Các bài toán về hình học phẳng tập 2

- „x.

—

v . v . PRAXOLOV

CÁC BÀI TOÁN
VÊ HÌNH HỌC PHANG TẬP li
NHÀ XUẤT BẢN HẢI PHÒNG


Chịu trách nhiệm xuất bản :
LÊ HUY TỦY
Biên tập và sửa bản in :
HOÀNG ĐỨC CHÍNH
NGUYỄN ĐẾ
Vẽ bìa:

HƯƠNG L A N

In 3050 cuốn khổ 14,5 X 20,5 in t ạ i Xí nghiệp in Bắc Thái
Sắp chữ điện tử : Bộ môn.Tin học Trường Đại học H à n g hải
Giấy phép xuất bân số 30 TK/HP do Cục xuất bản cấp ngày 15 - Ì - 1994
In xong và nộp lưu chiêu t h á n g 7 - 1994


LỜI

NÓI

ĐẦU

(Trích lời tác giả)

Cuốn. sách này là phân tiếp tục trực tiếp của phan Ì, do đó tói chỉ xin lưu
ý một số điểm khác nhau. Các chương ở phân Ì gôm các bài toán có nội dung
truyền thống, tức đê cộp tới các vấn đè cổ truyền của hình hỏc phăng. Ba
chương đâu của phan 2 này cũng thuộc loại đó. Các chương còn lại cùa phán
2, trừ hai chương cuối mang dáng đáp của các bài toán thi hỏc sinh giỏi và
cửa các lớp chuyên, trong số đó có nhiêu bài đã dùng để thi và luyện thi hỏc
sinh giỏi trong những năm khác nhau. Điêu đó không có nghĩa là phần 2
phức tạp hơn phần 1. Nhiêu bài toán còn đơn giản hơn so với các bài ở phim Ì
và như vậy càng giúp hỏc sinh làm toán được tự tin hơn, hứng thú hơn.
Hai chương cuối đê cập tới phép nghịch đảo và các phép biến đổi xạ ảnh,
mang nhiêu tinh chất lý thuyết hơn so với các chương khác. Do đó càn nghiên
cứu chúng một cách có hệ thống. Nếu như sử dụng phép nghịch đảo thường
được đề xuất khi luyện hỏc sinh chuyên, thỉ các phép biến đổi xạ ảnh có thê
nót hoàn toàn xa lạ đối vói hỏc sinh phổ thòng, kể cả các khối chuyên. Tuy
nh iên, do tính độc đáo cùng mục đích giúp bạn đỏc thấy đây đủ vẻ đẹp phong
phú của hình hỏc, chúng tòi đưa vào để các bạn tham khảo thèm.

v.v.

Praxolov

ì


LỜI NGƯỜI

Bằng

ccuốn
ccác

Bài
đối

cchọn

kinh

nghiệm

tập hỉnh
tượng

phố

thực

tiễn

học phăng

đã nêu

thông.

dạy

của tác giả

ở lời nói

Đây

giảng

là một

đâu,
tập

DỊCH

v.v.

nhất

sách

của bản

thăn,

Praxolov

chỉ

tôi cho

là Ì tập tài liệu

là cho giáo

không

chúng

viên

răng

qui

uà học sinh

là một

"kho"

cho

chuyên

tư liệu

bài

ểế

tặộp hỉnh học phăng nhưng được phẫn loại và sáp xếp rất có khoa h ÌC và trình
bbày

trong

dắc

tra cứu,

sÈinh

đđại

tham

rất cân

được

khinh,

sách

tíìinh
cẫân

kiến

gôm,
một

có cho đối
pháp

cắt, phủ,
chẵn

qui

tổ hợp,

biến

asin,

đổi

và kịp

nạp

thời

toán

giúp

trình

bày,

pháp

dễễ

sử dểng

và tính

hiệu

quảcao.

đóó,

nhưng

do khả

năng

có hạn

kiiiến

chỉ

bảo của độc

Đờào

tạo Hải

Thư

bài

dạy

nguyên

và phương

Tập

nên
góp

hơn
diêm

sách

này

khống
ý xin

viên

cao, tự

minh

các bài

toán

các

tài

biến

hỉnh,

tọa

độ,

phương

sách

pháp

hạn,
biến

sứ dểng

tô

màu,

coi lờ nguồn

bô

sung

tốt

hơn.

thông

rất khoa
sức cốgắng

tránh

khỏi

vê phòng

cực

chiếu,

phép

bất biên,

học ỏ phổ

phân

trong

vecto,

có thể

số

đê cập

đãhết

gửi

các sinh

đó có một

vê áp dểng

đào,

dịch

học
giải.

nâng

trong

và ít được

và học hình

Người

với

hơn.

tác Dỉricle,

của cuốn

cấp

pháp

qua lời giải

ta, như:

hiếm

học sơ

cao đói

lớp thường,

cái đẹp

hoe

ở nước

nghịch
dạy

loại,

ít tư liệu

sáp xếp

Phương

giả.

còn

hỉnh.

việc

thông

tự nâng

của 29 chương

và càng

phép

dạng

hỉnh

toán

học,

trò chơi,
bài

vê thể

thông

hỉnh

sổ tay hình

tự học,

dung,

phổ

mến

bài

phổ

xạ ảnh,

lẻ để giải

thiết

và yêu

để

cuốn

để học tập, để bôi dưỡng

phú

số đẽ mểc)

nội

viên

dùng

1318

tượng

viên,

thức,

phong
gũi

coi nó là một

với giáo

sư phạm

gân

này

số chương,
hiện

có thể

cho cả các giáo

mình

cáácphương
đỡổi

đối

cải đa dạng,

giúp
Cuốn

chhia,

nên

khảo

học va cao đẳng

thhăy

liặệu

rõ ràng

vê tất cả các mặt:

ÌWÓ cũng

(tìmột

sáng,

được

học,

thiếu
PTTH

hoàn

chỉnh,

thể kiện

ý

sót.

mong

Rất
sở

Giáo

tưởng
ý

dểc -

Phòng.
Ồ"


Chưorng 15

I

CÁC B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C H Ì N H H Ọ C

CÁC K I Ế N T H Ứ C C ơ BẢN
1. Trong chương này sử dụng kí hiệu các yếu tố của tam giác như sau :
a, b, c - đ ộ dài các cạnh BC, CA, A B ;
a, ậ,y

- số đo góc tại các đinh A ^ B , C;

ma, mt>, m - độ dài các đường trung tuyên kẻ từ các đinh A, B, C;
c

ha, hh, he - độ dài các đường cao hạ từ các dinh À, B, C;
la, lb, le - độ dài các đường phân giác kẻ tù các đinh A , B, C;
r và R - bán kính các dường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.
2. N ê u A, B, c là các đ i ể m bát kì, thì A B < A C + CB, đẳng thức xảy ra khi và
c h ú khi điếm c nằm t r ê n đoạn thẳng A B (bất đẳng thức tam giác).
3. Đường trung tuyến của tam giác nhặ hơn nửa tổng các cạnh cùng xuất phát
từ một đ i n h với nó : ma < - (b + c) (bài 15.1).

2
4. Nêu một đa giác lôi nằm trong một da giác l ặ i khác, thi chu vi đa giác ngoài
khcônii nhặ hơn chu vi đa giác trong (bài 15.6)
v

5. Tổng độ dài các dường chéo của tứ giác lõi lớn hơn tổng độ dài h ai cạnh đ ố i
nhtau bát kì của nó (bài 15.17).
6. Đ ố i diện với cạnh l ớ n hơn của tam giác là góc lớn hơn (bài 15.91).
7. Đ ộ dài đoạn thẳng nằm trong đa giác lõi không t h ế lớn hơn hoặc là cạnh lớn
nhảẫt, hoặc là đường c h é o lớn nhất (bài 15.105).
8. K h i giải một số bài toán trong chương này căn phải biết vận dụng các bát
đẳrng thức đ ạ i số. Các kiên thức vê các bất đẳng thức này và các chứng minh của
7


chúng ta có thể xem ở phần "Phụ lục cho chương 15", nhưng.cần lưu ý r ằ n g ch únng
chi cân dế giải những bài toán phức tạp, còn đổ giải các bài toán đon g i ả n c h i cầân
bất đầm; thức Vab < - (a + b) và các hệ quá của nó.

