Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Tam Quan năm 2015 - 2016

TRƯỜNG THPT
TAM QUAN
TỔ TOÁN

Bài 1: a) Cho tan

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN K11.
Năm học 2015-2016.
THỜI GIAN: 150 phút (không kể thời gian phát đề).

b
a
ba
3sin a
 4 tan . Chứng minh: tan

.
2
2
2
5  3cos a

1
1
4


.
0
cos 290
3 sin 2500

3
1
7
35
c) sin 8 x  cos8 x  cos 8 x  cos 4 x  .
64
16
64

b) Chứng minh :

Bài 2: a) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
2m sin x  cos x  m  1 . ( m là tham số)
b)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  5  2 cos 2 x.sin 2 x
Bài 3 Giải các phương trình sau:
a) sin6 x  3sin 2 x cos x  cos6 x  1
b) 12 cos x  5sin x 

5
8  0.
12 cos x  5sin x  14

1  cot2x. tan x
1
 1  6(1  sin 2 2 x ) ;
2
cos x
2
Bài 4: Tìm các giá trị  để phương trình:
(cos   3sin   3)x 2  ( 3 cos   3sin   2)x  sin   cos   3  0 có nghiệm x =1.


Bài 5: a).Trong mặt phẳng 0xy ,cho vectơ v =(-2;1), đường thẳng d có phương
trình 2x –3y +3 =0 .

Hãy xác định phương trình của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v .
b) Trong mặt phẳng 0xy , cho đường tròn ( C) co phương trình : x 2  y 2  2x  4y  4  0 .Tìm

ảnh của ( C) qua phép tịnh tiến theo vec tơ v =(-2;5).

c)


HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN
b
a
tan  tan
ba
a
b
2
2  3t

Bài 1: a) Đặt tan = t thì tan = 4t ,do đó : tan
a
b 1  4t 2
2
2
2
1  tan tan
2

2
2t
3
ba
3sin a
1  t 2  3t . Từ đó suy ra điều phải chứng minh.


Mặt khác : tan
1  t 2 1  4t 2
2
5  3cos a
53
1 t2
1
1
1
1



0
0
0
cos 70
sin 20
3 sin 70
3 cos 200
 3


1
0
0
2
cos
20

sin
20


2
2
3 cos 200  sin 200
4sin 400
4



=
=
( đpcm).

0
0
0
3 sin 20 cos 20
3
3 sin 40
3

0
sin 40
2
c) VT = (sin 4 x  cos 4 x) 2  2sin 4 x cos 4 x = (1  2sin 2 x cos 2 x) 2  2sin 4 x cos 4 x

b)VT =

2

1  cos 4 x 1  1  cos 4 x 
 
= 1  4 sin x cos x  2 sin x cos x = 1 
 =….
2
8
2

1
7
35
cos8 x  cos 4 x 
=
64
16
64
m  0
2
2
2
Bài 2: a) Pt có nghiệm  4m  1  (m  1)  3m  2m  0  

m  2
3

1
9
1
3 2
b) 5  2 cos 2 x sin 2 x  5  sin 2 2 x 
 5  sin 2 2 x  5 
 y 5.
2
2
2
2

3 2

 ymax  5 khi x  k
; ymin 
khi x  k
2
2
4
6
2
6
Bài 3: a) sin x  3sin x cos x  cos x  1
 (sin 2 x  cos 2 x )3  3sin 2 x cos 2 x (sin 2 x  cos 2 x )  3sin 2 x cos x  1
k
 3sin 2 x cos 2 x  3sin 2 x cos x  0 giải phương trình này ta được nghiệm x 

.
2
5
b)Đặt y = 12cosx +5 sinx + 14 ,ta có phương trình y   6  0 giải phương trình này ta được y
y
5
=1vày =5. Do đó : 12 cos x  5sin x 
8  0
12 cos x  5sin x  14
12 cos x  5sin x  13 (1)
12 cos x  5sin x  14  1

 
 12 cos x  5sin x  9 (2)
12 cos x  5sin x  14  5
12
5
 9
Giải (1) và (2) ta được : x      k2 ; x    arccos     k2 với cos  
và sin   .
13
13
 13 
cos x
1
 1  cot2x.tan x
 1  6  3sin 2 2 x
 1  6(1  sin 2 2 x ) 
c)ĐK: x  k ;
2

sin 2 x.sin x.cos 2 x
cos x
2
2
2

2

4

4


2
 5  3sin 2 2 x  3t 2  5t  2  0 (t  sin 2 2 x)
2
sin 2 x



x



k

4
2
 sin 2 2x  1



cos 2 2x  0



 2
  x  k
sin 2x  2
cos 4x   1  cos 

4
2

3
3



x    k 
4
2



Bài 4: x= 1 là nghiệm của phương trình đã cho khi và chỉ khi ta có đẳng thức 3 cos   sin   2
3
1

cos   sin   1 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi    k2 .
2

2
6

Bài 5: a) Lấy M(0;1) thuộc d .Khi đó M '  Tv (M)  (2; 2)  d ' . Vì d’ song song với d nên d’ có

hay

phương trình dạng : 2x-3y + C = 0 .Thay toạ độ M’vào pt d’ ta được C =10 . Vậy phương trình d’ :
2x –3y +10 =0.
b) Đường tròn ( C) có tâm I (1;-2) ,R= 3.Gọi I '  Tv (I)  (1;3) và ( C’) là ảnh của ( C) qua phép tịnh


tiến theo vectơ v thì ( C’) có tâm I’ bán kính R’= 3 có pt : (x  1) 2  (y  3) 2  9