3 3 2 0
Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A 0; 1; 2 ,
B 1;0;3 và tiếp xúc với mặt cầu S có phương trình: ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 1) 2 2
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 19
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng cho trước và thoả mãn điều kiện
Loại 1: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp:
1. Tìm VTPT của là n và VTCP của là u
2. VTPT của mặt phẳng là: n n u
3. Lấy một điểm M trên
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với một mặt
phẳng
Loại 2: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với ’ ( , ’ chéo nhau)
Phương pháp:
1. Tìm VTCP của và ’ là u và u '
2. VTPT của mặt phẳng là: n u u '
3. Lấy một điểm M trên
4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với một
đường thẳng
Loại 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và 1 điểm M
Phương pháp:
1. Tìm VTCP của là u , lấy 1 điể m N trên . Tính tọa độ MN
2. VTPT của mặt phẳng là: n u MN
3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT
Chú ý: Thực chất đây là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt cho trước
Loại 4: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng (hoặc đường
thẳng d ) một góc
Loại 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và cách một điểm M không thuộc
một khoảng h
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng
P
a. Đi qua điểm M o 2;1; 1 và qua giao tuyến của hai mặt phẳng Q và R có phương trình lần lượt là:
x – y z – 4 0 và 3 x – y z – 1 0
b. Qua giao tuyến của hai mặt phẳng : 3 x – y z – 2 0 và : x 4 y – 5 0 đồng thời vuông góc
với mặt phẳng : 2 x – z 7 0
Giải:
a. Cách 1:
Gọi là giao tuyến của (Q) và (R) có phương trình
x y z 4 0
:
3 x y z 1 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 20
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
3 11
3 11
chọn hai điểm M ;
;0 và N ; 0;
2
2 2
2
Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (Q) và (P) mặt phẳng (P) chứa giao tuyến
mặt phẳng (P) đi qua ba điểm Mo; M và N
165 77 77 11
15;7;7 (với
; ;
(P) đi qua điểm Mo và có vtpt n P = [ M 0 M , M 0 N ] =
4
4
4
4
M 0 M và M 0 N không cùng phương )
mặt phẳng (P) có phương trình là :
15(x – 2) – 7(y – 1) + 7(z + 1) = 0 hay P : 15 x – 7 y 7 z – 16 0
Cách 2:
Gọi là giao tuyến của Q và R có phương trình
x – y z – 4 0
:
3 x – y z – 1 0
3 11
3 11
Chọn hai điểm M ; ; 0 và N ;0;
2
2 2
2
Giả sử mặt phẳng P có dạng : Ax By Cz D 0 A2 B 2 C 2 0
mặt phẳng P có vtpt nP A; B; C
3 11
3
11
- Mặt phẳng P đi qua M ; ; 0 A. B. C.0 D 0 1
2 2
2
2
11
3 11
3
- Mặt phẳng P đi qua N ;0; A. B.0 C . D 0 2
2
2
2
2
- Mặt phẳng P đi qua M o 2;1; 1 A.2 B.1 C . 1 D 0 3
Giải hệ (1), (2) và (3) ta được A 15, B 7, C 7, D 16 P : 15 x – 7 y 7 z – 16 0
Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau)
Nhận xét: Thực chất bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi
qua ba điểm (trong đó hai điểm còn lại thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng)
b. Cách 1:
Gọi là giao tuyến của và ( ) có phương trình
3 x y z 2 0
:
x 4 y 5 0
Chọn hai điểm M 5; 0; 13 và N(1;1;0)
Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ), và vuông góc với mặt phẳng
mặt phẳng (P) chứa giao tuyến và vuông góc với mặt phẳng
mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt n P = [ MN , n ] = 1; 22; 2
mặt phẳng (P) có phương trình là :
– 1(x – 5) + 22(y – 0 ) – 2(z + 13) = 0 hay (P) : x – 22y + 2z + 21 = 0
Hoặc có thể tính nP u , n
Nhận xét:
Thực chất bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua hai
điểm và vuông góc với một mặt phẳng (trong đó hai điểm còn lại thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng)
Cách 2:
. Gọi là giao tuyến của và có phương trình
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 21
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
3 x y z 2 0
:
x 4 y 5 0
Chọn hai điểm M 5;0; 13 và N 1;1;0
Giả sử mặt phẳng P có dạng : Ax By Cz D 0
mặt phẳng P có vtpt nP A; B; C
A
2
B2 C 2 0
- Mặt phẳng P đi qua M 5;0; 13 A.5 B.0 C . 13 D 0 1