2
CÁC B À I TOÁN M Ở ĐẦU

1. Chứng minh rằng ^

d i ệ n tích tam giác A B C không lớn hơn - A B . B c.

2
2. Nếu a < b + c, b < a + c, c < a + b và a, b, c là các dương, thì t ò n tại mỏỏt
tam giác có đỏ dài các cạnh bằng a, b, c.
3. Đ i ể m B nằm trong đường tròn đường kính A C khi và chi khi A B C > 90 . .
4. GÓC ngoài của tam giác l ớ n hơn góc trong không kề với nó.
5. M ồ i đường chéo của tứ giác nhỏ hcAi nửa chu vi của nó.
6. D i ệ n tích tứ giác A B C D không vượt quá - ( A B . BC + A D . D C ) .

2
7. Bán kính của hai dường tròn bằng R và r, còn khoảng cách giũa tâm của chtnng
bằng d. Điêu kiện cần và đủ để hai đường tròn đó cắt nhau là IR — r | < đ < R 4 r r .
§1. Đường trung tuyến của tam giác
i r . - r

a + b - c

15.1. Trong m ọ i tam giác

_
a + b
< m < —•—.
c

2

2

15.2. Trong mọi tam giác tổng đỏ đài các đường trung tuyên lớn hơn 3/4 chu vvi,
nhưng nhỏ hơn chu v i .
15.3. Cho đường tròn bán kính Ì và n điểm A i , A n trên mặt phang. K h i dó tiêèn
đường tròn có thể chọn dưưc đ i ế m M để M A I + ... + M A n — n.
15.4. Cho các đ i ể m A i ,
An không cùng nằm trên mỏt đường thẳng. Giảssử
hai điếm phân biệt p và o thỏa mãn tính chất A i P + ...,+AnP = A i Q + ... - +
+ A Q = s, khi đó A i K + ... + A n K < s v ớ i đ i ể m K nào đó .
n

(Ì) Dể tiết kiệm chồ rư bài toán sau ta bỏ cụm từ "Chứng minh rằng". Niu ìậậy
các bại toán cho dưới dạng dinh lí dìu phải chứng minh.
8


15.5. T r ê n b à n đ ể 50 cái đông h ò chạy chính xác. Sẽ có một lúc nào đ ó tổng
k t h o ả n g c á c t ừ tâm hàn đen các dâu kim phủi lớn hơn tổng khoảng cách từ tâm bàn
(Ken c á c t â m đồng hô.
§22. C h u vi c ủ a đa giác ngoài lớn hơn chu vi của đa giác trong.
15.6. a) K h i chuyển từ một da giác khôníi lõi sang bao lôi của nó chu vi sẽ giảm.
(EBao l ồ i của một đa giác là da giát l ồ i nhỏ nhát chứa nó ; xem trang

).

b) N ê u m ộ t đa giác lôi nằm bên trong một đa giác l ồ i khác, thì chu vi của đa
gi lác n g o à i k h ô n g nhỏ hơn chu vi cùa đa giác trong.
15.7. N ê u o là đ i ế m nằm trong tam giác A B C chu vi p thì P/2 < A O + BO +
+ -CO < p .
15.8. N ê u t r ê n cạnh đáy A D của hình thang A B C D tìm được điểm E đố cho chu

vi i các tam giác A B E , BCE và CDE bằng nhau thì BC = AD/2.
§33. C á c bài t o á n đại s ố dựa vào bất dẳng thức tam giác
15.9. Đ i ê u k i ệ n cần và (lù để các sẳ a, b, c là đ ộ dài các cạnh của một tam giác
l à i a = V + z, b = z + X, c = x + y, trong đ ó X, V, z là c á c s ố dương.
2

2

2

15.10. N ê u a, b, c là đ ộ dài các cạnh cùa m ộ t tam giác, thì a + b + c <
< 2(ab + be + ca).
15.11. C h ó a , b, c là các sỏ dương. Nếu với mọi số tự nhiên n từ các đoạn thẳng
có) đ ộ dài a , h , c"' có thể dựng dược một tam giác thì trong các số đã cho có hai
sõi bằng nhau.
n

n

15.12. Nêu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác,, thì
a(b-c)

2

+ b (c - a )

2

2

3

3

3

+ c(a - b ) + 4abc > a + b + c .

15.13. Ta gọi " h ệ số không cân" của tam giác với cáccạnha < b < c là số nhỏ nhất
trcong các sô b/a và c/b. H ỏ i "hệ số không cân" k có thổ lẫy các giá trị n h ư thê nào ?
15.14. Biẽt rằng từ ha đoan thẳng bãi ki trong sô năm đoạn thẳng cho trước đ ề u
có) thể dựng được tam giác. K h i đ ó trong tát cả các tam giác dựng đnợc có ít nhát
m i ệ t tam giác nhọn.
15.15. Nêu a, b, c là đ ộ dài các cạnh cùa một tam giác, thì
(a + b - c) (a - b + c) ( - a + b + c) < abc.
15.16. Nếu a, b, c là đ ộ dài các cạnh của một tam giác, thì
2

2

2

a b (a - b) + b c (b - c) + c a ( c - a) > 0.
9


§4.Tểng độ dài các đường chéo của tứ giác lồi lớn hơn tổng đô dài c ủ a c á c c ạ i n h Ì
đối nhau
15.17. N ế u A B C D là t ứ g i á c l ồ i , t h ì A B + C D < A C + B D .
15.18. N ế u A B C D là tứ g i á c l ồ i có A B + B D <

A C + CD, thì A B <

AC. .

15.19. M ộ t tứ giác l ồ i đặt trong một tứ giác lôi khác. Tổng độ dài các đ u x ờ n g ị
chéo cùa tứ giác ngoài có thể nhỏ hơn 2 lân so với tổng độ dài các đ ư ờ n g c h é o của ì
tứ giác trong được không ? Còn 1,99 lần ?
15.20. Trên mặt phang cho n > 2 đ i ể m , trong số đó không có ba đ i ế m n à o t h i n g s
hàng. Trong số các đường eãp khúc k h é p kín đi qua các điểm đã cho, đưừníỊ k h ô ne ì
tự cằt sẽ có độ dài nhỏ nhất.
15.21. M ộ t đa giác lõi có tất cả các đường chéo bằng nhau có t h ể có bao n h i ê u J
cạnh ?
15.22. Trên mặt phang cho n đ i ế m đỏ và n điếm xanh, trong số đ ó k h ô n g c ó ba Ì
điềm nào thẳng hàng. K h i đó luôn có t h ế kỏ được n đoạn thẳng v ớ i các đ â u k h á c ;
màu nhau và không cằt nhau.
§5. Các bài toán khác dựa vào bất đẳng thức tam giác.
15.23. Đ ộ dài hai cạnh của một tam giác bằng 3,14 và 0,67. T í n h đ ộ dài c ạ n h Ì
t h ứ ba, biết rằng nó là một số nguyên.
15.24. Tổng độ dài các đường c h é o của ngũ giác l ồ i lớn hơn chu v i , n h ư n g nhỏ^
hơn hai lân chu v i .
15.25. Đ ộ (lài các cạnh của một tam giác không đêu có thè là ba phân tử liên tiếp)
của một cấp số nhân dược hay không ? Có thè nói gì về công bội của cáp số này ?
2

