Rèn kĩ năng giải toán chứng minh cho sinh viên ngành sư phạm toán trường CĐSP điện biên thông qua giảng dạy học phần hình học sơ cấp và thực hành giải toán

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, đổi mới nội dung và phương pháp giảng dạy tạo điều kiên cho
sinh viên Cao đẳng Sư phạm, những giáo viên Trung học cơ sở tương lai, đáp
ứng đòi hỏi của xã hội đang là mục tiêu lớn được ngành Giáo dục và đào tạo
quan tâm. Việc đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo phải khắc phục lối truyền
thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho sinh viên, từng bước áp
dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện vào quá trình dạy và học.
Trên tinh thần đó, để phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của sinh
viên, người thầy cần tăng cường cho sinh viên vận dụng kiến thức đã học vào
nhiều tình huống khác nhau thông qua hệ thống bài tập. Ngược lại, khi vận dụng
kiến thức vào nhiều tình huống khác nhau sinh viên sẽ nhạy bén hơn trong việc
giải bài tập, từ đó rèn luyện được kĩ năng giải toán và phát triển tư duy cho sinh
viên.
Việc bồi dưỡng các năng lực tư duy cho sinh viên ngành sư phạm Toán
khi dạy các học phần toán là một nhiệm vụ cơ bản của quá trình dạy học và
đồng thời cũng là yêu cầu thường xuyên, cần thiết. Trong đó, việc phát triển
năng lực giải toán cho sinh viên là một nhiệm vụ rất quan trọng đối với các học
phần toán. Vì vậy người thầy không chỉ cung cấp cho sinh viên phương pháp
giải, những dạng toán cụ thể mà cần phải thông qua nó, rèn luyện cho sinh viên
các năng lực phân tích, tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận
lôgic, năng lực tư duy linh hoạt, trí nhớ toán học,…
Như vậy, bài tập toán là một phần không thể thiếu trong giảng dạy các
học phần toán. Trong đó dạng bài toán chứng minh có vị trí quan trọng hơn cả.
Còn đối với phần Hình học sơ cấp, dạng bài toán chứng minh không những là
dạng toán quan trọng mà đây là dạng toán chủ yếu.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm các học phần toán hình cho sinh viên
CĐSP toán chúng tôi nhận thấy kỹ năng giải hình của sinh viên còn nhiều hạn

chế đặc biệt là kỹ năng giải toán hình sơ cấp. Bên cạnh đó, qua những lần đưa
sinh viên đi thực tập, chúng tôi nhận thấy sinh viên rất “sợ” tập giảng, thi giảng

4


các tiết hình, đặc biệt các tiết bài tập hình.Tại sao vậy? Vì chính kĩ năng giải
toán hình của các sinh viên còn yếu. Do đó, một việc cần làm ngay là bồi dưỡng
cho các sinh viên kỹ năng này. Chúng tôi cho rằng kỹ năng đầu tiên cần phải rèn
luyện đó là kỹ năng giải toán chứng minh.
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng giải toán chứng minh cho
sinh viên ngành sư phạm toán- Trường CĐSP Điện Biên thông qua giảng
dạy học phần hình học sơ cấp và thực hành giải toán".
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh hình
cho sinh viên ngành sư phạm Toán và áp dụng chúng trong quá trình dạy học
học phần hình học sơ cấp và thực hành giải toán ở trường CĐSP Điện Biên
nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học.
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Biện pháp rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình
học sơ cấp.
- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học học phần Hình học sơ cấp và
thực hành giải toán của giảng viên và sinh viên ngành sư phạm Toán trường
CĐSP Điện Biên.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định được những biện pháp rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình hiệu
quả và áp dụng vào giảng dạy học phần hình học sơ cấp và thực hành giải toán ở
trường CĐSP Điện Biên thì sẽ nâng cao kỹ năng giải toán hình sơ cấp cho sinh
viên ngành sư phạm toán.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về các vấn đề rèn kỹ năng toán chứng minh hình
học sơ cấp cho sinh viên.
5.2. Khảo sát điều tra thực trạng biện pháp rèn kỹ năng giải toán chứng minh
hình của giảng viên; thực trạng kỹ năng giải toán chứng minh hình của sinh viên
ngành sư phạm toán trường CĐSP Điện Biên làm cơ sở thực tiễn cho đề tài.

5


5.3. Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng cơ bản giải giải toán chứng
minh hình và rèn kỹ năng giải một số dạng toán chứng minh hình cơ bản.
5.4. Thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả áp dụng.
6. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh cho sinh
viên ngành sư phạm toán trong dạy học học phần Hình học sơ cấp và thực hành
giải toán ở trường CĐSP Điện Biên.
7. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
8. Đóng góp của đề tài
- Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài.
- Đánh giá thực trạng về biện pháp rèn kĩ năng và kĩ năng giải toán hình
của giảng viên và sinh viên ngành sư phạm Toán trường CĐSP Điện Biên.
- Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán chứng minh
hình cơ bản nhằm nâng cao kỹ năng giải toán chứng minh cho sinh viên ngành
Toán trong dạy học Hình học sơ cấp và thực hành giải toán.
9. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của đề tài bao gồm 3
chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài.
Chương 2: Rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh hình cho sinh viên
CĐSP toán- Trường CĐSP Điện Biên.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