- Mặt phẳng P đi qua N 1;1; 0 A.1 B.1 C .0 D 0 2
4A B
và D A B
13
4A B
Nên mặt phẳng P có vtpt nP A; B;
13
Mặt phẳng có vtpt n 2; 0; 1 , mặt phẳng P vuông góc với
Từ (1) và (2) ta được C
4A B
nP .n A.2 B.0
. 1 0 22 A B chọn A 1, B 22 C 2, D 21
13
Vậy mặt phẳng P có phương trình là x – 22 y 2 z 21 0
Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau)
Bài 2: (ĐH – A 2002) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng
x 1 t
x 2 y z 4 0
1 :
2 : y 2 t
x 2 y 2z 4 0
z 1 2t
Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2
Giải:
Cách 1:
Chọn M 0; 2;0 1 và 1 có vtcp u1 = (2;3;4), 2 có vtcp u 2 = (1;1;2)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2
mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt n P = [ u1 , u2 ] = (2;0;-1)
mặt phẳng (P) có phương trình là :
2(x – 0 ) + 0(y + 2) – 1(z – 0 ) = 0 hay 2 x z 0
Hoặc Có thể tính vtpt là nP MN , u2 với M , N 1
Cách 2:
4 8
Chọn hai điểm M ; 0; và N 0; 2; 0 1
3 3
Giả sử mặt phẳng P có dạng : Ax By Cz D 0
mặt phẳng P có vtpt nP A; B; C
A
2
B 2 C 2 0
4
8
4 8
- Mặt phẳng P đi qua M ; 0; A. B.0 C. D 0 1
3
3
3 3
- Mặt phẳng P đi qua N 0; 2; 0 A.0 B. 2 C.0 D 0 2
1
3
A B và D 2 B
2
4
1
3
Nên mặt phẳng P có vtpt nP A; B; A B
2
4
Từ (1) và (2) ta được C
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 22
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Đường thẳng 2 có vtcp u2 1;1; 2 , mặt phẳng P song song với đường thẳng 2
3
1
1
nP .u2 A.1 B.1 A B .2 0 5B 0 chọn A 1, B 0 C , D 0
4
2
2
1
Vậy mặt phẳng P có phương trình là x – z 0 2 x z 0
2
Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau)
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua giao tuyến của hai
mặt phẳng : x – y z – 3 0 và : 3 x y 5 z – 1 0 đồng thời song song với mặt
phẳng : x y 2 z – 3 0
Giải:
Cách 1:
Gọi là giao tuyến của ( ) và ( ) có phương trình
x y z 3 0
:
3 x y 5 z 1 0
4 4
Chọn M 3; ;
3 3
Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của ( ) và ( ) đồng thời song song với mặt phẳng ( )
mặt phẳng (P) chứa giao tuyến và song song với mặt phẳng ( )
mặt phẳng (P) đi qua điểm M và luôn có dạng: x + y + 2z + D’ = 0
4
4
P đi qua điểm M nên 3 + + 2 + D’ = 0 D’ = 1
3
3
Vậy mặt phẳng (P) có phương trình x + y + 2z + 1 = 0
Hoặc: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt nP u , n
Hoặc: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt nP MN , n với M , N
Cách 2:
Gọi là giao tuyến của và có phương trình
x y z 3 0
:
3 x y 5 z 1 0
Giả sử mặt phẳng P có dạng : Ax By Cz D 0
mặt phẳng P có vtpt nP A; B; C
A
2
B2 C 2 0
Chọn hai điểm M 1 7;0; 4 và M 2 1; 2; 0
- Mặt phẳng P đi qua M 1 7; 0; 4 A.7 B.0 C. 4 D 0 1
- Mặt phẳng P đi qua M 2 1; 2;0 A.1 B. 2 C.0 D 0 2
B 3A
và D 2 B – A
2
B 3A
Nên mặt phẳng P có vtpt nP A; B;
2
Mặt phẳng có vtpt n 1;1; 2 , mặt phẳng P song song với
Từ (1) và (2) ta được C
A B B 3A
chọn A 1, B 1 C 2, D 1
n P và n cùng phương
1 1
2.2
Vậy mặt phẳng P có phương trình là x y 2 z 1 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 23
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Nguyễn Thành Long
Cách 3: Sử dụng phương pháp chùm (tham khảo phần sau)
Nhận xét :
Thực chất bài toán này chính là bài toán này chính là bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua một
điểm và song song một mặt phẳng (trong đó một điểm còn lại thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng)
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;3; 2 , B 3;7; 18 và mặt phẳng
P : 2 x y z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
Giải:
Gọi (Q)là
mặt phẳng cần tìm
Ta có AB ( 2, 4, 16) cùng phương với a ( 1, 2, 8)
Mặt phẳng (P) có vtpt n1 (2; 1;1)
Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có
vtpt nQ n , a 6;15;3 3 2;5;1
Chọn vtpt của mặt phẳng (Q) là n 2 (2,5,1)
Mp(Q) chứa AB và vuông góc với (P) đi qua A nhận n 2 (2,5,1) là vtpt có phương trình là:
2(x + 1) + 5(y 3) + 1(z + 2) = 0 2x + 5y + z 11 = 0
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình là:
y2
x2
z 5
d: x
z và d’ :
y3
.