15.26. Nêu độ (lài các cạnh của mội tam giác thỏa mãn bát đẳng thức a + b
thì c là độ dài cạnh n h ỏ nhất.

2

2

> 5c ,,

15.27. Nêu hai đường cao của một tam giác bằng 12 và 20, thì dường cao t h ứ ba Ì
nhỏ hơn 30.
15.28. Cho ba hình tròn không cằt nhau có các tâm thẳng hàng. Nếu có một!
đường tròn tiẽp xúc v ớ i tất cả ba hình đó, thì bán kính của nó l ớ n hơn bán kính Ì
một hình tròn trong số đã cho.
15.29. Cho các đ i ể m C i , A i , B i nằm trên các cạnh A B , BC, C A của tam giác;
A B C sao cho BAI = ẢBC, C B i = ẲCA, A C Ì = ẲAB, trong đó 1/2 < Ả < 1. Nếm
gọi p và p là chu vi các tam giác A B C và A 1 B 1 C 1 thì (2 A - 1)P < p < Ắp.
10


15.3(l.'Trong một ngũ giác l ồ i luôn có thể chọn dược ba đường chéo đế từ đó có
thuế d ự n g dược mót tam giác.
§6S. D i ệ n tích tam giác không lớn hơn nửa tích độ dài hai cạnh của nó.
15.31. Trong tam giác có diện tích Ì và các cạnh a < b < c, thì b > V ĩ .
15.32. N ê u E, F, G, Hí là trung đ i ể m các cạnh AB, Be, CD, DA của tứ giác
A 1 B C D , t h ì S A B C D £ E G . H F < — ( A B + C D ) ( A D + BC).
4

15.33. N ế u chu v i của một tứ giác lõi bằntĩ 4, thì d i ệ n tích của nó không vượt
qiuá 1.
15.34. Nêu M là đ i ể m n ằ m t r o n g tam g i á c A R C có d i ệ n tích s, thì
4 S S < A M . B e + BM.AC + CM.AB.
15.35. Nêu trong đường tròn bán kính R nội tiếp mội ùa giác có diện tích s và
chiứa t â m đuừng tròn, trên môi cạnh của nó lẫy một đ i ể m bất kì thì chu vi của đa
giẩác l ụ i có các đinh là các đ i ể m được lấy k h ô n g nhụ hơn 2S/R.

15.36. G ọ i o là đ i ể m nằm trong tứ giác lôi A B C D diện tích s thụa mãn hệ thức
ACO + B O + C O + D 0 = 2S, khi đó A B C D là hình vuông và o là tâm của nó.
2

2

2

2

§77. Các bất đẳng thức vói diện tích.
15.37. Tôn tại hay không một tam giác có hai đường cao lớn hơn I m , còn diện
tícch nhụ hơn l e m

2

?

15.38. Nêu các cạnh của tam giác k h ô n g lớn hơn Ì, thì diện tích của nó không
l ỡ m hơn
ì 5.39. Trên các cạnh A B và A C của tam giác A B C lây các điếm M và N sao cho
A I M = CN và A N = B M . Khi đó diện tích tứ giác B M N C ít nhất là lớn gấp ba lân
d ụ ệ n tích tam giác A M N .
15.40. Nêu trên các cạnh B e , CA, A B cùa tam giác A B C lấy các điểm A i , B i ,
O i tương ứng, thì trong các tam giác A B i C i , A l B C i , A i B i C có một tam giác có
diệện tích không vượt quá một p h â n tư d i ệ n tích tam giác A B C .
15.41. G ọ i s, S i , S 2 tương ứng là diện tích của các tam giác A B C , A 1 B 1 C 1 ,
A 2 2 B 2 C 2 có A B
s ;>4

=

A i Bi

+

A 2 B 2 , AC

=

A i d

+

A2C2, Be

=

B1C1 +

B2C2,

thì

VS1S2 .

9

li

15.42. Cho A B C D là tứ giác lõi diện tích s. Nêu góc giữa A B và C D b ằ i n g (CH ,
góc giữa A D và BC bằngỊ3 , thì
A B . C D s i n « + A Ọ . B C sin/? < 2S < A B . C D + A D . B C .
15.43. Nêu tất cả các cạnh cùa một đa giác lôi được xê dịch ra phía n g o à i muội
khoảng bằng h, thì diện tích của nó sẽ được tăng lén một lượng bằng Ph -+ 7T'h ,
trong đó p là chu vi đa giác.
15.44. Nế u một hình vuông được cắt ra t h à n h các hình chữ nhật. thì tổrag d i i ẽ n
tích các hình tròn ngoại tiế p quanh các hình chữ nhật đó không nhỏ hơn dtíện t ích
hình tròn ngoại t i ế p quanh hình vuông ban đởu.
15.45. N ê u tất cả c á c đ ư ờ n g p h â n giác của tam giác n h ỏ hơn Ì, thù diiệ n
t í c h của nỏ n h ỏ h ơ n : a) 1; b) 1/V3 .
15.46. Tống diện tích của 5 tam giác tạo bởi các cặp cạnh kề nhau và các đ ư ờ n g
chéo lương ứng cùa một ngũ giác lõi lớn hơn d i ệ n tích cùa cả ngũ giác.
15.47. Nế u hai hình chữ nhật bằng nhau được xế p sao cho biên của c h ú n g cắt
nhau tại 8 đ i ể m , thì diện tích phởn chung của c h ú n g lớn hơn một nứa diện Ì ích (Của
hình chữ nhật.
15.48. a) Trong mọi lục giác lôi d i ệ n tích s luôn tìm được đường c h é o cai
một tam giác có d i ệ n tích không lớn han S/6.

ra

b) Trong mọi bát tam giác l ồ i d i ệ n tích s luôn tìm được đường c h é o cắn ra
một tam giác có d i ệ n tích không lớn hơn S/8.
§8. Diện tích. Một hình nằm trong một hình khác.
15.49. Bên tronii hình vuông cạnh Ì cho n đ i ể m . Trong số các tam giác có d i n h
tại các diêm đó hay tại các đinh của hình vuông luôn có một tam giác có d i ệ n t í c h
không vượt quá l/2(n + 1).
15.50. Bên ư o n c hình vuông cạnh Ì cho n đ i ể m , trong số đó không có ba đ i ể m
nào thẳng hàng. K h i đó luôn tìm được một tam giác có các đinh tại các đ i ế m đ ó và

có diện tích k h ô n g vượt quá 1/n—2.
15.51. Nêu một đa giác d i ệ n tích B nội t i ế p trong đường tròn diện tích A và
ngoại tiếp quanh đường tròn d i ệ n tích c thì 2B < A + c.
15.52. Trong hình tròn bán kính Ì đặt hai tam giác có diện tích đều lớn hơn Ì,
khi đó hai tam giác đó sẽ phải cắt nhau.