6


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Khái niệm kỹ năng, kĩ năng giải toán
1.1.1.1. Khái niệm về kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng
vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ
mới”.
Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ
liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện
những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ
lý luận hay thực hành xác định”.
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng
những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế".
1.1.1.2. Khái niệm về kỹ năng giải toán
Theo G.Pôlya: “Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán,
thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng
minh nhận được”.
Ví dụ: Chứng minh rằng trong số các tam giác có cùng chu vi, tam giác
đều có diện tích lớn nhất.
Sinh viên phải có khả năng nhận biết các mối quan hệ trong bài toán là
các tam giác có chu vi không đổi, liên quan đến diện tích khi biết tổng độ dài
các cạch không đổi, từ đó ta chọn công thức Hêrông để tính diện tích và sử dụng

định lí Cô si để chứng minh bài toán này.
Như vậy, kỹ năng giải toán là kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học để
giải các bài tập toán
1.1.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho sinh viên
Cùng với vai trò của tri thức cần thấy rõ tầm quan trọng của kĩ năng. Rèn
kĩ năng có vai trò quan trọng đối với sự phát triển trí tuệ. Kiến thức toán về một
mặt nào đó sẽ không được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như
vào các ngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng.

7


Có thể dạy cho sinh viên kỹ năng toán học bằng những con đường khác
nhau như:
Con đường thứ nhất: Sau khi hướng dẫn sinh viên nắm vững vốn tri thức
cần thiết thì yêu cầu sinh viên vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan
theo mức độ tăng dần.
Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định
hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó.
Con đường thứ ba: Dạy sinh viên các hoạt động tâm lý cần thiết đối với
việc vận dụng tri thức.
Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng toán cho sinh viên cần được tiến
hành trên các bình diện khác nhau.
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dưới dạng giải
bài tập toán.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như vật lý,
hoá học.
- Kỹ năng vận dụng vào đời sống.
Có thể nói, giải bài tập toán chính là cơ hội tốt nhất để rèn luyện kỹ năng
toán. Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho sinh viên, giáo viên cần tăng cường

hoạt động giải toán. Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán hình, rèn luyện kỹ
năng toán cho sinh viên cần:
* Yêu cầu sinh viên phải hiểu đề, phải nắm được yêu cầu của bài toán,
phải biết bài toán cho cái gì, yêu cầu của bài toán là gì. Để hiểu rõ đề toán hơn
nên vẽ hình cho bài toán.
Ví dụ 1: Trong hình vuông ABCD, vẽ nửa đường tròn đường kính AD
và vẽ cung AC mà tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa
đường tròn đường kính AD ở K. Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến
AB.
Để giải bài toán này, sinh viên phải xác định được khoảng cách từ P đến
AB. Từ đó nhận dạng bài toán là dạng chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau,
tiếp tục tư duy đến các cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

8


* Giúp sinh viên hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập,
các đối tượng cùng loại.
Trong ví dụ 1, khi sinh viên đã tìm hiểu kĩ đề, vẽ hình cho bài toán, nắm
rõ yêu cầu của bài toán là chứng minh PK=PI. Ta đi tìm tòi lời giải bằng sơ đồ
phân tích đi xuống
PK =

PI

⇓
∆APK = ∆API
⇓
µ =P
µ

P
1
2
* Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tương ứng.
µ =P
µ , ta vận dụng
Như vậy mấu chốt của bài toán trên là đi chứng minh P
1
2
các kiến thức liên quan đến góc: Góc nội tiếp đường tròn, cặp góc so le để giải
bài toán. Ta có lời giải cụ thể
Lời giải 1: Kẻ PI ⊥ AB.
·
Xét ∆ APK và ∆ API: ∆ APK vuông tại K (Vì AKD
= 900 góc nội tiếp

chắn nữa đường tròn đường kính AD)
·
∆ ADP cân tại D, AD = DP ⇒ P$ 2 = DAP

9


·
Mặt khác: P$ 1 = DAP
(So le trong vì AD // PI)

Do đó: P$ 1 = P$ 2 ⇒ ∆ APK = ∆ API (Có chung cạnh huyền và một cặp
góc nhọn bằng nhau) ⇒ PK = PI

Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hướng thú cho sinh viên, khắc phục ảnh hưởng
tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau:
+ Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó tìm ra các cách giải
khác.
Trở lại ví dụ 1, ngoài cách chứng minh hai tam giác ∆ APK và ∆ API bằng
nhau bằng cách chứng minh P$ 1 = P$ 2 trong lời giải 1, ta còn có thể chứng minh
µ1 = A
µ 2.
A

Lời giải 2: Gọi F là giao điểm của AP với đường tròn đường kính AD

·
Ta có: AFD
= 900 (Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

Tam giác ADP cân tại D có DF là đường cao nên DF cũng là phân giác
µ1 =D
µ 2 mà D
µ2 =A
µ1 ; D
µ1 =A
µ 2 (Vì đều là góc có các cặp cạnh tương ứng
suy ra D

vuông góc).
µ1 = A
µ 2 ⇒ ∆ APK = ∆ API (Có chung cạnh huyền và một cặp
Suy ra: A

góc nhọn bằng nhau) ⇒ PK = PI.
+ Có thể sử dụng kết quả hay phương pháp giải cho một bài toán khác
không?

