Tài liệu Chuyên đề rút gọn biểu thức ôn vào 10

DẠNG BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC
-----------------------------------------------------------
I. LÝ THUYẾT
1. Các quy tắc thường dùng để biến đổi
- Quy đồng mẫu các phân thức
- Trục căn thức ở mẫu
- Rút gọn phân thức
- Hằng đẳng thức
2. Các bài toán liên quan
Bài toán 1: Tìm x để biểu thức thỏa mãn một điều kiện cho trước
- Rút gọn
- Cho biểu thức rút gọn thỏa điều kiện được phương trình
hoặc bất phương trình
Bài toán 2: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên
- Rút gọn
- Lấy tử chia cho mẫu tách biểu thức thành tổng của một số
nguyên và một biểu thức có tử là một số nguyên
- Cho mẫu là ước của tử suy ra x
Bài toán 3. Tính giá trị của biểu thức tại giá trị cho trước
- Rút gọn
- Rút gọn giá trị của biến nếu cần
- Thay vào biểu thức rút gọn
Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
- Rút gọn
- Biến đổi biểu thức về dạng A
2
+ m hoặc – A
2
+ m
II. BÀI TẬP
Bài 1. Cho các biểu thức: A =

2
232
−
−−
x
xx
và B =
2
22
3
+
−+−
x
xxx
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm giá trị của x để A = B.
(Chu Văn An và Amsterdam 1995)
Bài 2. Cho biểu thức: P =
1
2
1
1
2
2
393
−
+
+
−
−

−
−+
−+
aa
a
aa
xa
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để |P| = 1.
c) Tìm các giá trị của a N sao cho P N.
(Chu Văn An và Amsterdam 1996)
Bài 3. Cho biểu thức:
( )
1x
2x
2x
3x
2xx
3xx3
P
−
−
−
+
+
+
−+
−+
=
a) Rút gọn P.

b) Tìm x để
4
15
P
<
.
(Chu Văn An và Amsterdam 1997)
Bài 4. Cho biểu thức:








+
+
−
−
+
−









+
−
+
+
+
+
=
1xy
1x
1xy
xxy
11
xy1
xxy
1xy
1x
P
a) Rút gọn P.
b) Cho
6
11
=+
yx
. Tìm giá trị lớn nhất của P.
(Chu Văn An và Amsterdam 1998)
Bài 5. Cho biểu thức:









+
−








+−
+
+
−
+
+
−
+
=
1x
x
1:
6x5x
2x
x3
2x

2x
3x
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức
P
1
đạt giá trị nhỏ nhất.
(Chu Văn An và Amsterdam 1999)
Bài 6. Cho biểu thức: P =
xx
xx
xx
xx
x
x
+
+
−
−
+
+
1
_
122
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng biểu thức
P

8

chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
(Chu Văn An và Amsterdam 2000)
Bài 7. Cho biểu thức:








+
−








−
+
−
−
+
−
+−

+
=
1x
x
2:
3x
2x
x2
3x
6x5x
2x
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
51
−≤
P
(Chu Văn An và Amsterdam 2001)
Bài 8. Cho biểu thức: P =
1
1
1
2
1
1
++
+
−
−

+
−
−
+
xx
x
xx
x
x
x
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x
P
Q
+=
2
.
(Chu Văn An và Amsterdam 2002)
Bài 9. Cho biểu thức: P =
1
)1(22
1
2
−
−
+
+
−
++

−
x
x
x
xx
xx
xx
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức
P
x
Q
2
=
nhận giá trị là số nguyên.
(Chu Văn An và Amsterdam 2003)
Bài 10. Cho biểu thức:
2
2
x
x2
1
1x
1x
1x
1x
P









−








−
+
−
+
−
=
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
>
x
P
(Chu Văn An và Amsterdam 2004)
Bài 11. Cho biểu thức: P =
x

x
xx
xx
xx
xx 111
+
+
+
+
−
−
−
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
9
=
P
(Chu Văn An và Amsterdam 2005)
Bài 12. Cho
( )
2
1 a a 1 a a
A 1 a : a a 1
1 a 1 a
 
  
− +
= − + − +
 

 ÷ ÷
− +
 
  
 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A với a = 9.
c) Với giá trị nào của a thì | A | = A.
Bài 13. Cho biểu thức :
a b 1 a b b b
B
a ab 2 ab a ab a ab
 
+ − −
= + +
 ÷
+ − +
 
.
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của B nếu
a 6 2 5= +
.
c) So sánh B với -1.
Bài 14. Cho
1 1 a b
A : 1
a a b a a b a b
 
+

 
= + +
 ÷
 ÷
− − + + −
 
 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm b biết | A | = -A.
c) Tính giá trị của A khi
a 5 4 2 ; b 2 6 2= + = +
.
Bài 15. Cho biểu thức
a 1 a 1 1
A 4 a a
a 1 a 1 a
 
+ −
 
= − + −
 ÷
 ÷
− +
 
 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A nếu
6
a
2 6

=
+
.
c) Tìm giá trị của a để
A A>
.
Bài 16. Cho biểu thức
a 1 a a a a
A
2
2 a a 1 a 1
  
− +
= − −
 ÷ ÷
+ −
  
.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A để A = - 4
Bài 17. Cho biểu thức
c ac 1
B a
a c a c
a c
ac c ac a ac
 
−
= + −
 ÷

+
+
 
+ −
+ −
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54; a = 24
c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0.
Bài 18. Cho biểu thức:
2 2 2
2mn 2mn 1
A= m+ m 1
1+n 1 n n
 
+ − +
 ÷
+
 
với m ≥ 0 ; n ≥ 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A với
m 56 24 5= +
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 19. Cho
1 2 x 2 x
P : 1
x 1
x 1 x x x x 1
   

= − −
 ÷  ÷
+
− + − −
   
với x ≥ 0 ; x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x sao cho P < 0
Bài 20. Xét biểu thức
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +
.
a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - | y | = 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ?
Bài 21. Cho A =








−

+
+








−
−
−
1
2
1
1
:
1
1
a
aaaa
a
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi a =
223
+
c. Tìm a để A < 0
Bài 22. Cho P =









−
−
−








−
+
+
xxx
x
x
x
x
x 2
2
1
:

4
8
2
4
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của x để P = -1
Bài 23. Cho P =








+
−
+
−








−
xx
x

x
x
x
x
11
:
1
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P tại x =
32
2
+
c. Tìm x thỏa mãn
436.
−−−=
xxxP
Bài 24. Cho B =








−
+
−
+
−









−
1
1
1
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
a. Rút gọn B
b. Tìm x để B = 2
c. Tìm x để B > 0
Bài 25. Cho A =
1
)12(2
:

11
−
+−








+
+
−
−
−
x
xx
xx
xx
xx
xx
a. Rút gọn A
b. Tìm x
∈
Z để A
∈
Z
Bài 26. Cho A =
2

1
:
1
1
11
2
−








−
+
++
+
−
+
x
xxx
x
xx
x
a. Rút gọn A
b. Chứng minh rằng 0 < A < 2
Bài 27. Cho K =
x

x
x
xx
x
x
x
x 2009
.
1
14
1
1
1
1
2
2
+








−
−−
+
+
−

−
−
+
a. Tìm x để K xác định
b. Rút gọn K
c. Tìm x nguyên để K nhận giá trị nguyên
Bài 28. Cho P =








−
++
+








+
−
+
−

+
xy
xyyx
xy
yx
xy
yx
1
2
1:
11
a. Rút gọn P
b. Tính P tại x =
32
2
+
c. Tìm giá trị lớn nhất của P