12


15 .53. a) D i ệ n tích h ì n h bình h à n h n ộ i t i ế p trong một tam giác không lớn hơn
nuột n ứa d i ệ n tích của tam giác.
b) D i ệ n tích h ì n h b ì n h hành nằm trong một lam giác không lớn hơn một nứa
d i ệ n t ích lam giác.
15..54. D i ệ n tích cùa tam giác có các đinh nằm trên các cạnh cùa một hình bình
h à n h k h ô n g lớn hơn một nứa d i ệ n tích của hình bình hành.
15. 55. a) Trong một đa giác lôi d i ệ n tích s và chu vi p luôn có thể đặt một hình
t r ò n b á n kính s / p .
b) N ê u bên trong một đa giác lõi d i ệ n tích Si và chu vi Pi có thế đặt một đa giác
l ồ i có d i ệ n tích S2 và chu vi ?2 thì 2Sl/pt > S2/P2.
15.56. Trong một da giác l ồ i diện tích l luôn có thể đặt một tam giác có diện
t í c h k h ô n g nhỏ hơn : a) 1/4; b) 3/8.
15.57. M ộ t n-giác lõi đ ặ t trong hình vuông cạnh 1. K h i đó luôn tìm được ba
đ i n h A , B, c của n —giác đó sao cho d i ệ n tích tam giác A B C k h ô n g vượt quá
2

3

a) 8 / n ; b) 16JT/n .
§9. C á c bất đẳng thức về các đường trung tuyến của tam giác.
15.58. N ế u a > b thì ma < rrib

2

2

2

15.59. a) Nêu a, b, c là đ ộ dài các cạnh của một tam giác bat kì, thì a + b" >c /2.
b) ma
15.60. a) ma

2

2

+ tĩib

2

2

5: 9c /8

2

+ mt> + nu-

b) ma + mb + me

2

<

ắ

2

27R /4

9R/2

15.61. Nếu lam giác k h ô n g tù thì ma + mb + me 2: 4R.
§ 1 0 . Các bất đảng thức v í các đuừnị; cao của tam giác.
15.62. —
2r

< - + — < ha
hh
r

15.63. Nêu bán kính d ư ờ n g tròn nội tiếp của tam giác bằng 1/3, thì đường cao
lớn n h á t của tam giác k h ô n g nhỏ hern 1.
15.64. ha + hb + he >
15.65. ha s

15.66. Nêu

^p(p

a

9r.
) < trong đó p là nửa chu v i .

h là đirởne cao lớn nh
t của m ộ i tam giãi- không tù, thì r + R < h.
13


§ 1 1 . Các bất đẳng thức về các góc của tam giác.
15.67. a ì s i n ị < a/2Vbc
2

;

b) t g £ < a/2ha
2

1

15.68.

2R * ~
.
r
sin — (Ì - sin — )
2

2

15.69. coscr + cos/? + cosy < 3/2.

15.70. 3r/R < cos a + cos/3 + cosy < 3/2.
15.71. s i n ậ s i n Ệ s i n Z < 1/8.
2

2

2

15.72. a) a + b + c < 3 V J R ;
b) sina + sin/? + s i n / < 3 V3/2.
15.73. a) s i n Ẹ + s i n ặ + s i n ! < 3/2;
2
2
2
b) c o s £ + cosỂ + cosZ < 3V3/2
2
2
2
Ị5.74. G i ả sử « , / ? , y là các góc của một tam giác nhọn . N ế u a < ộ < y, t h ì sin
2CÍ > sin 2/3 > sin

ly.

15.75. Nêu hai tam giác có một góc chung, thì tam giác nào có h i ệ u hai góc còn
lại lớn hơn sẽ có tone các sin của hai góc đó nhể hem.
15.76. N ê u a + b < 3c, thì

tg£L t g ầ <
2

2

-.
2

15.77. a) ctga + ctịự? + ctgy > Vĩ ;
b) t g | t g | t g Z >

Vĩ.

15.78. a) c t g £ + c t g ể + ctgZ. > 3 V 3 .

b) tga + tg/3

+

xg Y

> 3

V ĩ (a, /?, y

< 90°).

§12. Các bất đẳng thức trong tam giác vuông.
15.79. Nêu c là độ dài cạnh huyên của tam giác vuông , thì với mọi n > 2 luôn
có c" > a + b"
n

14

'


15.80. Nếu trong tam giác A B C góc c v u ô n g thì :

a) ĩ < - a ; b) r < - c ; c) r < c/2(l + yfl ).
2

4

15.81. Trong tam giác vuông luôn có 0,4 < r/h < 0,5, trong đó h là đường cao hạ
t ừ đinh góc vuông.
§13.Các bất đẳng thức liên hệ các yếu tố của tam giác.
15.82. Trong tam giác nhọn luôn có :
ma

rrib

m

ha

hh

he

J

c

R

+

r

15.83. Nêu trong một tam giác nhọn ha = lb = m , thì tam giác đó đêu.
c

15.84. Nếu trong tam giác A B C cạnh c lớn n h ấ t , còn a nhỏ nhát, thì le
15.85. r r

< ha.

£ c /4, trong dó re là bán kính dường tròn bàng t i ẽ p góc c của tam
2

c

giác A B C .
15.86. a) Nếu

1

+ 1 = 1,

c

b

= — , thì

c

b

120°.

la

ì +!

b) N ế u

thì Ầ =

Â<

120°.

ha

c) Nêu - + - = — ,
b
c
m

thì

Ẩ > 120°.

a

15.87. Nêu a, b, c là đ ộ dài các cạnh cùa m ộ t tam giác có chu vi bằng 2, thì
2

a + b
§u.

2

+ c

2

<

2(1-abc).

Các bất đẳng thức vê diện tích của tam giác.
15.88. Nêu a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác d i ệ n tích s, t h ì :
a)

s<

[5.89. a) s

2

2

- (a + b ) ;
4
<

2

b)

s<

- (ab + be + ca).
6

r

p /3V 3.

b) p > 3 Vĩ r , trong đó p là nửa chu v i .
15


c)
15.90. a

s <2

+ b

2

2

+ c -

(a - b )

2

-

(b-c)

2

-(c-a)

2

> 4 Vĩ

s.

§15. Đ ố i diện vói các cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
15.91. Trong tam giác ABC: A B C < B Á C khi và chi khi A C < Be,

tức là

tam giác đ ỗ i diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn, và đ ố i d i ệ n với cạnh l á n

tro
hum

góc lớn han.
15.92. Trong tam giác : góc A nhọn khi vá chi khi ma > —a

2
15.93. Có sáu hình tròn dược vẽ t r ẽ n mặt phang sao cho chúng có ehumg mi
đ i ể m o nào đó, khi đó luôn có một hình tròn trong số đó chứa tâm của m ô n hìn
tròn khác.
15.94. Cho A B C D và A i B j C i D j ^ là hai tứ giác l ồ i có các cạnh tương ứ n g bằn
nhau. Nêu A > A i thì B < BÌ , c

> CÌ, D < Di .

15.95. Nêu trong tam giác nhọn A B C đường cao lớn nhất A H bằng đường: trùn,
tuyên B M , thì B < 6 0 ° .
15.96. N^ũ giác lôi A B C D E có cá c cạnh bằng nhau và các góc thổa mãn bã t J ẳ n j
thức A > B > C > D > E

là một ngũ giá c đêu.

§16. Các bất đẳng thin: khác trong tam giác.
15.97. a) Trong một tam í»iác k h ô n g cân đường phân giác BD nằm giữa órờng
trung tuyên B M và dưònii cao B H .
b) B H < B D < B M .
/V.

/N

/ \

15.98. Các góc của một tam giác thổa mãn bát đẳng thức A > B > c . H ổ dinh
nào của tam £iá*FỊ|Mj*j»ậfl tả4ữj4iH>pg J rò n nội t i ế p hơn cả ?
15.99. Nâu . q f a f r ^ W r f i ^ & t f f f t i f g i ã i A B C kẻ một'dường thẳng cắt cát cạnh
của tam giác t ạ i M và ĩkt^tì NÕ ^

2MO.