10


+ Đề xuất những bài toán mới nhờ tương tự, tổng quát hóa,…
·
µ1 = A
µ 2 và µ
Nhìn lại lời giải hai của ví dụ 1 ta thấy: A
là hai góc
A2 , PCB
tạo bởi một tia tiếp tuyến và dây cung đối với đường tròn tâm D. Mặt khác
·
»AC = 900 nên µ
A2 + PCB
= 450 . Từ đó ta có thể đề xuất bài toán mới: “Trong
hình vuông ABCD và nửa đường tròn đường kính AD và vẽ cung AC mà tâm là
D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính
·
·
AD ở K. Chứng minh rằng KAP
+ PCB
= 450 .
Tóm lại, song song với việc hướng dẫn sinh viên nắm vững kiến thức toán
học thì việc rèn luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi
dưỡng tư duy toán học cho sinh viên.
1.1.3. Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh là dạng toán chủ yếu, quan trọng bậc nhất đối với
học phần Hình học sơ cấp và thực hành giải toán, cũng như phần hình học của
chương trình toán ở THCS. Các dạng toán chứng minh trong học phần “Hình
học sơ cấp và thực hành giải toán”, ở trường CĐSP được học ở các ngành SP
Toán, nhằm mục đích củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải toán chứng minh
cho sinh viên qua đó góp phần nâng cao kĩ năng nghề cho sinh viên.
Trong học phần “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” bài toán chứng
minh có mặt xuyên suốt học phần (trừ chương 6: Quỹ tích , dựng hình), và được
phân loại ở chương 2.
1.2. Cơ sở thực tiễn
1.2.1. Khái quát về khảo sát, điều tra thực trạng
1.2.1.1. Mục đích khảo sát điều tra
Qua khảo sát điều tra thực tế nhằm đánh giá thực trạng biện pháp rèn kỹ
năng giải toán chứng minh hình của giảng viên; thực trạng kỹ năng giải toán
chứng minh hình của sinh viên ngành sư phạm toán trường CĐSP Điện Biên
làm cơ sở thực tiễn cho đề tài. Từ đó đề xuất các biện pháp rèn kỹ năng giải toán
chứng minh hình học sơ cấp có hiệu quả.
1.2.1.2. Nội dung điều tra khảo sát

11


* Thực trạng về biện pháp rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình của giảng viên
toán trường CĐSP Điện Biên
* Thực trạng về kỹ năng giải toán chứng minh hình của sinh viên ngành sư
phạm Toán trường CĐSP Điện Biên
1.2.1.3. Phương pháp khảo sát điều tra
- Quan sát sư phạm
- Dự giờ
- Đàm thoại, phỏng vấn

- Sử dụng phiếu điều tra
1.2.1.4. Đối tượng và địa bàn khảo sát
- Sinh viên ngành sư phạm toán- Trường CĐSP Điện Biên
- Giảng viên, giáo viên toán- Trường CĐSP Điện Biên
1.2.2. Thực trạng về biện pháp rèn kỹ năng giải toán chứng minh hình của
giảng viên toán trường CĐSP Điện Biên
Chúng tôi tìm hiểu thông qua trao đổi trực tiếp với các giáo viên dạy toán
tại trường CĐSP Điện Biên và đặc biệt là các giáo viên đã từng giảng dạy học
phần “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” được các giáo viên cho biết với
thời lượng phân phối chương trình chỉ đủ thời gian để hướng dẫn sinh viên
những bài toán chứng minh hình cơ bản nhất, sinh viên chưa có điều kiện tiếp
xúc với những dạng toán phức tạp, đặc biệt là một số bài toán không mẫu mực.
Vì với dạng toán này, việc rèn luyện kỹ năng giải cho sinh viên đòi hỏi có quỹ
thời gian và sự nỗ lực cao của cả giảng viên lẫn sinh viên.
Thông qua trực tiếp dự giờ thăm lớp, chúng tôi nhận thấy biện pháp chủ
yếu mà các giáo viên sử dụng để rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh hình
cho sinh viên là hướng dẫn sinh viên giải các bài toán đó. Chưa có sự định
hướng cụ thể để sinh viên tự học, tự nghiên cứu, đặc biệt là nguồn tài liệu cung
cấp cho sinh viên tham khảo chưa phong phú, sinh viên tham khảo chủ yếu
trong giáo trình “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán”.

12


1.2.3. Thực trạng về kỹ năng giải toán chứng minh hình của sinh viên ngành
sư phạm Toán trường CĐSP Điện Biên
1.2.3.1. Sự đánh giá từ phía giảng viên giảng dạy “Hình học sơ cấp và thực
hành giải toán” đối với sinh viên toán CĐSP về kỹ năng giải toán chứng
minh hình sau khi đã học xong học phần “Hình học sơ cấp và thực hành
giải toán”.

