Chuyên đề 2. Toán căn thức (Ôn=>10)

Câu 2 ( 1 điểm )
Giải phương trình :
Câu 3 ( 2 điểm )
Giải phương trình :
a) x − 4 = 4 − x
Tính :

1
5+ 2

5 x − 1 − 3x − 2 = x − 1

b) 2 x + 3 = 3 − x

1

+

5− 2

Câu 1 ( 2 điểm )
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :
A=

2 +1
2 3+ 2

1

B=

;

2 + 2− 2

; C=

1
3 − 2 +1

Câu 3 ( 2 điểm )
Cho a =

1
2− 3

;b =

1
2+ 3

Lập một phương trình bậc hai có các hệ số bằng số và có các nghiệm là x1 =

a
b +1

; x2 =

b
a +1

Câu 2 ( 3 điểm )
a) Giải phương trình :
x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2

b)Tính giá trị của biểu thức
S = x 1 + y 2 + y 1 + x 2 với xy + (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = a
Câu 4 ( 1 điểm )
Cho F(x) = 2 − x + 1 + x
a) Tìm các giá trị của x để F(x) xác định .
b) Tìm x để F(x) đạt giá trị lớn nhất .
1) Giải phương trình :
x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2

1) Giải phương trình : 2 x + 5 + x − 1 = 8
So sánh hai số : a =

9
11 − 2

;b =

6
3− 3

Câu 1 ( 2 điểm )
Tính giá trị của biểu thức :
P=

2+ 3
2 + 2+ 3

+

2− 3
2 − 2− 3

a) Giải phương trình x + 3 − 7 − x = 2 x − 8
Bµi 1. a) Phân tích đa thức x5 – 5x – 4 thành tích của một đa thức bậc hai và một đa thức bậc ba
với hệ số nguyên.
b) áp dụng kết quả trên để rút gọn biểu thức P =

2
4 − 3 4 5 + 2 5 − 4 125

.


Bµi 1. a) Giải phương trình

x − 4 + x3 + x 2 + x + 1 = 1 + x 4 − 1

b) Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình
2 x 2 − ( 4a +

11
) x + 4a 2 + 7 = 0 có ít nhất một nghiệm nguyên.
2

a) GiảI phương trình

x2 + 8 + 2 − x2 = 4 .
1
2

a) GiảI phương trình x + x + + x +

1
= 2.
4

a) Rút gọn biểu thức A = 3 2 3 − 4 2 . 6 44 + 16 6 .
Bµi 1. giảI phương trình x − 3 + x − 1 = 2
Bµi 1. Giải phương trình ( x + 5 − x + 2)(1 + x 2 + 7 x + 110 ) = 3 .
a) Giải phương trình : x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x 2 + 2 x − 3 + x − 2 .
Bµi 1.
a) Giải phương trình : 8 + x + 5 − x = 5
a) Giải phương trình : x(3x + 1) − x( x − 1) = 2 x 2 .
Giải phương trình 4 x + 1 = x 2 − 5 x + 14
Bµi 1. Cho x, y, z là ba số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
1
1
1
+
+
.
x
y
z

của biểu thức : P =

Bµi 2. Giải phương trình :
2( x − 2 )( x − 3 )
3( x − 1)( x − 3 )
4( x − 1)( x − 2 )
+
+
= 3x + 4 .
(1 − 2 )(1 − 3 )
( 2 − 1)( 2 − 3 ) ( 3 − 1)( 3 − 2 )

Câu 3 : ( 1 điểm )
Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của phương trình là :
x1 =

2− 3
2

x2 =

2+ 3
2

Câu 1 ( 2 điểm ) .
Giải phương trình
a) 1- x - 3 − x = 0
2
b) x − 2 x − 3 = 0
Câu 1 ( 3 điểm ) .
Giải các phương trình sau .

a) x2 + x – 20 = 0 .
1
1
1
+
=
x + 3 x −1 x
c) 31 − x = x − 1

b)