15.100. NcuịvẩiT'Ìtó^íM*Í0á£'ABAB < AC.

*

—

~*f™x*S*T--\

thì

-~~'-

15.101. Nếu trên đường kéo dài cùa cạnh lơn nhát A C của tam giác AÌC vè
phía c lây điếm D sao cho CD = CB, khi đó góc A B D k h ô n g nhọn.
16


15.102. T r o n g tam giác A B C kẻ các đường phân giác A K và C M . Nếu A B > BC,

(thì AM > MK > Ke.
15.103. T r ê n các cạnh Be, CA, A B của tam giác A B C lấy các điểm X, Y , z sao
cbho các đường thẳng A X , B Y , cz đ ô n g quy t ạ i một đ i ế m o. K h i đó t r Ig các t i
sèo A O : ox, B O : OY, co: O Z có ít nhát một số không lớn hơn 2 và một số không
n i h ỏ hơn 2,
15.104. N ê u đường tròn Si tiếp xúc với các cạnh A C và A B cùa tam giác A B C ,
(Hường tròn Sz t i ế p xúc với các cạnh BC và A B , dõnii thời Si và S2 tiếp xúc ngoà i
Vi ớ i nhau, thì tổng bán kính các đưừni; tròn đó lớn hơn bán kính đường tròn nội

tiiếp s.
§ U 7 . Đoạn thẳng nằm trong tam giác nhò him cạnh lớn nhất.
15.105. a) Bên trong tam giác A B C đặt đoạn M N . K h i dó độ dài đoạn M N không
v ượt quá cạnh l ớ n nhất của tam giác.
b) Bên trong một da giác lõi dặt đoạn M N . khi đó độ dài đoạn M N không
v ư ợ t quá cạnh l ở n nhất hoặc đưởnii c h é o lớn nhát của du giác ấy.
15.106. Bên trong hình quạt AOB của hình tròn bán kính R = A O = BO đ ạ i
đtoạn M N . Nêu giọ sứ A O B < 180° , thì M N < R hoặc M N < A B .
15.107. Tron lĩ góc đinh A nội tiếp một dường tròn tiếp xúc với các cạnh của góc
t ạ i các đ i ế m B và c. Nêu trong miền giới hạn bởi các đoạn A B , A C và cung nhỏ
B e dặt một đ o ạ n thẳng, thì độ dài của nó không vượt quá A B .
15.108. N ế u bên trong dường tròn đặt một nnũ giác lôi thì nó có ít nhát một
cạnh khổng lớn hem cạnh của niỉũ giác đêu nội tiếp trong đường tròn đó.
15.109. Cho tam giác A B C với các cạnh a > b > c và m ộ i điểm o hãi kì irons'
nó. Nêu gọi p, Q, R là giao điếm của các đường thẳng AO, BO, co

với các cạn)

của tam giác thì OP + OQ + OR < a.
§18. Đuửng v u ô n g góc ntỉán hơn
khúc.

đirỆ^^^SS^3S%

15.110. T r o n g một tam giác tổng

h

ư

n

đ u

* P B K"

chu v i .

15.111. N ế u M là đ i ể m nằm trên đường p h â n giác ngoài của góc c trong tam
giác A B C ( M k h á c C), thì M A + M B > CA + GB?

17


15.112. M ộ t đa giác (không nhất thiet phải l ồ i ) dược cắt ra từ giãy và duọtc g;ãp
lại theo một đường thẳng nào đó, hai nửa sau đó dược dán l ạ i với nhau. H ở i c h U i vi
da giác mới nhận được có thể lớn him chu vi đa giác ban đâu hay không ?
15.113. Trong tam giác A B C đường cao A M không nhằ hơn BC, còn đ ư ờ n g cao
B H không nhằ hơn AC. Tính các góc của tam giác A B C .
§19. Các bất đẳng thức với góc.
15.114. Nêu các góc của một ngũ ?iác l ồ i lập t h à n h một cáp số cộng, thì cá c g ó c

đó đêu lớn hơn 36°.
15.115. Trong tam giác A B C các cạnh bằng a, b, c; còn các góc tương ứ n g
bằng radian) bằng a,/?,

y luôn có : ĩ . <

à

3

a

+

b

L

^ *
a + b + c

ỵ

<

(đo

-.
2

15.116. Nếu hai góc đối nhau của một tứ giác là các góc tù, thì dướn? c h é o mõi
đinh các góc đó ngắn hơn đường chéo kia.
í 5,517. Cho A B C D là một tứ giác lõi, nêu A + c < 180° , thì hợp của c á c h ì n h
tròn ngoại tiếp các tam giác A B D và B C D chứa trong hợp của các hình tròn n g c ạ i
t i ế p các tam giác A C D và A B C .
15.118. Cho đa giác bảy cạnh A1A2 ...A711ỘÌ tiếp trong đường tròn, nếu t â m cùa
' đ ư ờ n g tròn đó nằm trong đa giác bảy cạnh, thì tổng các góc thuộc các đinh A i , A3,
As nhỏ hơn 450°.
15.119. Bên trong Ùa giác đều A i , .., An lẫy một đ i ể m o, khi đó có ít n h á t m ộ t
góc AịOẠị thằa mãn bat đ a n g tljức

Ì
TI ( Ì — — ) < AiOAj < n .
n

15.120. Trong tam giác nhọn ABC đuờríg phân giác A D , trung tuyên B M và dường
cao CH đông quy lại một điểm. Hằi giá trị cóc A có thế thay đ ố i trong khoảng nào ?
§20. Đirìmg gấp k h ú c trong hình vuông.
15.121. Nêu bên trong hình vuông cạnh Ì đặt một đuờnu găp khúc k h ô n g tự cắt
dài 1000, thì luôn tìm đirợc một đường thẳng song song với cạnh cùa hình vuông
và cắt (fưSíĩf gap khúc đò tại ít nhất 500 điểm.
15.122. Trong h ì n h vuông cạnh Ì đặt một đường gap k h ú c có độ dài L . Nếu biết
rằng mỗi điếm của hình vuông cách một điểm nào đó cùa đường gấp khúc một
khoảng nhằ hơn 8 , thì

L > —
lĩ

18

-

—e .
2


15.123. Nếu b ê n trong h ì n h vuông cạnh Ì đặt n điểm, thì tồn tại một đường
gằãp khúc đi qua tai cả các điểm đó và có độ dài không vượt quá a)2n + l ;
b)2n.
15.124. Bên trong hình vuông cạnh 100 đặt một đường gấp khúc có tính ctìẵt
lài m ọ i điếm của h ì n h vuông đề u cách L một khoảng không lớn hơn 0,5. Khi đỏ
trrên L có hai đ i ể m mà khoảhg cách giữa chúng không lớn hơn Ì, nhưng k h e ; '
cíách dọc theo L giữa chúng không nhỏ hơn 198.
1

§121. Một hình nằm trong một hình khác,
15.125. Nếu một đa giác l ồ i có diận tích lớn hơn 0,5 được đặt trong một hình
'viuông cạnh Ì, thi bên trong đa giác đó có íhc đặt một đoạn thẳng dài 0,5 song sons
VÓẾỈỈ một cạnh của hình vuông.
15.126. Luôn có thể đặt được đường gẫp khúc khép kín có độ dài banc Ì vào
mong một hình tròn bán kính 0,25.
15.127. Nêu một tam giác nhọn được đặt vào trong mội đường tròn, thì bán
kí nh của đường tròn dó không nhỏ hơn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Két luận đó còn d ú n e kftông đối với một tam giác tù ?
15.128. Chu vi của một tam giác nhọn không nhỏ hơn 4R.
§ 2 2 . Phinmg pháp chiếu.
L5.129. Nêu độ dài các hình chiêu của một đoạn thẳng lên hai đuờng thẳng
vuông góc v ớ i nhau bằng a và b, thì độ dài của nó không nhỏ hơn (a + b) / Vĩ .
15.130. Nếu các đinh của tứ giác l ồ i nằm trên các cạnh khác nhau của hình
vuông cạnh Ì, thì chu vi của nó khòm; nhỏ hem 2 V ĩ .