Để nghiên cứu mức độ nắm vững kỹ năng giải toán chứng minh hình của
sinh viên toán sau khi đã học xong học phần “Hình học sơ cấp và thực hành giải
toán”, chúng tôi đã tìm hiểu đánh giá vấn đề này từ 6 giáo viên đã từng dạy học
phần “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” ở trường CĐSP Điện Biên.
Bảng 1: Đánh giá của giáo viên CĐSP về kỹ năng giải toán chứng minh
hình của sinh viên.
Số ý kiến

Kỹ năng giải toán chứng minh hình
Hiểu được kiến thức, có kỹ năng cơ bản.
Nắm vững kiến thức và có kỹ năng thành thạo.
Nắm vững kiến thức và có kỹ năng thành thạo, vận
dụng linh hoạt, sáng tạo trong mọi tình huống.

tán thành
4
1
1

%
66,7
16.65
16.65

Qua phiếu điều tra, kết hợp với phỏng vấn cán bộ giảng dạy “Hình học sơ
cấp và thực hành giải toán”, chúng tôi thu được kết quả:
Phần lớn sinh viên toán CĐSP mới chỉ dừng ở mức hiểu được kiến thức
và có kỹ năng cơ bản khi giải toán chứng minh hình mà chưa hiểu thấu đáo nội
dung kiến thức và có kỹ năng thành thạo khi giải toán chứng minh hình. Chỉ có
một số rất ít sinh viên biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo trong mọi tình huống khi

giải toán chứng minh hình. Điều này chứng tỏ việc dạy học học phần “Hình học
sơ cấp và thực hành giải toán” chưa rèn luyện tốt kỹ năng giải toán chứng minh
hình cho sinh viên. Các cán bộ giảng dạy còn cho biết, đa số các sinh viên đã
nhận thấy được tầm quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh
hình đối với nghề nghiệp của họ sau này. Tuy nhiên, đó chỉ là các dạng toán cơ
bản mà sau này các em phải trực tiếp giảng dạy ở các trường trung học cơ sở.

13


Một số ít sinh viên còn cho rằng việc rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh
hình trong dạy học “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” là không cần thiết.
Nguyên nhân của tình trạng trên là do trong quá trình giảng dạy chính
giảng viên trực tiếp giảng dạy học phần “Hình học sơ cấp và thực hành giải
toán” mới chỉ dừng lại ở việc hướng dẫn cho sinh viên những kiến thức và kỹ
năng cơ bản của toán chứng minh hình mà ít định hướng cho sinh viên tự học, tự
nghiên cứu về chủ đề toán chứng minh hình bởi hai lí do chính, đó là:
Khả năng tiếp cận và khai thác tài liệu tham khảo về toán chứng minh
hình của sinh viên còn nhiều hạn chế. Các tài liệu về toán chứng minh hình tại
thư viện của nhà trường chưa phong phú. Sinh viên chưa giành nhiều thời gian
cho việc tự học, tự tìm hiểu các thông tin trên mạng.
Nguyên nhân thứ hai là mặc dù dạng toán chứng minh là dạng toán chủ
yếu của hình học sơ cấp nhưng thời lượng giành cho chương 2 (các dạng toán
hình học) theo đề cương chi tiết là 15 tiết. Với lượng thời gian này chỉ đủ để
hướng dẫn cho sinh viên những kiến thức và kỹ năng cơ bản của toán chứng
minh, không có thời gian cho phép giáo viên đi sâu vào việc hướng dẫn các bài
toán chứng minh phức tạp.
1.2.3.2. Biện pháp thực hiện
Từ việc phân tích các nguyên nhân như trên, chúng tôi tiến hành điều tra
thăm dò ý kiến của giảng viên dạy CĐSP về những biện pháp rèn luyện kỹ năng

giải toán chứng minh trong dạy học “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán”
cho sinh viên, kết quả thu được là:
Bảng 2: Các biện pháp cần thực hiện
Tán

Không

Không có
ý kiến gì

STT

Các giải pháp

thành

tán

1

Rèn luyện cho sinh viên một số kỹ năng

6/6=

0%

cơ bản khi giải toán chứng minh hình 100%

0%

như: tìm hiểu đề, vẽ hình, tìm tòi lời
2

giải, trình bày lời giải.
Giúp SV nắm vững một số dạng toán

5/6 =

chứng minh cơ bản trong dạy học Hình 83,3%

14

1/6=
16,7%

0%


3

4

học sơ cấp và thực hành giải toán.
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán

5/6 =

1/6 =

chứng minh hình cơ bản trong dạy học 83,3%

16,7%

0%

Hình học sơ cấp và thực hành giải toán.
Rèn luyện cho SV có kỹ năng vận dụng

3/6 =

2/6 =

1/6 =

linh hoạt, sáng tạo khi giải toán chứng

50%

33,3%

16,7%

minh hình trong mọi tình huống.
Từ số liệu ở bảng 2 cho thấy:
Hầu hết các giảng viên đều đồng ý cả 4 giải pháp đã nêu trên. Đây là những
tiêu chí quan trọng để định hướng xây dựng một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải
toán chứng minh hình nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy học “Hình học sơ cấp
và thực hành giải toán” và góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán cho sinh
viên toán CĐSP.
Tóm lại, từ thực trạng dạy học “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” ở