Câu 3 ( 3 điểm )
Giải phương trình
x + 3 − 4 x −1 + x + 8 − 6 x −1 = 5

a) Giải phương trình :

x +1 = 3 − x − 2


Câu 2 ( 1 điểm )
Giải phương trình :
5 x − 1 − 3x − 2 = x − 1

Câu 3 ( 2 điểm )
Giải phương trình :
b) x − 4 = 4 − x
c) 2 x + 3 = 3 − x
1

1) Tính :

5+ 2

+

1
5− 2

2) Giải bất phương trình :
( x –1 ) ( 2x + 3 ) > 2x( x + 3 ) .
Câu 1 ( 2 điểm )
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau :
A=

2 +1
2 3+ 2

B=

;

1
2 + 2− 2

; C=

1
3 − 2 +1

Câu 3 ( 2 điểm )
Cho a =

1
2− 3

;b =

1
2+ 3

Lập một phương trình bậc hai có các hệ số bằng số và có các nghiệm là x1 =

a
b +1

; x2 =

b
a +1

Câu 2 ( 3 điểm )
a) Giải phương trình :
x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2

b)Tính giá trị của biểu thức
S = x 1 + y 2 + y 1 + x 2 với xy + (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = a
Câu 4 ( 1 điểm )
Cho F(x) = 2 − x + 1 + x
c) Tìm các giá trị của x để F(x) xác định .

d) Tìm x để F(x) đạt giá trị lớn nhất .
Câu 2 ( 3 điểm )
2) Giải phương trình :
x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2

3) Giải phương trình :

2x + 1
4x
+
=5
x
2x + 1

Câu 1 ( 3 điểm )
2) Giải phương trình : 2 x + 5 + x − 1 = 8
3) Xác định a để tổng bình phương hai nghiệm của phương trình x2 +ax +a –2 = 0 là bé
nhất .
Câu 1 ( 2 điểm )


9

So sánh hai số : a =
Cõu 1.
1.Chứng minh

11 − 2

;b =

6
3− 3

9 + 4 2 = 2 2 + 1.

2.Rỳt gọn phộp tớnh A = 4 − 9 + 4 2 .
Cõu 4. Cho a, b là 2 số dương, chứng minh rằng

(

)(

)

a + b − a 2 + b2
a +b −a
a +b −b =
2
Cõu 1.Thực hiện phộp tớnh
1 

a)  2 6 − 4 3 + 5 2 −
8 ÷.3 6
4 

2
2
b)
+

3+ 5 3− 5
2

2

2

2

Cõu 4. Tỡm nghiệm hữu tỉ của phương trỡnh
c) Tớnh

2 3 −3 = x 3 − y 3

18
12
−
2
3


9
1 
a) Tớnh  2 1 − 5 ÷: 16
16
16 

2.Chứng minh rằng 13 + 30 2 + 9 + 4 2 = 5 + 3 2
2.Tớnh Q =

(

2 + 5 − 24
12

)(

)(

1.Rỳt gọn 2 + 3 − 2 2 − 3 − 2 3 + 2

)

3− 2 2 .

a
b
+
với a < 0, b < 0.
b
a
a) Chứng minh x 2 − 4 ≥ 0 .
b) Rỳt gọn F = x 2 − 4 .
Cõu 5. Hóy tớnh F = x −1999 + y −1999 + z −1999 theo a. Trong đó x, y, z là nghiệm của phương trỡnh:

2.Cho x =

x+ y+z−a +

( xy + yz + zx ) a − xyz = 0;

∀a ≠ 0

 2
 2 + 3

3
3 
2
3 
+
+ 2 ÷
−
−
2.Rỳt gọn 
÷ 24 + 8 6 
÷
2
2+ 3
2− 3
 3
 4 2
 2+ 3
Cõu 4. Rỳt gọn
1 1
1 1
1 1
1
1
T = 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +

+
2 3
3 4
4 5
1999 2 2000 2

(

)


Cõu 2.