15.131. Nếu độ dài các hình chiếu của một đa giác lên các trục tọa độ bằng a và
b, thì chu vi cùa nó k h ô n g nhỏ hơn V2 (a + b).
§23. Các bất đẳng thức khác.
15.132. N ế u tronií tư giác A B C D các góc A và B bằng nhau, còn D > c thì khi
đó A D < BC
15.133. N ê u trong hình thang A B C D các góc thuộc đáy A D thỏa mãn bát đẳng
thức  < D < 90° , thì khi đó A C > BD.
15.134. Nêu p và Q là hai điểm nằm bên trung mội da giác lôi, thì luôn tim được
một dinh A của đa giác sao chí) PA > QA.
19


15.135. Nêu các đườni! chéo cùa một tứ giác lôi bằng 2a và 2b, thì có m ô n
của tứ giác không nhỏ hơn \^a + b
2

ccạnh

2

15.136. Giả sử D và E là trung đ i ế m các cạnh A B và Be cùa tam giác n h ọ n /AABC,
còn M nằm trên cạnh AC. Nếu M D < A D , t hì M E > EC.
15.137. Tron tỉ rừng mọc những cây có dạng hình trụ. Anh lính thông tin cầm c căng
mội đường dày từ điếm A đen điểm B. Nêu biết khoảng cách giữa hai điểm đó bằằấng Ì,
thì dế làm việc dó anh lính thông tin chi cân một cuộn dây dài 1,61 là dù.
15.138. Bằng các cạnh của một đa giác lõi chu vi p luôn có t hế ghép l ạ i tlhhành
hai đoạn thẳng có độ dài hơn kém nhau không quá P/3.
15.139. Trong một vườn cây biết rằng khoảng cách giữa hai cây bất kì kđhtoông
vượt quá hiệu chiêu cao của chúng. Nêu biết t hêm t át cả các cây đêu k h ô n g cao)) quá
100 m, thì khu vườn do có t hế quây bằng một bờ rào dài 200m.

15.140. Cho A B C D E là một ngũ giác lõi nội t iếp t rong đường t r ò n b á n

kkính

1. N ế u biễt rằng A B = a, Be = b, CD = c, DE = d, A E = 2, thì
a

2

+ b

2

+ c

2

+ d

2

+ abc + bed < 4.

15.141. a) Nếu mỗi cạnh của mội lục giác lôi đêu có độ dài lớn hơn Ì thì c ó pphải
luôn tìm dược một đưởne chéo có độ dài lớn hơn 2 ?
b) Nêu trong lục giác lôi A B C D E F độ dài các đường c h é o A D , BE, C F c đêu
lớn hem 2, thì có phái luôn tìm dược một cạnh cùa lục giác có độ đài lớn han 11 ?

CÁC BÀI TOÁN T ự GIẢI
15.142. Nếu t rong tứ giác A B C D tổng độ dài các đoạn A B và BD bằng t ổ n gg độ

dài các đoạn AC và CD, thì đường trung trực của cạnh Be sẽ cắt cạnh A D . ( chú
không phải cắt kéo dài của nó.
• 15.143. Đường chéo A C của tứ giác A B C D bị chia dôi bởi đường chéo B D . NNcu
BA > Be, thì A D < DC.
15.144. Nêu trong hình thang với các đáy (lài 2 và 11 có t h ể n ộ i t iếp một đ ư ờ ờ n g
tròn, thì các cạnh bên của hình thang đó khi kéo dài sẽ cắt nhau dưới một sóc nĩioọn.
15.145. Nếu nỗi các trung điếm các cạnh liên t i ẽ p của một n-giác lôi M , thì ì đa
giác nhận được có :
a) Chu vi không nhỏ hern nửa chu vi của M khi n > 3.
b) D i ệ n tích không nhỏ hơn nửa diện tích của M khi n > 4.
20


15.146. N ế u gọi a, b, c là các cạnh của tam g i á c , p = a
+ toe + ca, thì 3 T < p < 4T.

+ b + c, T = ab +

2

15.147. N ế u tích các cạnh A B và CD của tứ giác l ồ i A B C D bằng tích các cạnh
A D và Be, và đường chéo B D chia đôi đường chéo A C , thì A B = BC và A D = DC.
15.148. Đ ố i với mọi tam giác —ỉ— < — + — + - 2Rr
a
b
c
2

2

2

15.149. Tích hai cạnh bất kì của một tam giác lớn hơn 4Rr.
15.150. N ế u các đường truniỊ tuyên A D và BE của tam giác ABC vuông góc với
nhau, thì ctg a + ctgfi > 2/3.
15.151. Trong đường tròn bán kính Ì n ộ i t i ế p một đa giác có các cạnh nhỏ hơn
. n h ư n g l ớ n hơn 1. Hãy tính số cạnh của đa giác đó.
15.152. N ê u trên các cạnh của tam giác Ẩ B C về phía ngoài dựnc (ác tam giác
đều

với các

tâm

là D , E. F thì S D E F

-

SABC

15.153. N ê u irons hình bình hành Pi n ộ i t i ế p hình bình hành ?2, còn trong ?2
nội t iẽp h ì n h bình hành P3 có các cạnh song song với các cạnh của P i , thì có ít nhất
một cạnh của P3 khôn2 nhỏ hơn một nẳa cạnh song song với nó của Pi.
15.154. T r ê n mặt phang cho các tam giác A B C và M N K sao cho đưừnt> thẳng
M N đi qua trung điểm các cạnh A B và A C , và giao cùa các tam giác đó là một lục
giác d i ệ n tích s với các cặp cạnh đ ố i song song. K h i đó 3S < S A B C + SMNK.

LỜI GIẢI
ì
15.1. G ọ i C i là t r u n g đ i ề m cạnh A B . K h i dó c o

+ Q C > B C . Do đó 2CC] + B A > CA + B e , tức là m
G i ả sẳ c
Do l ó 2 m

c

=

c

+ OA

> CA và BO

> - (a + b 2

+

c).

đ ố i xứng v ớ i c qua d i ê m C i . K h i đó C Q = C i C và Be

= CA

Cơ < CB + B C = CB + CA, tức là m < - (a + b).
c

2
15.2. Theo bài trên m < - (b + c),mb < - (c + a ) , me < - (a + b ) , do đó tổng
2

2
2
độ cài các đ ư ờ n g trung tuyên nhỏ hơn chu v i .
a

21


Gọi o
-ì o e

là t r ọ n g

> AC, o e

l â m của

lam g i á c A B C , K h i đó OB + O A > B A , C V A +

+ OB > CB. Cộng l ạ i lưu ý r ằ n g O A

= - m

a

, OB

=--••nib,

3

CO

2
= 3

m

ta đ ư ợ c m

c

a

+ nib + m

c

3

3
> - (a + b + c ) .
4

15.3. G i ả sử M i và M 2 là c á c đ i ế m đ ố i x u y ê n t â m t r ê n đ ư ờ n g t r ò n . K h u i đ ó
M i A k + M 2 A k S: M 1 M 2 = 2, C ộ n g t ấ t cả c á c b ấ t đ ẳ n g t h ứ c d ó l ạ i v ớ i k =
tađược(MiAí

l ,

, n.