CĐSP cùng với việc thăm dò một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải phương
trình trong dạy học “Hình học sơ cấp và thực hành giải toán” như đã trình bày ở
trên, chúng tôi cho rằng cần thiết phải đưa ra một số biện pháp cụ thể giúp sinh
viên củng cố và nâng cao kỹ năng giải toán chứng minh hình. Đồng thời giúp
sinh viên làm quen với các vấn đề tự học.
Kết luận chương 1
Đề tài đã trình bày được ba con đường rèn kỹ năng toán học cho sinh
viên, đặc biệt là hướng cho sinh viên biết cách phân tích đặc điểm bài toán, hình
thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại, tạo
nhu cầu hướng thú cho sinh viên. Đây là cơ sở để tiến hành nghiên cứu và đề
xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình mà đề tài xây dựng.
Tìm hiểu tình hình dạy học về dạng toán chứng minh hình ở trường CĐSP,
từ đó đề xuất những nội dung cần trang bị thêm cho sinh viên Toán CĐSP khi học
chủ đề các dạng toán chứng minh. Đây là cở sở thực tiễn cho sự cần thiết phải xây
dựng một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán chứng minh hình trong dạy học “Hình
học sơ cấp và thực hành giải toán”.

15


16


CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH
HỌC CHO SINH VIÊN NGÀNH TOÁN – TRƯỜNG CĐSP ĐIỆN BIÊN
2.1. Biện pháp rèn luyện một số kỹ năng cơ bản khi giải toán chứng minh
hình học
2.1.1. Kỹ năng tìm hiểu đề bài
Để giải được bài toán trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán
đó. Để hiểu rõ đề toán, đầu tiên phải đọc kĩ đề toán sao cho thấy được toàn bộ

bài toán càng rõ ràng, sáng sủa càng tốt. Phải nắm vững các khái niệm đề cập
trong bài toán. Cần phải nhớ lại các khái niệm đó được định nghĩa như thế nào
hoặc một số tính chất tương đương với định nghĩa khái niệm đó.
Ví dụ 1: Trong đề toán cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Ít nhất sinh
viên cũng phải hiểu được định nghĩa hình bình hành hoặc tính chất tương đương
như:
- Tứ giác ABCD có các cạnh đối song song
- Tứ giác ABCD có hai cạnh đối song song và bằng nhau
- Tứ giác ABCD có các cạnh đối bằng nhau
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Tiếp tục phân tích bài toán, phải trả lời được các câu hỏi: Yêu cầu (ẩn, kết
luận, cái cần tìm) của bài toán là gì? Bài toán cho cái gì (Giả thiết, cái đã biết,
dữ kiện)? Đâu là điều kiện (Mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm)? Điều
kiện của đề bài có thỏa mãn không? Điều kiện đề bài có đủ xác định ẩn không?
Có thừa hay thiếu hay mâu thuẫn không?
Nếu cần thiết phải vẽ hình cho bài toán. Hình vẽ hiện lên đồng thời các
yếu tố đã biết, các yếu tố chưa biết cũng như mối quan hệ giữa chúng. Vì thế,
sau khi vẽ đúng hình giúp ta hiểu được đề toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn.
Khi vẽ hình cần lưu ý:
- Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trường hợp
đặc biệt vì như thế dễ gây ngộ nhận.
Ví dụ 2: Khi đề toán cho tam giác ABC không nên vẽ tam giác vuông,
cân hay đều nếu như bài toán không yêu cầu; đối với tam giác thường nên vẽ

17


tam giác có các góc xấp xỉ là 400 ,600 ,800 . Đề toán cho các đoạn thẳng bất kì
không nên vẽ các đoạn thẳng bằng nhau. Đề toán cho các đường thẳng bất kì
không nên vẽ các đường thẳng song song hoặc vuông góc…

- Hình vẽ phải rõ rằng, chính xác dễ nhìn thấy các quan hệ (song song, cắt
nhau, vuông góc,…) và các tính chất (đường trung trực, đường phân giác, tam
gác vuông, cân, đều,…) mà bài toán đã cho. Với những bài toán cho góc có số
đo cụ thể nên vẽ chính xác số đo của góc để tránh dẫn tới những kết luận sai
lầm.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có góc A bằng 450 .
Các cạnh AB, AC lần lượt cắt đường tròn đường kính BC tại E, F. Chứng minh
rằng tứ giác EOFC cân.
Trong ví dụ này ta chỉ cần vẽ góc A lớn hơn 45 thì về trực quan tứ giác
EOFC ta nhận được trên hình không là tứ giác lồi. Từ đó dẫn đến người giải đi
tìm cách kết luận đề toán sai.
A

E

O

F
C

B

Thông thường, khi vẽ hình phải tuân theo trật tự của bài toán, đề cho yếu
tố nào trước thì vẽ trước. Nhưng với một số bài toán nếu vẽ theo trật tự của bài
toán thì sẽ dẫn đến hình vẽ thiếu chính xác hoặc rất khó nhìn, khó tư duy.
Ví dụ 4: Cho hình thang vuông ABCD (có

), phân giác góc

A đi qua trung điểm E của BC. Chứng minh rằng AB + CD = BC.

Với bài toán này thông thường học sinh sẽ vẽ tuần tự theo các thứ tự nêu
trong đề bài toán và vì vậy khi đó hình vẽ sẽ dẫn đến AE không là phân giác góc
BAD hoặc E không là trung điểm của BC như hình bên.