1
2
1
Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua d và tạo với d’ một góc 300
Giải:
- Đường thẳng d đi qua điểm M (0;2;0) và có vtcp u (1; 1;1)
- Đường thẳng d ’ đi qua điểm M ' (2;3;5) và có vtcp u '(2;1; 1)
Giả sử mặt phẳng ( ) có vtpt n ( A; B; C )
Mặt phẳng ( ) phải đi qua điểm M và có vtpt n vuông góc với và u
1
Đồng thời tạo với đường thẳng d’ một góc 300 tức là cos(n; u ' ) cos 600
2
Ta có hệ
A B C 0
B A C
B A C
1
2A B C
2
2
2
2
2
2 3 A 6 A ( A C ) C
2 A AC C 0
2
2
2
2
A
B
C
6
A C
Giải phương trình 2 A2 AC C 2 0 ( A C )(2 A C ) 0
.
2 A C
- Nếu A C , chọn A C 1, khi đó B 2 , tức là n (1; 2;1) và mặt phẳng ( ) có phương trình là
x 2( y 2) z 0 hay x 2 y z 4 0
- Nếu 2 A C , chọn A 1, C 2 , khi đó B 1 , tức là n (1; 1; 2) và mặt phẳng ( ) có phương trình
là x ( y 2) 2 z 0 hay x y 2 z 2 0
x 1 y z 1
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 :
và
1
1
2
x y 2 z 1
d2 :
. Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và hợp với d 2 một góc 300
1
1
1
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 24
Chuyên đề : Mặt phẳng - Đường thẳng - Mặt cầu
www.toantrunghoc.com
Giải:
Giả sử mặt phẳng P có dạng : Ax By Cz D 0
mặt phẳng P có vtpt nP A; B; C
A
2
Nguyễn Thành Long
B 2 C 2 0
Trên đường thẳng d1 lấy 2 điểm M 1; 0; 1 , N 1;1; 0
AC D 0
C 2 A B
Do P qua M , N nên:
A B D 0
D AB
Nên ( P) : Ax By (2 A B) z A B 0 .
Theo giả thiết ta có
1. A 1.B 1.(2 A B)
1
sin 300
2
12 (1) 2 12 . A2 B 2 (2 A B)2
2 3 A 2 B 3(5 A2 4 AB 2 B 2 ) 21A2 36 AB 10 B 2 0
18 114
21
18 114
15 2 114
3 114
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn:
x y
z
0.
21
21
21
Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:
2 x y 3z 5 0
2 x 2 y 3 z 17 0
d1 :
và d 2 :
x 2y z 0
2 x y 2 z 3 0
Lập phương trình mặt phẳng đi qua d1 và song song với d 2 .
Dễ thấy B 0 nên chọn B 1 , suy ra: A
Giải:
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm
Đường thẳng d1 và d2 có vtcp lần lượt là u1 (1; 1; 1); u2 (1; 2; 2)
Mặt phẳng (Q) đi qua d1 và song song với d2 nên có vtpt là nQ u1 , u2 (4; 3; 1) 1(4;3;1)
Chọn nQ (4;3;1) và I (2; 1; 0) d1
Mặt khác: J (0; 25;11) d 2 ta thấy J (0; 25;11) Q
Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình là
(Q ) : 4( x 2) 3( y 1) z 0 hay (Q ) : 4 x 3 y z 5 0
y 2 0
. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua d và tạo với mặt phẳng
Bài 9: Cho đường thẳng d :
z 1 0
Oxy một góc 450
Đs: Mặt phẳng P : y 2 z 1 0
2 x y z 0
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng d :
và cách điểm M 0; 0; 2
x y 1 0
1
một khoảng h
2
Đs: Có hai mặt phẳng thỏa mãn là x y 1 0, 5 x 4 y 3z 1 0
Bài tập tự giải:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;3; 2 , B 3;7; 18 và mặt phẳng
P : 2 x y z 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
Đs: 2 x 5 y z 11 0
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu -
Phần Mềm Toán ,... - Trang 25