(

)

2

1.Chứng minh 3 − 2 2 = 1 − 2 .
2.Rỳt gọn

3−2 2 .

(

)

2

(

)

1
1

 

− 3 2 + 17  = 
− 2 2 + 17 
3.Chứng minh 
2 2 − 7
  2 2 − 17

2.Giải phương trỡnh
 25
4
2025 
x + 1 + y − 3 + z + 24 = 104 − 
+
+
÷
 x +1
y−3
z + 24 ÷


1
+ 175 − 2 2 .

1.Rỳt gọn biểu thức P =
8+ 7

Cõu 5. Giải phương trỡnh x =

)(

(

x + 2 1− 1− x

)

2

Cõu 1.Tớnh

(

a)

)

2

5 +1 +

(

)

5 −1

2

b)

4m 2 − 4m + 1
4m − 2

Cõu 1. Cho a, b, c là ba số dương.
1
1
1
; y=
; z=
Đặt x =
b+ c
c+ a
a+ b
Chứng minh rằng a + c = 2b ⇔ x + y = 2z.
5 3 + 50 5 − 24
1.Rỳt gọn
75 − 5 2

(

)(

(

)

)

2.Chứng minh

(

(

)

a 2 − a ≤ 1; ∀a ≥ 0 .

)(

2.Tớnh a) 3 2 − 2 3 3 2 + 2 3

(

2
Cõu 4. Cho x + x + 1999

2.Tớnh

40 2 − 57 −

)(y+

40 2 + 57

Câu 1:(3 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau:

)

b)

)

6−2 5
2 − 20

y 2 + 1999 = 1999 . Tớnh S = x + y.

2


A=
B=
C=

1
2

(

)

2

6+ 5 −

3+ 2 3
3

+

1
15
120 −
4
2

2 2
2 +1

(

− 3+ 3 −2 2

)

4x − 9x 2 − 6x + 1
1
1
x〈 ; x ≠ ± .
2
3

7
1 − 49 x

câu 5: (1 điểm)
Giả sử n là số tự nhiên. Chứng minh bất đẳng thức:
1
1
1
+
+ ⋅⋅⋅⋅⋅ +
<2
2 3 2
( n + 1) n

câu 5: (1 điểm)
Giải phương trình x 2 − 2 x − 3 + x + 2 = x 2 + 3x + 2 + x − 3
câu 1: (3 điểm)
1. Đơn giản biểu thức:
P = 14 + 6 5 + 14 − 6 5

câu 1: (2 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức P = 7 − 4 3 + 7 + 4 3 .
câu 4: (1 điểm)
Giải phương trình: 9 x 2 + 16 = 2 2 x + 4 + 4 2 − x
bài 1:
Tính giá trị của biểu thức sau:
15
1− 3

−

5
1− 3

x− 3
; x = 2 3 +1
x +1

(2 +

3x

) −(
2

)

3x + 1

2 3x + 3
x+2+x =4

2

1. Giải phương trình
2. Chứng minh rằng nếu phương trình 9 x 2 + 3x + 1 − 9 x 2 − 3x + 1 = a có nghiệm thì -1< a
<1.
1. Giải các phương trình:
a. 3 x 2 + 6 x − 20 = x 2 + 2 x + 8
b.

x( x − 1) + x( x − 2 ) = 2 x( x − 3)

3− 5
3+ 5
; x2 =
.
2
2
3− 5
3. Tính giá trị của P(x)=x4-7x2+2x+1+ 5 , khi x =
.
2

2. Lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là: x1 =

bài 2: (1,5 điểm)
Đặt M = 57 + 40 2 ; N = 57 − 40 2


Tính giá trị của các biểu thức sau:
1. M-N
2. M3-N3
bài 5: (1,5 điểm)
Tìm tất cả các giá trị x≥ 2 để biểu thức: F =

x−2
, đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn
x

nhất ấy.
bài 3(1,5 điểm):
Chứng minh bất đẳng thức sau:
6 + 6 + 6 + 6 + 30 + 30 + 30 + 30 < 9

bài 2(1,5 điểm):
Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có 2 nghiệm là:
x1 =

4

; x2 =

3+ 5

4
3− 5

4

 4   4 
P = 
 + 

3+ 5  3− 5 

Tính:

4

bài 4(1 điểm):
Giả sử x và y là các số thoả mãn đẳng thức:

(

)(

x2 + 5 + x ⋅

)

y2 + 5 + y = 5

Tính giá trị của biểu thức: M = x+y.
bài 1(2 điểm):
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị dơng của n, kuôn có:

( n + 1)

1
n + n n +1

=

1
n

−

1

n +1

2. Tính tổng:
S=

1
2+ 2

+

1
3 2+2 3

+

1
4 3+3 4

+ ... +

1
100 99 + 99 100

bài 1(2 điểm):
1. Với a và b là hai số dơng thoả mãn a2-b>0. Chứng minh:
a+ b =

a + a2 − b
a − a2 − b
+

2
2

2. Không sử dụng máy tính và bảng số, chứng tỏ rằng:
7
<
5

2+ 3
2 + 2+ 3

+

2− 3
2 − 2− 3

<

29
20

bài 3.(2,5 điểm)
Cho phương trình: x − 5 + 9 − x = m với x là ẩn, m là số cho trớc.
1. Giải phương trình đã cho với m=2.
2. Giả sử phương trình đã cho có nghiệm là x=a. Chứng minh rằng khi đó phương trình
đã cho còn có một nghiệm nữa là x=14-a.
3. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
bài 1.(1,5 điểm)

Cho phương trình x2+x-1=0. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Gọi x1 là nghiệm âm của phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức:
8

P = x1 + 10 x1 + 13 + x1

Bài 2.(2 điểm)
Cho biểu thức: P = x 5 − x + ( 3 − x ) 2 + x
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P khi 0 ≤ x ≤ 3.
Bài 2.(1 điểm)
Giải phương trình:
6− x + x−2 = 2

Bài 2.(1 điểm)
Giải phương trình: x + 12 = x.
1. Chứng minh: 3 − 4 x + 4 x + 1 = −16 x 2 − 8 x + 1
bài 4.(4 điểm) 3 − 4 x + 4 x + 1 ≥ 2 với mọi x thoả mãn:

−1
3
≤x≤ .
4
4

BàI 5.(1 diểm)
Cho các số a, b, c thoả mãn:
0≤ a ≤2; 0 ≤b ≤2; 0≤ c ≤2 và a+b+c=3
Chứng minh bất đẳng thức: ab + bc + ca ≥ 2
câu 1.
Cho 16 − 2 x + x 2 − 9 − 2 x + x 2 = 1

Tính A = 16 − 2 x + x 2 + 9 − 2 x + x 2 .
Bài 4: Tính:
a)
2 5 − 125 − 80 + 605
b)

10 + 2 10
8
+
5 + 2 1− 5

Bài 4: Tính:
a)
15 − 216 + 33 − 12 6
b)

2 8 − 12
5 + 27
−
18 − 48
30 + 162

Bài 4: Tính
a)

2− 3
2+ 3
+
2+ 3
2− 3

b)

Bài 4: Tính
a)

2 27 − 6

4 3
+
75
3 5

Bài 4: Tính :
a) 8 3 − 2 25 12 + 4

192

b)

2

16
1
4
−3
−6
3
27
75

(

3− 5. 3 + 5
10 + 2

b) 2 − 3 ( 5 + 2 )

Bµi 1. Giải phương trình : x + 4 x + 3 + 2 3 − 2 x = 11 .

)