18


B

A

A

B

E
E

D

C

D

C

Từ việc vẽ hình thiếu chính xác trên rất khó có thể tìm được lời giải của
bài toán hoặc dự đoán được các bước đi cho việc xây dựng chương trình giải.
Trong trường hợp này ta có thể vẽ hình theo theo một trật tự khác.
- Trước hết cần vẽ phác họa hình vẽ theo đúng trật tự của bài toán.

- Vẽ lại hình theo các bước sau: Vẽ góc vuông BAx, kẻ phân giác của góc
BAx, trên đó lấy điểm E tuỳ ý. Lấy sao cho E là trung điểm của BC. Từ C kẻ
đường vuông góc với Ax cắt Ax tại D ta có hình thỏa mãn yêu cầu đề bài.
A

B

E

D
x

C

Ngoài ra, để làm nổi bật vai trò khác của các đường, các hình trong hình
vẽ có thể vẽ bằng nét đậm, nét nhạt, nét liền, nét đứt hoặc dùng màu khác…
Khi nghiên cứu đề toán, nhiều trường hợp ta phải chọn kí hiệu và đưa kí
hiệu vào một cách thích hợp, đặc biệt thể hiện trên đề toán. Bằng cách thể hiện
các kí hiệu trên hình vẽ ta biết đề toán cho yếu tố gì, cần chứng minh yếu tố gì,
và mối quan hệ giữa chúng. Cách kí hiệu thích hợp có thể nhanh chóng giúp ta
hiểu được đề toán. Có người đã ví, toán học là trò chơi kí hiệu, ai kí hiệu tốt thì
sẽ làm toán tốt. Khi chọn các kí hiệu cần lưu ý:
- Khi kí hiệu trên hình thì hai hình bằng nhau phải có cùng kí hiệu
- Mỗi kí hiệu phải có nội dung và dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểu nước
đôi, thứ tự tương quan giữa các kí hiệu phải giúp chúng ta liên tưởng đến thứ tự
và tương quan giữa các đối tượng tương ứng.
19


Ví dụ 5: Khi chứng minh hai tam giác bằng nhau viết các đỉnh theo thứ tự

tương ứng, chẳng hạn nếu muốn chứng minh hai tam giác ABC và DEF bằng
nhau có

; AB = ED và BC = DF ta nên viết xét hai tam giác ABC và

EDF. Với cách viết này ta không cần nhìn vào hình vẽ cũng xác định được các
góc

;

và CA = EF.

- Không dùng một kí hiệu để chỉ các đại lượng khác nhau. Các kí hiệu cùng
loại để chỉ các đối tượng cùng loại. Ví dụ như: Các chữ cái in hoa A, B, C,…để
chỉ các điểm, các chữ cái in thường a, b, c,… để chỉ các đường thẳng.
2.1.2. Kỹ năng tìm lời giải
Tìm tòi lời giải là bước quan trọng nhất trong hoạt động giải toán. Nó
quyết định sự thành công hay không thành công. Điều cơ bản của bước này là
biết định hướng đúng để tìm ra được nhanh chóng hướng giải bài toán. Không
có một thuật toán nào để giải mọi bài toán cả. Để tìm được lời giải sau khi đã
hiểu kĩ đề bài, sinh viên có thể nghĩ đến các bài toán liên quan, có thể vẽ thêm
hình, có thể mò mẫm dự đoán bằng cách xét trường hợp tương tự, đặc biệt, hoặc
có thể phân tích, biến đối bài toán về những bài toán đơn giản hơn,…
2.1.2.1. Nghĩ đến những bài toán liên quan
Bài toán liên quan có thể là bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán
cần giải, hoặc bài toán tổng quát hơn bài toán đã cho, hoặc là trường hợp đặc
biệt của bài toán đã cho,… Thực tế khó mà đặt ra được một bài toán hoàn toàn
mới, không giống hay không liên quan một chút nào đến các bài toán đã có.
Cũng có thể có rất nhiều bài toán liên quan đến bài toán đang xét, ta cần phải lựa
chọn bài toán hợp lí nhất. Nghĩ đến bài toán liên quan để tìm cách sử dụng kết

quả hay phương pháp giải của các bài toán đó.
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có AB // CD. Gọi O là giao điểm của hai
đường chéo. Đường thẳng qua O song song với hai đáy cắt AD và BC lần lượt
tại hai điểm M và N. Chứng minh O là trung điểm của MN.

20


B

A

N

M

O

D

C

Giả thiết của bài toán có AB//MN//CD, do đó ta nghĩ đến bài toán sau:
Bài toán liên quan: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau ở O sao cho
AB song song với CD. Đường thẳng qua O song song với AB cắt BC ở I. Chứng
minh rằng

1
1
1

=
+
.
OI AB CD

Chứng minh bài toán liên quan:
A
D
O

B

I

C

Theo giả thiết ta có AB //CD // OI và IB + IC = BC
IC
 OI
=
 AB BC (*)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có 
 OI = IB (**)
 CD BC
Cộng vế với vế các đẳng thức (*) và (**) ta có:
OI OI
IC IB
1  IC + IB BC
 1
+

=
+
⇒ OI 
+
=
=1
÷=
AB CD BC BC
BC
BC
 AB CD 
⇒

1
1
1
+
=
(ĐPCM).
AB CD OI

Áp dụng kết quả của bài toán liên quan ta có lời giải của bài toán ban đầu.