+ . . . !• Mì A n ) + ( M 2 A Ỉ + ... + M 2 A n ) ^ 2n. D o đ ó hoặc M l A Vi +

+ ... + M i A n >

n và k h i đ ó c o i M

=

M i , h o ặ c M 2 A 1 + ... +

M 2 . A n :>

n

vi k h i đ ó M = NÍ2.
15.4. C ó t h ổ lẫy K là t r u n g đ i ế m đ o ạ n P Q . T h ậ t vậy, k h i d ó A j K < - (Ai?
2

+ A\iQ)

(xem b à i 15.1), t r o n g đ ó c ó ít n h á t m ộ t b á t đ ẳ n g t h ứ c là n h ổ h ơ n t h ự c s ự , v ì Ì c á c
đ i ổ m A i k h ô n g t h ổ t ấ t cả n ằ m t r ê n đ ư ờ n g t h ẳ n g P Q .
15.5. G i ả sử A i và B i là vị t r í đ â u k i m p h ú t của đ ô n g h ò t h ứ i t ạ i t h ờ i đ i ế m 11 và
í + 30 p h ú t , O i là t â m đ ô n g h ô t h ứ i v à o là t â m b à n , k h i đ ó O O i < -

( O A i +COBj)

2
v ớ i m ọ i i ( x e m b à i 15.1). R õ r à n g t ạ i t h ờ i đ i ế m n à o đ ó c á c đ i ổ m A i v à B i k h a ô n g

n ằ m t r ê n đ ư ờ n g t h ẳ n g O O i , t ứ c c ó ít n h á t m ộ t t r o n g n b á t đ ằ n g t h ứ c là n h ỏ
t h ự c s ự . K h i đ ó h o ặ c O O i + ... + O O n < O A I + ... + Q A n , h o ặ c O O i

hem

+ ... + C X O n <

< O B i + ... + O B n .

lôi sang bao tôi
gấp k h ú c l ạ o b ở i c á c c ạ n h đ ư ợ c thay bằng các đoạn thing
đ ư ờ n g gấp k h ú c l ớ n h ơ n đ ộ d à i đ o ạ n thẳnị ©ùng đ ầ u .
15.6. a) K h i c h u y ổ n t ừ m ộ t đ a g i á c k h ô n g

b) Cách

thứ nhất.

một s ổ điMỜng
Mi độ dài ị của

cứa n ỗ ,
(KI).

D ự n g t r ê n c á c c ạ n h của đ a g i á c t r o n g n h ữ n g d ả i quaay ra

p h í a n g o à i , c ó b i ê n v u ô n g g ó c v ớ i c ạ n h t ư ơ n g ứ n g của đa g i á c ( h . 2 ) . G ọ i p là p i h â n
chu v i của đ a g i á c n g o ậ i n ằ m t r o n g c á c d à i đ ó . K h i đ ó chu v i đ a g i á c t r o n g k h u ô n g
t h ế l ớ n horn p, c ò n c h u v i đ a g i á c n g o à i l ạ i l ớ n h ơ n p .
• Cách

thứ hai.

G i ả sử A k A k + 1 cắt đ a g i á c n g o à i t ạ i đ i ổ m B k + 1 ( h . 3 ) .

K í h i ệ u đ ộ d à i p h a n c á c c ạ n h của đ a g i á c n g o à i n ằ m t r o n g g ó c B k A k B k + 1 làà bk.
K h i đ ó A k A k + 1 + A k + i B k + 1 ^ A k B k + bic. C ộ n g t á t cả c á c b á t đ ẳ n g t h ứ c iCó l ạ i
với k = Ì , n

22

ta đ ư ợ c A 1 A 2 + . . . + A n A i < b i + ... + ồ n , đ i ê u p h ả i c h ứ n g M i n h .


Hình ỉ

Nếu đa giác ngoài và đa giác trong
không trùng nhau, thì có ít nfiat một bẵt
dẳng thức là nhỏ hơn thực sụ, khi đó ta
nhận được bãi đẳng thức thực sự.

Hình 2

Bi

. Bi

15.7. Do AO + OB > AB, BO +
+OC

> BC và CO + O A > AC nên

AO + BO + GO > (AB + Be +
+ CA)/2. Do A A B C chứa AABO nên
AB + BO + OA < AB + Be + CA
( xem bài 15.6.b), tức BO + O A <
Hình 3
< Be + CA. Tưcrng tự AO + OC<
< AB + BC và CO + OB< CA +AB.
Cộngtấtcả
tícbấtđắngthức
bi,ta drợcOA +OB + oe < AB + Be + CA.
15.8. Ta sẽ chứng minh rằng ABCE và BCDE là các hình bình hàníi. Trên cơ
sở A A B E vẽ hình bình hành ABCiE. Khi đó chu vi các tam giác BCiE và A B E
bằng nhau, do đó chu vi các tam giác BCiE và BCE bằng nhau. Suy ra Ci = c, nếu
không trong hai tam giác BCiE và BCE sẽ có một tam giác nằm trong tam giác kia
và chu vi cùa chúng không thế bằng nhau. Như vậy ta đã chứng minh dược ABCE
là hình bình hành. Tương tự ta cũng được BCDE là hình bình hành.

23


15.9. Giả hệ phương trình x + y = c, x + z = b , y + z = a, ta được X = ( — a i +
+ b + c) lĩ, y = (a — b + c)/2, z = (a + b — c)/2. Rõ ràng X, y, z dương luiơmg

đương với các bát đẳng thức tam giác đối " ớ i tam giác với các cạnh a, b, c.
2

2

2

2

2

2

15.10. Theo bất đẳng thức tam g i á c a > (b - c ) = b - 2bc + c , b > ai
— lác + c , c > a — 2ab + b . Cộng các bất đẳng thức đó lại ta được diêm phaải
chứng minh.
2

2

2

2

15.11. Có thể giả sử a > b > c . Ta chứng minh rằng a = b. Thật vậy nếu b> < : ;
thì b < Aa và c < Mị. trong đó Ả < ị. Do đ ó b + c < 2 A V . V ớ i n đủ liớn ssẽ
có 2Ấ < Ì và ta nhận được điêu mâu thuẢn với bất đẳng thức tam giác.
n

n

n

2

2

2

2

15.12. Do c(a - b) + 4abc = c (a + b ) , n ê n a(b - c) + b(c - a ) +
f c(a - b) + 4abc - a - b - c = a [(b - c) - a ] + b[(c - a) - b> ] +
+c[(a + b ) j = (a + b - c)(a — b + c ) ( - a + b + c) > 0
2

3

2

3

3

2

2

2

:

15.13. Giả ử b/a = X, c/b =fi. Doa < b < c, nên c < a + b, suy raẲ// < Ì + A
ị
li

hay /ù < Ì + y . Do đó k không vượt quá số nhỏ nhất trong các số Ả và Ì -+ jỵ.
Á
Phương trình Ả =1 + ị có nghiệm A = ĩ - —

(nghiệm thứ hai ta không quaan

tâm vì nó âm), do đó số nhỏ nhất trong các số là Ả và Ì + J không vượt quaá
Ì + VJ ^ ,
.. . . .
,
Ì + V5 „
_
s _
Ì + V5
.
—
. Từ dó suy ra Ì < k < —•
(k không the bang —
; vì
2
2
2
:

1 u f t

L

Ngược lại khi đặt Ả = /x = k ( Ì < k < —

,
1
< Ì + ý-.

:

t S c

Ẵ

) có thể nhạn được tam giác vóới
2

"hệ số không cân" k.
15.14. Kí hiệu độ dài các đoạn thẳng là ai < a2 < a3 < 34 < as. Nếu tái củ cá te
lam giác có the dựng được từ các đoạn thăng dó không nhọn, thì a3 > ai" + ai :
U4
> a2 +• -di và H5 > a 3 + ỈM . Do đỏ as > a 3 + a i > ( a i + à: ) + (a2 -H+a3 ) ^ 2ai + 3a2 . N h ư n g a r + 32 > 2aia2, nên 2ai + 3a2 > ai + 2aia2 + a2 =
- Ca Ì + a2) . Ta được as > (ai + •ái)" mâu thuân với bat đang thức tam giác.
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5.15. Cách thứ nhất. Đặt X = —a + b + c, y =a —b + c, z = a + b —cz.
V

+ Z

Khi đó a = — — ,
2
24

.

X + Z

x + y

.

