Đề thi HSG toán 8 năm 2010 2011

TRƯỜNG THCS CÁI TÀU HẠ
NAM
HUYỆN CHÂU THÀNH
TÌNH ĐỒNG THÁP

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Môn: TOÁN 8
Ngày thi: 20 / 05 / 2011
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian phát đề )
Năm học: 2010 – 2011

ĐỀ
Bài 1: ( 3 điểm ) Rút gọn biểu thức
A=

x− y
3x + y y − x
− 2
g
2
xy + y
x − xy x + y

Bài 2: ( 3 điểm ) Giải phương trình
3x
x

3x
+
+
=0
x − 2 5 − x ( x − 2 ) ( x − 5)

Bài 3: ( 3 điểm ) Tìm giá trị ngun của x để phân thức có giá trị là số ngun
A=

Bài 4: ( 3 điểm )

x 3 − 3 x 2 − 11x + 8
x−5

Số học sinh tiên tiến của hai khối 7 và 8 là 270 học sinh. Biết rằng

3
số học sinh
4

tiên tiến của khối 7 bằng 60% số học sinh tiên tiến của khối 8. Tính số học sinh tiên tiến
của mỗi khối?
Bài 5: ( 4 điểm )
Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi
M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED.
a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
b/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật?
c/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi?
Bài 6: ( 4 điểm )
Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao bằng 12(m), AC ⊥ BD, BD=15(m).

a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh BD 2 = DE.DH.
Từ đó tính độ dài DE.
b/ Tính diện tích hình thang ABCD.

HẾT


ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM
Đáp án

Bài
1
(3 đ) A = x − y 2 − 32x + y gy − x

Điểm

xy + y
x − xy x + y
* Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ ± y
A=
=

x− y
3x + y y − x
x− y
3x + y x − y
− 2
g
=
+

g
2
xy + y
x − xy x + y y ( x + y ) x ( x − y ) x + y

( x − y ) x + ( 3x + y ) y
x− y
3x + y
+
=
y ( x + y) x ( x + y)
xy ( x + y )

( x + y) = ( x + y)
x 2 − xy + 3 xy + y 2
=
=
xy ( x + y )
xy ( x + y )
xy
2

2
(3 đ)

3x
x
3x
+
+

=0
x − 2 5 − x ( x − 2 ) ( x − 5)

* Tập xác định:

x ≠ 2; x ≠ 5

3x
x
3x
3x
x
3x
+
+
=0⇔
−
+
=0
x − 2 5 − x ( x − 2 ) ( x − 5)
x − 2 x − 5 ( x − 2 ) ( x − 5)

⇔ 3 x ( x − 5) − x ( x − 2 ) + 3 x = 0 ⇔ 3 x 2 − 15 x − x 2 + 2 x + 3 x = 0

 x = 0 ∈ TXĐ
⇔ 2 x 2 − 10 x = 0 ⇔ 2 x ( x − 5 ) = 0 ⇔ 
 x − 5 = 0 ⇔ x = 5 ∉ TXĐ
Vậy S = { 0}

3

3
2
(3 đ) A = x − 3x − 11x + 8 = x 2 + 2 x − 1 + 3

x−5
x −5
3
A∈ Ζ ⇔
∈ Ζ ⇔ x − 5 = ±1; ± 3
x −5
*x − 5 = ±1 ⇔ x ∈ { 6; 4}
*x − 5 = ±3 ⇔ x ∈ { 8; 2}

1
1
1

0,5
1
1

0,5

1
1
0,5
0,5

x ∈ { 2; 4;6;8}

4
(3 đ) Gọi số học sinh tiên tiến của khối 7 là x (học sinh) (x > 0)
số học sinh tiên tiến của khối 8 là 270 - x (học sinh)

0,25
0,25


Ta có phương trình:
3
60
3
3
.x =
270 − x ) ⇔ .x = ( 270 − x )
(
4
100
4
5
3
810 − 3 x
⇔ .x =
⇔ 15 x = 3240 − 12 x ⇔ 27 x = 3240
4
5
⇔ x = 120 ( Nhận)
Vậy số học sinh của khối 7 là 120 học sinh, và khối 8 là 270 – 120 = 150 học sinh.

1

1
0,25
0,25

5
(4 đ)

a/

1
DF 

2
 ⇒ MN / / PQ; MN = PQ . Vậy MNPQlà hình bình hành.
1
PQ / / DF; PQ = DF 

2
b/ Giả sử MNPQ là hình chử nhật thì MP = NQ
Mà
AC 
MP = AF =
2  ⇒ AC = AB

AB 
NQ = AD =
2 
Vậy tam giác ABC cân tại A thì MNPQ là hình chử nhật.
** Hoặc:
MN ⊥ MQ 


MN / / BC  ⇒ AE ⊥ BC; đồng thời EB = EC
MQ / / AE 
MN / / DF; MN =

Nên tam giác ABC cân tại A.

c/ Giả sử MNPQ là hình thoi thì MN = MQ
BC AE
1
MN = MQ ⇔
=
⇔ AE = BC
4
2
2
Vậy tam giác ABC vuông tại A thì MNPQ là hình thoi.

1
0,5

1

0,5
1


** Hoặc:

MP ⊥ NQ ⇔ AC ⊥ AB

Vậy tam giác ABC vuông tại A

6
(4 đ

a/ Kẻ BH ⊥ DC
DH 2 = BD 2 − BH 2 = 152 − 12 2 = 92
⇒ DH = 9 ( m )

Xét tam giác BDH và tam giác EDB
·
·
BHD
= DBE
= 1v 
 ⇒ ∆BDH  ∆EDB
·
BDE
chung

BD DH
BD 2
⇒
=
⇔ DE =
= 25 ( m )
DE BD
DH
b/

1
( AB + DC ) BH
2
1
1
= ×DE ×BH = ×25 ×12 = 150 ( m )
2
2

SABCD =

1
1

1

0,5
0,5