21


1
1
 1
=

+
 OM AB CD
Lời giải: Áp dụng bài toán liên quan ta có 
,
 1 = 1 + 1
 ON AB CD
suy ra

1
1
=
⇒ OM = ON . Hay O là trung điểm của MN.
OM ON

2.1.2.2. Tìm cách vẽ thêm các phần tử phụ
Nhiều bài toán phải vẽ thêm hình phụ để tìm thêm các mối quan hệ mới
giữa yếu tố đã biết với yếu tố cần tìm, từ đó bài toán mới được giải quyết. Đồng
thời mỗi cách vẽ hình phụ lại cho ta một cách giả bài toán. Chẳng hạn:
Ví dụ 2: Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ
·
·
·
đường cao AH, bán kính OA. Chứng minh OAH
= ACB
- ABC
.
·
·
·
·

·
·
⇔ ACB
Ta thấy OAH
= ACB
- ABC
= OAH
+ ABC
, do đó ta nghĩ cách vẽ
·
thêm hình phụ để có góc bằng ACB
là góc ngoài của tam giác mà có hai góc
·
·
trong lần lượt bằng OAH
và ABC
. Từ đó ta có cách vẽ thêm nhình phụ sau:
·
·
Kẻ OI ⊥ AC cắt AH ở M. Ta có OMH
= ACB
(góc có các cặp cạnh tương
1
·
·
» ). Như vậy ta dễ dàng chứng
ứng vuông góc), AOM
= ABC
(cùng bằng sđ AC
2

minh

được

bài

toán.

Vẫn áp dụng tính chất góc ngoài tam giác nhưng ta có thể vẽ hình phụ
theo cách khác. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại A cắt BC ở D . Ta có
·
·
ABC
= CAD

» ), OAH
·
·
(Cùng chắn AC
(góc có các cặp cạnh tương ứng
= ADC

vuông góc). Từ đó ta chứng minh được bài toán.

22


Ngoài cách đi vẽ hình phụ để áp dụng tích chất của góc ngoài tam giác, ta
·

có thể nghĩ đến việc vẽ hình phụ sao cho có một góc bằng tổng hai góc OAH
+
·
·
·
. Kẻ đường kính AOD, kẻ DK ⊥ BC. Ta có DK // AH ⇒ OAH
(so
ABC
= ODK
·
·
» ). Như vậy ta cũng không khó
le trong), ABC
(góc nội tiếp cùng chắn AC
= ADC

·
·
khăn khi chứng minh KDC
= ACB

Với cách tư duy như trên nhưng ta có thể vẽ hình phụ theo một cách hoàn
·
·
= xAy
toàn khác. Tại A kẻ tiếp tuyến Ax và đường thẳng Ay // BC. Ta có OAH
(1)
·
·
= BAy

(góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc), ABC
(2) (so le trong). Để

· Ax = ACB
·
chứng minh được bài toán ta chỉ cần chứng minh B
, điều này là rõ
ràng.

23


2.1.2.3. Tìm tòi theo sơ đồ “phân tích đi lên” hoặc sơ đồ “phân tích đi xuống”
• Phân tích đi lên: Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề A, ta nhận thấy
mệnh đề A sẽ chứng minh được nếu A1 đúng, mệnh đề A1 đúng nếu mệnh đề A2
đúng, … nghĩa là ta có sơ đồ sau: A ⇐ A1 ⇐ A 2 ⇐ ... ⇐ A n −1 ⇐ A n .
Theo sơ đồ này, để chứng minh mệnh đề A đúng, ta chỉ cần chứng minh
mệnh đề An đúng. Nếu An là mệnh đề sai thì không có cơ sở để kết luận A là
đúng (hay là sai).
• Phân tích đi xuống: Giả sử ta cần chứng minh mệnh đề A, ta nhận thấy
rằng A đúng thì mệnh đề A1 đúng, mệnh đề A1 đúng thì mệnh đề A2 đúng, …,
nghĩa là ta có sơ đồ sau: A ⇒ A1 ⇒ A 2 ⇒ ... ⇒ A n −1 ⇒ A n .
Theo sơ đồ trên ta thấy rằng nếu A n là mệnh đề đúng chưa thể kết luận
được gì về A. Tuy nhiên sơ đồ đó cho ta một dự đoán là có thể chứng minh được
sơ đồ sau: A n ⇒ A n−1... ⇒ A 2 ⇒ A1 ⇒ A . Khi đó nếu mệnh đề An là đúng thì mệnh
đề A được chứng minh.
Chú ý trong sơ đồ trên, nếu “An là mệnh đề sai” thì kết luận “A là mệnh
đề sai”.
Đối với mỗi sinh viên, sau này các em là những giáo viên tương lai nên
việc áp dụng tìm tòi lời giải theo sơ đồ phân tích đi lên hoặc đi xuống là không

thể thiếu. Áp dụng phương pháp này ngoài việc tìm ra lời giải bài toán, còn rèn
luyện các em kĩ năng dạy chứng minh định lí, giải bài tập toán.