,,

. .

b = —•—, c = — — , tức là cân phải chứng minh xyz<
2
2


2

2

2

2

2

<< (x + y)(y + z)(z + x)/8 hay 6xyz < xtf + z )+ y ( x . + z ) + z ( x + y ) . B á t
đ a ẳ n g thức c u ổ i d ư ợ c suy ra t ử 2xy X < ( y + z ) , 2xyz < y ( x + z ) , 2xyz <
2

2

2

CÁc/i thứ hai: B ở i vì s = - ab sinỵ và siny = C/2R nên abc = 4SR. Theo công
2
thhức Hcrông (a + b — c)(a— b + c)(—a + b + c) = 8S /p. Do đó cân phải chứng
i m i n h rằng 8S /p < 4SR, tức 2S < p R . B ờ i vì s = pr ta đi đ ế n bất đẳng thức

2rr < R (xem bài 10.5).
15.16. Đ ặ t X = ( - a + b + c) /2, y = (a - b + c)/2, z = (a + b - c) /2. K h i
đ i ó c á c số X, y , z d ư ơ n g v à a = y + z, b = X + z, c = X + y. Khi đ ó a b(a — b ) +
+ - b c ( b - c) + c a(c — a) = 2[x z + y x + z y - x y z ( x + y + z)] =
2

2

2

= : 2xyz

( — + — + - —
' y

z

3

z I . Bởi

vì

3

2< - + -

'

y

X

2
V

z

y

z

X

nên 2x

< X

I- + - ' v

X

y

X'

2
J

— + y . Tương t ự 2y < — + z ; 2z < — + X . Cộng các bất đẳng thức đó l ạ i ta

J

ck\rạc

=

X—y —

X

2

=

3

2

2

X
V
z
—• + — + —
y
z
X

> x

+ y +

z.

15.17. G i ả s ử O là giao đ i ậ m các đường chéo của tứ giác A B C D . K h i A C + BD =
(AO + Ó C ) + ( B O + O D ) = ( A O + OB) + (CO + O D ) > A B + C D .

15.18. Theo bài t r ê n có A B + C D < A C + B D . Cộng bát dẳng thức đó với bất
đẳing thức A B + B D < A C + C D ta được 2AB < 2AC.
15.19. Trước hết ta chứng minh rằng nêu p là chu vi tứ giác lòi A B C D , còn d i và
cl2 là độ dài các đường c h é o của nó, t h i p > d i + d 2 > P/2. R õ ràng A C < A B + Be
vài A C < A D + D C n ê n A C < ( A B + BC + A D + D C ) / 2 = P/2. Tương tự B D < P / 2
smy ra AC + B D < p. M ặ t khác k h i cộng các bát đẳng thức A B + C D < A C + B D
và Be + AD < AC + B D (xem bài 15.17) ta được p < 2(AC + BD).
Giả sử p là chu v i của t ứ giác ngoài, P' là chu vi của tứ giác trong, d và cTlà tổng
độ) dài các đường c h é o cùa tứ giác ngoài và trong tương ứng. K h i đó d > P/2 nhưng
do. P' < p (xem bài 15.6b), n ê n d ' < P' < p < 2d.
N h ư vậy ta đã chứng minh rằng tổng độ dài các đường chéo của tứ giác ngoài
khiông t h ậ n h ỏ hơn hai lân so v ớ i tổng độ (lài các đường chéo của tứ giác trong.

25


Còn 1,99 l ầ n thì nó có t h ế nhỏ hơn được. Chẳng hạn trong trường hợp sau : : LLấy
một đoạn thẳng có độ dài Ì và đặt một đ i n h của tứ giác vào một đâu của đoạn thhầrng,
còn ba đinh kia đặt gần dâu t h ứ hai của đoạn thẳng. Tổng độ dài các đườgn < chnéo
của t ứ giác đó có thể cho t i ễ n gần tùy ý t ớ i 1. Bên trong tứ giác vừa nhản đuược: ta
đặt một tứ giác lôi có hai đinh nằm gân một đàu của đoạn thẳng, còn hai đinhh Hóa
-gần đầu t h ứ hai của đoạn thẳng (h.4). Tống độ dài của đường chéo của tứ r giiác
trong có thể cho t i ễ n gần tùy ý t ớ i 2.

Hình 4
15.20. G i ả sử đường gấp k h ú c có độ dài ngắn nhất tự cắt. Xét hai mắt cắt r nỉiaau.
Các đ i n h của hai mắt này có t h ể được n ố i v ớ i nhau bằng ba cách (h.5). Ta xét đ i c ờ m g
gấp k h ú c m ớ i nhản được từ đuờng gẫp k h ú c ban đầu khi thay hai mắt cắt
bằng các mắt mới (xem h.5, biếu thị bằng các đường không liên).

Hĩnh 5
26

rhiau


K h i đó ta l ạ i nhận dược đường gấp khúc k h é p kín nhưng độ dài oủa nó nhỏ hơn
đ ộ dài của đường ban đâu. vì tổng đ ộ dài các cạnh đ ố i nhau của một tứ giác lõi nhỏ
hơn tống đ ộ dài các dường chéo. Điêu đó mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, vậy
đường gấp k h ú c k h é p kín có độ dài nhỏ nhai không thổ có các mắt cắt nhau.
Đường gap khúc có độ dài nhó nhất luôn tôn t ạ i , vì chi có một số hửu hạn các
đường gãp k h ú p k h é p kín với các đinh t ạ i các điếm đã.cho.
15.21. R õ r à n g ngũ giác đêu và hình vuông thỏa mãn điêu k i ệ n bài toán. Ta
chứng minh rằng số cạnh của đa giác n h ư vậy không thế lớn hơn 5. G i ả sử tất cả
các đường c h é o của đa giác A i ... An bằng nhau và n > 6. K h i đó A1A4 = A1A5 =
= A2A4 = A 2 A 5 . Nhưng trong tứ giác l ồ i A i A2A4A3 các đoạn thẳng A1A5 và A 2 A 4
là các cạnh đôi nhau, còn A 1 A 4 và A2A5 là các đường chéo. Do đó A1A5 + A 2 A 4 <
< A 1 A 4 + A 2 A 5 . Máu thuẫn.
15.22. Xét tất cả các cách chia các
điểm đã cho t h à n h từng cặp điểm khác
màu nhau. Tổng sỗ các cách chia như
vậy là hửu hạn, và tôn tại cách chia sao
cho tổng đ ộ dài các đoạn thẳng, xác

định bởi các cặp điểm được chia, là nhỏ
nhất.
Ta chứng m i n h rằng khi đó các đoạn
thẳng này sẽ k h ô n g cắt nhau. Thật vậy,
n ê u n h ư c ó hai đ o ạ n thẳng cắt nhau, t h ì

X

ta c ó thế c h ọ n c á c h chia thứ hai c ó tống
đ ộ dài c á c đ o ạ n thẳng n h ỏ h ơ n , bằng

cách thay các đường chéo của tứ giác lõi

Hình 6

bằng cặp cạnh đ ố i của nó (h.6).
15.23. G i á sử độ dài cạnh t h ứ ba bằng n. Theo bất dẳng thức tam giác , có
3,14 - 0,67 < n < 3,14 + 0,67. Do n là số nguyên nên t i = 3.
15.24. Rõ r à n g AB + B C > A C , B e

+ CD > BD, CD + D E > C E , DE +

+ E A > D A , E A + A B > EB. Cộng tất cả các bẫt đẳng thức l ạ i ta được tống đ ộ
dài các đ ư ờ n g c h é o của ngũ giác nhỏ hơn hai làn chu vi.
Kí h i ệ u giao đ i ế m các đường chéo như ớ hình 7. R õ ràng tống độ dài các đường
c h é o l ớ n h ơ n tồng độ dài các cạnh của hình ngôi sao, và lớn hơn chu vi của ngũ

27