24


Ví dụ 3: Cho tứ giác ADEC có góc A bằng góc C và B là trung điểm của
·
·
đoạn thẳng AC. Chứng minh rằng nếu CBE
thì DB là phân giác của góc
= BDA
ADE.
Tìm tòi lời giải

Giả sử DB là tia phân giác của góc ADE, ta chứng minh được sơ đồ sau:
·
·
⇒ ∆ADB : ∆BDE ⇒
DB là tia phân giác của ·ADE ⇒ ADB
= BDE

AD AB
=
.
BD BE

Sơ đồ này gợi cho ta cách chứng minh tia DB là tia phân giác của ·ADE như
sau: Chứng minh

AD AB
AD AB
⇒
=
=
và chứng minh sơ đồ sau:
BD BE
BD BE

·
·
⇒ DB là tia phân giác của ·ADE .
∆ADB : ∆EDB ⇒ ADB
= BDE
·
·
 DBA
= BEC

Lời giải: Ta có ∆ADB : ∆CBE ⇒  AD CB
=

 DB BE

Mà AB=BC nên

AD AB
·
·
⇒ ∆BDE : ∆CBE (c − g − c)

=
kết hợp với DBE
= BCE
BD BE

·
·
(đpcm).
⇒ BDE
= CBE

2.1.2.4. Mò mẫm, dự đoán bằng cách xét một số trường hợp có thể xảy ra:
trường hợp đặc biệt, trường hợp tương tự, trường hợp tổng quát…
Khi chúng ta đọc tài liệu, người ta chứng minh bài toán rất ngắn gọn mà
không phân tích quá trình tìm tòi ra lời giải bài toán. Thực ra không phải tự
nhiên người ta nghĩ ra ngay được bổ đề nọ, bổ đề kia, vẽ đường phụ này, đường
phụ nọ... mà đó là kết quả của một quá trình mò mẫm, dự đoán, suy luận, tìm tòi.
Ngay những ý tưởng sáng tạo độc đáo, bất ngờ cũng thường nảy sinh từ con

25


đường quanh co khi tìm lời giải của bài toán. Để có được lời giải bài toán nhiều
khi ta phải dạy cho học sinh bằng cách mò mẫm, dự đoán kết hợp với suy luận
để tìm ra được hướng đi cho bài toán.
Mò mẫm, dự đoán là bằng cách thử các trường hợp có thể xảy ra, xét trường
hợp đặc biệt, trường hợp tương tự hay xét bài toán tổng quát hơn,... từ đó kết
hợp với suy luận ta có thể đi đến những phán đoán (giả thuyết), những đường
phụ, những bổ đề... từ đó hình thành lời giải bài toán. Thực tế hiện nay nhiều
học sinh khi làm các bài như vậy không biết thử một cách có hệ thống, ít chú ý

đến suy luận để giảm phép thử. Các em thường không biết nhận xét khi thử,
không suy luận khi thử, cũng không xét đến các trường hợp đặc biệt, trường hợp
tương tự hay tổng quát hơn...Chính vì vậy phép thử nhiều mà không đem lại
hiệu quả.
·
Ví dụ 4: Cho góc xOy
= 900 , trên tia Ox lấy điểm A cố định, trên tia Oy
lấy điểm B di động. Đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với AB tại M,
OB tại N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Với bài toán này nếu không mò mẫm, chỉ bằng suy luận thiết nghĩ để có
được MN đi qua điểm cố định nào quả thật là bài toán khó.
Cách dự đoán nhờ mò mẫm kết hợp với suy luận:

Trước hết cần phải xác định MN đi qua điểm cố định nào? Không còn
cách nào khác là học sinh phải cho B chuyển động trên hình (lấy điểm B’ khác

26


B). Sau khi lấy thêm điểm B’, ta thấy M’N’ và MN cắt nhau tại điểm H, cho B’
tiếp tục chuyển động (nếu vẽ trên máy tính) hoặc lấy thêm điểm B” để kiểm tra
lại H có phải là điểm cố định hay không.
Ngoài ra nếu vẽ trên máy tính (sử dụng phần mềm hình học Geo Skechpat,
Cabri II,…) có thể không cần lấy điểm B mà cho B chạy, tạo vết cho MN thì ta
có thể dễ dàng xác định được điểm cố định bằng trực quan. Sau khi có được
điểm H ta tiếp tục quan sát tới đặc điểm của điểm H. Bằng quan sát ta có thể
thấy được O, I, H thẳng hàng, suy ra H nằm trên tia OI (tia OI cũng là đường
phân giác của góc
Trở lại đề toán

). Vấn đề xác định tiếp H còn nằm trên đường nào nữa.
và điểm A cố định. Vậy H còn phụ thuộc vào điểm A,

nối AH và quan sát dẫn đến dự đoán AH vuông góc với OI. Như vậy ta chỉ cần
chứng minh kết luận: đường MN luôn đi qua chân đường vuông góc hạ từ A
xuống đường phân giác của góc

.

Lời giải:
Xét trường hợp OA < OB. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB
và H là giao của OI và MN. Khi đó ta có:
AI là phân giác của

BMN cân tại B, nên:

, OI là phân giác của

, suy ra
=> AH ⊥ OI.

giác nội tiếp. Suy ra

27

, BM = BN. Tam giác

, suy ra AIHM là tứ